初中七年級數(shù)學(xué) 平面解析幾何 圓與方程

米青品

第八篇平面解析幾何

專題8.03圓與方程

【考試要求】

掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.

【知識梳理】

1.圓的定義和圓的方程

定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做圓

圓心C(a,b)

標(biāo)準(zhǔn)(x—。)2+。b)2=r2(r>0)

半徑為,?

充要條件：￡>2+E2-4F>0

方程

x2+y2+Dx+Ey+F,=0圓心坐標(biāo)：（一?，一亨）

一般

(D2+E2-4F>0)

半徑D2+E2—4F

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

平面上的一點(diǎn)加（7,%）與圓C：（x—a）2+（y—b）2=r2之間存在著下列關(guān)系：

（l）LWCI>r=M在圓外，即（x。-a）2+G>0—匕）2>r20M在圓外；

（2）IMCI=r=M在圓上，即（%一°）2+。0—匕）2=r2=M在圓上；

（3）IMCI<ru>M在圓內(nèi)，即（%一°）2+。0—6）2<匚0/在圓內(nèi).

【微點(diǎn)提醒】

1.圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為r的圓的方程為xi+y2—r2.

2.以4（X],%）,8（々，為）為直徑端點(diǎn)的圓的方程為（x—*1>。一々）+。一%）。一丫2）=°?

【疑誤辨析】

1.判斷下列結(jié)論正誤（在括號內(nèi)打“J”或“X”）

（1）確定圓的幾何要素是圓心與半徑.（）

（2）方程x2+y2=°2表示半徑為a的圓.（）

（3）方程x2+y2+4nu~2y+5M1=0表示圓.（）

（4）方程Att+"y+Cy2+Dr+Ey+F=0表示圓的充要條件是4=CW0,B=0,D2+E2~4AF>0.（）

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【教材衍化】

2.(必修2P124Al改編)圓x2+*-4x+6y=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()

A.(2,3),3B.(-2,3),小

C.(一2,—3),13D.(2,-3),g

3.(必修2P130例3改編)過點(diǎn)A(l,-1),8(—1,1),且圓心在直線x+y—2=0上的圓的方程是()

A.(x-3)2+G+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4

C.(x-1)2+G>—1)2=4D.(x+1)2+。+1)2=4

【真題體驗(yàn)】

4.(2019?日照調(diào)研)若點(diǎn)(1,1)在圓(x—。)2+。+。)2=4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-l,1)B.(0,1)

C.(-8,-1)U(1,+o0)D.a=±l

5.(2019.荊州模擬)若圓(x—1)2+°—1)2=2關(guān)于直線y=kx+3對稱，則k的值是()

A.2B.-2C.lD.-1

6.(2016,浙江卷)已知“GR,方程GX2+(a+2))，2+4x+8y+5a=0表開;圓，則圓心坐標(biāo)是，半徑是

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【考點(diǎn)聚焦】

考點(diǎn)一圓的方程

[例1](1)(一題多解)(2018?天津卷)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為

(2)(一題多解)已知圓C的圓心在直線x+y=0上，圓C與直線x—y=0相切，且在直線x—y—3=0上截得

的弦長為逆，則圓C的方程為.

【規(guī)律方法】求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程.一般來說，求圓的方程有兩種方法：

(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量.確定圓的方程時(shí)，常用到的圓的三個(gè)性質(zhì)：①圓心在過

切點(diǎn)且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線；

(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解.

【訓(xùn)練1】⑴若圓C：X2+Q+J)=〃的圓心為橢圓M：3+，盯2=1的一個(gè)焦點(diǎn)，且圓C經(jīng)過M的另一

個(gè)焦點(diǎn)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

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(2)(2018?棗莊模擬)已知圓M與直線x-y=0及x-y+4=0都相切，且圓心在直線y=~x+2上，則圓M

的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問題

角度1斜率型、截距型、距離型最值問題

【例2—1】已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+l=0.

⑴求押最大值和最小值；

(2)求y—x的最大值和最小值；

(3)求x2+y2的最大值和最小值.

【規(guī)律方法】把有關(guān)式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化或利用所給式子的幾何意義解題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的數(shù)

學(xué)思想，其中以下幾類轉(zhuǎn)化較為常見：

(1)形如機(jī)=0的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題；

x-a

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(2)形如m=ax+hy的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題；

(3)形如，w=(x-a)2+(y—b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離的平方的最值問題.

角度2利用對稱性求最值

【例2一2】已知圓G：。-2)2+。-3)2=1,圓C2：。-3)2+0-4)2=9,M,N分別是圓g,C2上的動(dòng)

點(diǎn),尸為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則PMI+PNI的最小值為()

A.5帀-4B.y/U-1

C.6-26D.y[17

【規(guī)律方法】求解形如IPM+IPM(其中M,N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：

(1)“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；

(2)“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決.

【訓(xùn)練2】(1)設(shè)點(diǎn)2是函數(shù)用=一#4一(x—l)2圖象上的任意一點(diǎn),點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2a,a—3)(”CR),則IPQI

的最小值為.

(2)已知4(0,2),點(diǎn)P在直線x+y+2=0上，點(diǎn)。在圓C：x2+y2-4x-2y=0±,則IPAl+PQI的最小值是

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考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡問題

【例3】已知圓笫+*=4上一定點(diǎn)4(2,0),B(l,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P,。為圓上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求線段4尸中點(diǎn)的軌跡方程：

(2)若/尸80=90。，求線段尸。中點(diǎn)的軌跡方程.

【規(guī)律方法】求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：

(1)直接法，直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；

(2)定義法，根據(jù)圓、直線等定義列方程；

(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程：

(4)代入法，找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等.

【訓(xùn)練3】已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線/與圓C］：x2+>2—6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A,B.

⑴求圓C,的圓心坐標(biāo)；

(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程.

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【反思與感悟】

1.確定一個(gè)圓的方程，需要三個(gè)獨(dú)立條件.“選形式、定參數(shù)”是求圓的方程的基本方法，是指根據(jù)題設(shè)條

件恰當(dāng)選擇圓的方程的形式，進(jìn)而確定其中的三個(gè)參數(shù).

2.解答圓的問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，簡化運(yùn)算.

【易錯(cuò)防范】

1.求圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件，所以不論是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個(gè)獨(dú)立方程.

2.熟練掌握配方法，能把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.

【分層訓(xùn)練】

【基礎(chǔ)鞏固題組】（建議用時(shí)：40分鐘）

一、選擇題

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1.(2019?寧波調(diào)研)已知圓C的圓心為(2,—1),半徑長是方程(x+l)(x—4)=0的解，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(x+l)2+(y-2)2=4B.(x—2)2+。-1)2=4

C.(x-2)2+(y+1)2=16D.(X+2)2+。-1)2=16

2.(2019?臨沂模擬)已知圓C：(x-6)2+(y—8)2=4,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以O(shè)C為直徑的圓的方程為()

A.(X-3)2+G+4)2=100B.(x+3)2+(y-4)2=100

C.(x-3)2+O—4)2=25D.(x+3)2+。-4)2=25

3.若方程x2+y2+or+2ay+2a2+a—1=0表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(—0°,—2)UQ,+8)B.(一多0)

C.(-2,0)D.(-2,fl

4.點(diǎn)尸(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()

A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4

C.(x+4)2+(y—2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1

5.已知點(diǎn)A是直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)，且A(2a,2),8(—4,a),C(2a+2,2),則/XBC外接圓的方

程是()

A.xa+(y—3)2=5Bjc2+(y+3)2=5

C.(X-3)2+*=5D.(X+3)2+*=5

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二、填空題

6.已知圓C：(》一2)2+。+機(jī)―4)2=1,當(dāng)母變化時(shí)，圓C上的點(diǎn)與原點(diǎn)。的最短距離是,

7.(2019?湖州模擬)已知圓C：x2+y2+kx+2y=-k2,當(dāng)圓C的面積取最大值時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為.

8.已知點(diǎn)M(l,0)是圓C：煞+>-敘一2>=0內(nèi)的一點(diǎn)，那么過點(diǎn)M的最短弦所在直線的方程是.

三、解答題

9.已知以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)4-1,0)和8(3,4),線段A8的垂直平分線交圓P于點(diǎn)C和。，且ICQI

(1)求直線CD的方程；

(2)求圓P的方程.

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10.已知點(diǎn)P(2,2),圓C：x2+*—8y=0,過點(diǎn)P的動(dòng)直線/與圓C交于A,B兩點(diǎn)，線段A8的中點(diǎn)為M,

O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求M的軌跡方程；

(2)當(dāng)IOPI=IOMI時(shí)，求/的方程及△POM的面積.

【能力提升題組】(建議用時(shí)：20分鐘)

11.若圓◎過點(diǎn)(0,-1),(0,5),且被直線x-y=0截得的弦長為2帀，則圓。的方程為()

A.X2+&-2)2=9或(x+4)2+(y—2)2=25

B.X2+。-2)2=9或(R—1