專題2.6 欲證不等恒成立差值函數(shù)求值域（原卷版）-高中數(shù)學(xué)壓軸題講義(解答題)

【題型綜述】利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題的策略：構(gòu)造差函數(shù)．根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式．具體做法如下：首先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍，也可以分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．證明，時(shí)，可以構(gòu)造函數(shù)，如果，則在上是減函數(shù)，同時(shí)若，由減函數(shù)的定義可知，當(dāng)時(shí)，有，即證明．【典例指引】例1．已知函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù).(1)設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，設(shè)，為函數(shù)圖象上不同的兩點(diǎn)，且滿足，設(shè)線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為證明：.例2．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求證：．例3．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，證明：且．【新題展示】1．【2019福建三明期末】已知函數(shù).（1）求證：；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．【2019陜西渭南質(zhì)檢】已知函數(shù)為常數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)A，曲線在點(diǎn)A處的切線斜率為．（1）求a的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．3．【2019北京豐臺(tái)區(qū)上學(xué)期期末】已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求證：當(dāng)時(shí)，．4．【2019廣東東莞上學(xué)期期末調(diào)研】已知函數(shù)，（且為常數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）若對(duì)任意都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.5．【2019北京房山區(qū)上學(xué)期期末】已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求的取值范圍.6．【2019湖北四地七校聯(lián)考】已知,設(shè),且,記;（1）設(shè),其中,試求的單調(diào)區(qū)間;（2）試判斷弦的斜率與的大小關(guān)系,并證明;（3）證明：當(dāng)時(shí),.【同步訓(xùn)練】1．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+ax2+x+1．（I）a=﹣2時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，證明xex≥f（x）在（0，+∞）上恒成立．2．已知函數(shù)與．（1）若曲線與直線恰好相切于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：3．已知函數(shù)．(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；(3)設(shè)為正實(shí)數(shù)，且，求證：．4．已知函數(shù)，（為常數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）討論函數(shù)的單調(diào)性（2）證明：當(dāng)且時(shí)，函數(shù)的圖象恒在的圖象上方．5．已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：．6．設(shè)函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)，且時(shí)證明不等式：7．設(shè)函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)，時(shí)，求證：．8．已