2023年高考數(shù)學(xué)試題-解三角形（解析版）

專題08解三角形

目錄一覽

2023真題展現(xiàn)

考向一三角形中的幾何運(yùn)算

考向二正弦定理

真題考查解讀

近年真題對(duì)比

考向一正弦定理

考向二解三角形

命題規(guī)律解密

名校模擬探源

易錯(cuò)易混速記/二級(jí)結(jié)論速記

行23年真題展為

考向一三角形中的幾何運(yùn)算

1.(2023?新高考n?第17題)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知△ABC面積為VI,

。為BC的中點(diǎn)，且49=1.

(1)若NA￡)C=；,求tan&

(2)若屬+，=8,求。，c.

解：⑴。為8c中點(diǎn)，SAABC=V3,則S&CD=M

過4作AELBC,垂足為E,如圖所示：

△AOE中，DE=|,AE=—,SAACD=|-yCD=A解得CD=2,

.32,BE.

GL

故tanB=^|=-f-=

BE-s

2

(2)AD=(AB+AC),?W2=i(c2+b2+2bccosX),

AD=1,/+/=8,則1=：(8+2bccosyl),/?bccosA=-2①,

SAABC=^hcsinA=V3,即bcsinA=2y/3@t

由①②解得tanA=—V3,.\A=y,.\bc=4,

又一+3=8,

.\b=c=2.

考向二正弦定理

2.(2023?新高考I?第17題)已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sin&

(1)求sinA；

(2)設(shè)A3=5,求AB邊上的高.

【答案】(1)甯；(2)6.

解：(1)：4+8=3C,A+B+C=n,二4。=11,AC=

4

V2sin(A-C)=sinB,/.2sin(A-C)=sin[n-(A+C)]=sin(A+C),

.\2siii4cosC-2cosAsinC=sirL4cosC+cosAsinC,/.sirL4cosC=3cosAsinC?

—sin/1=3x—cosA,.'.siiL4=3cosA,即cosA=-sinA,

223

XVsin2A+cos2A=1,Asin2?1+^sin2A=1,解得sin2A=.

XVA€(0,ir),AsinA>0,

,.A3/io

??sinA=-[y：

(2)由(1)可知sirt4=亞亞，cosA=-sinA=—,

103io

..r?/jx-?x4-Ax-,3-16V2,y/16y/22^5

..sinn=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=-----x-----1-----x——=—,

1021025

,ABACBC5_/7T

??==----=-n=5vZ?

sinCsinBsinAsin-

4

.?.AC=5V2sinB=5V2x管=2屈，8c=5&Xsin/1=5&x答=3瓜

設(shè)AB邊上的高為h,則-h=^xACXBCx.sinC,

.*.|/i=|x2V10x3V5xy,解得〃=6,

即48邊上的高為6.

真題考查解讀

【命題意圖】

考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、用正余弦定理解三角形、三角恒等變換等.

【考查要點(diǎn)】

解三角形是高考必考內(nèi)容.考查正余弦定理和三角形面積公式.借助正余弦定理和三角形面積公式以

及恒等變形公式進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換和化簡，求邊長、角度、面積等.

【得分要點(diǎn)】

1.正弦定理和余弦定理

定理正弦定理余弦定理

內(nèi)容2=q=工=2Ra2=b2+(r-2bccosA

sin4sinBsinC

(R是AABC外接圓半徑)/='+?_2accosB

c2=a2+lr-2abcosC

.b2+c2-a2

變形〃=2RsinA,6=2RsinB,c=2/?sinCcosA=-------

2bc

形式sinA=—,sin8=—,sinC=—na2+c2-b2

2R2R2Rcosn=-------

2ac

a：h：c=sinA：sinB：sinCca2+d2-c2

cosC=-------

2ab

asinB=bsinAfZ?sinC=csinB,

asinC=csinA

解決已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩已知三邊，求各角;

三角條邊;己知兩邊和它們的夾角

形的已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊求第三邊和其他兩角

問題和其他兩角

2.三角形面積公式

(1)S=)?兒(兒表示邊。上的高).

ill

(2)S=-ahsinC=-acsinB=-hcsinA.

222

(3)S=](〃+〃+<?)(r為內(nèi)切圓半徑).

3.解三角形常用結(jié)論

名稱公式變形

A,BnC

內(nèi)角和定理A+8+C=IT----------

2222

2A+28=2ir-2C

221.b2+c2-a2

余弦定理a=b-^-c-2Z?ccosAcosA=-------

2bc

222

b=a+c-2accosBna2+c2-b2

COSD=-------

2ac

c2-=a1+b1-2ahcosC

a2+b2-c2

cosC=----；—

2ab

正弦定理=~T—=-y—=2R〃=2HsinA,sin4=—

sin力sinBsinC2R

R為△ABC的外接圓半徑b=2RsinB,sinB=—

2R

c=2RsinC,sinC=—

2R

射影定理acosB+hcosA=c

acosC+ccosA=b

bcosC+ccosB=a

面積公式SA=~^h=步〃/尸|c/?sinA=—

a￡be

SA=^abs\nC=|acsinB=^bcsinAsinB=^

ac

SA=-(a+h+c)rsinC=送

2ab

（/?為AABC內(nèi)切圓半徑）

近年真題對(duì)比

考向一正弦定理

3.（2021?新高考I）記△A8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為小b,c.已知從二雙，點(diǎn)。在邊AC上,

BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD—b；

(2)若AD=2DC,求cos/A8c.

解:（I）證明：由正弦定理知,sinZABC=sinZACB=2R

：.h=2RsmZABC,c=2RsmZACB,

?"2=s：.b^2RsinZABC=a-2RsmZACB,

即0sinNA3C=asinC,

BDsinZABC=tzsinC,

：.BD=h；

（2）法一：由（1）知8￡>="

91

■:AD=2DC,

oo

2曲=郎+蛆之處2=丁+行？2_c2=-9c?

在AAB力中,由余弦定理知,

2加AD2b看b12b2

222b+('Z-b)-a2c2

在△C8D中,由余弦定理知，cosZfiPC=.BD-----------―----------=.10"二9且_.

2BD?CD2b*6b2

ZBDA+ZBDC=n,

cosZBZ)A+cosZBDC=。,

即13b2-9c2J0b2-9a2h

12b26b2

得ll/?2=3c2+6a2,

*/tr=ac,

A3c2-]lac+6a2=0,

、p

.\c=3a或c=—

3@

在△ABC中，由余弦定理知，cosNA8C=軟c-b+c-

2ac2ac

當(dāng)c=3”時(shí)，cosNABC=Z>l（舍）；

6

當(dāng)c=2a時(shí)，cos/48C=」-；

312

綜上所述，cosZABC=—.

12

法二：?.?點(diǎn)。在邊AC上且AO=2QC,

而由(1)知8￡>=b,

?212

,?b^bcpcosZ^ABD+^-ab?cosZ:CBD,

即3b=c*cosZABD+2a?cosZCBD,

、2,24、226212

b+c-§ba+bK

由余弦定理知:3b=c-------------------+2a?

2bc2ab

/.1162=3c2+6fl2.

■；b2—ac,

/.3c2-lUc+6a2=0,

.".c—3a或c——a,

3

22222

在△48C中，由余弦定理知，cosN48C=a+c-b=a+c-

2ac2ac

當(dāng)c=3”時(shí)，cosZABC=—>1(舍)；

6

當(dāng)c=2a時(shí)，cosZABC=-^-；

312

綜上所述，cosNABC--

12

法三：在△8CQ中，由正弦定理可知asinC=8Osin/BOC=〃sinN8OC,

而由題意可知ac—b2=>flsinC=￡>sinZABC,

于是sinZBDC=sinZA￡?C,從而ZBDC=ZABC或N8OC+/ABC=TT.

若NBDC=NABC,則△CBOs^cAB,于是C￥=史="：b.。=上我：3,

3

無法構(gòu)成三角形，不合題意.

若N8￡>C+NABC=TT,則NAO8=NA8CnZ\A8￡>s/\AC8,

于是AB?=A￡）?AC=c2=2?—=>〃：b：c=3：J%：2,滿足題意，

3

222

因此由余弦定理可得cos/A8C=a+c-b=J_.

2ac12

4.（2021?新高考H）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊長為a,b,c,b=a+\,c^a+2.

（1）若2sinC=3sinA,求△ABC的面積；

（2）是否存在正整數(shù)a,使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

解：（1）；2sinC=3sinA,

根據(jù)正弦定理可得2c=3a,

'?"Z?=a+l,c=a+2,

.".a—4,b—5,c—6,

22242+52-62

在△ABC中，運(yùn)用余弦定理可得c0sC=a+；jc1.

2X4X58

Vsin2C+cos2C=l,

2

/.sinC=^i-cos(;=J1-(A)2=3J,

?c1R?1y.yry3V71577

1,SAABCnC=yx4x5x———

(2),:c>b>a.

???△ABC為鈍角三角形時(shí)，角C必為鈍角,

ca2+b2-c2-a2+(a+l)2-(a+2)2

cosC=―2^—~27(74)<01

/.0<a<3,

???三角形的任意兩邊之和大于第三邊,

a+b>c,即〃+〃+1>〃+2,即

???〃為正整數(shù),

:?a=2.

考向二解三角形

5.(2022?新高考I)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知8sA=sin2B

1+sinAl+cos2B

(i)若c=22L,求公

3

22

(2)求包學(xué)-的最小值.

2

c

解：(2

1)VC0sA=sin21>I+COS2B=2COSB^0,COSB^O.

1+sinAl+cos2B

?.?cosA一?_■2sinBcosB-_1-sinB”，

1+sinA2COS2BCOSB

化為：cosAcosB=siiL4sinB+sinB,

cos(8+A)=sin8,

:.-cosC=sin^,C—(^—

3

(2)由(1)可得：-cosC=sin8>0,.'.cosC<0,CG(—,IT),

2

TT

???C為鈍角，B,A都為銳角，B=c-—.

2

sinA=sin(B+C)=sin(2C------)=-cos2C,

2

_sir^A+sin%_cosWc+cos2c_(l-2si112c)、+(1-sin^C)_

―2-~27~~2

csinCsinCsinrC

2+4sin%-5sin2c=2+4sin2c_5,2t2X4-5=4&-5,當(dāng)且僅當(dāng)sinC=4時(shí)取等號(hào).

sin2Csin2CV2

的最小值為彳&,5.

c

6.(2022?新高考H)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,分別以〃，b,。為邊長的三個(gè)正

三角形的面積依次為Si,S2,S3.已知Si-S2+S3=Y^_,sinB=—.

23

(1)求△48C的面積；

(2)若sinAsinC=Y^~,求匕.

3

解：(1)Si=X/2sin60°=2^/2,

24

2

52=A/7sin600=返心

24

S3=X？sin60。=?Z^_c2,

24

VS1-S2+S3=2&a2-返序+2^2=近，

4442

解得：a2-廿+<?=2,

,.,sinB=A,J-y+C2=2>0,即cosB>0,

3

；.COS3=272,

3

cosfi=a+c-b__,

2ac3

解得：ac=3區(qū)

4

S^ABC--^acsinB—^^-.

28

...△ABC的面積為恒.

8

(2)由正弦定理得：

sinBsinAsinC

???Clb-sinA,c/，一-b-sinC,

sinBsinB

由(1)得2,

4

?^.—bsinA.bsinC3&

sinBsinB4

已知，sinB=-,sinAsinC=2￡_2_,

33

解得：b=l.

2

命題規(guī)律解密

本專題是高考常考內(nèi)容，結(jié)合往年命題規(guī)律，解三角形的題目多以解答題的形式出現(xiàn)，分值為io分。

名校模擬探源

正弦定理(共7小題)

1.(2023?淮北二模)已知△ABC的角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

c(sinC-V3sinB)=(a-b)(sinA+sinB)-

(1)求4；

(2)若aABC的面積為sinB=l+cosC,點(diǎn)。為邊BC的中點(diǎn)，求的長.

【解答】解：(1)因?yàn)閏(sinC-百sinB)=(a-b)(sinA+sinB)，

所以由正弦定理可得c(c/b)=(a-b)(a+b)，

BJ222

'b+c-a=V3bc-

由余弦定理可得cosA=匕？+ja2或be吟,

JT

又Ae(0,IT),所以A=7-.

(2)因?yàn)閟inB=l+cosC,

gr2pl/5兀、5兀5兀1

'"以sinB=l+cos~B)=1+cos-^cosB+sin-^sinB=1-cosB+7rsinB,

66622

^J-sinB+^cosB=sin=T

又OVBVm則所以B」L.

326

所以a=〃，c=2兀.

3

所以SAABC^absi心與a2=V3'

所以a=b=2.

在△ACC中，由余弦定理可得AD2=AC2+CD2-2AOCD?COS'^=22+12-2X2XIX(-y)=7>

O乙

即AD=V7.

2.(2023?西固區(qū)校級(jí)二模)若△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿足si/A-siMB-sin2c

=sin8sinC.

(1)求角A；

(2)若a=6,求△ABC周長的取值范圍.

【解答】解:(1)△ABC中,因?yàn)閟iEA-sii?—-sin2cFinBsinC,

由正弦定理得/-川-科二兒，

由余弦定理得c^—tr+c1-2bccosA,

由①②解得cosA=-―,

2

又AC(0,n),所以4="；

3

(2)由a=6,sinA=sin-^-=

32

根據(jù)正弦定理得」-=—=亢=4?,

sinBsinCsinA7a

T-

所以b=W§sinB,c=4V^sinC=4V^sin-B)=6cosB-2V^sin8,

3

所以a+0+c=6+4V§sinB+(6cosB-2-^3sinfi)=6+2*\/3sinB+6cos5=6+4*\/3sin；

3

又0<8<^，所以/匚所以亭■<sin任"^")《1

所以△A8C周長的取值范圍為(12,6+4愿］.

3.(2023?小店區(qū)校級(jí)模擬)在三角形ABC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,〃=2b,且

.兀

2csinB=acos(C

6

(1)求角C；

(2)E為三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，標(biāo)=標(biāo)+菽且|標(biāo)|=2，求線段CE的長.

【解答】解：(1)由4=28，得sinA=2sin8,

兀7TTT

又2csinB=acos(C'---),2sinCsinB=sirVlcos(C---)=2sinBcos(C-—?).

666

.*.sinC=cos(C-=^^-cosC+—sinC,

622

，tanC=F,所以C=60°.

(2)設(shè)AE與BC交于M,由標(biāo)=族+菽，知M為8c的中點(diǎn)，

,：a=2h,：.MC=CA,二ZXAMC是等邊三角形，：.ZAMC=60°,

.../EMC=120°,

又；I疝I=2,.'.AM=\=MC=ME,

在△MEC中，由余弦定理有EC2=ME2+CM2-2MCXMEXcosZCME=l+l+l=3,

:.CE=M.

M

B

4.（2023?山西模擬）如圖，在四邊形ABC。中，已知/ABC=22,ZBDC=—,AB=BC=1M.

33

（1）若BD=5如,求4。的長；

（2）求△A3。面積的最大值.

【解答】解：（1）在△BCD中，由余弦定理，BC2=BD2+DC2-2BDDCcosZBDC,

???(7V3)2=(573)2+CD2-2X5V3XCD-COS^.整理得CD2-5V^CD-72=0,

o

解得CD=8?或CD=-3?(舍去)，

二四2+8,2?2二(5盜)2+(7圾)2-(8?)2二i

2BD-BC~2X573X7V3-7,

而NDBCE(0，3~sinZ.DBC=^7~^,

OI

?',cosZABD=cosZDBC)=^ycosZDBCsinZDBC*

故在△ABD中，A》=A^+BD1-2ABBDcosZABD

(7V3)2+(5V3)2-2X7V3X5V3X1|=57'

???AD=V57；

(2)設(shè)NCBD=8,e€(0,

子）’則在EM—二窯CD

sin(r^~~9)

RR../RE

MJCsin^BCD=------------3-------=14sin(0兀、

sinZBDC.2兀^sink

S1U3

所以SAABD［出BDsin/ABD。X7^3義14sin(0吾")xsin(r?~-8)

49>/3sin2(6),

當(dāng)sin2(8，)=l，即0哈時(shí)，△ABD面積取到最大值45舊?

5.(2023?河南模擬)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知5bsinA=3atanB,。是AC邊上

一點(diǎn)，A￡>=2OC,80=2.

(1)求cosB；

(2)求就、麗的最大值.

【解答】解：(1)由正弦定理及5/?sin4=3alanB知，5sin8sinA=3sin4an8,

因?yàn)閟inA>0,所以5sinB=3tanB,

所以cos8=&^=2.

tanB5

(2)因?yàn)?O=2DC,所以BD=BA+AD=BA+=AC=BA+W(BC-BA)==BA+=BC，

3333

又BD=2,

所以麗2=(—BA+—BC)2=—BA2+—BA-BC+—BC2=-c2+-^ca?2+-^2=4,整理得5c2+12ac+20a2

339999959

=180,

所以12ac=180-(5c2+20a2)W180-2遍L7^5。=180-20ac,

所以acW與，當(dāng)且僅當(dāng)遙「=倔〃，即c=2a=芭醇時(shí)，等號(hào)成立，

所以瓦?BC=accosB--^ac<—

5588

故就?皮的最大值為1?.

8

6.(2023?武昌區(qū)校級(jí)模擬)己知△ABC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為mb,c,acos-^-=bsinA'BD

平分/ABC交AC于點(diǎn)￡>,且BC=2,2AD=3CD.

(I)求B；

(II)求△48C的面積.

【解答］解：(］):acos=bsinA,

acos兀B=。0回=bsinA,

22

/.由正弦定理可得sinAsin—=sinBsin4=2sin^cos—sin/i,

222

BE(0,ir),可得Re(0,—),sinA>0,

22

.cosl=l可得畀與

22

二可得3=空.

3

(II)平分NA8C交AC于點(diǎn)。，且8/)=2,2AD=3CD,即坦萼=￡,即3"=2c,①

CD2a

K

sin(A)

.sinCVY2，可得sinA=

,可得taix4=

sinAsinA24

BD-sinZABD1^4

，在△ABO中，由正弦定理----A-D-——可得AO==V19>可得C￡>

sin/ABDsinAsinA

=2>/19

3

可得h=AD+CD=^^-,

3

.,.在△ABC中，由余弦定理可/=屋+。2-2occosB,得(至YI§.)2=a2+c2+ac,②

3

...由①②解得。=蛇，c=5,

3

SMBC=^icsinB=l-x-^-義5/^二空巨，

223,26

7.(2023,潤州區(qū)校級(jí)二模)在①ccosA=V^asinC；?(a-b)(sinA+sinB)=(c-V3b)sinC；③

3bcosA+acosB=\/"§b+c這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問題中,并解決該問題.

問題：在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,c,且滿足.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若力為線段CB延長線上的一點(diǎn)，且CB=2BD,AD=V3,AC=273,求△A8C的面積.

【解答】解：(I)若選擇①，,?*ccosA=V3asinC-

sinCcosA=V3sinAsinC?

VsinC^O,

cosA=V3sinA?

(0,ir)i=-—；

6

若選擇②,；(a-b)(sinA+sinB)=(c-V3b)sinC-

(a-b)(a+b)=c(b)，

a2-b2=c2-V3bc)

222

222tb+c-aV3bcV3

a=b+c-V3bc,COsA_2bc~2bc-2

TT

???AW(0,ir)JA-；

6

若選擇③，:3bcosA+acosB=V3b+c，

3sinBcosA+sinAcosB=V3sinB+sinC?

**-3sinBcosA+sinAcosB=V3sinB+sin(A+B)，

3sinBcosA+sinAcosB=V^sinB+sinAcosB+cosAsinI,

?*-2sinBcosA=V3sinB，

又：在(0,ir),

???sin8W0,

〈AW(0,ir)，

(2)設(shè)BD=x,AB=yfZABD=Q,

在△ABC中，用余弦定理可得AC2=BC2+BA2-2BCBAcosZABC.

即12=4/+y2-2X2A＞，cos(n-0)①，

又???在△ABC中，BC2=AC2-^AB2-2ACABcosZCAB,

Bp4x2=12+y2-2X2V3ycosZCAB-即4/=/-6y+12,即JJ6y+12

4

在AABD中，用余弦定理可得4。2=8￡)2+842-2BDBAcos/ABD,

即3=f十『-2xycos0(3),(3)X2+①可得6/+3)?=18,

將②式代入上式可得y=2,x=l,S△黜c研

A

8.(2023?蒙城縣校級(jí)三模)在△ABC中，/A,NB,/C的對(duì)邊分別為a,b,c,且cc^C-8$24=加

sinAsinB-sin%

(I)求NC的大??；

(2)已知〃+6=4,求△ABC的面積的最大值.

【解答】解:(1)"."cos2C-cos2A=*\/2sinA*sinB-sin2B,

I-sin2C-(1-sin2A)=J^sinA,sin8-sii,3,

，sin2A-sin2C=A/2sirL4*sin^-sin2B,

a2+/?2-c1=y12ab,

/.cosC=?-LkS￡l=V2ab=VI,

2ab2ab2

TT

vce(0,n),:.zc=—.

4

(2)Va+/?^2Vab>:.abW4,

當(dāng)且僅當(dāng)〃=6=2時(shí)取等號(hào)，，(〃/?)〃/ar=4,

.?.△ABC面積的最大值為Ax4Xsin—=72.

24

222222

9.（2023?廣西模擬）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b+?—=a+,-b.

sinBsinA

(1)證明：A=B.

(2)若。為BC的中點(diǎn)，從①A￡>=4,②cosC=1，③。。=2這三個(gè)條件中選取兩個(gè)作為條件證明另外

4

一個(gè)成立.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

222222

［解答］(1)證明：因?yàn)閎+f-a=a+,-b,

sinBsinA

由余弦定理可得2b［cosA=2accosB,

sinBsinA

即bfosA=a〔osB,又由正弦定理得cosA=cos8,

sinBsinAsinBsinA

角A,8為△ABC中內(nèi)角，所以A=B.

(2)△ABC中，A=B,。為8c的中點(diǎn)，如圖所示，

①②n③,

已知A￡>=4,C=—>求證CO=2.

cos4

AC2-t€D2-AD24CD2+CD2-16_1

證明：AC=2C￡),△AC。中，cosC=

2AC-CD4CD24

解得CD=2.

①③n②,

已知A￡>=4,CD—2,求證cosC=1,

4

證明：AC=2CO=4,所以△ACD中，cosC」”抬吐曲：16+4-16=1

2AC-CD2X4X21

②③=①，

已知cosC=」，CD—2,求證：A￡)=4.

4

證明：AC=2CD=4,

222

在△AC。中，由余弦定理，AD=AC+CD-2AC-CDCOSC=16+4-2X4X2X-1=16,

4

所以AD=4.

10.(2023?東風(fēng)區(qū)校級(jí)模擬)己知aABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)應(yīng)邊分別為a,b,c.a=2我,6=2,且我

cosA(ccosB+focosC)+〃sinA=0.

(1)求4；

(2)設(shè)。為3C邊上一點(diǎn)，且求△45。的面積.

【解答】解：(1)因?yàn)镴^cosA(<?cosB+/?cosC)+asinA=0,

由正弦定理可得：JECOSA(sinCcosB+sinBcosC)+siiVlsinA=0,

可得：V3cosAsin(B+C)+sin2A=0,

在△ABC中，sin(B+C)=sinAW0,

所以可得J§cosA+siii4=0,

即tanA=-J§,而4為三角形的內(nèi)角，

所以可得A=2TT；

3

(2)在△ABC中由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccosA,

因?yàn)?=2/7，b=2,

所以28=4+d-2X2c?(-A),解得：c=4或c=-6(舍)，

2

所以c=4,

再由余弦定理可得-2=2tecosC,可得cosC=2

c7F

在RtaAB。中，CQ=-^-=-^-=V7,

cosC2

77

所以可得CO=/BO

S^ABD—^SMBC=—,—AB,ACsinZBAC==—,4,2

2224嗎F

所以△ABC的面積為JE.

11.(2023?瀘縣校級(jí)模擬)已知aABC的角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,滿足(b-a)(sinB+sinA)

=Cb-c)sinC.

(1)求A；

(2)從下列條件中：@a=V3；②SAABC=JE中任選一個(gè)作為已知條件，求AABC周長的取值范圍.

【解答】解：(1)因?yàn)镼b-a)(sinB+sinA)=Qb-c)sinC,

由正弦定理得(。-〃)(b+a)=(b-c)c,即b2+c2-c^=bc---------------(2分)

222

由余弦定理得c°sA=b除-a4,A€(0,兀)----------------------------------(4分)

所以人吟----------------------------------(5分)

(2)選擇①a=、/§.由正弦定理.卜=.c=.a(6

sinBsinCsinA

分)

即△ABC周長l=2sinB+2sinCW^=2sinB+2sin(W^-B)函=3sinB+V3cosB+V3=

o

W§sin（B哈）e--------------------------------------------（9分）

?B€（0，■"■—■'x'B->^-<--sin《1（II分）

即△ABC周長的取值范圍（簿，373]--------------------------------------------（12分）

選擇②,得0cAbcsinA=^"bc=y，得加=4.（7

分）

由余弦定理得。2=/?2+（.2_機(jī).=（b+c）2-3bc=（b+c）2-12,-------------（9分）

即△ABC周長i=a+b+cW（b+c產(chǎn)-12+b+c,

Vb+c^2Vbc=4<當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)等號(hào)成立.----------------（11分）

,''l=a+b+c>742-12+4=6

即△ABC周長的取值范圍[6,+8）--------------------------------------------（12分）

三.三角形中的幾何計(jì)算（共10小題）

12.（2023?西城區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AC=?,CO平分NAC8交AB于點(diǎn)。，CD

=如.

（I）求/AOC的值；

（II）求△BCQ的面積.

【解答】解：（I）在△AOC中，由正弦定理可得,ACCD

sin/ADCsinA

AOsinA料*喙V2

則sinNADC.

CDV32

?O〈NADC<2,

o

?n

??ZAzDC=—;

4

（H）由（/）可知，/Acr）=n-

3