2024年四川資陽中學(xué)高一數(shù)學(xué)3月檢測考試卷附答案解析

2024年四川資陽中學(xué)高一數(shù)學(xué)3月檢測考試卷全卷滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．2024.03一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.觀察下面的幾何體，哪些是棱柱？（

）（1）（3）（5）B．（1）（2）（3）（5）C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7）2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的復(fù)平面上的點(diǎn)的集合所表示的圖形是（

）A．正方形 B．一條直線 C．圓 D．圓環(huán)3.已知，則（）A． B． C． D．4.已知等邊三角形的邊長為1，設(shè)，，，那么（

）A．3 B． C． D．5.如圖，已知一個(gè)水平放置的平面四邊形的直觀圖是邊長為1的正方形，則原圖形的周長為（

）A．6 B．8 C． D．6.已知都是銳角，，則為（

）A． B． C． D．7.如圖，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測得點(diǎn)A的仰角為60°，再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10m到位置D，測得∠BDC＝45°，則塔AB的高是（）A.10m B.10m C.10m D.10m8.對于，有如下命題，其中正確的有（）A.若，則為等腰三角形B.若，則為等腰三角形或直角三角形C.若，則為銳角三角形D.若、、所對的邊分別為a、b、c，且，，，則為銳角三角形故選:D.二、多選題（本題共4小題，共20分，每小題5分，全對得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)得0分）9.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個(gè)命題，其中的真命題為（

）A．B．C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)Z在第三象限10.函數(shù)（常數(shù)，）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度所得函數(shù)是偶函數(shù)11.關(guān)于平面向量，有下列四個(gè)命題，其中說法正確的是（

）A．若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得B．兩個(gè)非零向量，，若，則與共線且反向C．若點(diǎn)G是的重心，則D．若向量，，則向量在向量上的投影向量為12.中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，，下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.若有兩解，則取值范圍是C.若為銳角三角形，則取值范圍是D.若為邊上的中點(diǎn)，則的最大值為3三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，，若，則的值為．14.在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則B的值為．15.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值是．16.如圖，在平面四邊形中，，，，，，若點(diǎn)F為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．四、解答題17．（10分）已知是互相垂直的兩個(gè)單位向量，（1）求的值；（2）當(dāng)為何值時(shí)，與共線.18.（12分）在中，已知在線段上，且，設(shè)．(1)用向量表示；(2)若，求．19.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若．（1）求A的值；（2）若，在下列三個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，求b，c的值．①；②的面積為；③邊BC上的中線長為．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．20.(12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，求的值域．21.（12分）如圖，某公園有三條觀光大道圍成直角三角形，其中直角邊，斜邊.現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在大道上嬉戲，（1）若甲、乙都以每分鐘的速度同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)在各自的大道上奔走，甲出發(fā)3分鐘后到達(dá)，乙出發(fā)1分鐘后到達(dá)，求此時(shí)甲、乙兩人之間的距離；（2）甲、乙、丙所在位置分別記為點(diǎn).設(shè)，乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍，且，請將甲、乙之間的距離表示為的函數(shù)，并求甲、乙之間的最小距離.22.（12分）已知函數(shù)的最小正周期為，且直線是其圖象的一條對稱軸.（1）求函數(shù)的解析式；（2）在中，角A、B、C所對的邊分別為，且，若角滿足，求的取值范圍；（3）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍后所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)記作，已知常數(shù)，且函數(shù)在內(nèi)恰有2023個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)與的值.【答案】1.A【詳解】根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征：一對平行的平面且側(cè)棱相互平行的幾何體，所以棱柱有（1）（3）（5）.故選：A.2.D3.A【解析】由已知得：，所以4.D【詳解】在等邊三角形中，有．故選：D．5.B【分析】由斜二測畫法的規(guī)則，把直觀圖還原為原平面圖形，再求原圖形的周長．【詳解】解：由斜二測畫法的規(guī)則知，與軸平行的線段其長度不變以及與橫軸平行的性質(zhì)不變，正方形的對角線在軸上，可求得其長度為，所以在平面圖中其在軸上，且其長度變?yōu)樵瓉淼?倍，是，其原來的圖形如圖所示；所以原圖形的周長是：．故選：．6.C【分析】要求，先求，結(jié)合已知可有，利用兩角差的余弦公式展開可求.【詳解】、為銳角，，，由于為銳角，故答案為：C7.D【解析】【分析】在△BCD中，CD＝10m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，利用正弦定理求得BC，在Rt△ABC中，根據(jù)，即可得出答案.【詳解】解：在△BCD中，CD＝10m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理，得＝，BC＝＝10（m）.在Rt△ABC中，tan60°＝，AB＝BC×tan60°＝10（m）.故選：D.8.D【詳解】對A，因?yàn)?，所以或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，A錯(cuò)誤；對B，因?yàn)?，所以，所以或，即或，所以時(shí)無法確定三角形的形狀，B錯(cuò)誤；對C，由，可得，邊化角可得，所以，則為鈍角三角形，C錯(cuò)誤；對D，，所以為銳角，且，所以為銳角三角形，D正確；故選:D.9.BD【解析】由題意，復(fù)數(shù)，則，其中復(fù)數(shù)的虛部為.故選：BD.10.BC【解析】由函數(shù)的圖象可知，，最小正周期滿足，即，則，根據(jù)“五點(diǎn)法作圖”，由可得，，即所以，，所以，選項(xiàng)A：，錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：，正確；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，正確；選項(xiàng)D：，因此將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度所得函數(shù)不是偶函數(shù)，錯(cuò)誤；故選：BC11.BCD【詳解】對于A選項(xiàng)，若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得或，A錯(cuò)誤對于B選項(xiàng),兩個(gè)非零向量，，若，則與共線且反向，B正確；對于C選項(xiàng)，若點(diǎn)G是的重心，則，C對；對于D選項(xiàng)，若向量，，則向量在向量上的投影向量為，D對.故選：BCD.12.ABD【詳解】對選項(xiàng)A：，故，故，，所以，故A正確；對選項(xiàng)B：若△ABC有兩解，則，即，則，故B正確；對選項(xiàng)C：為銳角三角形，則，，故，則，，故，故C錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D：若為邊上的中點(diǎn)，則，故，又，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，所以，故，正確；故選：ABD.13.2【詳解】.14.15.4【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，求得，故的最大值為，故答案為：416.【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得的最小值.【詳解】以為原點(diǎn)建立如圖所示平面直角.依題意，，，在三角形中，由余弦定理得.所以，所以.而，所以.在三角形中，由余弦定理得.所以，所以.在三角形中，，所以三角形是等邊三角形，所以.所以，設(shè)依題意令，即，所以，所以，所以.對于二次函數(shù)，其對稱軸為，開口向上，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，也即有最小值為.17（1）（2）【解析】（1）因?yàn)?是互相垂直的單位向量，所以,，.（2）∵與共線，∴，又∵不共線，∴，∴.18.(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量基本定理求出答案；（2）先求出，結(jié)合（1）中所求的，利用向量數(shù)量積公式求出的值.【詳解】（1）因?yàn)椋?，由題得；（2）由已知得，．19.（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可得解；（2）若選①，由數(shù)量積運(yùn)算和余弦定理列式求解；若選②，由三角形面積公式和余弦定理得列式求解；若選③，設(shè)邊BC上的中點(diǎn)為D，則，兩邊平方，由數(shù)量積運(yùn)算和余弦定理列式求解.小問1詳解】若，由正弦定理得，，∵，∴，∵，∴.【小問2詳解】若選①，由得，則，又余弦定理得，即，所以，聯(lián)立解得.若選②，由的面積為得，即，又余弦定理得，即，所以，聯(lián)立解得.若選③，設(shè)邊BC上的中點(diǎn)為D，則，，則，即，又余弦定理得，即，所以，聯(lián)立解得．20.（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用三角恒等變換化簡解析式，由周期公式即可求得最小正周期；（2）由正弦定理的單調(diào)性即可求解；（3）由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得值域.【詳解】（1），所以函數(shù)最小正周期；（2）令，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（3）由得，所以，即，故當(dāng)時(shí)，求的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】對于三角函數(shù)，求最小正周期和最值時(shí)可先把所給三角函數(shù)式化為或的形式，則最小正周期為，最大值為，最小值為；奇偶性的判斷關(guān)鍵是解析式是否為或的形式．21.1）；（2）；【解析】（1）由題意，，中，由余弦定理可得甲乙兩人之間的距離；（2）中，由正弦定理可得，可將甲乙之間的距離表示為的函數(shù)，并求甲乙之間的最小距離.【詳解】（1）依題意得在△中，，所以在△中，由余弦定理得=，所以答：甲、乙兩人之間的距離為.（2）由題意得在中，在△中，由正弦定理得即所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值答：甲、乙之間的最小距離為.22.（1）（2）（3），.【解析】【分析】（1）由函數(shù)的周期公式可求出的值，求出函數(shù)的對稱軸方程，結(jié)合直線為一條對稱軸結(jié)合的范圍可得出的值，于此得出函數(shù)的解析式；（2）由得出，再由結(jié)合銳角三角函數(shù)得出，利用正弦定理以及內(nèi)角和定理得出，由條件得出，于此可計(jì)算出的取值范圍；（3）令，得，換元得出，得出方程，設(shè)該方程的兩根為、，由韋達(dá)定理得出，分（i）、；（ii），；（iii），三種情況討論，計(jì)算出關(guān)于的方程在一個(gè)周期區(qū)間上的實(shí)根個(gè)數(shù)，結(jié)合已知條件得出與的值.【小問1詳解】由三角函數(shù)的周期公式可得，，令，得，由于直線為函數(shù)的一條對稱軸，所以，，得，由于，，則，因此，；【小問2詳解】，由三角形的內(nèi)角和定理得，.，且，，.，由，得，由銳角三角函數(shù)的定義得，，由正弦定理得，，，，且，，，.，因此，的取值范圍是；【小問3詳解】將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)，再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的倍后所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為，，令，可得，令，得，，則關(guān)于二次方程必有兩不等實(shí)根、，則，則、異號(hào)，（i）當(dāng)且時(shí)，則方程和在區(qū)間均有偶數(shù)個(gè)根，從而方程在也有偶數(shù)個(gè)根，不合乎題意；（ii）當(dāng)，則，當(dāng)時(shí)，只有一根，有兩根，所以，關(guān)于的方程在上有三個(gè)根，由于，則方程在上有個(gè)根，由于方程在區(qū)間上只有一個(gè)根，方程在區(qū)間上無實(shí)數(shù)解，因此，關(guān)于的方程在區(qū)間上有個(gè)根，合乎題意；此時(shí)，，得，（iii）