2024年重慶市高一數(shù)學(xué)3月份檢測(cè)聯(lián)考試卷附答案解析

2024年重慶市高一數(shù)學(xué)3月份檢測(cè)聯(lián)考試卷全卷滿(mǎn)分150分．考試時(shí)間120分鐘．2024.03一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．2．已知兩點(diǎn)，則與向量同向的單位向量是（

）A． B． C． D．3．如圖，在正方形ABCD中，下列命題中正確的是（

）A． B． C． D．4．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．5．在邊長(zhǎng)為1的菱形中，，若點(diǎn)，滿(mǎn)足，，其中且，則的最大值為（

）A． B．3 C． D．6．在中，，點(diǎn)D在上，，，則（）A．8 B．10 C．12 D．16.7．在坐標(biāo)平面內(nèi)，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn)．點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，在坐標(biāo)平面內(nèi)跳躍行進(jìn)，每次跳躍的長(zhǎng)度都是且落在整點(diǎn)處．則點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)所跳躍次數(shù)的最小值是（

）A．B．C． D．8．已知平面內(nèi)一正三角形的外接圓半徑為4，在三角形中心為圓心為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)，則最大值為（

）A．13 B． C．5 D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)：的點(diǎn)為，則下列結(jié)論中正確的為（

）A．若，則 B．若在直線上，則C．若為純虛數(shù)，則 D．若在第四象限，則10．已知復(fù)數(shù)，，則（

）A．是純虛數(shù) B．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C． D．11．已知中，在上，為的角平分線，為中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．的面積為C．D．在的外接圓上，則的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知向量，則與同向的單位向量為.13．在中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，滿(mǎn)足，則．14．在中，角的對(duì)邊分別為，已知，，，則的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．在銳角中，已知.(1)求；(2)求的取值范圍.16．在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，i是虛數(shù)單位.(1)，計(jì)算與；(2)設(shè)，求證：，并指出向量滿(mǎn)足什么條件時(shí)該不等式取等號(hào).17．設(shè)的外接圓半徑是均為銳角，且.(1)證明：不是銳角三角形；(2)證明：在的外接圓上存在唯一的一點(diǎn)，滿(mǎn)足對(duì)平面上任意一點(diǎn)，有.18．記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)若，求的取值范圍；(2)若，點(diǎn)分別在等邊的邊上（不含端點(diǎn)）.若面積的最大值為，求.19．復(fù)數(shù)是由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀(jì)首次引入，經(jīng)過(guò)達(dá)朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數(shù)學(xué)家所接受.形如的數(shù)稱(chēng)為復(fù)數(shù)，其中稱(chēng)為實(shí)部，稱(chēng)為虛部，i稱(chēng)為虛數(shù)單位，.當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù)；當(dāng)且時(shí)，為純虛數(shù).其中，叫做復(fù)數(shù)的模.設(shè)，，，，，，如圖，點(diǎn)，復(fù)數(shù)可用點(diǎn)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸.顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).按照這種表示方法，每一個(gè)復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)，反過(guò)來(lái)，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng).一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，即，其中為復(fù)數(shù)的模，叫做復(fù)數(shù)的輻角，我們規(guī)定范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值，記作.叫做復(fù)數(shù)的三角形式.

(1)設(shè)復(fù)數(shù)，，求、的三角形式；(2)設(shè)復(fù)數(shù)，，其中，求；(3)在中，已知、、為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)應(yīng)邊.借助平面直角坐標(biāo)系及閱讀材料中所給復(fù)數(shù)相關(guān)內(nèi)容，證明：①；②，，.注意：使用復(fù)數(shù)以外的方法證明不給分.1．D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則即可求解.【詳解】由已知得，則復(fù)數(shù)的虛部為，故選：D.2．C【分析】由平面向量的坐標(biāo)表示與單位向量的概念求解，【詳解】由得，則，與向量同向的單位向量為，故選：C3．D【分析】根據(jù)正方形，利用平面向量的概念及幾何意義求解.【詳解】由圖可知：A.，故錯(cuò)誤；B.，故錯(cuò)誤；C.不共線，故錯(cuò)誤；D.，故正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的概念及幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.4．D【分析】直接將解出來(lái)再化解即可.【詳解】.故選：D5．C【分析】由可得，由可得，又，所以化簡(jiǎn)，并根據(jù)得到，利用基本不等式得出結(jié)論.【詳解】由題意可得由可得，由可得，又，所以則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)故選：C.【點(diǎn)睛】如何選擇“合適”的基底：題目中是否有兩個(gè)向量模長(zhǎng)已知且數(shù)量積可求，常見(jiàn)的可以邊所成向量作基底的圖形有：等邊三角形，已知兩邊的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等.6．C【分析】用表示出，從而根據(jù)數(shù)量積的定義及題中條件和可求出的值.【詳解】在中，因?yàn)?，所以，所?故選：C．7．B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量分析運(yùn)算，列出方程求解，即可得到結(jié)果.【詳解】每次跳躍的路徑對(duì)應(yīng)的向量為，因?yàn)榍筇S次數(shù)的最小值，則只取，設(shè)對(duì)應(yīng)的跳躍次數(shù)分別為，其中，可得則，兩式相加可得，因?yàn)?，則或，當(dāng)時(shí)，則次數(shù)為；當(dāng)，則次數(shù)為；綜上所述：次數(shù)最小值為10.故選：B.8．A【分析】建立直角坐標(biāo)系，可以表示出的坐標(biāo)，再設(shè)點(diǎn)，即可用與表示出，即可求出答案.【詳解】建立如圖所示坐標(biāo)系，則點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，且，則

故當(dāng)時(shí)，有最大值為13故選：A.9．CD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念直接判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，若，則，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)樵谥本€上，所以，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若為純虛數(shù)，則，即，此時(shí)虛部不為0，故C正確；對(duì)于D，若在第四象限，則，解得，故D正確.故選：CD10．AD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念可判斷；對(duì)于B選項(xiàng)結(jié)合復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)結(jié)合復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念可判斷A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，則，故C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，則，故D正確.故選：AD.11．ABD【分析】利用余弦定理計(jì)算，利用余弦定理計(jì)算，判斷A；根據(jù)面積公式計(jì)算三角形的面積，判斷B；利用正弦定理計(jì)算，判斷C；設(shè)，用表示出，，得出關(guān)于的三角函數(shù)，從而得到的最大值，判斷D.【詳解】在三角形中，由余弦定理，，故，故正確；在中，由余弦定理得：，，故正確；由余弦定理可知：，，平分，，，在三角形中，由正弦定理可得：，故，故不正確；，，，，，為的外接圓的直徑，故的外接圓的半徑為1，顯然當(dāng)取得最大值時(shí)，在優(yōu)弧上．故，設(shè)，則，，，，，，其中，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故正確．故選：．12．【分析】先根據(jù)題意設(shè)出與同向的單位向量的坐標(biāo)，再根據(jù)單位向量的定義列出關(guān)于的方程，解出即可得到答案【詳解】設(shè)與同向的單位向量又，又為單位向量，，即，解得故答案為：13．1【分析】解法1，先用正弦定理邊角互化，再用和差和誘導(dǎo)公式求解即可；解法2：先用射影定理化簡(jiǎn)，用正弦定理邊角互化即可求解.【詳解】解法1：，而，∴．解法2：由射影定理，，又由題意，，∴，故，∴，∵，∴，故．故答案為：114．##【分析】由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得，得角為鈍角，角為銳角，所以要取最大值，只要取最小值，由已知條件可得，由可得的范圍，結(jié)合余弦定理可得的范圍，從而由余弦定理可求得答案【詳解】在中，因?yàn)椋?，所以，所以所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以由正弦定理得，所以，所以角為鈍角，角為銳角，所以要取最大值，則取最大值，取最小值，從而取最小值．又，由，得，，由取最大值時(shí)，，此時(shí)由余弦定理可得，從而求得，即最大值為．故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再借助三角函數(shù)和差角公式化簡(jiǎn)可解；（2）利用正弦定理邊化角，再借助輔助角公式化簡(jiǎn)求范圍.【詳解】（1）由題意，根據(jù)正弦定理可得，則，展開(kāi)可得，.（2）由正弦定理，則，其中，是銳角三角形，，.，，顯然，當(dāng)時(shí)，，.16．(1)，；(2)證明見(jiàn)解析，【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得，再由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，即可計(jì)算出；（2）利用復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)律分別求出的平方，利用作差法可得，此時(shí)需滿(mǎn)足.【詳解】（1）根據(jù)可得，；且，所以.（2）因?yàn)椋?，可得；因?yàn)椋?，因此，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)向量滿(mǎn)足.17．(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由正弦定理，根據(jù)，得到，進(jìn)而得到，由的單調(diào)性證明；（2）由，得到，即，設(shè)外接圓圓心為，再利用向量運(yùn)算證明.【詳解】（1）證明：記在中，所對(duì)的邊分別長(zhǎng)度為.根據(jù)正弦定理，有，所以.根據(jù)，有，得到，因?yàn)槎际卿J角，根據(jù)的(復(fù)合函數(shù))單調(diào)性得到，所以，所以，所以不是銳角三角形；（2）因?yàn)椋?，所以，所以，得到，設(shè)外接圓圓心為，則有，得到對(duì)平面上所有成立，必須有，根據(jù)是直角和平面幾何知識(shí),得到在外接圓上，并且根據(jù)平面向量基本定理得到唯一.18．(1)(2)【分析】（1）借助正弦定理及三角恒等變換公式可得，借助余弦定理與正弦定理可將表示為正弦型函數(shù)，借助正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（2）借助面積公式，可得的最大值，設(shè)，結(jié)合正弦定理可將表示成正弦型函數(shù)，借助正弦型函數(shù)的性質(zhì)可得取得最大值時(shí)的.【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，在中，有，，，；?）由（1）可知，由于面積的最大值為，則，得，所以的最大值為，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，在中，由正弦定理得所以，得，在中，由正弦定理得，所以，得，所以，其中，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，所以，所以，即，所以，解得或（舍去）.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問(wèn)關(guān)鍵點(diǎn)在于借助正弦定理，將邊轉(zhuǎn)化為角后，將借助角表示出來(lái)，從而化為正弦型函數(shù)，借助正弦函數(shù)的性質(zhì)得到其取最值時(shí)對(duì)應(yīng)的.19．(1)，(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）直接利用復(fù)數(shù)的乘除法計(jì)算即可；（2）設(shè)，的模為，的模為，，通過(guò)題意可得，發(fā)現(xiàn)，從而無(wú)意義，再根據(jù)角的范圍求解即可；（3）建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)，利用復(fù)數(shù)的向量表示，以及復(fù)數(shù)的定義列式計(jì)算即可.【詳解】（1）,；（2）設(shè)，的模為，的模為，，對(duì)于有，，對(duì)于有，，所以，所以，，所以無(wú)意義，即的角的終邊在軸上，又，所以，即（3）如圖建立平面直角坐標(biāo)系，在復(fù)