考點(diǎn) 直線與圓數(shù)學(xué)（理）個(gè)黃金考點(diǎn)精析精訓(xùn)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2018屆高考數(shù)學(xué)30個(gè)黃金考點(diǎn)精析精訓(xùn)考點(diǎn)23直線與圓【考點(diǎn)剖析】1.最新考試說明：1。直線與方程(1)在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.（2)理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式。(3)能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.(4)掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式）,了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.（5)能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).(6)掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離。2。圓與方程(1）掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.（2)能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.(3）能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.(4）初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.2。命題方向預(yù)測:（1）兩條直線的平行與垂直，點(diǎn)到直線的距離,兩點(diǎn)間距離是命題的熱點(diǎn)．對(duì)于距離問題多融入解答題中,注重考查分類討論與數(shù)形結(jié)合思想．題型多為客觀題，難度中低檔。（2)求圓的方程或已知圓的方程求圓心坐標(biāo)，半徑是高考的熱點(diǎn),多與直線相結(jié)合命題，著重考查待定系數(shù)法求圓的方程,同時(shí)注意方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬中、低檔題。（3）直線與圓的位置關(guān)系,特別是直線與圓相切一直是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)．多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，近幾年多有與圓錐曲線結(jié)合出現(xiàn)在綜合性較強(qiáng)的解答題.3。課本結(jié)論總結(jié):(1）。直線的概念與方程①概念：直線的傾斜角θ的范圍為[0°，180°)，傾斜角為90°的直線的斜率不存在，過兩點(diǎn)的直線的斜率公式k＝tanα＝eq\f（y2－y1，x2－x1)(x1≠x2）；②直線方程：點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)，兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1）（x1≠x2，y1≠y2),一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0）;③位置關(guān)系：當(dāng)不重合的兩條直線l1和l2的斜率存在時(shí)，兩直線平行l(wèi)1∥l2?k1＝k2，兩直線垂直l1⊥l2?k1·k2＝－1,兩直線的交點(diǎn)就是以兩直線方程組成的方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)；④距離公式：兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，兩平行線間的距離公式．(2)．圓的概念與方程①標(biāo)準(zhǔn)方程:圓心坐標(biāo)(a，b），半徑r，方程(x－a)2＋（y－b）2＝r2，一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F②直線與圓的位置關(guān)系:相交、相切、相離，代數(shù)判斷法與幾何判斷法；③圓與圓的位置關(guān)系:相交、相切、相離、內(nèi)含，代數(shù)判斷法與幾何判斷法。（3)確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法,大致步驟為：①根據(jù)題意,選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程;②根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D、E、F的方程組;③解出a、b、r或D、E、F代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．4.名師二級(jí)結(jié)論：（1）與直線Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）平行、垂直的直線方程的設(shè)法：一般地，平行的直線方程設(shè)為Ax＋By＋m＝0；垂直的直線方程設(shè)為Bx－Ay＋n＝0.(2）對(duì)稱①點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于A(a,b)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(2a－x0,2b－y0)．②點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱設(shè)點(diǎn)P(x0，y0）關(guān)于直線y＝kx＋b的對(duì)稱點(diǎn)P′(x′,y′），則有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(y′－y0,x′－x0）·k＝－1,,\f(y′＋y0，2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.③直線關(guān)于直線的對(duì)稱：10若已知直線l1與對(duì)稱軸l相交，則交點(diǎn)必在與l1對(duì)稱的直線l2上,然后再求出l1上任一個(gè)已知點(diǎn)P1關(guān)于對(duì)稱軸l對(duì)稱的點(diǎn)P2，那么經(jīng)過交點(diǎn)及點(diǎn)P2的直線就是l2；20若已知直線l1與對(duì)稱軸l平行，則與l1對(duì)稱的直線和l1分別到直線l的距離相等，由平行直線系和兩條平行線間的距離即可求出l1的對(duì)稱直線．（3）計(jì)算直線被圓截得的弦長的常用方法①幾何方法運(yùn)用弦心距(即圓心到直線的距離）、弦長的一半及半徑構(gòu)成直角三角形計(jì)算．②代數(shù)方法運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系及弦長公式｜AB｜＝eq\r(1＋k2)｜xA－xB|＝eq\r（1＋k2[xA＋xB2－4xAxB］)。說明:圓的弦長、弦心距的計(jì)算常用幾何方法．

(4)確定圓的方程時(shí),常用到的圓的三個(gè)性質(zhì)①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上;②圓心在任一弦的中垂線上;③兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線．(5）過圓上一點(diǎn)只能作圓的一條切線，這條切線垂直過切點(diǎn)的半徑；過圓C外一個(gè)P可作圓的兩條切線,在使用直線的斜率為參數(shù)這類圓的切線方程時(shí)要注意斜率不存在的情況，如果切點(diǎn)是A,B，則點(diǎn)A,B在以線段CP為直徑的圓D上，從而圓C，D的方程中消掉二次項(xiàng)得到的方程就是切點(diǎn)弦AB的方程．5.課本經(jīng)典習(xí)題：(1）新課標(biāo)A版必修二第127頁，例2已知過點(diǎn)M(-3,-3)的直線被圓所截得的弦長為,求直線的方程。【答案】,或根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,得到圓心到直線的距離，即解得：,所以,所求直線有兩條,它們的方程分別為:,或.【經(jīng)典理由】此例很好地融合了直線與圓的有關(guān)知識(shí)，而直線與圓的位置關(guān)系是高考命題的熱點(diǎn)．(2）新課標(biāo)人教A版必修二第133頁，B組第2題：已知點(diǎn)A（—2,—2），B（—2，6)，C（4，—2),點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，求的最大值和最小值。【答案】：最大值為88,最小值為72.【經(jīng)典理由】在幾何中求最值,通?？芍苯討?yīng)用幾何性質(zhì)來求,也可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來求解;此題很好地將圓和最值問題聯(lián)系在一起，這也是高考命題的熱點(diǎn)．6?？键c(diǎn)交匯展示:（1)直線、圓與不等式的交匯1.【2018屆黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期期初】若直線mx+ny+2=0（m＞0，n＞0)截得圓的弦長為2，則的最小值為（）A。4B.6C。12D。16【答案】B【解析】圓心坐標(biāo)為，半徑為1，又直線截圓得弦長為2，所以直線過圓心,即，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此最小值為6，故選B．(2)直線、圓與向量的交匯【2017江蘇，13】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)在圓上,若則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是▲.【答案】【解析】設(shè)，由,易得,由,可得或，由得P點(diǎn)在圓左邊弧上,結(jié)合限制條件,可得點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為.(3)直線、圓與圓錐曲線的交匯【2017課標(biāo)3，理10】已知橢圓C：，（a>b〉0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切,則C的離心率為A． B． C． D．【答案】A【解析】【考點(diǎn)分類】熱點(diǎn)1直線的方程與位置關(guān)系1.【2017屆浙江省嘉興一中、杭州高級(jí)中學(xué)、寧波效實(shí)中學(xué)等高三下學(xué)期五校聯(lián)考】已知直線,其中，則“"是“”的(） A。充分不必要條件B。必要不充分條件C。充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】直線的充要條件是或.故選A。2.【2016高考上海理數(shù)】已知平行直線，則的距離___________.【答案】【解析】利用兩平行線間距離公式得.3.【2017屆陜西省西安市鐵一中學(xué)高三上第五次模擬】設(shè)點(diǎn)，若直線與線段有一個(gè)公共點(diǎn)，則的最小值為__________．【答案】【解析】因?yàn)橹本€與線段有一個(gè)公共點(diǎn)，所以點(diǎn)在直線的兩側(cè)，所以，即或,畫出它們表示的平面區(qū)域，如圖所示，表示原點(diǎn)到區(qū)域的點(diǎn)距離的平方，由圖可知，當(dāng)原點(diǎn)到直線的距離到區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的距離的最小值,,所以的最小值為.【方法規(guī)律】(1）充分掌握兩直線平行與垂直的條件是解決直線問題的關(guān)鍵，對(duì)于斜率都存在且不重合的兩條直線l1和l2,l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1·k2＝－1.若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率是多少一定要特別注意．(2）若直線l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1,l2:y＝k2x＋b2，則:直線l1⊥l2的充要條件是k1·k2＝－1.【解題技巧】1．與直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0）平行、垂直的直線方程的設(shè)法：一般地,平行的直線方程設(shè)為Ax＋By＋m＝0；垂直的直線方程設(shè)為Bx－Ay＋n＝0。２．設(shè)l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0.則:l1//l2?A1B2—B1A2＝0；l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0．【易錯(cuò)點(diǎn)睛】（1）直線方程中點(diǎn)斜式方程最為根本,但要注意這個(gè)形式的方程，當(dāng)直線的傾斜角等于90°時(shí)，不能應(yīng)用；使用直線的截距式方程時(shí)，要始終考慮兩個(gè)問題，一是直線的截距是不是存在,二是直線的截距是不是零，不然很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．例如：求過點(diǎn)（5，2），且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程.【答案】x－2y－9＝0或2x－5y＝0.易忽視直線過坐標(biāo)原點(diǎn)的情況；（2）在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在．兩條直線都有斜率,可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率時(shí),要單獨(dú)考慮．（3）在運(yùn)用兩平行直線間的距離公式d＝eq\f（|C1－C2|,\r(A2＋B2)）時(shí)，一定要注意將兩方程中的x,y系數(shù)化為分別相等．熱點(diǎn)2圓的方程和性質(zhì)1。【2018屆黑龍江省伊春市第二中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考】已知圓C1：x+12+y-12=1，圓C2A.x+22+C。x+22+【答案】B【解析】圓C1：x+12+y-12=1，圓心為（—1，1）半徑為1，圓C2與圓C（2，-2）,半徑為1，所以圓C2為故選B2.【2018屆湖北省華師一附中高三9月調(diào)研】已知圓C：（)及直線：，當(dāng)直線被C截得的弦長為時(shí)，則=（）A.B.C.D?！敬鸢浮緾【解析】由題意，得，解得，又因?yàn)?，所以；故選C.【方法規(guī)律】1．利用圓的幾何性質(zhì)求方程：根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程．2．利用待定系數(shù)法求圓的方程：（1）若已知條件與圓的圓心和半徑有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值;(2)若已知條件沒有明確給出圓的圓心或半徑,則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E,F的方程組，從而求出D，E，F(xiàn)的值.【解題技巧】1。已知點(diǎn)A（x1，y1）,B(x2,y2)，則以AB為直徑的圓的方程是(x－x1）(x－x2)＋(y－y1)（y－y2)＝0.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系2?？芍矫嫔系囊稽c(diǎn)M(x0，y0)與圓C之間存在著下列關(guān)系：（1）d〉r?M在圓外,即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；（2）d＝r?M在圓上,即(x0－a）2＋（y0－b）2＝r2?M在圓上；(3)d〈r?M在圓內(nèi)，即(x0－a）2＋（y0－b）2<r2?M在圓內(nèi)．3.求圓的方程，主要有兩種方法：(1）幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)而求得基本量和圓的方程．具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．（2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式,求出相關(guān)量．【易錯(cuò)點(diǎn)睛】求圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件，所以不論設(shè)哪一種圓的方程都要列出關(guān)于系數(shù)的三個(gè)獨(dú)立方程．熱點(diǎn)3直線與圓的位置關(guān)系1.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知直線:QUOTEl:mx+y+3m-3=0與圓QUOTEx2+y2=12交于兩點(diǎn)，過分別做的垂線與軸交于兩點(diǎn)，若QUOTEAB=23，則QUOTECD=__________________.【答案】42?！?016高考江蘇卷】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知以為圓心的圓及其上一點(diǎn)（1）設(shè)圓與軸相切,與圓外切，且圓心在直線上，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2）設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點(diǎn),且，求直線的方程;(3）設(shè)點(diǎn)滿足：存在圓上的兩點(diǎn)和，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍。【答案】（1)（2)(3）【解析】圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心M(6，7）,半徑為5,。（1）由圓心在直線x=6上,可設(shè).因?yàn)镹與x軸相切，與圓M外切，所以，于是圓N的半徑為,從而，解得。因此,圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(3)設(shè)因?yàn)?，所以……①因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上,所以……。②將①代入②，得.于是點(diǎn)既在圓M上,又在圓上，從而圓與圓有公共點(diǎn)，所以解得.因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是.【方法規(guī)律】1.判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法(1)代數(shù)法：eq\o(→，\s\up12（判別式)，\s\do12（Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（>0?相交，,＝0?相切，,〈0?相離.)）（2）幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系:d<r?相交,d＝r?相切,d>r?相離。2．圓的弦長的常用求法(1)幾何法：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則（eq\f(l，2)）2＝r2－d2(2)代數(shù)方法:運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)｜x1－x2|＝eq\r（1＋k2[x1＋x22－4x1x2］）.注意：常用幾何法研究圓的弦的有關(guān)問題．3．求過一點(diǎn)的圓的切線方程時(shí)，首先要判斷此點(diǎn)是否在圓上．然后設(shè)出切線方程，用待定系數(shù)法求解．注意斜率不存在情形.【解題技巧】1。(1)若兩圓相交,則從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程．(2）若兩圓相切,則從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的經(jīng)過公共切點(diǎn)的公切線的方程。2。圓的切線（1)過圓O:x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0）的圓的切線方程是x0x＋y0y＝r2;（2）過圓O:x2＋y2＝r2外一點(diǎn)P（x0，y0)作圓的兩條切線,切點(diǎn)為A，B，則直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2.【易錯(cuò)點(diǎn)睛】過圓外一定點(diǎn)求圓的切線，應(yīng)該有兩個(gè)結(jié)果，若只求出一個(gè)結(jié)果，應(yīng)該考慮切線斜率不存在的情況．例。已知圓C：x2＋y2＝4，則過點(diǎn)P（2,4）的圓的切線方程是________.【答案】:3x—4y+7=0或x=2.【解析】：設(shè)圓的切線方程為y－4＝k(x－2)，即kx－y－2k＋4＝0，由于圓心到直線的距離d＝，解得，故所求的切線方程是y－4＝(x－3），即3x-4y+7=0.顯然掉了斜率不存在的情況：直線x=2也是已知圓的過點(diǎn)P的切線．【熱點(diǎn)預(yù)測】1.【2017屆江西師范大學(xué)附屬中學(xué)三模】已知直線與，則“”是“”的（)條件.A。充要B.充分不必要C。必要不充分D。既不充分又不必要【答案】B2.【2016高考新課標(biāo)2】圓的圓心到直線的距離為1，則a=（）（A）（B）(C）(D）2【答案】A【解析】圓的方程可化為，所以圓心坐標(biāo)為,由點(diǎn)到直線的距離公式得:，解得，故選A．3。若直線始終平分圓的周長，則的取值范圍是(）A.B。C.D。【答案】D【解析】由配方得，所以圓心坐標(biāo)為,若直線始終平分圓的周長，則直線必過點(diǎn)，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即是取等號(hào)。故的取值范圍是是.4.已知直線l:x+ay-1=0（aR）是圓C：的對(duì)稱軸。過點(diǎn)A（—4，a）作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則｜AB|=（)A、2B、C、6D、【答案】C【解析】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因此，,即，。選C。5。若圓C：關(guān)于直線對(duì)稱，則由點(diǎn)向圓所作的切線長的最小值是（）A。2B.4【答案】B6.【2018屆江西省贛州市紅色七校高三第一次聯(lián)考】已知圓C:x2+y2-2ax-2by+A.1B。2C。3D。4【答案】C【解析】圓的方程為(x-a)2圓C上的點(diǎn)到直線3x+y由①②得|2a+1|=2，a<0，故得a=-327。已知直線，若，則的值為（）A、B、C、D、或【答案】【解析】,則，所以或.8?！緩V東省惠州市2017屆高三第一次調(diào)研】已知圓截直線所得弦長為6，則實(shí)數(shù)的值為（）A．8B．11C．14D．17【答案】B【解析】圓，圓心,半徑．故弦心距．再由弦長公式可得；故選B．9?！窘K省泰州中學(xué)2017屆高三摸底考試】已知圓：（）及圓上的點(diǎn),過點(diǎn)的直線交圓于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn),若,則直線的斜率為．【答案】【解析】設(shè)直線的斜率為,則直線,與聯(lián)立解得，而，由得10。已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,則_______．【答案】【解析】試題分析：因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為圓的方程為，所以,解得.11?！舅拇ㄊ〕啥际?017屆高中畢業(yè)班摸底】已知圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，經(jīng)過點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)為，則__________.【答案】【解析】因?yàn)閳A的圓心為，且圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以過點(diǎn)，所以，得,切割線，故答案為。12。在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑