中心極限定理教學(xué)設(shè)計(jì)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)課程名稱經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)C課時(shí)50+50=100分鐘任課教師李飛專業(yè)與班級(jí)人力資源管理B1601-02市場(chǎng)營(yíng)銷B1601課型新授課課題中心極限定理學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)與技能掌握棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理和列維-林德伯格中心極限定理（獨(dú)立同分布中心極限定理）的結(jié)論和應(yīng)用條件，并會(huì)用相關(guān)定理近似計(jì)算有關(guān)隨機(jī)事件的概率；過(guò)程與方法1.中心極限定理產(chǎn)生的歷史背景。2。中心極限定理的提法。3。林德伯格-——--勒維中心極限定理4。隸莫弗——拉普拉斯定理5。林德貝格中心極限定理6。李雅普諾夫中心極限定理7。中心極限定理在管理中的應(yīng)用情感態(tài)度與價(jià)值觀.培養(yǎng)學(xué)生能夠自覺(jué)地用極限定理的視角觀察生活，將統(tǒng)計(jì)方法用于分析和探討生活中的實(shí)際問(wèn)題，提高認(rèn)知能力和水平。.中心極限定理名稱的得來(lái)是由于隨機(jī)變量和的分布收斂于正態(tài)分布的極限定理的研究在長(zhǎng)達(dá)兩個(gè)世紀(jì)的時(shí)間內(nèi)成了概率論研究的中心課題，因此也得到了中心極限定理的名稱.

3。讓學(xué)生懂得，量變與質(zhì)變的辯證關(guān)系.。教學(xué)分析教學(xué)內(nèi)容.中心極限定理產(chǎn)生的歷史背景..中心極限定理的提法。.林德伯格 --勒維中心極限定理。隸莫弗——拉普拉斯定理。林德貝格中心極限定理.李雅普諾夫中心極限定理.中心極限定理在管理中的應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)1。隸莫弗--拉普拉斯定理；2。李雅普諾夫中心極限定理；教學(xué)難點(diǎn)1。隸莫弗--拉普拉斯定理；2。李雅普諾夫中心極限定理；

教學(xué)方法與策略課堂教學(xué)設(shè)計(jì)思路本課從隨機(jī)變量序列的各種收斂與它們間的關(guān)系談起，通過(guò)對(duì)概率論的經(jīng)典定理一中心極限定理在獨(dú)立同分布和不同分布兩種情況下的結(jié)論作了比較系統(tǒng)的闡述，揭示了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)一平均結(jié)果的穩(wěn)定性.經(jīng)過(guò)對(duì)中心極限定理的討論，給出了獨(dú)立隨機(jī)變量之和的分布可以用正態(tài)分布來(lái)表示的理論依據(jù).同樣中心極限定理的內(nèi)容也從獨(dú)立同分布與獨(dú)立不同分布兩個(gè)角度來(lái)進(jìn)行討論；最后給出了一些中心極限定理在數(shù)理統(tǒng)計(jì)、管理決策、近似計(jì)算、以及保險(xiǎn)業(yè)等方面的應(yīng)用，來(lái)進(jìn)一步地闡明了中心極限定理在各分支學(xué)科中的重要作用和應(yīng)用價(jià)值.板書設(shè)計(jì)教學(xué)進(jìn)程教學(xué)意圖 教學(xué)內(nèi)容 教學(xué)環(huán)節(jié)1.極大似然估計(jì)的原理與思想（10分鐘）

時(shí)間：10分鐘中心極限定理的名稱最早是由仆里耶（1920年）提出來(lái)的，中心極限定理的一般形式最早是由切比雪夫（1821年一1894年）提出來(lái)的下面我們介紹四個(gè)主要定理：1）林德伯格一勒維定理2）棣莫弗一拉普拉斯定理2）林德伯格定理3）時(shí)間：10分鐘中心極限定理的名稱最早是由仆里耶（1920年）提出來(lái)的，中心極限定理的一般形式最早是由切比雪夫（1821年一1894年）提出來(lái)的下面我們介紹四個(gè)主要定理：1）林德伯格一勒維定理2）棣莫弗一拉普拉斯定理2）林德伯格定理3）中心極限定理的提法有重要的地位，同時(shí)極限定理的研究引起了現(xiàn)代概律論的發(fā)展，并且在統(tǒng)計(jì)分析和近似計(jì)算等方面具有一定的應(yīng)用，所以中心極限定理的研究具有一定的理論和實(shí)際意義.直觀上，如果一隨機(jī)變量決定于大量（乃至無(wú)窮多個(gè)）隨機(jī).因素的總合，其中每個(gè)隨機(jī)因素的單獨(dú)作用微不足道，而且各因素的作用相對(duì)均勻，那么它就服從（或近似地服從）正態(tài)分布，下面我們將按嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式來(lái)表述這一直觀.在許多情形下，一隨機(jī)變量X可以表示為或近似地表示為大量獨(dú)立隨機(jī)變量之和，X=/％+?七 （a）這里，每個(gè)自直觀上表示一種隨機(jī)因素的效應(yīng)，假如i式（a）包含了決定X的充分多的隨機(jī)因素的效應(yīng)（即n充分大），則25的分布就近似于X的分布.中心極限定ii=1理就是要說(shuō)明，在什么條件下大量獨(dú)立隨機(jī)變量之和近似地服從正態(tài)分布，即，在什么條件下，當(dāng)n-8時(shí)，獨(dú)立隨機(jī)變量之和的極限分布是正態(tài)分布的.李雅普諾夫定理.其中林德伯格定理是最一般的，其它情形可以看作它的推論.

累計(jì)10分鐘中心極限定理有多種不同的形式，它們的結(jié)論相同，區(qū)別僅在于加在各被加項(xiàng)己,己，…上的條件不1 2同.獨(dú)立同分布隨機(jī)變量列的中心極限定理，是中心極限定理最簡(jiǎn)單又最常用（特別在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中）的一種形式，通常稱做林德伯格 勒維定理.歷史上最早的中心極限定理一棣莫弗一拉普拉斯（積分）定理是它的特殊情形.設(shè)m（k=1,2,..）的方差D&，大于0，令k時(shí)間：5分鐘用足球比賽事件引入達(dá)到以下目的：①吸引學(xué)生

引入中心極限定理的基本思想a-E0,b2=Dg,B2=￡b2k k kn kk-1(1)我們說(shuō)，隨機(jī)變數(shù)列也｝服從中心極限定理，如果k關(guān)于XGR1均勻的有注意力，使學(xué)生盡快進(jìn)入上課狀態(tài)；②幫助學(xué)生深入淺出的理解極大似然估計(jì)的基本思想。limP1-!-￡(己—a)<X>=1 fXe-tdt.n-s〔B一kk 1而口'nk=1 J(2)⑵表示：隨機(jī)變量數(shù)—￡&—a)的分布函B kknk-1數(shù)關(guān)于X均勻的趨于正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù).累計(jì)20分鐘教學(xué)意圖教學(xué)內(nèi)容教學(xué)環(huán)節(jié)獨(dú)立同分布的兩個(gè)定理：時(shí)間20分鐘林德伯格 勒維中心極限定理林德伯格 勒維中心極限定理設(shè)X,X，…,X，…相互獨(dú)立，服從同一分布，具有1 ? ”j_ n n提問(wèn)：如何度數(shù)學(xué)期望和方差：E(x)=^,Var(X)=02>0.記i i量樣本值出現(xiàn)的可能性？

林德伯格一-勒維中心X+X+...+X—n|lxY*=—1 2 ———n n O冊(cè)則對(duì)任意實(shí)數(shù)y,有1f也limp(Y*Vy)=0(y)= Jye2dt.n.+<? n J2?！獁證明為證(1)式，只須證*}的分布函數(shù)列n若收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.又由定理4.3.4［3］,只須證Y*}n的特征函數(shù)列收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征函數(shù).為此設(shè)X—從的特征函數(shù)為①(t)，則Y*的特征函數(shù)為n n,、「，t、］n中(tY「 L0Jn」又因?yàn)镋(X—M=0,Var(X—R)=o2，所以有n n6(0)=0,①〃(0)=—O2于是特征函數(shù)①(t)有展開式一 .一 ..一12叭t)=叭0)+6(0)t+①(0)一+O(12)2I1 +M、=1—2O212+O(12)

從而有. .「 12 121n t2lim①(t)=lim1--+o(—)=e-2,nf+8Yn* nf+8_ 2n n2_t2而e-2正是N(0,1)分布的特征函數(shù)，定理得證.例1某汽車銷售點(diǎn)每天出售的汽車輛數(shù)服從參數(shù)為九二2的泊松分布.若一年365天都經(jīng)營(yíng)汽車銷售，且每天出售的汽車數(shù)是相互獨(dú)立的，求一年中售出700輛以上汽車的概率.解：設(shè)％某汽車銷售點(diǎn)每天出售的汽車輛數(shù)，則Y=x+x+-?-+x，為一年的總銷量.由1 2 365E(x)=Var(x)=2 , 知i iE(Y)=Var(Y)=365x2=730.利用林德貝格 勒維中心極限定理可得，700—730P(Y>700)=1-P(Y<700)工1-①(一)=1—(V730這表明一年中售出700輛以上汽車的概率為0.8665D(-111)=0.86

累計(jì)40分鐘隸莫弗——拉普拉斯定理（10分鐘）教學(xué)意圖教學(xué)內(nèi)容教學(xué)環(huán)節(jié)在n重貝努里試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)時(shí)間10分鐘的概率為p（0〈p〈1）,從為n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的n次數(shù)，且記vN-npY*=7nn npqq且對(duì)任意實(shí)數(shù)y，有主要依據(jù)上邊的例題，歸「 , 、?、 1f?limp(Y*<y)=0(y)= Jye2dt.n—+<? n J2兀-w納總結(jié)離散型總體下似然函數(shù)的構(gòu)此定理由定理1馬上就得出，也就是說(shuō)定理2是定建。理1的推論.例2某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明，在索賠戶中隸莫弗--拉普拉斯定理被盜索賠戶占20%,以X表示在隨意抽查的100個(gè)索賠戶中因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶數(shù).(1)寫出X的分布列；(2)求被盜戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值.解：(1)X服從n=100,P=0.2的二項(xiàng)分布b(100,2),即一.(n'一一一一一一p(x=k)= 0.2k0.8100-k,k=1,2,…,nIk)(2)利用隸莫弗 拉普拉斯中心極限定理，有p(14<x<30)=p(13.5<x<30.5)氏①(25—100義0J100義0.2義0二①(2.625)—①(—1.625)=①(2.625)-1+①(1.625這表明被盜戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值為0.9437..2、不/13.5-=)-①(-=.8 J100;j)=0.99565-100*0.2)<0.2x0.81+0.948=0.9437累計(jì)50分鐘課間休息10分鐘3。極大似然估計(jì)法應(yīng)用（15分鐘）教學(xué)意圖教學(xué)內(nèi)容教學(xué)環(huán)節(jié)對(duì)于獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列己,己，…只要它們1 2的方差有窮，中心極限定理就成立.而在實(shí)際問(wèn)題中說(shuō)諸自具有獨(dú)立性是常見的，但是很難說(shuō)諸己是“同分布”i i時(shí)間5分鐘的隨機(jī)變量，正如前面提到的測(cè)量誤差丫的產(chǎn)生是由大n量“微小的”相互獨(dú)立的隨機(jī)因素疊加而成的，即Y=工己則己間具有獨(dú)立性，但不一定同分布，所以n i ii=1林德貝格中我們有必要討論獨(dú)立不同分布隨機(jī)變量和的極限分布問(wèn)題,目的是給出極限分布為正態(tài)分布的條件.林德伯格（Lideberg）于1922年找到了獨(dú)立隨機(jī)變量服從中心極限定理的最一般的條件,通常稱做林德伯格條件.通過(guò)指數(shù)分布（連續(xù)型）參數(shù)的極大似然估計(jì)，進(jìn)

心極限定理2.3.1林德貝格中心極限定理設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列｛x｝滿足林德貝格條件，n則對(duì)任意的X，有l(wèi)impJX￡(x-^)<x\= JXe一tdt.n-s ［B… ii J 也?！瓰樽C此先證下列三個(gè)不等式：對(duì)任意實(shí)數(shù)〃，有eia-1<a ；(4)eia-1-ia<竺2!⑸eia-1-ia+竺<城2 3!實(shí)際上，對(duì)a=0上三式明顯.設(shè)a>0，則eia一1=|Jaeixdx<a;eia-1-ia=|Ja(eix-1)dx<|Jaxdx=a!;一步鞏固極大似然估計(jì)的方法與步驟，同時(shí)體現(xiàn)極大似然估計(jì)法在工作生活中有著很廣泛、很重要的應(yīng)用。

eia—1—ia+ —Ja(eix—1—ix)dx<Jaes：ix-1-ixdx<Ja2dx=a!利用eia=cosa+isina,可見(4)(5)(6)方都是a的偶函數(shù)，故他們對(duì)a<0也成立.

累計(jì)15分鐘李雅普諾夫中心極限定理李雅普諾夫中心極限定理如對(duì)獨(dú)立隨機(jī)變數(shù)列年｝，存在常數(shù)O>0，使k當(dāng)nT9時(shí)有1V, 2+0^E上+aT0 (25)B2+o k knk=1則(2)對(duì)x均勻的成立.證.只要驗(yàn)證林德貝格條件滿足，由(25)—ZJ (x一a)2dF(x)B2 X-aI>tB k knk=1 kn< Z ZJ x-a2+odF(x)B2(tB)。 lx-Jtb k kn k=1 kn1 1V 2+o< 乙E&+a T0,(nT9)ToB2+o k knk=1例3一份考卷由99個(gè)題目組成并按由易到難順序排列.某學(xué)生答對(duì)第1題的概率為0.99；答對(duì)第2題的概率為0.98；一般地，他答對(duì)第i題的概率為1-i八00,i=1,2,???.加入該學(xué)生回答各題目是相互獨(dú)時(shí)間15分鐘立的，并且要正確回答其中60個(gè)題目以上(包括60個(gè))才算通過(guò)考試.試計(jì)算該學(xué)生通過(guò)考試的可能性多大？解設(shè)［1,若學(xué)生答對(duì)第題；X=<i0若學(xué)生答錯(cuò)第題.于是X相互獨(dú)立，且服從不同的二點(diǎn)分布：ip(X=1)=p=1-i..100,p(X=0)=1-p=i,100,i i i ii=1,2口99而我們要求的是p(藝X>60).

i

i=1為使用中心極限定理，我們可以設(shè)想從X100開始的隨機(jī)變量都與X99同分布.且相互獨(dú)立.下面我們用3=1來(lái)驗(yàn)證隨機(jī)變量序列｛x｝滿足李雅普諾夫條nB=：'￡varB=：'￡var(X)=n ii=1p(1-p)f+8,(nf+s)ii藝中心極限定理.又因?yàn)樗栽搶W(xué)生通過(guò)考試的可能性為X—49.560—49.5<16.665-1-①(2.5735)=0.005.由此看出：此學(xué)生通過(guò)考試的可能性很小，大約只有千分之五.

累計(jì)30分鐘中心極限定理在商業(yè)管理中的應(yīng)用(20分鐘)教學(xué)意圖教學(xué)環(huán)節(jié)水房擁擠問(wèn)題假設(shè)某高校有學(xué)生5000人，只有一個(gè)開水房，由于每天傍晚打開水的人較多，經(jīng)常出現(xiàn)同學(xué)排長(zhǎng)隊(duì)的現(xiàn)象，為此校學(xué)生會(huì)特向?qū)W校后勤集團(tuán)公司提議增設(shè)水龍頭.假設(shè)后勤集團(tuán)公司經(jīng)過(guò)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每個(gè)學(xué)生在傍晚一般有1%的時(shí)間要占用一個(gè)水龍頭，現(xiàn)有水龍頭數(shù)量為45個(gè)，現(xiàn)在總務(wù)處遇到的問(wèn)題是：(1)未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少？(2)需至少要裝多少個(gè)水龍頭，才能以95%以上的概率保證不擁擠？解：(1)設(shè)同一時(shí)刻,5000個(gè)學(xué)生中占用水龍頭的人數(shù)為X，則X?B(5000,0.01)擁擠的概率是p(1>45)=1-p(0<^<45)=1—XCk義0.01k義0.45000k=0時(shí)間10分鐘提問(wèn)，請(qǐng)學(xué)生思考.995000-k理np直接計(jì)算相當(dāng)麻煩，我們利用隸莫佛一拉普拉斯定0.71)-①J7.1.已知n=5000,p=0. 01)=50,%tnpq=7.04.,-①q=0.10-50'17.04J99,=①(一故P(0<^<45)六①145-50'、7.04J從而p6>45)=1-0.2389=0.7611.怪不得同學(xué)們有不少的抱怨.擁擠的概率竟達(dá)到76.11%.①①①(2)欲求1P(0<己<Z即'm-50)①17.04J由[]=ML7.04)即101>0.；7.04)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)。,使得45)>0.(10-50、17.04,<-7,09)95分布表，，)5)>0,95x0得7.04)=0.2389.即 m>61.6故需要裝62個(gè)水龍頭.問(wèn)題的變形：(3)需至少安裝多少個(gè)水龍頭，才能以99%以上的概率保證不擁擠？解：欲求m,使得P(0<^<45)>0.99即"m—501小(0—50Vnnn①一①>0,9917.04) 17.04)由 于①10一0401=①(一7.09%0,76即①(mz^°1>0,9917.04)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，得m一^>2.3257.04即 m>66.4故需要裝67個(gè)水龍頭.(4)若條件中已有水龍頭數(shù)量改為55個(gè)，其余的條件不變，1,2兩問(wèn)題結(jié)果如何？

解 ：( 1)p&>55)=1-①(57-|2)=1-①(0.71)=0.2389.(2)同上.(5)若條件中的每個(gè)學(xué)生占用由1%提高到1.5%,其余的條件不變，則(1),(2)兩問(wèn)題結(jié)果如何？解：(1)設(shè)同一時(shí)刻，5000個(gè)學(xué)生中占用水龍頭的人數(shù)為X，則X?B(5000,0.015),已知n=5000,p=0.015,q=0.985,np=75,1VMpq=8.60.擁 擠 的 概 率 是P(m>45)=1-①145-75]=1-①(-3.49葭1.18.60)擁擠的概率竟達(dá)到100%.(2)欲求m,使得P(0<^<45)>0.95即①(m-75[-①(O-J5]>0.9518.60) 18.60)［日期］

累計(jì)40分鐘盈利問(wèn)題盈利問(wèn)題［5］：假設(shè)一家保險(xiǎn)公司有10000個(gè)人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006,死亡時(shí)，家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元，問(wèn)(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率有多少？(2)保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于40000元，60000元，80000元的概率各為多少？解：設(shè)X為一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則X~B(10000,1.06)，即P［X=k］= (0.006/(0.^^)10000^k=由德莫佛一拉普拉斯中心極限定理(1)網(wǎng)保險(xiǎn)金虧本卜產(chǎn)3二1刈二1-巴，時(shí)間10分鐘04,--J0000

r ^-10000x0.06 120-10C=1—F《L >L00x0,06]累計(jì)50分鐘LV10000xQ.06xQ.994Ji。。。。-1—①(7.77)-0.7809(2)設(shè)A,A,A分別表示一年的利潤(rùn)不少于400001 2 3元，60000元,80000元的事件，則p(A)=p{X<80}i—pJX