高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 集合的含義與表示

第2.1章

2.1.1集合的含義與表示

鱉課程要求了解■求心中有敷

1了解集合的含義;，體會元素與集合的“屬于”關(guān)系；

高中要求2針對不同的具體問題，能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法

或描述法）加以描述.

L.U基礎(chǔ)知識夯實(shí)基礎(chǔ)，■立完整知識體系

1元素與集合的概念

一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構(gòu)

成的集合（或集），構(gòu)成集合的每個對象叫做這個集合的元素（或成員）.

2集合的元素特征

①確定性：給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.

Eg：街上叫聲帥哥，是男的都回個頭，帥哥沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，故"帥哥"不能組成集合.

②互異性：一個集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.

Eg：兩個學(xué)生名字都是“熊濤”，老師也要給他們起小名"熊大“"熊二"，以視區(qū)別.

若集合4=｛1,2,a],就意味a41.且aK2.

③無序性：集合中的元素?zé)o順序，可以任意排列、調(diào)換.

Eg：高一（1）班每月都換座位也改變不了它是（1）班的事實(shí)，｛1,2,3｝=｛2,3,1）.

3元素與集合的關(guān)系

若a是集合力的元素，則稱a屬于集合4記作a€力；

若a不是集合力的元素，則稱a不屬于集合力，記作a《4

Eg：菱形C｛平行四邊形｝,OGN,0g（1,2,3,4）.

4常用數(shù)集

自然數(shù)集（或非負(fù)整數(shù)集），記作N；正整數(shù)集，記作N*或N+；整數(shù)集，記作Z；

有理數(shù)集，記作Q；實(shí)數(shù)集，記作已

5集合的分類

有限集，無限集，空集0.

Eg：奇數(shù)集｛x|x=2n+1,nEZ｝屬于無限集，｛xeR\x2+1=0｝=0.

6集合的表示方法

①列舉法

把集合中的元素一-^列舉出來，并用花括號"｛｝”括起來表示集合的方法叫列舉法.

②描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，稱為描述法.

方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，

在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.一般格式：｛尤eA\P（x）｝.

用符號描述法表示集合時應(yīng)注意：

（1）弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是數(shù)還是點(diǎn)、還是集合、還是其他形式？

（2）元素具有怎么的屬性？當(dāng)題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽存真,

而不能被表面的字母形式所迷惑.

⑶Eg

果口元素化簡結(jié)果

{x|%2—%—2=0}方程/一比一2=0的解{-1,2}

{x|x2—%—2<0}不等式/一久一2<0的解集[%|—1<%<2]

{x\y=%2—%—2}函數(shù)y=%2-x-2中工取值范圍（定義域）R

9

{y\y=x2—%—2}函數(shù)y=%2-%-2中y取值范圍（值域）{y\y>--7)

{(x,y)|y=%2—%—2}函數(shù)y=%2-%-2的圖像上的點(diǎn)——

看集合先看元素類型.

摟經(jīng)典例題從典例中見修修筋力

【題型1】集合元素的特征

【典題1】下列說法正確的是（）

4數(shù)學(xué)成績較好的同學(xué)組成一個集合；

8.所有小的正數(shù)組成的集合；

C.集合口，2,3,4,5｝和｛5,4,3,2,1｝表示同一個集合；

D.1,0.5,|,這些數(shù)組成的集合有五個元素.

解析由于"較好"、"小的"沒有一個明確的標(biāo)準(zhǔn)，4,8的對象不具備確定性;

。中的。.5,三個數(shù)相等，|,初等，故集合只有3個元素;

集合具有無序性，所以C是正確的；故選C.

變式練習(xí)

1.下列選項能組成集合的是()

A.著名的運(yùn)動健兒B.英文26個字母C.非常接近0的數(shù)D.勇敢的人

答案B

解析著名的運(yùn)動健兒，元素不確定，不能組成集合；

英文26個字母，滿足集合元素的特征，所以能組成集合；

非常接近0的數(shù)，元素不確定，不能組成集合；

勇敢的人，元素不確定，不能組成集合；

故選B.

2.若集合中三個元素為邊可構(gòu)成一個三角形，則該三角形一定不可能是()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

答案D

3.下列所給的對象能構(gòu)成集合的是.

(1)所有直角三角形；(2)全國高聳的山脈；(3)比較接近1的正整數(shù)全體；

(4)某校高一年級的16歲以下的學(xué)生；(5)3,s譏30。，V7.

解析(1)能，集合元素是直角三角形；

(2)不能，“高聳”的標(biāo)準(zhǔn)是模糊的、不確定的，所以元素不確定，故不能構(gòu)成集合；

(3)不能，“比較接近1”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，所以元素不確定，故不能構(gòu)成集合；

(4)能，集合元素是“16歲以下的學(xué)生”；

(5)不能，s出30。=',有兩個數(shù)字重復(fù)，不符合元素的互異性.故答案是(1)(4)

【題型2】元素與集合的關(guān)系

【典題1】已知集合4含有兩個元素a—3和2a—1,若一364，則實(shí)數(shù)a=.

解析—3GAf—3=a—3或一3=2a—1.

若—3=a—3,則a=0,

此時集合4含有兩個元素-3,-1,符合題意.

若一3=2a—1,則a=-1,

此時集合4含有兩個元素-4,-3,符合題意.

綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)a的值為0或-1.

變式練習(xí)

1.下列所給關(guān)系正確的個數(shù)是()

①兀6R；②百0Q；③OCN*；④I—4|￡N*.

答案B

解析①②對，故選B.

2.設(shè)不等式3-2x<0的解集為M,下列關(guān)系中正確的是()

A.0EM,2eMB.0gM,2eMC.0eM,2?MD.0gM,2M

答案B

解析當(dāng)x=0時，3-2x=3>0,所以O(shè)EM；

當(dāng)％=2時，3-2%=-1<0,所以2CM.

3.對于集合4={2,4,6},若aeA,貝lj6-a64,那么a的取值是.

解析當(dāng)a=2,4滿足題意，當(dāng)a=6時，6-6-0A.

4.已知非空集合M滿足：若％CM,則CM,則當(dāng)4CM時，集合M的所有元素之積等

1-X

于.

答案一1

解析依題意，得當(dāng)4CM時，有二=—從而總===4CM,

1-43+1-4

于是集合M的元素只有4,；所有元素之積等于4x(-：)x*=—1.

【題型3】集合的表示

【典題1】用列舉法表示下列集合

(1)11以內(nèi)偶數(shù)的集合；

(2)方程(久+1)(%2-4)=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；

(3)一次函數(shù)y=2x與y=x+1的圖象的交點(diǎn)組成的集合.

解析(1)[2,4,6,8,10);

(2)解方程(x+1)(——4)=0,得Xi=-1,x2--2,x3=2,

故方程(x+1)(%2—4)=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為{-2,—1,2}；

'y=2xfs(x=1

,y=x+嚴(yán)(y=2

因此一次函數(shù)y=2x與y=x+1的圖象的交點(diǎn)為(1,2),故所求的集合為{(1,2)}.

【典題2】設(shè)集合B=fxGN|-^GN).

I2+x)

⑴試判斷元素1,2與集合B的關(guān)系；(2)用列舉法表示集合B.

解析(1)當(dāng)%=1時,信=2EN.

當(dāng)％=2時，2=^=g￡N.因此1WB，2史B.

(2)-^―EN,%EN,?,?2+%只能取2,3,6.

2+x

??.X只能取0,1,4,B={0,1,4).

【典題3]若集合A^{x\ax2-ax+l<0]=0,則實(shí)數(shù)a的取值集合為()

A.{a|0<a<4}B.{a|0<a<4}C.{a|0<a<4]D.{a|0<a<4]

解析當(dāng)a=0時，不等式等價于1<0,此時不等式無解；

當(dāng)a70時，要使原不等式無解，應(yīng)滿足

即憂°4"0,解得。<。<心

綜上，a的取值范圍是[0,4).

故選：B.

變式練習(xí)

1.集合尸={x\x-2k,kGZ},M={x\x=2fc+1,fcEZ},S-{x\x=4fc+1,kEZ],aGP,

bEM,

設(shè)。=a+b,則有()

A.CEPB.CEMC.CESD.以上都不對

答案B

解析aeP,bEM,c=a+b,

設(shè)a=2k],匕EZ,b=2fc2+1，k2cZ,

c=2kl+2k2+1=2(ki+fc2)+L

又k]+k,2€Z,cGM.

2.已知集合4={戶+s2|t,seZ},且久c4yeA,則下列結(jié)論正確的是()

A,x+yEAB.x-yeAC.xyEAD.A

答案C

22

解析,?,集合/={t+S\tfSEZ},

IEA,2E/,1+2=3￡4故4“％+yEZ”錯誤；

又???1-2=—1￡4,故B:f/x-yG4'錯誤；

又二金力，故D：“工64”錯誤；故選c.

2y

(為什么％yeA2令％=產(chǎn)+s2,y=4+S，

22222

xy=(t+S)(ti+S。=tt1+tsl+Stj+S2s彳=(tSi+Stj2+(tt1—SS1)2e4)

3.集合力=(x,xy,xy-1],其中久eZ,yeZ且y40,若0e力，貝i|4中的元素之和為.

答案0

解析因為0C4所以若x=o,則集合4={0,0,-1}不成立.所以XK0.

若因為y#o,所以xyK。，所以必有xy-1=0,所以xy=l.

因為無eZ,yeZ,所以x=y=1或乂=y=—1.

若x=y=l,此時4={1,1,0}不成立，舍去.

若x=y=—1,則力={-1,1,0},成立.

所以元素之和為1-1+0=0.

4.用列舉法表示集合M={m\eN,mEZ]=；

答案M=[0,1,2,3,5,11}

解析?.?含eN,rnez；M={0,l,2,3,5,ll}.

5.設(shè)M是一個非空集合，#是它的一種運(yùn)算，如果滿足以下條件：

⑴對M中任意元素a,b,c都有(a#b)#c=a#(6#c)；

(2)對M中任意兩個元素a,b,滿足a#6eM.

則稱M對運(yùn)算#封閉.

下列集合對加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算都封閉的為,

1{-2,-1,1,2}②{1,-1,0}③Z④Q.

答案②③④.

解析(1)的意思是滿足結(jié)合律，(2)的意思是兩個元素運(yùn)算后還屬于原集合的.

①中，當(dāng)a=-1,b=l時，a+b=0《{-2,—1,1,2},

當(dāng)a=—2,6=2時，axb=14《{-2,-1,1,2},

故①中集合對加法和乘法都不封閉，

②中集合M={1,-1,0}滿足：(1)對網(wǎng)中任意元素(1,6,￡：都有(￡1+b)+c-a+(b+c)；

(2)對M中任意兩個元素a,6,滿足a+beM.

故②中集合對加法運(yùn)算封閉，同理可得對乘法運(yùn)算也封閉；

③中集合“=2,整數(shù)加法和乘法運(yùn)算均滿足結(jié)合律，滿足第一點(diǎn)，整數(shù)加整數(shù)，整數(shù)

乘以整數(shù)還是整數(shù)，滿足第二點(diǎn)，故③中集合對加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算都封閉；

④中集合M=Q,有理數(shù)加法和乘法運(yùn)算均滿足結(jié)合律，滿足第一點(diǎn)，有理數(shù)加有理數(shù),

有理數(shù)乘以有理數(shù)還是整數(shù)，滿足第二點(diǎn)，故④中集合對加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算都封閉；

故答案為：②③④

6.用描述法表示下列集合：

(1)大于一3且小于4的所有自然數(shù)組成的集合；

(2)不等式/一2久一3<0的解集;

(3)\(陰影部分的點(diǎn)(包括邊界上的點(diǎn))的坐標(biāo)的集合)

答案(1)用描述法表示為｛%&N\-3<x<4]；

(2)用描述法表示為｛xeR\x2-2x-3<0｝；

(3)用描述法表示為｛(無,丫)|且一2WyW0｝.

7.若集合/=(x\ax2+2%+1=0,aeR｝至多有一個元素，求a的取值范圍.

答案｛a[a=0或a>1｝

解析,??集合4=｛x\ax2+2%+1=0,a€R｝至多有一個元素，

，a=。或1力?”「°，解得a=0或a21,

(△=4-4a<0

??.a的取值范圍是｛a|a=0或a>1].

故答案為：｛a\a=0或a>1｝.

輕松訓(xùn)練通過練習(xí)，IHE9IS力

1.下列各組對象能構(gòu)成集合的是()

A.充分接近的所有實(shí)數(shù)B.所有的正方形

C.著名的數(shù)學(xué)家D.1,2,3,3,4,4,4,4

答案B

解析選項人C不滿足集合的確定性；集合B正方形是確定的，故能構(gòu)成集合；選項D不滿

足集合的互異性.故選：B.

2.集合｛x-I,%2-1,2｝中的x不能取得值是()

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析根據(jù)集合元素的互異性，x-1力/—1力2,可以把2BCD四個選項代入集合用排除

法.

3.已知集合4=｛x|2x+a>0｝(aeR),且IC力，2eA,貝！]()

A.CL>—4B.ci<-2C.-4Va<-2D.—4Vct4-2

答案D

解析1ex,2",解得—4<aW—2,故選：D.

4.已知集合4=｛x|/一1>o｝,那么下列結(jié)論正確的是()

A.0"B.1exC.-IEAD.1WZ

解析0」一1都不是第2一1>。的解，貝|0,1,-1￡4故選：D.

5.若集合4={123},8={(%,y)|%+y—4>0,%,y62},則集合8中的元素個數(shù)為()

A.9B.6C.4D.3

答案D

解析通過列舉，可知居4的數(shù)對共9對，

即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共9種，

B={(%,y)\x+y—4>O,x,yGZ},

???易得(2,3),(3,2),(3,3)滿足x+y—4>0,

二集合B中的元素個數(shù)共3個.故選：D.

6.已知力={4一2,2&2+5d12}且一36力，則由a的值構(gòu)成的集合是.

答案{-|)

解析V-3eA,A={a-2,2a2+5a,12}；

&-2=-3f2a2+5a=-3

2a2+5a中一3或，a—2力—3>解得a=-

.2a2+5a12(a—2力12

故答案：{—1}.

7.已知含有三個實(shí)數(shù)的集合既可表示成{a3,1},又可表示成{a2,a+b,0},則

a2017+爐°18=.

答案-1

解析根據(jù)題意，由{a,g,l}={a?,a+6,0}可得a=0或g=0,

又由2的意義，則aHO,必有2=0,則b=0,

aa

貝Ka,。［}={a2,a,0),

則有a?=1,即a=1或a=—1,

集合{a,0,1}中，a」l,則必有a=—l

貝以2017+按018=(-1)2017+02018=_「

8.試分別用列舉法和描述法表示下列集合：

⑴方程/-久-2=0的解集；(2)大于一1且小于7的所有整數(shù)組成的集合.

解析(1)方程久2-“一2=0的根可以用x表示，它滿足的條件是/一萬-2=0,

因此，用描述法表示為{xeR|/—%—2=0}；

方程/—萬一2=0的根是—1,2,因此，用列舉法表示為{—1,2}.

(2)大于一1且小于7的整數(shù)可以用x表示，它滿足的條件是x6Z且—1<x<7,

因此，用描述法表示為{%eZ|-l<x<7};

大于一1且小于7的整數(shù)有0,1,2,3,4,5,6,因此，用列舉法表示為{0,1,2,3,4,5,6}.

9.設(shè)集合2-{m\^EN,mEN,m<10}.

(1)試判斷元素1,2與集合4的關(guān)系；(2)用列舉法表示集合A

答案(1)1271；2C4(2)4={2,5,8}

解析(1)當(dāng)m=l時，滿足mCMznWlO,而m=—故104；

當(dāng)