余弦定理教學設計

教材分析本節(jié)內容是必修5（人教A版）第一章第一節(jié)第二課時的內容，在三角形正弦、余弦、正弦定理等三角知識之后，這一節(jié)內容，是對余弦知識的進一步擴展，同時也是三角知識的應用，是對初中解直角三角形內容的直接延伸，是解決實際生活中三角形問題的有力工具之一，是在學生已經學習過三角形的相關概念、以及三角知識等基礎上，對三角知識的進一步深化，是求解任意三角形的進一步擴充，對進一步學習任意三角形的求解、培養(yǎng)學生應用意識等能力十分重要。學情分析學生學習本節(jié)內容之前，已經掌握如何解直角三角形，并學習了平面幾何、三角函數(shù)、三角恒等變換、向量等知識，有一定的觀察和分析能力。并且在學習了余弦定理之后，對三角形邊角有進一步認識，學生已有一定的學習基礎和學習興趣。但高一學生還缺乏從現(xiàn)實生活中發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識，以及利用數(shù)學解決實際生活問題的能力，加之三角函數(shù)學習時間較長，與向量知識銜接不緊密。因此，在此過程中應循循善誘，引導學生發(fā)現(xiàn)與思考。教學目標知識與能力：掌握余弦定理的內容以及余弦定理的證明，能熟練運用余弦定理解決三角形問題。過程與方法：學生從已有的知識出發(fā),通過探究在任意三角形中兩邊與其夾角與第三邊的關系，得到余弦定理。情感態(tài)度與價值觀：通過對三角形邊角關系的探究學習，經歷數(shù)學探究活動的過程，培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新意識，利用余弦定理解決生活中的三角形問題，體會數(shù)學知識在實際生活中的應用。教學重難點重點：余弦定理的內容與證明；余弦定理的簡單應用難點：余弦定理的猜想提出過程；余弦定理的證明教學過程復習引入：回顧正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。即asinA正弦定理常用于解決什么樣的三角形問題？生：（1）已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角（AAS,ASA）（2）已知兩邊和一邊所對的角，可以求出另外兩角和另外一邊（SSA）（設計意圖：帶學生回顧正弦定理的內容以及應用，為余弦定理的講解做準備）提出問題：已知三角形兩邊及其夾角，如何求第三邊？（SAS）即在

△ABC中，已知邊a,b，夾角C，求邊c。生：思考用正弦定理或其他已學知識解決問題。師：這類問題用正弦定理是可以解決的，不過解決步驟有點麻煩，今天我們就來學習一個可以迅速解決這類問題的定理。（設計意圖：引出余弦定理，提高學生學習本節(jié)內容的興趣）解決問題（教師提示輔助線，剩余解題過程學生可獨立完成）：類比任意角三角形的正弦定理的證明，將求任意三角形邊角關系轉化到直角三角形中。解：過點A作AD⊥BC交BC于點D，∴AD=bsinA,CD=bcosC∴BD=BC-BD=a-bcosC在Rt△ABC中，由勾股定理知c2=(bsinC)2+(a-bcosC)2去括號化簡可以得到c2=a2+b2-2abcosC（設計意圖：培養(yǎng)學生從進行類比的思想，體會數(shù)學知識之間的銜接，體會幾何證明過程，且這種證明方法學生容易接受）師：這里我們得到了一個很有意思的等式：c2=a2+b2-2abcosC，這就是我們今天要學習的余弦定理，三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方的和減去這兩邊與他們的夾角的余弦的積的兩倍。即c2=a2+b2-2abcosC，a2=c2+b2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB（設計意圖：介紹規(guī)范的定理表達，對稱的公式方便學生的記憶和理解以及觀察余弦定理的規(guī)律）例題：已知在

△ABC中，a=5,b=8，cosC=31010，求邊生：解：c2=a2+b2-2abcosC=25+64-2*5*8*31010（設計意圖：檢測學生對定理的簡單應用，加深學生對定理的理解和記憶）課堂小結師：這節(jié)課我們學習了什么？生：余弦定理師：余弦定理的內容?生：三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方的和減去這兩邊與他們的夾角的余弦的積的兩倍。（設計意圖：鞏固學生對余弦定理的理解和記憶）板書設計余弦定理正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。即asinA常用于AAS,ASA,SSA在

△ABC中，已知邊a,b，夾角C，如何求邊c？解：過點A作AD⊥BC交BC于點D，∴AD=bsinA,CD=bcosC∴BD=BC-BD=a-bcosC在Rt△ABC中，由勾股定理知c2=(bsinC)2+(a-bcosC)2c2=a2+b2-2abcosC余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方的和減去這兩邊與他們的夾角的余弦的積的兩倍。即c2=a2+b2-2abcosC，a2=c2+b2-2bcco