初中數(shù)學(xué)120大招-104 與最值、定值相關(guān)的壓軸題

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《探索二次函數(shù)綜合型壓軸題解題技巧》與最值、定值相關(guān)的壓軸題方法提煉：1、已知一條直線上一動點(diǎn)M和直線同側(cè)兩個(gè)固定點(diǎn)A、O，求AM+OM最小值的問題，我們只需做出點(diǎn)O關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)B，將點(diǎn)A與B連接起來交直線與點(diǎn)M，那么AB就是AM+OM的最小值。同理，我們也可以做出點(diǎn)A關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)A’，將點(diǎn)O與A’連接起來交直線與點(diǎn)M，那么OA’就是AM+OM的最小值。應(yīng)用的定理是：兩點(diǎn)之間線段最短。

2、

初中階段學(xué)過的有關(guān)線段最值的有：兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短；及三角形三邊之間的關(guān)系，“兩邊之和大于第三邊”求第三邊的最小值；“兩邊之差小于第三邊”，求第三邊的最大值；還有稍微難一點(diǎn)的就是利用二次函數(shù)及其自變量取值范圍來求最大值。典例引領(lǐng)：8．已知拋物線C：y＝ax2﹣2ax+c經(jīng)過點(diǎn)C（1，2），與x軸交于A（﹣1，0）、B兩點(diǎn)（1）求拋物線C的解析式；（2）如圖1，直線y＝x交拋物線C于S、T兩點(diǎn)，M為拋物線C上A、T之間的動點(diǎn)，過M點(diǎn)作ME⊥x軸于點(diǎn)E，MF⊥ST于點(diǎn)F，求ME+MF的最大值；（3）如圖2，平移拋物線C的頂點(diǎn)到原點(diǎn)得拋物線C1，直線l：y＝kx﹣2k﹣4交拋物線C1于P、Q兩點(diǎn)，在拋物線C1上存在一個(gè)定點(diǎn)D，使∠PDQ＝90°，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．分析：（1）利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；（2）先確定出ME，MF與t的關(guān)系，最后建立ME+MF與t的函數(shù)關(guān)系式，即可得出結(jié)論；（3）先求出x2+2kx﹣4k﹣8＝0，進(jìn)而得出x1+x2＝﹣2k，x1x2＝﹣4k﹣8，而DE'?DF'＝PE'?QF'，得出（a﹣x1）（x2﹣a）＝（b﹣y1）（b﹣y2），借助b＝，y1＝，y2＝，即可得出（a﹣x1）（x2﹣a）＝（a+x1）（a+x2）（x1﹣a）（x2﹣a），即可得出結(jié)論．解：（1）∵拋物線C：y＝ax2﹣2ax+c經(jīng)過點(diǎn)C（1，2），與x軸交于A（﹣1，0）、B兩點(diǎn)∴，∴；（2）如圖1，設(shè)直線OT交ME于G，設(shè)M（t，），則ME＝，G（t，t），OG＝t，MG＝，sin∠OGE＝sin∠MGF＝，MF＝MG＝，ME+MF＝，a＜0，當(dāng)t＝時(shí)，ME+MF的最大值為；（3）如圖2，過D作E'F'∥x軸，作PE'⊥E'F'于E'，QF'⊥E'F'于F'，設(shè)D（a，b），P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立，得x2+2kx﹣4k﹣8＝0∴x1+x2＝﹣2k，x1x2＝﹣4k﹣8，由△PE'D∽△DF'Q得，，∴DE'?DF'＝PE'?QF'，∴（a﹣x1）（x2﹣a）＝（b﹣y1）（b﹣y2），∵b＝，y1＝，y2＝∴（a﹣x1）（x2﹣a）＝（）（）∴（a﹣x1）（x2﹣a）＝（a+x1）（a+x2）（x1﹣a）（x2﹣a），∴﹣4＝（a+x1）（a+x2），∴x1x2+a（x1+x2）+a2＝﹣4，∴﹣4k﹣8+a（﹣2k）+a2＝﹣4∴a2﹣4﹣2ak﹣4k＝0，∴（a+2）（a﹣2）﹣2k（a+2）＝0，∵k為任意實(shí)數(shù)，∴a+2＝0，∴a＝﹣2，∴b＝﹣2，∴D（﹣2，﹣2）．點(diǎn)評：此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，根與系數(shù)的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，得出（a﹣x1）（x2﹣a）＝（a+x1）（a+x2）（x1﹣a）（x2﹣a）是解本題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練：1．如圖，拋物線與x軸交于A（﹣4，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C，M為此拋物線的頂點(diǎn)．（1）求此拋物線的函數(shù)解析式；（2）動直線l從與直線AC重合的位置出發(fā)，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與直線AB重合時(shí)終止運(yùn)動，直線l與BC交于點(diǎn)D，P是線段AD的中點(diǎn)．①直接寫出點(diǎn)P所經(jīng)過的路線長為；②點(diǎn)D與B、C不重合時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，作DF⊥AB于點(diǎn)F，連接PE、PF、EF，在旋轉(zhuǎn)過程中，求EF的最小值；（3）將拋物線C1平移得到拋物線C2，已知拋物線C2的頂點(diǎn)為N，與直線AC交于E、F兩點(diǎn)，若EF＝AC，求直線MN的解析式．2．如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)A，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)D，直線AB交拋物線W于另一點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．（1）求直線AB的解析式；（2）求tan∠BDC的值；（3）將拋物線W向下平移m（m＞0）個(gè)單位得到拋物線W1，如圖2，記拋物線W1的頂點(diǎn)為A1，與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為D1，與射線BC的交點(diǎn)為C1．問：在平移的過程中，tan∠D1C1B是否恒為定值？若是，請求出tan∠D1C1B的值；若不是，請說明理由．3．如圖，已知拋物線y＝ax2+2x+c與y軸交于點(diǎn)A（0，6），與x軸交于點(diǎn)B（6，0），點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)．（1）求這條拋物線的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在x軸上，是否存在以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿線段AB上方的拋物線向終點(diǎn)B移動時(shí)，點(diǎn)P到直線AB的距離為d，求d最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．4．如圖1．已知直線l：y＝﹣1和拋物線L：y＝ax2+bx+c（a≠0），拋物線L的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A（2，）直線y＝kx+1與y軸交于點(diǎn)F，與跑拋物線L交于點(diǎn)B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．（1）求拋物線L的解析式；（2）求證：無論k為何值，直線l總是與以BC為直徑的圓相切；（3）①如圖2，點(diǎn)P是拋物線L上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥l于點(diǎn)M，試判斷PM與PF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②將拋物線L和點(diǎn)F都向右平移2個(gè)單位后，得到拋物線L1和點(diǎn)F1，Q是拋物線L1上的一動點(diǎn)，且點(diǎn)Q在L1的對稱軸的右側(cè)，過點(diǎn)Q作QN⊥l于點(diǎn)N，連接QA．求|QA﹣QN|的最大值，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）交軸于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4（1）求拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)M在拋物線y＝ax2+2ax﹣3a的圖象上，點(diǎn)N在x軸上，當(dāng)以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）過點(diǎn)D作直線DE∥y軸，交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上B，D兩點(diǎn)間的一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，D兩點(diǎn)重合），PA、PB與直線DE分別交于點(diǎn)F，G，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)，EF+EG是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．6．【定義】函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)P（x，y），y﹣x稱為該點(diǎn)的“坐標(biāo)差”，函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的“坐標(biāo)差”的最大值稱為該函數(shù)的“特征值”【感悟】根據(jù)你的閱讀理解回答問題：（1）點(diǎn)P（2，1）的“坐標(biāo)差”為；（直接寫出答案）（2）求一次函數(shù)y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”；【應(yīng)用】（3）二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)A與點(diǎn)B的“坐標(biāo)差”相等，若此二次函數(shù)的“特征值”為﹣1，當(dāng)m≤x≤m+3時(shí)，此函數(shù)的最大值為﹣2m，求m．7．若一次函數(shù)y＝kx+m的圖象經(jīng)過二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)，我們則稱這兩個(gè)函數(shù)為“丘比特函數(shù)組”（1）請判斷一次函數(shù)y＝﹣3x+5和二次函數(shù)y＝x2﹣4x+5是否為“丘比特函數(shù)組”，并說明理由．（2）若一次函數(shù)y＝x+2和二次函數(shù)y＝ax2+bx+c為“丘比特函數(shù)組”，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c頂點(diǎn)在二次函數(shù)y＝2x2﹣3x﹣4圖象上并且二次函數(shù)y＝ax2+bx+c經(jīng)過一次函數(shù)y＝x+2與y軸的交點(diǎn)，求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的解析式；（3）當(dāng)﹣3≤x≤﹣1時(shí)，二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣4的最小值為a，若“丘比特函數(shù)組”中的一次函數(shù)y＝2x+3和二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（b、c為參數(shù)）相交于PQ兩點(diǎn)請問PQ的長度為定值嗎？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，0），且OB＝OC＝3OA，動點(diǎn)P在過A、B、C三點(diǎn)的拋物線上（1）求拋物線的解析式（2）如圖1，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△BCP是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由（3）如圖2，過動點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為F，連結(jié)EF，當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，線段EF最短，求出EF長的最小值．9．如圖，拋物線y＝ax2﹣2x+c與x軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝x+3經(jīng)過A，C兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)N是x軸上的動點(diǎn)，過點(diǎn)N作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，交直線AC于點(diǎn)H．①點(diǎn)D在線段OC上，連接AD、BD，當(dāng)AH＝BD時(shí)，求AD+AH的最小值；②當(dāng)OC＝3OD時(shí)將直線AD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)45°，使直線AD與y軸交于點(diǎn)P，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．10．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，P為線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)D，當(dāng)△CDP為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，拋物線的頂點(diǎn)為E，EF⊥x軸于點(diǎn)F，N是直線EF上一動點(diǎn)，M（m，0）是x軸一個(gè)動點(diǎn)，請直接寫出CN+MN+MB的最小值以及此時(shí)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)A，對稱軸x＝﹣2交x軸于點(diǎn)C，直線l過點(diǎn)N（0，﹣2），且與x軸平行，過點(diǎn)P作PM⊥l于點(diǎn)M，△AOB的面積為2．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)∠MPN＝∠BAC時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）①求證PM＝PC；②若點(diǎn)Q坐標(biāo)為（0，2），直接寫出PQ+PC的最小值．12．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為（1，4），交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點(diǎn)G為直線PQ上的一動點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)H，使D，G，H，F(xiàn)四點(diǎn)所圍成的四邊形周長最?。咳舸嬖?，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)G，H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)D（2，3）．（1）求這條拋物線的表達(dá)式；（2）將該拋物線向下平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)G在x軸上．原拋物線上一點(diǎn)M平移后的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N，如果△AMN是以MN為底邊的等腰三角形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P為拋物線上第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE⊥OP，垂足為E，點(diǎn)Q為y軸上的一個(gè)動點(diǎn)，連接QE、QD，試求QE+QD的最小值．

參考答案1．解：（1）∵拋物線與x軸交于A（﹣4，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+4；（2）①在Rt△BOC中，BC＝＝＝2．∵點(diǎn)D是線段BC一點(diǎn)，P是線段AD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)P運(yùn)動的路徑是△ABC的中位線P1P2，如圖1，則P1P2＝BC＝．故答案為：；②如圖2，∵DE⊥AC，DF⊥AB，P是線段AD的中點(diǎn)，∴PE＝PA＝PD＝PF，∴點(diǎn)A、E、D、F在以點(diǎn)P為圓心，AD為半徑的圓上，∴∠EPF＝2∠EAF．∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，∴∠CAO＝∠ACO＝45°，∴∠EPF＝90°，∴EF＝＝PE＝AD．根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD最小，此時(shí)EF最小，此時(shí)，S△ABC＝BC?AD＝×2?AD＝12，解得：AD＝，此時(shí)EF＝，則EF的最小值為；（3）如圖3，設(shè)直線AC的解析式為y＝mx+n，則有，解得：，∴直線AC的解析式為y＝x+4．由EF＝AC可得MN∥AC．可設(shè)直線MN的解析式為y＝x+t．∵點(diǎn)M是拋物線y＝﹣x2﹣x+4的頂點(diǎn)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，），把M（﹣1，）代入y＝x+t，得﹣1+t＝，解得t＝，∴直線MN的解析式為y＝x+．2．解：（1）在中，當(dāng)x＝0時(shí)，有y＝﹣2，∴A（0，﹣2），∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），可設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，則，解得，∴直線AB的解析式為y＝2x﹣2；（2）在中，當(dāng)y＝0時(shí)，有，解得：x1＝﹣2，x2＝2，∵拋物線與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)D，∴D（﹣2，0），∵點(diǎn)C是直線AB與拋物線W的交點(diǎn)，∴聯(lián)立方程組，解得，，由此可知，C（4，6），過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，∴CE＝6，OE＝4，∴DE＝DO+OE＝6，∴△CDE為等腰直角三角形，∴∠CDE＝45°，∴tan∠CDE＝1，∴tan∠BDC＝1；（3）tan∠D1C1B恒為定值，理由如下：由題意，拋物線W1的解析式為，設(shè)點(diǎn)D1的坐標(biāo)為（t，0），其中t＜0，∴，∴，∴，∵點(diǎn)C1是直線BC與拋物線W1的交點(diǎn)，∴，解得，，∵點(diǎn)C1是直線BC與拋物線W1的交點(diǎn)，且t＜0，∴點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（2﹣t，2﹣2t），過C1作C1E1⊥x軸于點(diǎn)E1，∴C1E1＝2﹣2t，OE1＝2﹣t，∴D1E1＝D1O+OE1＝2﹣t+（﹣t）＝2﹣2t，∴C1E1＝D1E1，∴Rt△C1D1E1為等腰直角三角形，∴∠C1D1E1＝45°，由（2）知∠BDC＝45°．∴∠C1D1E1＝∠BDC，∴D1C1∥DC，∴∠D1C1B＝∠DCB，∴tan∠D1C1B＝tan∠DCB，∴tan∠D1C1B恒為定值．如圖2，過B作BF⊥DC于點(diǎn)F，∵∠BDC＝45°，∴Rt△BDF為等腰直角三角形，∵BD＝OD+OB＝3，DF＝BF＝，由（1）知，DC＝6，F(xiàn)C＝DC﹣DF＝，∴在Rt△BFC中，有tanFCB＝＝，∴tan∠D1C1B＝．3．解：（1）物線y＝ax2+2x+c與y軸交于點(diǎn)A（0，6），則c＝6，將點(diǎn)B（6，0）代入函數(shù)表達(dá)式得：0＝36a+12+6，解得：a＝﹣，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+6，∴函數(shù)的對稱軸為：x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，8）；（2）設(shè)點(diǎn)M（m，n），n＝﹣m2+2m+6，點(diǎn)N（s，0），①當(dāng)AB是平行四邊形的一條邊時(shí)，點(diǎn)A向右、向下均平移6個(gè)單位得到B，同理點(diǎn)N右、向下均平移6個(gè)單位得到M，故：s+6＝m，0﹣6＝n，解得：m＝2±2，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2﹣2，﹣6）或（2+2，﹣6）；②當(dāng)AB是平行四邊形的對角線時(shí)，則AB的中點(diǎn)即為MN的中點(diǎn)，則s+m＝6，n+0＝6，解得：m＝4，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，6），綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2﹣2，﹣6）或（2+2，﹣6）或（4，6）．（3）如下圖，過點(diǎn)P作PG∥y軸交AB于點(diǎn)G，作PH⊥AB交于點(diǎn)H，∵OA＝OB＝6，則∠OAB＝∠OBA＝45°，∵PG∥y軸，則∠PGH＝∠OAB＝45°，直線AB的表達(dá)式為：y＝﹣x+6，設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2+2x+6），則G（x，﹣x+6），d＝PH＝PG＝（﹣x2+2x+6+x﹣6）＝（﹣x2+3x），當(dāng)x＝3時(shí)，d取得最大值，此時(shí)點(diǎn)P（3，）．4．解：（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝ax2，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式得：＝a（2）2，解得：a＝，故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2；（2）將拋物線的表達(dá)式與直線y＝kx+1聯(lián)立并整理得：x2﹣4kx﹣4＝0，則x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，則y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，則x2﹣x1＝＝4，設(shè)直線BC的傾斜角為α，則tanα＝k，則cosα＝，則BC＝＝4（k2+1），BC＝2k2+2，設(shè)BC的中點(diǎn)為M（2k，2k2+1），則點(diǎn)M到直線l的距離為：2k2+2，故直線l總是與以BC為直徑的圓相切；（3）①設(shè)點(diǎn)P（m，m2）、點(diǎn)M（m，﹣1），點(diǎn)F（0，1），則PF2＝m2+（m2﹣1）2＝（m2+4）2，PM＝m2+1＝（m2+4）＝PF，即：PM與PF之間的數(shù)量關(guān)系為：PM＝PF；②拋物線新拋物線的表達(dá)式為：y＝（x﹣2）2…①，如圖2，設(shè)平移后點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)為F′（2，1），由①知：PM＝PF，同理QN＝QF′，故當(dāng)A、F′、Q三點(diǎn)共線時(shí)，|QA﹣QN|有最大值，|QA﹣QN|的最大值＝|QA﹣QF′|＝AF′，則AF′＝＝；將點(diǎn)A、F′的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx+b得：，解得：，故直線AF′的表達(dá)式為：y＝x﹣…②，聯(lián)立①②并解得：x＝1或6（舍去1），故點(diǎn)Q（6，4）；故：|QA﹣QN|的最大值為，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6，4）．5．解：（1）y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，∵拋物線的頂點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4，∴﹣4a＝4，解得a＝﹣1．故拋物線的解析式為y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴C（0，3），①以AC為對角線，∵點(diǎn)M在拋物線y＝ax2+2ax﹣3a的圖象上，點(diǎn)N在x軸上，以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為3，∴﹣x2﹣2x+3＝3，解得x1＝0，x2＝﹣2．故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，3）；②以AC為對角線，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，3）；③以AN為對角線，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1﹣，﹣3），（﹣1+，﹣3）．綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，3），（﹣1﹣，﹣3），（﹣1+，﹣3）；（3）EF+EG＝8（或EF+EG是定值），理由如下：過點(diǎn)P作PQ∥y軸交x軸于Q，如圖．設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3），則PQ＝﹣t2﹣2t+3，AQ＝3+t，QB＝1﹣t，∵PQ∥EF，∴△AEF∽△AQP，∴＝，∴EF＝＝＝×（﹣t2﹣2t+3）＝2（1﹣t）；又∵PQ∥EG，∴△BEG∽△BQP，∴＝，∴EG＝＝＝2（t+3），∴EF+EG＝2（1﹣t）+2（t+3）＝8．6．解：（1）點(diǎn)P（2，1）的“坐標(biāo)差”＝1﹣2＝﹣1，故答案為：﹣1．（2）一次函數(shù)y＝2x+1的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)差為：y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，函數(shù)y＝x+1是增函數(shù)，當(dāng)﹣2≤x≤3時(shí)，x＝3，y的最大值＝4，∴一次函數(shù)y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”：4．（3）y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）交y軸于點(diǎn)B，∴點(diǎn)B（0，c）點(diǎn)A與點(diǎn)B的“坐標(biāo)差”相等，∴點(diǎn)A（﹣c，0），∴﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c＝0，∵bc≠0，∴c+b＝1，∵y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）“特征值”為﹣1即函數(shù)y＝﹣x2+bx+1﹣b﹣x═﹣x2+（b﹣1）x+（1﹣b）的最大值為﹣1∴解得b＝3，∴c＝﹣2∴y＝﹣x2+3x﹣2，∴．∴當(dāng)m≤x≤m+3時(shí)，此函數(shù)的最大值為﹣2m，Ⅰ．若m≤≤m+3時(shí)，則x＝時(shí)，函數(shù)的最大值為，依題意得：﹣2m＝，解得m＝；Ⅱ．若m＞時(shí)，x＝m，函數(shù)取最大值為：y＝﹣m2+3m﹣2，依題意得：﹣m2+3m﹣2＝﹣2m，解得：m＝＜（舍去），m＝，Ⅲ．若m+3＜，即m＜﹣時(shí)，x＝m+3，函數(shù)取最大值為：y＝﹣（m+3）2+3（m+3）﹣2＝﹣m2﹣3m﹣2．依題意得：﹣m2﹣3m﹣2＝﹣2m，此方程無實(shí)數(shù)解．綜上所述：m＝或m＝，7．解：（1）y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，即頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣3x+5＝﹣1≠1，故一次函數(shù)y＝﹣3x+5和二次函數(shù)y＝x2﹣4x+5不是“丘比特函數(shù)組”；（2）設(shè)：二次函數(shù)的頂點(diǎn)為：（m，m+2），將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)y＝2x2﹣3x﹣4得：m+2＝2m2﹣3m﹣4，解得：m＝3或﹣1，當(dāng)m＝3時(shí)，函數(shù)頂點(diǎn)為（3，5），一次函數(shù)y＝x+2與y軸的交點(diǎn)為：（0，2），則二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝a（x﹣3）2+5＝a（x2﹣6x+9）+5，即：9a+5＝2，解得：a＝﹣，故：拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+2；同理當(dāng)m＝﹣1時(shí)，拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+2x+2，綜上，拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+2或y＝x2+2x+2；（3）是定值，理由：令y＝x2﹣2x﹣4＝0，則x＝1±，故當(dāng)﹣3≤x≤﹣1時(shí)，x＝﹣1時(shí)函數(shù)取得最小值，即a＝1+2﹣4＝﹣1，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P（m，2m+3），則“丘比特函數(shù)組”另外一個(gè)交點(diǎn)為Q（x，y），則拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣m）2+（2m+3）＝﹣（x﹣m）2+（2m+3），由題意得：﹣（x﹣m）2+（2m+3）＝2x+3，整理得：x2+（2﹣2m）x+（m2﹣2m）＝0，由韋達(dá)定理得：x+m＝2m﹣2，解得：x＝m﹣2，故點(diǎn)Q（m﹣2，2m﹣1），則PQ＝＝2，為定值．8．解：（1）由A（﹣1，0）可知OA＝1，∵OB＝OC＝3OA，∴OB＝OC＝3，∴C（0，﹣3），B（3，0）．設(shè)拋物線的解析式（交點(diǎn)式）為y＝a（x+1）（x﹣3），則﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，則拋物線的解析式是y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，（2）存在．①當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)C作CP1⊥BC，交拋物線于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作y軸的垂線，垂足是M，如圖1．∵∠BCP1＝90°，∴∠MCP1+∠BCO＝90°．∵∠BCO+∠OBC＝90°，∴∠MCP1＝∠OBC．∵OA＝OC，∴∠MCP1＝∠OBC＝45°，∴∠MCP1＝∠MP1C，∴MC＝MP1，設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），則﹣3﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得：m1＝0（舍去），m2＝1．∴m＝1，此時(shí)m2﹣2m﹣3＝﹣4，∴P1的坐標(biāo)是（1，﹣4）．②當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過B作BP2⊥BC交拋物線于點(diǎn)P2，過點(diǎn)P2作y軸的垂線，垂足是N，BP交y軸于點(diǎn)F，如圖1．∴P2N∥x軸，由∠CBO＝45°得∠OBP2＝45°，∴∠FP2N＝45°，BO＝OF．∴P2N＝NF，設(shè)P2（﹣n，n2+2n﹣3），則3+n＝n2+2n﹣3解得：n1＝2，n2＝﹣3（舍去），∴n＝2，此時(shí)n2+2n﹣3＝5，∴P2的坐標(biāo)是（﹣2，5）．綜上所述：P的坐標(biāo)是（1，﹣4）或（﹣2，5）；（3）當(dāng)EF最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，﹣）或（，﹣）．解題過程如下：連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD＝EF．根據(jù)垂線段最短可得：當(dāng)OD⊥BC時(shí)，OD（即EF）最短．由（1）可知，在直角△BOC中，OC＝OB＝3．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得：D是BC的中點(diǎn)．∴EF＝OD＝＝＝，又∵DF∥OC，∴△BFD∽△BOC，∴，∴DF＝OC＝，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是﹣，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)也是，解x2﹣2x﹣3＝﹣得，x1＝，x2＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）或（，﹣）．此時(shí)EF長為最小值＝．9．解：（1）直線y＝x+3經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，則點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（0，3），將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）①令y＝﹣x2﹣2x+3＝0，則x＝﹣3或1，即點(diǎn)B（1，0），當(dāng)AH＝BD時(shí)，AD+AH＝AD+BD，當(dāng)A、B、D三點(diǎn)共線時(shí)，AD+AH＝AD+BD最小，最小值為：AB＝1﹣（﹣3）＝4，答：AD+AH的最小值為4；②當(dāng)OC＝3OD時(shí)，OD＝1，AD＝，則tan∠ADO＝，則sinα＝，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上方時(shí)，如下圖，過點(diǎn)P作△APD的高PH，交AD的延長線與點(diǎn)H，設(shè)：PH＝m，∵∠PAD＝45°，則AH＝m，tan∠PDH＝＝tanα＝3，解得：m＝，PD＝＝＝5，故點(diǎn)P（0，6）；當(dāng)點(diǎn)P在y軸下方時(shí)，如下圖所示，同理可得：DP′＝故：點(diǎn)P（0，﹣）；綜上，點(diǎn)P（0，6）或（0，﹣）10．解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，把A（﹣1，0），C（0，3）代入解析式得，∴，解得b＝2，c＝3．故該拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+3．（2）令﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b′，則，解得：，故直線BC的解析式為y＝﹣x+3；∴設(shè)P（t，3﹣t），∴D（t，﹣t2+2t+3），∴PD＝（﹣t2+2t+3）﹣（3﹣t）＝﹣t2+3t，∵OB＝OC＝3，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，當(dāng)CD＝PC時(shí)，則∠CPD＝∠CDP，∵PD∥y軸，∴∠CPD＝∠OCB＝45°，∴∠CDP＝45°，∴∠PCD＝90°，∴直線CD的解析式為y＝x+3，解得或，∴D（1，4），此時(shí)P（1，2）；當(dāng)CD＝PD時(shí)，則∠DCP＝∠CPD＝45°，∴∠CDP＝90°，∴CD∥x軸，∴D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，代入y＝﹣x2+2x+3得，3＝﹣x2+2x+3，解得x＝0或x＝2，此時(shí)P（2，1）；當(dāng)PC＝PD時(shí)，∵PC＝t，∴t＝﹣t2+3t，解得t＝0或t＝3﹣，此時(shí)P（3﹣，）；綜上，當(dāng)△CDP為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）或（2，1）或（3﹣，）．（3）CN+MN+MB的最小值為，N坐標(biāo)為（1，3﹣），M坐標(biāo)為（，0）．理由如下：如圖，取G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣），連接BG，∵B（3，0），∴直線BG解析式為：y＝，∴tan∠GBO＝，∴∠GBO＝30°，過M點(diǎn)作MB′⊥BG，∴，∴CN+MN+MB＝CN+MN+B′M，∴CN+MN+MB取最小值時(shí)，C、M、N、B′在同一條直線上，即CB′⊥BG，設(shè)直線CB′解析式為，∵C（0，3）故直線CB′解析式為為，∵拋物線的頂點(diǎn)為E坐標(biāo)為（1，4），EF⊥x軸，N在EF、CB′上，∴N坐標(biāo)為（1，3﹣），M（m，0）是x軸一個(gè)動點(diǎn)，也是CB′與x軸交點(diǎn)，∴M（，0）．∵CG＝3+，∠CGB＝60°，∴CB′＝CGsin∠CGB＝（3+）×＝，綜上所述：CN+MN+MB的最小值為，N坐標(biāo)為（1，3﹣），M坐標(biāo)為（，0）．11．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)，且對稱軸為x＝﹣2，∴c＝0，OA＝4，又△AOB的面積為2，∴BC＝1，即頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），∴，，解得a＝，b＝1，∴拋物線的解析式為；（2）∵BC＝1，AC＝2，∴tan∠BAC＝，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，），如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，PM＝﹣（﹣2）＝，MN＝x，∴tan∠MPN＝＝，即x2﹣4x+8＝0，此方程無解；如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)，此時(shí)PM＝，MN＝﹣x，∴tan∠MPN＝＝，即x2+12x+8＝0，解得，，則，，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（