2021年山西省陽泉市高考數(shù)學(xué)三模試卷(理科)(解析版)

2021年山西省陽泉市高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科）

一、選擇題（共12小題）.

1.已知集合4={0,2},B=[a,0,3},且AUB有16個子集，則實數(shù)a可以是（）

A.-1B.0C.2D.3

7兀7兀

2.己知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=si「;zcos——,則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

00

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.為考察A、8兩名運動員的訓(xùn)練情況，下面是4、B兩名運動員連續(xù)10天完成訓(xùn)練指標(biāo)

任務(wù)的綜合得分的折線圖，給出下列四個結(jié)論，其中錯誤的結(jié)論是（）

A.第3天至第10天兩名運動員綜合得分均超過80分

B.第2天至第7天B運動員的得分逐日提高

C.第2天至第3天A運動員的得分增量大于B運動員的得分增量

D.4運動員第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差

4.雙曲線C：工5-彳=1b>0）,圓（x+2）2+*=3與雙曲線C的一條漸近線

Jbz

相交所得弦長為2,則雙曲線的離心率等于（）

A.6B.V3C.夸D.?

x+y-l<0

5.在平面直角坐標(biāo)系中，將不等式組，x+2y>0表示的平面區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的

.x》0

幾何體的體積是（）

6.函數(shù)/(x)=/"kl+lsinxl(-TTWXWTT且xWO)的圖象大致是()

T

設(shè)

0.30.25

(—))，b=f((-)),c=f(log±-)>貝ij”，b,c的大小關(guān)系是()

~2

A.b>a>cB.a>h>cC.c>h>aD.b>c>a

8.關(guān)于函數(shù)/(x)=-2tan^+cos2x,下列說法正確的是()

1+tanx

A.函數(shù)/(x)的定義域為R

B.函數(shù)/(x)一個遞增區(qū)間為［-等，萼］

OO

C.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線犬=券對稱

O

D.將函數(shù)y=J&in2工圖象向左平移各個單位可得函數(shù)（x）的圖象

o

9.設(shè)k是一個正整數(shù)，（1+9）*的展開式中第四項的系數(shù)為上，記函數(shù)丫=%2與），=區(qū)的

k16

圖象所圍成的陰影部分為S,任取A-G[O,4],），00,16],則點（x,y）恰好落在陰影區(qū)

域內(nèi)的概率為（）

10.“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連，秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，這首二十

四節(jié)氣歌，記錄了中國古代勞動人民在田間耕作長期經(jīng)驗的積累和智慧.“二四節(jié)氣”

已經(jīng)被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄.我國古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)

著作《周牌算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的號長損益相同（懸是按照

日影測定時刻的儀器，唇長即為所測量影子的長度）.二十四節(jié)氣及唇長變化如圖所示,

相鄰兩個節(jié)氣署長減少或增加的量相同，周而復(fù)始已知每年冬至的辱長為一丈三尺五寸,

夏至的署長為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則皆長為七尺五寸時，對應(yīng)

的節(jié)氣為（）

居長逐漸變小

口長逐漸交大

A.春分、秋分B.雨水、處暑C.立春、立秋D.立冬、立夏

11.如圖，在平面四邊形A3CC中，ABLBC,ZBCD=60°,/AOC=150°,箴=3前,

CO=2BE=F，若點F為邊AD上的動點,則而?標(biāo)的最小值為（）

O

A.1B-fc-1D.2

I2-關(guān)于'的方葉有三個不等的實數(shù)解入，切小且為。4尸3,則

Inxi?InxpInxo

(——L-l)2(——--1)(——i-1)的值為()

X1x2x3

A.eB.1C.1+加D.1-m

二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分)

13.為迎接2022年北京冬奧會，短道速滑隊組織甲、乙、丙等6名隊員參加選拔賽，已知

比賽結(jié)果沒有并列名次，記“甲得第一名”為P，“乙得第一名”為4，“丙得第一名”

為r,若pVq是真命題，Lq)Vr是真命題，則得第一名的是.

14.過拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點廠的直線與拋物線C交于A,8兩點，若Aflup+Z,

\BF\=p-1,貝ijp=.

15."一灣如月弦初上，半壁澄波鏡比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如圖所示，月

牙泉由兩段在同一平面內(nèi)的圓弧形岸連接圍成.兩岸連接點間距離為60尺.其中外岸

為半圓形，內(nèi)岸圓弧所在圓的半徑為60米.某游客繞著月牙泉的岸邊步行一周，則該游

客步行的路程為米.

16.如圖，ZV1BC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c且滿足(He)cosA=a(2-cosB

-cosC),b=c,設(shè)NAO3=6(O<0<n).OA=2O8=4,則四邊形OACB面積的最

大值為

c

三、解答題：（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

（-）必考題

17.已知｛%｝為等差數(shù)列，數(shù)列應(yīng)J的前"項和為S“，2ax=b=2,a2+izg=10,.

在對■Sn=b11-1，②bn=2入％（人為常數(shù)）這兩個條件中任選其中一個，補充在上面

的橫線上，并完成下面問題的解答.

（I）求數(shù)列｛%,｝和｛々｝的通項公式；

（II）求數(shù)列｛%+與｝的前”項和Tn.

18.為降低工廠廢氣排放量，某廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號的減排器，現(xiàn)分別從甲、乙兩種

減排器中各自抽取100件進行性能質(zhì)量評估檢測，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖

所示:

甲型號減排器乙型號減排器

減排器等級及利潤率如表，其中］<a<4.

yo

綜合得分k的范圍減排器等級減排器利潤率

4》85一級品

75WZV85二級品5〃2

70《k<75三級品成

（1）若從這100件甲型號減排器中按等級分層抽樣的方法抽取10件，再從這10件產(chǎn)品

中隨機抽取4件，求至少有2件一級品的概率；

（2）將頻率分布直方圖中的頻率近似地看作概率，用樣本估計總體，則：

①若從乙型號減排器中隨機抽取3件，求二級品數(shù)S的分布列及數(shù)學(xué)期望E(?)；

②從長期來看，投資哪種型號的減排器平均利潤率較大？

兀

19.在三棱柱ABC-A|B|C］中，A8_L側(cè)面/BCC1一，BC=2,CC,-4.

(I)求證：AC1BC,；

(II)若E為棱C￡的中點，且AE與平面ABC所成角的正弦值為厚，求二面角A-

4

5盧-A1的大小.

22亭「是

20.已知橢圓C：［的左、右焦點分別為/、F2,離心率為:

azt>z

橢圓C上的一個動點，當(dāng)P是橢圓C的上頂點時，△［「心的面積為1?

(I)求橢圓C的方程；

(II)設(shè)斜率存在的直線PF2與橢圓C的另一個交點為。.若存在7"0),使得ITPI

=1701,求f的取值范圍.

21.已知函數(shù)尸(x)=2x-ex-2.

(I)若尸(x)的圖象的一條切線/在y軸上的截距為1,求切線/的方程；

(II)求函數(shù)/(x)=(/nx)2+F(x)的極值點個數(shù).

(二)選考題請考生在第(22)、(23)二題中任選一題作答注意：只能做所選定的題目.如

果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框

涂黑.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.已知曲線q的極坐標(biāo)方程為p=l,以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為X的正半

軸，建立平面直角坐標(biāo)系X。)，.

V-

{y-2+t(t為參數(shù))與曲線C1相交于兩點A，B,求148；

(2)若M是曲線C|上的動點，且點M的直角坐標(biāo)為(x,y),求(x+1)(y+1)的最

大值.

［選修4-5：不等式選講］

23.設(shè)函數(shù)/(x)=\x-II.

(1)求f(2x)+f(x+1)的最小值m；

(2)在(1)的件下，證明：f(cos'a)-f(sin?a

參考答案

一、選擇題：（本大題共12個小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.）

1.已知集合4={0,2},B={a,0,3},且AU8有16個子集，則實數(shù)“可以是（）

A.-1B.0C.2D.3

解：有16個子集，.?.AU8有四個元素，

當(dāng)。=-1時，AU8={-1,0,2,3},.?*正確，

當(dāng)a=0時，AU8={0,2,3）,錯誤，

當(dāng)。=2時，AUB={0,2,3},；.C錯誤，

當(dāng)。=3時，AUB={0,2,3},；.￡>錯誤.

故選：A.

■7TT7兀

2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=sii，--ico」一，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

00

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

577U7兀兀兀1我

解：Vz=sin-zcos——=-sin—+zcos—=i,

6oo622

在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（1,亨），位于第二象限.

故選:B.

3.為考察A、8兩名運動員的訓(xùn)練情況，下面是4、8兩名運動員連續(xù)10天完成訓(xùn)練指標(biāo)

任務(wù)的綜合得分的折線圖，給出下列四個結(jié)論，其中錯誤的結(jié)論是（）

A.第3天至第10天兩名運動員綜合得分均超過80分

B.第2天至第7天B運動員的得分逐日提高

C.第2天至第3天A運動員的得分增量大于B運動員的得分增量

D.4運動員第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差

解：對于A,由折線圖可知，第3天至第10天兩名運動員綜合得分均超過80分，故選

項A正確：

對于B,由折線圖可知，第1天和第2天的得分相同，第2天至第7天B運動員的得分

逐日提高，故選項B正確；

對于C,A運動員得分增量大于2,8運動員員得分增量小于2,

所以第2天至第3天A運動員的得分增量大于B運動員的得分增量，故選項C正確；

對于D,在第1天至第3天的得分統(tǒng)計中，A運動員最小得分78分，最高得分80分，

在第2天至第4天的得分統(tǒng)計中，A運動員最小得分78分，最高得分高于80分，

所以A運動員第1天至第3天的得分方差小于第2天至第4天的得分的方差，故選項D

錯誤.

故選：D.

4.雙曲線C：^--^-=1(a,%>0),圓M：(x+2)2+*=3與雙曲線C的一條漸近線

相交所得弦長為2,則雙曲線的離心率等于()

A.V2B.VsC.限D(zhuǎn).近

解：雙曲線的一條漸近線云-”=0,

條件知圓心(-2,0)到漸近線的距離等于J3-(,)2=血,

從而,2b二型多V2V2

JlwcV2,b-c，a-c，

所以盧班?

a

故選：A.

x+y-l<0

5.在平面直角坐標(biāo)系中，將不等式細(xì)x+2y>0表示的平面區(qū)域繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的

,x>0

幾何體的體積是()

解：由約束條件作出可行域如圖,

可行域為三角形OAB及其內(nèi)部區(qū)域，由圖可知，8(0,1),

x+2y=0

聯(lián)立，解得A(2,-1),

x+y-l=0

把平面區(qū)域繞)，軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體為大圓錐內(nèi)部挖去一個小圓錐.

兩個圓錐的底面相同，大圓錐的高為2,小圓錐的高為1,

則形成的幾何體的體積^=1丘*22*(2-1)=今，

故選：B.

6.函數(shù)/(x)=Znlxl+lsirui且xWO)的圖象大致是()

D.

加M/11x

解：函數(shù)f(x)=/〃Lrl+lsinxl(-nWxWii且xWO)是偶函數(shù)排除A.

當(dāng)x>0時，f(x)=lnx+sinx9可得：f(x)=—+cosxf4^"+cosx=0,

XX

作出y=工與y=-cos^r圖象如圖：可知兩個函數(shù)有一個交點，就是函數(shù)有一個極值點.

x

f(1T)=//?7T>l,

0.3g0.25

a=f((可))，b,f((疝)),c=f(log^Y),則a,b,c?的大小關(guān)系是()

~2

A.b>a>cB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a

解：點(2,8)在事函數(shù)/(x)=加圖象上，

(2)=2n=8,解得”=3,(x)=Xi,

.0.3I-0.21

設(shè)a=f(毛))，b=f((―)),c=f(log±—

~2

4444

.\—<a=[(―)0.3]3=(―)0,9<(―)0=1,

5555

RREE

^>b=[(V)。?2K=(三)0.6>(三)o=l,

4444

c=3<(logyl)3=0,

An,b,c的大小關(guān)系是

故選：A.

2tanx

8.關(guān)于函數(shù)/(x)=-------+cos2x,下列說法正確的是()

Inanx

A.函數(shù)/G)的定義域為R

q兀7T

B.函數(shù)/co一個遞增區(qū)間為[-0丁，—]

OO

7T

C.函數(shù)F(x)的圖象關(guān)于直線X=7-對稱

O

D.將函數(shù)y=J叁in2x圖象向左平移多個單位可得函數(shù)>=/?)的圖象

O

2「sin一

2-tan.xcos-2sinxcosx

解：/(x)=~+cos2x=；~~~2-+cus2x=；~~2~~+cds2x=

1+tanx1sinxcosx+sinx

12~

CO5X

.r~兀、

sin2x+cos2x^V2sin(2x-t^~)，

對于4,tanx有意義，則x盧令+k兀，k€Z,所以函數(shù)的定義域為

TF

[x|x盧一丁+k兀，kEZ),即4錯誤；

TTTTJT

對于8,令2x-^-￡[力-+2k兀，彳~+2k兀]，則

xE[-等也冗，等+k兀],kGZ,

OO

當(dāng)k=0時，在[-等，=-],即B正確；

OO

兀

對于C,函數(shù)f(x)的定義域不關(guān)于直線X=q-對稱，即C錯誤；

O

對于D,y=血Lsin2x圖象向左平移7兀-個單位得到的函數(shù)為

O

TT1T

yf/^sin[2(x+?_)]=V^sin(2xq_)=/(x),但兩個函數(shù)的定義域不同，即。錯

誤.

故選：B.

9.設(shè)&是一個正整數(shù)，(1號)A的展開式中第四項的系數(shù)%■,記函數(shù)y=%2與)，=區(qū)的

圖象所圍成的陰影部分為S,任取xelO,4J,)-GLO,16],則點(x,y)恰好落在陰影區(qū)

域內(nèi)的概率為（

解：根據(jù)題意得

4

解得：&=4或k=^（舍去）

b

解方程組，，

.y=4x

解得：x=0或4

...陰影部分的面積為J；（4x-x2）dx=（2x2Ax3）|；=券，

任取xe[O,4],yG[O,16],則點任y）對應(yīng)區(qū)域面積為4X16=64,

32

由幾何概型概率求法得點（x,J）恰好落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為3=1；

而石

故選：C.

10.“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連，秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，這首二十

四節(jié)氣歌，記錄了中國古代勞動人民在田間耕作長期經(jīng)驗的積累和智慧.“二四節(jié)氣”

已經(jīng)被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄.我國古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)

著作《周牌算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的唇長損益相同（唇是按照

日影測定時刻的儀器，辱長即為所測量影子的長度）.二十四節(jié)氣及劈長變化如圖所示,

相鄰兩個節(jié)氣號長減少或增加的量相同，周而復(fù)始已知每年冬至的號長為一丈三尺五寸,

夏至的號長為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則皆長為七尺五寸時，對應(yīng)

的節(jié)氣為（）

解長逐漸變小

口長逐漸變大

A.春分、秋分B.雨水、處暑C.立春、立秋D.立冬、立夏

解：先取上半年進行研究，設(shè)唇影長為等差數(shù)列{〃〃},公差為d,

則〃=135,=15,.??1J?-[0,

*1J-1

.*.^=135-10(n-1)=145-10/?,

令〃“=75,得〃=7,

由圖知，，?=7對應(yīng)的是春分，又因春分與秋分號影長相同，

故選：A.

11.如圖，在平面四邊形45co中，ABLBC,ZBCD=60°,ZA￡>C=150°,而=3位,

CD=-^-BE若點尸為邊A。上的動點，則EF?BF的最小值為()

9

解：以B為原點，BC、BA分別為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，連接。E,

則B(0,0),E(V3，0),

,?通=3京,BE=6,；.CE=浮，

ZBCD=60Q,：.DE±CE,即NDEC=90°,：.DE=\,ZEDC=30°,

3

過點D作DGLAB于點G,則DG=BE=6,點D(J§,1),

VZADC=150°,AZADG=l50°-90°-30°=30°,

???4G=1,點A(0,2),

...直線AD的方程為丫-2=曷、,即丫=當(dāng)/2，

由于點尸是邊上的動點，不妨設(shè)點尸（3埠^+2），生［0,V3J,

則而=（”6，里t+2），BF=（f，里t+2）,

o?_*

...而.而=Gg+（專計2）2=母￥產(chǎn)嚕同°,而

當(dāng)，=攀時，而?而取得最小值，為第.

故選：B.

Inx1Qlnx9lnxo

L2一的值為(

(--l)(---1)(^-1))

X[x2X3

A.eB.1C.1+mD.1-m

解：設(shè)星-l=t,

X

1-lnx

那么r'=——

x

當(dāng)x>e時，〃<0,即函數(shù)/在（e,+8）單調(diào)遞減,

當(dāng)OVxVe時，/>0,即函數(shù)1在（0,e）單調(diào)遞增,

?.?當(dāng)取得最大值出T，

可得函數(shù)f的大致圖象,

Inxp

￡

可知——-1=r2,

2

由方程有三個不等的實數(shù)解玉，々，X3

那么1；-'十加+：1)=0有兩個解1[,修

根據(jù)韋達(dá)定理：4“2=1；

lnx1L02Inx9Inxo。2<<,9

貝|JC——-l)(——--1)(——--l)=t1t2't3=ti't2=l.

X1x2K3

故選：B.

二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分)

13.為迎接2022年北京冬奧會，短道速滑隊組織甲、乙、丙等6名隊員參加選拔賽，已知

比賽結(jié)果沒有并列名次，記“甲得第一名”為P，“乙得第一名”為4，“丙得第一名”

為r,若pV?是真命題，(Fq)Vr是真命題，則得第一名的是甲.

解：若。是真命題，則g,r都是假命題，

此時pVq是真命題，Lq)Vr是真命題成立，

若q是真命題，則P，，?都是假命題，

此時pVq是真命題，「4是假命題，此時Lq)V，是真命題不成立，

若r是真命題，則p,q都是假命題，此時pVq是真命題不成立，

故得第一名的是甲，

故答案為：甲.

14.過拋物線C：V=2px(p>0)的焦點廠的直線與拋物線C交于4,B兩點,若14fl=p+2,

\BF\=p-1,則p=4

解：設(shè)A（玉，％）,B（々，y2）,由題意可知直線AB的斜率存在,

設(shè)直線AB的方程為y=Z（x號（�）,

2弓

V=2px2,2

聯(lián)立方程6，消去y整理得Iax2-(2p+武2)x+PK=0

y=k(x-1-)4

2

則4X2=T，

又自網(wǎng):玉巖=p+2,x=^+2

面=4專=P_1，“2=5T，

2

所以(￡+2)(￡--1)=^,

解得0=4.

故答案為：4.

15."一灣如月弦初上，半壁澄波鏡比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如圖所示，月

牙泉由兩段在同一平面內(nèi)的圓弧形岸連接圍成.兩岸連接點間距離為60國.其中外岸

為半圓形，內(nèi)岸圓弧所在圓的半徑為60米.某游客繞著月牙泉的岸邊步行一周，則該游

客步行的路程為（40+3。五）/米.

解：由題意，如圖所示，可得。T=60\&米，尸。=60米,

連接尸。，可得POLQT,

Jo

因為sinNQPO=*,

兀2兀

所以NQPO=WZQPT=—~

則該游客步行的路程為乙=《X2TTX（芻嬰）+60

所以繞著月牙泉的岸邊步行一周,

22

2兀L

X三廠=（40+30V3）n米.

o

故答案為：（40+35/1）n.

Q

16.如圖，△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c且滿足(b+c)cosA=a(2-cosB

-cosC),b=c,設(shè)NA08=e(O<0<n).04=208=4,則四邊形OACB面積的最

大值為8+5、質(zhì).

解：由(b+c)cosA=a(2-cosB-cosC)及正弦定理得(sinB+sinC)cosA=sinA(2-cosB

-cisC),

化簡得sinC+sinB=2sinA,再用正弦定理得c+b=2a,又b=c,所以a=b=cf即三角

形ABC為正三角形，

在三角形AOB中1482=C2=IO4|2+IO8|2-210411。81cos6=16+4-2義2X4cosB=20-

16cos0,

S四邊…=S"+Sm=￥Wx2X4sine哼(2O-16cos0)+4sin6

=5，§+4sin。-4，§cos6

=5\/^+8sin(8),

兀7T2兀

V0<0<7T,-工-<8-~T-<os

兀、愿

sin(0-)G[-———?1],

32

的，8+5丙,

s四邊形

故答案為：8+5行.

c

三、解答題：（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

（-）必考題

17.已知｛%｝為等差數(shù)列，數(shù)列應(yīng)J的前"項和為S“，2ax=b=2,a2+izg=10,.

在對■Sn=b11-1，②bn=2入％（人為常數(shù)）這兩個條件中任選其中一個，補充在上面

的橫線上，并完成下面問題的解答.

（I）求數(shù)列｛與｝和｛8“｝的通項公式；

（II）求數(shù)歹U｛%+么｝的前n項和Tn.

解：選擇條件①：

（I）設(shè)等差數(shù)列｛”“｝的公差為“，

V2iz=2,a.+a=10,2a.+Sd=10,

IZoI

.?.a=1,d=l,

/.cifj=l+（n-1）Xl=n.

由聶2-I，得S,,=2色-D,

當(dāng)心2時，b=Sn-Sn=2色-1）-2（*-l），

即b=2b“J所以｛么｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.

n-1n

/.bn=2X2=2

(II)由(I)得an+bnF+211,

T;(1+21)+(2+22)+…+(n+2”)，

=(1+2+-+?)+(2I+22+-+2〃)，

2

_n(l+n),2(1-2")#19nn

2'1-2-2-2W

選擇條件②：

(I)設(shè)等差數(shù)列｛與｝的公差為d,

"：2a=2,a,+4=10,二2a,+8d=10,

IZo1

??4—■1,d--1>

，墨=1+（n-1）Xl=n,

九a

=r==

,bn2*9aj1>bj2,

九a

令〃=1,得b[=2"，即2=2人，，入=1,

ann

???bn=2=2.

（II）解法同選①的第（H）問解法相同.

18.為降低工廠廢氣排放量，某廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號的減排器，現(xiàn)分別從甲、乙兩種

減排器中各自抽取100件進行性能質(zhì)量評估檢測，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖

所示:

甲型號減排器乙型寫減排器

然并!賴率

mF麗

0.0X00.080

0.070

0.0600.060

0.050

0.0400.040

0.030

0.0200.020

除合得分。01。蹤點得分

758085Q095707580859095

減排器等級及利潤率如表，其中

yo

綜合得分2的范圍減排器等級減排器利潤率

上285一級品a

75WAV85二級品5〃2

70<k<75三級品“2

(1)若從這100件甲型號減排器中按等級分層抽樣的方法抽取10件，再從這10件產(chǎn)品

中隨機抽取4件，求至少有2件一級品的概率；

(2)將頻率分布直方圖中的頻率近似地看作概率，用樣本估計總體，則：

①若從乙型號減排器中隨機抽取3件，求二級品數(shù)S的分布列及數(shù)學(xué)期望E(J)；

②從長期來看，投資哪種型號的減排器平均利潤率較大？

解：(1)由已知及頻率分布直方圖中的信息知，甲型號減排器中的一級品的概率為

(0.08+0.04)X5=0.6,二級品的概率為0.4,

則用分層抽樣的方法抽取的10件甲型號減排器中有6件一級品，4件二級品，

2

c8!c4+c!cl4+c^5cS4

...從這10件產(chǎn)品中隨機抽取4件,至少有2件一級品的概率P=.。

C1。

37

42-

(2)①由己知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號減排器中的一級品的概率

二級品的概率占，三級品的概率為白，若從乙型號減排器隨機抽取3件，

420

則二級品數(shù)w所有可能的取值為0,1,2,3,且孑?B(3,4),

4

所以P(《=0)=嗎號)3號)。=!1,P廿1)=呂(卷)2g)2=胃,

P(92)=留號)1電2=卷,p(A3)=C退)。由3=卷

所以F的分布列為

0123

P272791

64646464

27?2791圣

所以數(shù)學(xué)期望E(?)n0Xv+1Xi-2x-77+3x-rr-=亍(或E(0=3X”=

=646i-646444

②由題意知，甲型號減排器的利潤的平均值紇=0&+0.4X5a2=2a2+0.6a,

乙型號減排器的利潤的平均值芯2=X5a2+7*X672=祭42+，彳。，

、

"P「"P2=742-元1k鍵7(a-1-),又v§1＜da?＜1京'

所以耳-々vo,即與＜4

所以投資乙型號減排器的平均利潤率較大.

兀

19.在三棱柱A8C-A/#］中,A8_L側(cè)面BB|C|C,/BCC］=~丁，BC=2,CC=4.

o

(I)求證：AC±BC1；

(II)若E為棱eg的中點，且AE與平面ABC所成角的正弦值為厚，求二面角A-

4

.E?A］的大小.

兀

【解答】（I）證明：在△8CC1中，/BCC1K，BC=2,CC1=4,

□

根據(jù)余弦定理，得BC[=J22+42-2X2X4Xco《-=2F，

2

VBC+BCi=CCi，：.BCA.BC{,

又AB,側(cè)面BB￡C,建立如圖空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AB=m,；H>0,

則

A(0,0,in)B(0,0,0),C(2,0,0),力(0,2Vs.0),B/-2,2行，0),

則菽=(2,0,-nO,BC；=(O,2e，0),

VAC-BC^=2XO+OX2V3-mX0=0,

.?.正1正；即ACJ_g；

(H)解：由ACL8C],BC±BCt，且AB,4c相交于平面ABC內(nèi)，故Bg，平面ABC,

即前^是平面ABC的法向量，

由￡為棱CC|的中點知E(LM，。)，AE=(1,M，-m),

?.?4E與平面A8C所成角的正弦值為陣，BP|COS<BC7,正坐，

414

I前？正I6V6

,一「%==解得機=2.

|BCj|AE|2V3xV4Mn24

?|JAE=(LV3--2),B7E=(3,-V3，0),B]A；=(O,0,2),

nj-AE=x[+@了]-2z[=0

設(shè)平面AB盧法向量為ri】=（x],y】，Z]）,由，

nj?B1E=3x1-7371=0

即n1=(l,VS-2),

一,、n2，B[E=2x2-Ev2=°

設(shè)平面B|EAi的法向量為以=(乂2，丫2,叼)，由，一_____,

n2'BiAj=2Z2=0

即E=(l,V3-0)，

%工2_4遭

則8s〈\,n2

|n.jI?In2IV^'V42

又由圖可知二面角A-B1E-4是銳二面角，

TT

故二面角A-BE-A的大小為一二.

114

22rr

20.已知橢圓C；三座廠l(a>b>0)的左、右焦點分別為工、F,,離心率為乎，P是

ab2

橢圓C上的一個動點，當(dāng)尸是橢圓C的上頂點時，△尸pF2的面積為L

(I)求橢圓C的方程；

(II)設(shè)斜率存在的直線尸尸2與橢圓C的另一個交點為Q.若存在TG,0),使得7Pl

=\TQ\,求f的取值范圍.

解：(I)由題可知橢圓離心率*■,當(dāng)尸為橢圓C的上頂點時，△/PF2的面積為1.

解得“=6，6=1，

2門

故橢圓C的方程為工+y2=].

2

(II)設(shè)尸(演，X),Q。2,為)，線段P。的中點為N(%,與)，直線尸尸2的斜率

為&，

設(shè)直線尸。的方程為y=A(x-1).

當(dāng)％=0時，r=0合題意；

y=k(x-l)

當(dāng)％W0時，<。9，得(1+2比)m-4k2x+2A2-2=0,

,x2+2y=2

4222+

△=16k-4(l+2k)(2k-2)=8k8>0,x1+x打一了

1%l+2k2

x+x

l22k2「一、-k

—=----2,了0*(叼-1)=-----2,

??V2l+2kz1+2k'

即田衛(wèi)2k力2,—-k%).

1+2k2l+2k2

：.\TP\=\TQ\,二直線TN為線段PQ的垂直平分線,

：.TNVPQ,即勺/左=-1.

2k2

l+2k^土

k21

0<^—<^-1

912,即北(0,春).

k/

21.已知函數(shù)尸(x)=2x-ex-2.

（I）若尸（x）的圖象的一條切線/在）'軸上的截距為1,求切線/的方程;

(II)求函數(shù)/(x)=Unx)i+F(x)的極值點個數(shù).

解：（I）由題可知/（%）=2-62

X-2x2

設(shè)切點坐標(biāo)為（X。，2Xo-e°）.則F'（xa）=2-e~

K-2Z(1-2

則切線方程為y-(2Xo-e°)=(2-e)(x-x0)-

故切線/在y軸上的截距為J0-2（XQ_1）=I，

?0-21

即eKT

xo1

可得%=2,且是唯一解,

???切線/的方程為y=x+L

（II）由題可知/（尢）=（bix）2+2X-ex-i,

則『仁》也生垃二Qi,其中》＞0,

設(shè)g(x)=2