第十四講二次函數(shù)的實際應(yīng)用講義

第三章第三章函數(shù)第十四講二次函數(shù)的實際應(yīng)用滿分講義典例解析呈現(xiàn)命題點命題點1應(yīng)用二次函數(shù)解決拋物線實際問題類型一隧道和拱橋問題（2024上·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）中條山隧道位于山西省運城市鹽湖區(qū)，這一隧道的建設(shè)開創(chuàng)了全省普通公路特長隧道工程建設(shè)的先河，也是全國單洞里程最長的隧道工程．如圖1是中條山隧道，其截面近似為拋物線型，如圖2為截面示意圖，線段表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．經(jīng)測量，拋物線的頂點P到的距離為，則拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得出，，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，把代入得，再把代入求出a的值，即可得出拋物線表達(dá)式．本題主要考查了求拋物線的表達(dá)式，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式的方法和步驟，以及二次函數(shù)的頂點式．【詳解】解：∵，拋物線的頂點P到的距離為，∴，，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，把代入得：，把代入得：，解得：，∴拋物線表達(dá)式為，故選：D．（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時，水面寬6米，水面下降米，水面寬8米．【答案】/【分析】根據(jù)已知得出直角坐標(biāo)系，通過代入A點坐標(biāo)（3，0），求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)把x=4代入拋物線解析式得出下降高度，即可得出答案．【詳解】解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸x通過AB，縱軸y通過AB中點O且通過C點，則通過畫圖可得知O為原點，由題意可得：AO=OB=3米，C坐標(biāo)為（0，2），通過以上條件可設(shè)頂點式y(tǒng)=ax2+2，把點A點坐標(biāo)（3，0）代入得，∴，∴，∴拋物線解析式為：；當(dāng)水面下降，水面寬為8米時，有把代入解析式，得；∴水面下降米；故答案為：；【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知建立坐標(biāo)系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計為一個拋物線型門，并要求所設(shè)計的拱門的跨度與拱高之積為，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計部門按要求給出了兩個設(shè)計方案．現(xiàn)把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標(biāo)系中，如圖所示：方案一，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點N在x軸上，，．方案二，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點在x軸上，，．要在拱門中設(shè)置高為的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細(xì)忽略不計）．方案一中，矩形框架的面積記為，點A、D在拋物線上，邊在上；方案二中，矩形框架的面積記為，點，在拋物線上，邊在上．現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當(dāng)時，，請你根據(jù)以上提供的相關(guān)信息，解答下列問題：(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在方案一中，當(dāng)時，求矩形框架的面積并比較，的大?。敬鸢浮?1)(2)，【分析】（1）利用待定系數(shù)法則，求出拋物線的解析式即可；（2）在中，令得：，求出或，得出，求出，然后比較大小即可．【詳解】（1）解：由題意知，方案一中拋物線的頂點，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入得：，解得：，∴；∴方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：在中，令得：，解得或，∴，∴；∵，∴．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法則，求出函數(shù)解析式．（2023上·安徽滁州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，某高速路有一段隧道，隧道的橫截面如圖2，橫截面的上邊緣是一段拋物線，以拋物線的對稱軸作為軸，以水平地面作為軸建立平面直角坐標(biāo)系．已知該拋物線的頂點坐標(biāo)為，拋物線與軸的交點分別為點和點，拋物線的表達(dá)式為．（長度單位：）(1)求的長；(2)若每個隧道都是雙向車道，中間是實線（車輛不能壓實線，實線的寬度忽略不計），現(xiàn)有一輛高，寬的貨車次通過此隧道，請你判斷該貨車能否通過該隧道，并說明理由．【答案】(1)(2)高，寬的貨車能通過該隧道，理由見解析【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)解析式，拋物線與x軸的交點坐標(biāo)．熟練掌握二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）把點代入，計算求解，進而可得拋物線的表達(dá)式．將代入表達(dá)式，可求得，根據(jù)，計算求解即可；（2）當(dāng)時，，根據(jù)，判斷作答即可．【詳解】（1）解：把點代入，得，∴拋物線的表達(dá)式為．當(dāng)時，，解得，，∴，∴的長為．（2）解：該貨車能通過該隧道，理由如下：當(dāng)時，，∵，∴高，寬的貨車能通過該隧道．類型二運動軌跡問題（2023·山西朔州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖①，是可移動的灌溉裝置，以水平地面方向為x軸，點O為原點建立直角坐標(biāo)系，點A在y軸上，如圖②所示．其水柱的高度y（單位：m）與水柱距噴水頭的水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系式．在圖②中，若水柱在某一個高度時總對應(yīng)兩個不同的水平位置，則x的取值范圍是．【答案】且【分析】根據(jù)題意可先求出點的坐標(biāo)，然后求出當(dāng)時對應(yīng)的值，即可得出水柱的水平距離的取值范圍，然后求出頂點坐標(biāo)和對稱軸，再求出點關(guān)于對稱軸對稱的點，根據(jù)當(dāng)水柱在某一個高度時，總對應(yīng)兩個不同的水平位置，即可得出的取值范圍．【詳解】解：由題意可得：當(dāng)時，，，當(dāng)時，即，解得：，，水柱的水平距離的取值范圍為：，，頂點坐標(biāo)為，對稱軸，點關(guān)于對稱軸對稱的點為，當(dāng)水柱在某一個高度時，總對應(yīng)兩個不同的水平位置，的取值范圍為：且；故答案為：且．【點睛】本題考查的主要是二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是求出點關(guān)于對稱軸對稱的點以及頂點坐標(biāo)．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）擲實心球是江西省初中學(xué)業(yè)水平測試體育考試的選考項目．如圖1是一名女生投擲實心球，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度y（）與水平距離x（）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，拋出時起點處高度為，當(dāng)水平距離為3時，實心球行進至最高點3處．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式：(2)根據(jù)江西省初中學(xué)業(yè)水平測試體育考試評分標(biāo)準(zhǔn)（女生），投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于7.80，此項考試得分為滿分17.5分．該女生在此項考試中是否得滿分，請說明理由．【答案】(1)(2)該女生在此項考試中沒有得滿分，理由見解析【分析】本題考查了二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的應(yīng)用．（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為，將代入，求出的值，然后作答即可；（2）令，則，解得，或（舍去），則實心球從起點到落地點的水平距離為，由，判斷作答即可．【詳解】（1）解：設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為，將代入得，，解得，，∴；（2）解：該女生在此項考試中沒有得滿分，理由如下：令，則，解得，或（舍去），∴實心球從起點到落地點的水平距離為，∵，∴該女生在此項考試中沒有得滿分．（2022·安徽合肥·合肥市廬陽中學(xué)?？寄M預(yù)測）2022年2月，在北京冬奧會跳臺滑雪中，中國選手谷愛凌、蘇翊鳴奪金，激起了人們對跳臺滑雪運動的極大熱情．某跳臺滑雪訓(xùn)練場的橫截面如圖所示，以某一位置的水平線為軸，過跳臺終點作水平線的垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．圖中的拋物線：近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點正上方米處的點滑出，滑出后沿拋物線：運動．當(dāng)運動員從點滑出運動到離處的水平距離為米時，距離水平線的高度恰好為米．(1)求拋物線的解析式（不要求寫自變量x的取值范圍）：(2)運動員從點滑出后，當(dāng)運動員距離點的水平距離為多少米時）運動員達(dá)到最大高度，此時，距離水平線的高度是多少米？(3)運動員從點滑出后，當(dāng)運動員距離點的水平距離為少米時，運動員與小山坡的豎直距離達(dá)到最大值，最大值是多少米？【答案】(1)；(2)當(dāng)運動員距離的水平距離為米時，運動員達(dá)到最大高度，高度為米；(3)當(dāng)運動員距離的水平距離為米時，運動員與小山坡的豎直距離達(dá)到最大值，最大值為米．【分析】（1）將點，代入的解析式中，求出，的值即可；（2）將拋物線的解析式化為頂點式，由此可得頂點坐標(biāo)，由此求解；（3）由題可知，運動員與小山坡的豎直距離為，則是關(guān)于的二次函數(shù)，只需分析該函數(shù)的最大值即可．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過點，，，解得．拋物線的解析式為：．（2）解：，當(dāng)運動員距離的水平距離為米時，運動員達(dá)到最大高度，最大高度為米．（3）解：設(shè)運動員與小山坡的豎直距離為，則，當(dāng)時，取得最大值，最大值為．當(dāng)運動員距離的水平距離為米時，運動員與小山坡的豎直距離達(dá)到最大值，最大值為米．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．命題點2利潤最大問題類型一頂點處取最值（2024·福建南平·統(tǒng)考一模）某商家將每件進價為15元的紀(jì)念品，按每件19元出售，每日可售出28件．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種紀(jì)念品每件漲價1元，日銷售量會減少2件．(1)當(dāng)每件紀(jì)念品漲價多少元時，單日的利潤為154元？(2)商家為了單日獲得的利潤最大，每件紀(jì)念品應(yīng)漲價多少元？最大利潤是多少元？【答案】(1)當(dāng)漲價3元或7元時，單日利潤為154元(2)當(dāng)漲價5元時獲得最大利潤，為162元【分析】（1）設(shè)當(dāng)每件紀(jì)念品漲價x元時，單日的利潤為154元，根據(jù)利潤列出方程，解方程即可得到答案；（2）設(shè)當(dāng)漲價a元時，單日利潤為W元，根據(jù)題意得到W關(guān)于a的二次函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行解答即可．此題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂題意，正確列出函數(shù)和方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)當(dāng)每件紀(jì)念品漲價x元時，單日的利潤為154元，則，解得：，，答：當(dāng)漲價3元或7元時，單日利潤為154元.（2）設(shè)當(dāng)漲價a元時，單日利潤為W元，∵，拋物線開口向下，所以當(dāng)時，，

答:當(dāng)漲價5元時獲得最大利潤，為162元.（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）某水產(chǎn)經(jīng)銷商以每千克30元的價格購進一批某品種淡水魚，由銷售經(jīng)驗可知，這種淡水魚的日銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）存在一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：銷售價格x（元/千克）5040日銷售量y（千克）100200(1)試求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．(2)設(shè)該經(jīng)銷商銷售這種淡水魚的日銷售利潤為W元，如果不考慮其他因素，求當(dāng)銷售價格x為多少時，日銷售利潤W最大？最大的日銷售利潤是多少元？【答案】(1)(2)銷售價格為每千克45元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是2250元【分析】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，由表中數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)每日總利潤=每千克利潤×銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．【詳解】（1）解：設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為．將和分別代入，得：，解得：，∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是：；（2）解：，∵，∴當(dāng)時，在的范圍內(nèi)，W取到最大值，最大值是2250．答：銷售價格為每千克45元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是2250元．【點睛】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系寫出函數(shù)解析式．類型二不在頂點處取最值（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）某商品每件進價20元，在試銷階段該商品的日銷售量y(件)與每件商品的日銷售價x(元)之間的關(guān)系如圖中的折線ABC所示(物價局規(guī)定，該商品每件的銷售價不得低于進價且不得高于45元)．(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)若日銷售單價x(元)為整數(shù)，則當(dāng)日銷售單價x(元)為多少時，該商品每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？(3)若該商品每天的銷售利潤不低于1200元，求銷售單價x的取值范圍．【答案】(1)(2)當(dāng)銷售單價x為37或38元時，該商品每天的銷售利潤最大，最大利潤為1224元(3)結(jié)合函數(shù)圖象可得【分析】本題考查一次函數(shù)，二次函數(shù)的應(yīng)用；（1）設(shè)分兩種情況用待定系數(shù)法可得答案；（2）設(shè)銷售利潤為元，根據(jù)總利潤等于每件利潤乘以銷售量，分兩種情況列函數(shù)關(guān)系式，求出的最大值，即可得到答案；（3）結(jié)合（2）可得，即可解得x的范圍．【詳解】（1）解：設(shè)當(dāng)時，把，代入得：解得，；當(dāng)時，把，代入得：，解得，；綜上所述，；（2）設(shè)銷售利潤為元，當(dāng)時，，當(dāng)時，最大為元；當(dāng)時，，為整數(shù)，或時，取最大值(元)；綜上所述，當(dāng)日銷售單價為元或元時，該商品每天的銷售利潤最大，最大利潤是元；（3）由（2）知，當(dāng)時，該商品每天的銷售利潤最大為元；只有在時，每天的銷售利潤才可能不低于元；∵，解得：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得的解集為：，銷售單價的取值范圍是．（2023下·河南安陽·九年級統(tǒng)考期末）某超市采購了兩批同樣的記念品掛件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每個掛件的進價是第二批的倍、且第二批比第一批多購送25個．(1)求第二批每個掛件的進價；(2)兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個，求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？【答案】(1)40元(2)55元；1350元【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程，列出函數(shù)關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)第二批掛件的進價為x元，則第一批掛件的進價為元，列出方程計算即可．（2）設(shè)每個掛件售價定為m元，每周可獲得利潤w元，則可列出w關(guān)于m的關(guān)系式，根據(jù)“每周最多能賣90個”，求出m的取值范圍，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】（1）設(shè)第二批掛件的進價為x元，則第一批掛件的進價為元，根據(jù)題意，得，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的根，答：第二批掛件的進價為40元．（2）解：設(shè)每個掛件售價定為m元，每周可獲得利潤w元，∵每周最多能賣90個，∴,解得，根據(jù)題意，得，根據(jù)題意，得拋物線的對稱軸為，故當(dāng)時，w隨m的增大而減小，故當(dāng)時，w有最大值，，此時．當(dāng)每個掛件售價定為55元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是1350元．類型三在自變量不同取值范圍內(nèi)求最值（2023年四川省南充市中考數(shù)學(xué)真題）某工廠計劃從A，B兩種產(chǎn)品中選擇一種生產(chǎn)并銷售，每日產(chǎn)銷x件．已知A產(chǎn)品成本價m元/件（m為常數(shù)，且，售價8元/件，每日最多產(chǎn)銷500件，同時每日共支付專利費30元；B產(chǎn)品成本價12元/件，售價20元/件，每日最多產(chǎn)銷300件，同時每日支付專利費y元，y（元）與每日產(chǎn)銷x（件）滿足關(guān)系式(1)若產(chǎn)銷A，B兩種產(chǎn)品的日利潤分別為元，元，請分別寫出，與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(2)分別求出產(chǎn)銷A，B兩種產(chǎn)品的最大日利潤．（A產(chǎn)品的最大日利潤用含m的代數(shù)式表示）(3)為獲得最大日利潤，該工廠應(yīng)該選擇產(chǎn)銷哪種產(chǎn)品？并說明理由．【利潤（售價成本）產(chǎn)銷數(shù)量專利費】【答案】(1)，(2)元，(3)當(dāng)時，該工廠應(yīng)該選擇產(chǎn)銷A產(chǎn)品能獲得最大日利潤；當(dāng)時，該工廠應(yīng)該選擇產(chǎn)銷任一產(chǎn)品都能獲得最大日利潤；當(dāng)時，該工廠應(yīng)該選擇產(chǎn)銷B產(chǎn)品能獲得最大日利潤，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題木所給的利潤計算公式求解即可；（2）根據(jù)（1）所求利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）比較（2）中所求A、B兩種產(chǎn)品的最大利潤即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，，（2）解：∵，∴，∴隨x增大而增大，∴當(dāng)時，最大，最大為元；，∵，∴當(dāng)時，隨x增大而增大，∴當(dāng)時，最大，最大為元；（3）解：當(dāng)，即時，該工廠應(yīng)該選擇產(chǎn)銷A產(chǎn)品能獲得最大日利潤；當(dāng)，即時，該工廠應(yīng)該選擇產(chǎn)銷任一產(chǎn)品都能獲得最大日利潤；當(dāng)，即時，該工廠應(yīng)該選擇產(chǎn)銷B產(chǎn)品能獲得最大日利潤；綜上所述，當(dāng)時，該工廠應(yīng)該選擇產(chǎn)銷A產(chǎn)品能獲得最大日利潤；當(dāng)時，該工廠應(yīng)該選擇產(chǎn)銷任一產(chǎn)品都能獲得最大日利潤；當(dāng)時，該工廠應(yīng)該選擇產(chǎn)銷B產(chǎn)品能獲得最大日利潤．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，一元一次不等式的實際應(yīng)用，正確理解題意列出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．命題點3幾何圖形面積問題（2023上·浙江溫州·九年級瑞安市安陽實驗中學(xué)校聯(lián)考期末）某農(nóng)場要建矩形的飼養(yǎng)室，如圖所示，一面靠著現(xiàn)有足夠長的墻，其他三面用材料建設(shè)圍墻，在中間再建一道墻隔開，并在兩處各留寬的門，已知計劃中的材料可建墻體總長為（不包括門），則能建成的飼養(yǎng)室最大總占地面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用：設(shè)矩形的面積為垂直于墻的矩形的飼養(yǎng)室的邊長為，平行于墻的矩形的飼養(yǎng)室的邊長則