專題3.12 綜合求證多變換幾何結(jié)合代數(shù)算（原卷版）-高中數(shù)學(xué)壓軸題講義(解答題)

專題12綜合求證多變換，幾何結(jié)合代數(shù)算【題型綜述】綜合求證問(wèn)題有以下類型：（1）證明直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)出直線方程，利用題中的條件與設(shè)而不求思想找出曲線方程中參數(shù)間的關(guān)系，即可求出定點(diǎn).(2)定值問(wèn)題就是證明一個(gè)量或表達(dá)式的值與其中的變化因素?zé)o關(guān)，這些變化的因素可能是直線的斜率、截距，也可能是動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)等，這類問(wèn)題的一般解法是使用變化的量表示求證目標(biāo)，通過(guò)運(yùn)算得知求證目標(biāo)的取值與變化的量無(wú)關(guān)．當(dāng)使用直線的斜率和截距表示直線方程時(shí)，在解題過(guò)程中要注意建立斜率和截距之間的關(guān)系，把雙參數(shù)問(wèn)題化為單參數(shù)問(wèn)題解決．（3）恒等式的證明問(wèn)題，將恒等式轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的弦長(zhǎng)、距離之比或向量關(guān)系等問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，利用設(shè)而不求思想及韋達(dá)定理即可證明.(4)幾何圖形性質(zhì)的證明，利用幾何圖形性質(zhì)與向量運(yùn)算的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算或直線的斜率關(guān)系，再用直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，利用設(shè)而不求思想及韋達(dá)定理即可證明.【典例指引】類型一證明分點(diǎn)問(wèn)題例1【2017北京，理18】已知拋物線C：y2=2px過(guò)點(diǎn)P（1，1）.過(guò)點(diǎn)（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）求證：A為線段BM的中點(diǎn)..【解析】類型二幾何證明問(wèn)題例2.【2015高考湖南，理20】已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦的長(zhǎng)為.（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，且與同向（ⅰ）若，求直線的斜率（ⅱ）設(shè)在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)為，證明：直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，總是鈍角三角形【解析】類型三等式證明例3【2015高考上海，理21】已知橢圓，過(guò)原點(diǎn)的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，記得到的平行四邊形的面積為.（1）設(shè)，，用、的坐標(biāo)表示點(diǎn)到直線的距離，并證明；（2）設(shè)與的斜率之積為，求面積的值.【解析】類型四長(zhǎng)度關(guān)系證明例4.【2016高考四川】已知橢圓E：的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上.(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅱ)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O且斜率為EQ\F(1,2)的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：．【擴(kuò)展鏈接】1.圓錐曲線以P(x0，y0)(y0≠0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率分別是：k＝－eq\f(b2x0,a2y0)(橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1)，k＝eq\f(b2x0,a2y0)(雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1)，k＝eq\f(p,y0)(拋物線y2＝2px)，其中k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)為弦端點(diǎn)的坐標(biāo)．2.給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角,給出,等于已知是銳角；3.在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;4.在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;【新題展示】1．【2019寧夏吳忠中學(xué)一?！吭谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在軸上，離心率為．過(guò)的直線交于，兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程；（2）圓與軸正半軸相交于兩點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），過(guò)點(diǎn)任作一條直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，連接，，求證．【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)橢圓C的方程為(a＞b＞0)，由離心率為，得，又△PQF2的周長(zhǎng)為4a=，得a＝2，進(jìn)而求出橢圓方程；（2）把y＝0代入圓的方程求出x的值，確定M與N的坐標(biāo)，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性得證；當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB為y=k（x﹣1），與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達(dá)定理表示出x1+x2，x1x2，進(jìn)而表示出直線AN與直線BN斜率之和為0，即可得證．2．【2019福建廈門3月質(zhì)檢】已知橢圓：，過(guò)點(diǎn)且與軸不重合的直線與相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．（1）當(dāng)垂直于軸時(shí)，求直線的方程；（2）證明：．【思路引導(dǎo)】（1）當(dāng)垂直于軸時(shí)，其方程為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)后可得直線的斜率，于是可得直線方程。（2）由于在軸上，所以只需證明點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等即可得到結(jié)論成立，解題時(shí)注意直線方程的設(shè)法．3．【2019山東濟(jì)寧一模】已知橢圓的離心率為，且橢圓C過(guò)點(diǎn)．(I)求橢圓C的方程；(II)設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F，直線與橢圓C相切于點(diǎn)A，與直線相交于點(diǎn)B，求證：的大小為定值．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）由題意可知，解得a2＝3，b2＝2，即可求出橢圓C的方程，（Ⅱ）顯然直線l的斜率存在，設(shè)l：y＝kx+m，聯(lián)立，根據(jù)直線l與橢圓相切，利用判別式可得m2＝3k2+2，求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，根據(jù)向量的運(yùn)算可得可得?0，即∠AFB＝90°，故∠AFB的大小為定值．4．【2019山西呂梁一?！恳阎獟佄锞€：，過(guò)軸上一點(diǎn)（不同于原點(diǎn)）的直線與交于兩點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）若，，求的值；（2）若，過(guò)，分別作的切線，兩切線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線方程上，求出此定直線．【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)，通過(guò)坐標(biāo)表示向量得到，，設(shè)：，與拋物線聯(lián)立利用韋達(dá)定理求解即可；（2）由點(diǎn)斜式求出兩條切線，兩直線聯(lián)立可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可證得結(jié)論．5．【2019山西呂梁一模】已知拋物線：，過(guò)軸上一點(diǎn)（不同于原點(diǎn)）的直線與交于兩點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）若，，求的值；（2）若，過(guò)，分別作的切線，兩切線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線方程上，求出此定直線．【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)，通過(guò)坐標(biāo)表示向量得到，，設(shè)：，與拋物線聯(lián)立利用韋達(dá)定理求解即可；（2）由點(diǎn)斜式求出兩條切線，兩直線聯(lián)立可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而可證得結(jié)論．6．【2019安徽六校聯(lián)考】如圖，C、D是離心率為的橢圓的左、右頂點(diǎn)，、是該橢圓的左、右焦點(diǎn)，A、B是直線4上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD和BD，它們分別與橢圓交于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，且線段EF恰好過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E恰為線段AD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求證：以AB為直徑的圓始終與直線EF相切．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）由題意可得，結(jié)合可求出，進(jìn)而可求得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)EF的方程為：，E（）、F（），與橢圓聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理得，，又設(shè)，由三點(diǎn)共線得，，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，求出點(diǎn)M到直線EF的距離，進(jìn)而證得結(jié)果．7．【2019陜西咸陽(yáng)一模已知橢圓的上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，直線與圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求證：．【思路引導(dǎo)】（1）求得直線的的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，列方程，解方程求得的值，由此求得橢圓方程．（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓的方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，通過(guò)計(jì)算，證得．8．【2019湖南長(zhǎng)沙統(tǒng)一檢測(cè)】已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，與軸相交于，，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)為、，過(guò)、分別作軸的垂線、，橢圓的一條切線與、交于、兩點(diǎn)，求證：．【思路引導(dǎo)】（1）結(jié)合題意，得到為的中位線，進(jìn)而得到，利用橢圓性質(zhì)，計(jì)算a，b值即可。（2）將直線l的方程，代入橢圓方程，得到以及，即可?！就接?xùn)練】1．如圖，圓C與x軸相切于點(diǎn)T（2，0），與y軸正半軸相交于兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方），且|MN|=3．（1）求圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)M任作一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn)A、B，連接AN、BN，求證：∠ANM=∠BNM．【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)圓C的半徑為r（r＞0），依題意，圓心坐標(biāo)為（2，r），根據(jù)|MN|=3，利用弦長(zhǎng)公式求得r的值，可得圓C的方程．（2）把x=0代入圓C的方程，求得M、N的坐標(biāo)，當(dāng)AB⊥y軸時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知∠ANM=∠BNM，當(dāng)AB與y軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，代入橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求得KAB+KBN=0，可得∠ANM=∠BNM．【詳細(xì)解析】2.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)（1，1）與（，）兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，橢圓C上一點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|．求證：++為定值．【思路點(diǎn)撥】（1）把（1，1）與（，）兩點(diǎn)代入橢圓方程解出即可．（2）由|MA|=|MB|，知M在線段AB的垂直平分線上，由橢圓的對(duì)稱性知A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．①若點(diǎn)A、B是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M是橢圓的一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)；同理，若點(diǎn)A、B是橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M在橢圓的一個(gè)短軸頂點(diǎn)；直接代入計(jì)算即可．②若點(diǎn)A、B、M不是橢圓的頂點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為y=kx（k≠0），則直線OM的方程為，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與橢圓的方程聯(lián)立解出坐標(biāo)，即可得到=，同理，代入要求的式子即可．【詳細(xì)解析】3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)p（x，y）（x≥0）滿足：點(diǎn)p到定點(diǎn)F（，0）與到y(tǒng)軸的距離之差為．記動(dòng)點(diǎn)p的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的軌跡方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A和原點(diǎn)O的直線交直線x=﹣于點(diǎn)D，求證：直線DB平行于x軸．【思路點(diǎn)撥】（1）利用動(dòng)點(diǎn)p（x，y）（x≥0）滿足：點(diǎn)p到定點(diǎn)F（，0）與到y(tǒng)軸的距離之差為．列出關(guān)系式，即可求曲線C的軌跡方程；（2）過(guò)點(diǎn)F的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A和原點(diǎn)O的直線交直線x=﹣于點(diǎn)D，設(shè)A的坐標(biāo)為（），求出OM的方程為y=x（y0≠0），推出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)然后求出直線AF的方程，求出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，判斷直線DB平行于x軸．即可得到結(jié)果．【詳細(xì)解析】4.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)P（2，1）在橢圓C：上且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（不與點(diǎn)P重合），且線段AB的中為D，直線OD的斜率為1，記直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1?k2為定值．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，將P代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式及直線斜率公式，求得x1+x2=y1+y2，利用點(diǎn)差法求得直線l的斜率，將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式，即可求得k1?k2為定值．【詳細(xì)解析】5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：x=﹣1，點(diǎn)T（3，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足PS⊥l，垂足為S，且?=0，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)Q是曲線C上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，且直線PQ過(guò)點(diǎn)（1，0），線段PQ的中點(diǎn)為M，直線l與x軸的交點(diǎn)為N．求證：向量與共線．【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)P（x0，y0），則S（﹣1，y0），由此利用向量的數(shù)量積能求出曲線C的方程．（2）設(shè)Q（x1，y1），則，從而y2=4x，p=2，焦點(diǎn)F（1，0），N（﹣1，0），由PQ過(guò)F，得，，進(jìn)而=（），=（），由此能證明向量與共線．【詳細(xì)解析】6.已知?jiǎng)狱c(diǎn)A，B在橢圓+=1上，且線段AB的垂直平分線始終過(guò)點(diǎn)P（﹣1，0）．（1）證明線段AB的中點(diǎn)M在定直線上；（2）求線段AB長(zhǎng)度的最大值．【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點(diǎn)M（x0，y0），當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，線段AB的中點(diǎn)M（﹣2，0），在直線y=0，當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，利用平方差法推出，說(shuō)明M在直線x=﹣2上．（2）當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，，當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長(zhǎng)公式求解即可．【詳細(xì)解析】7.已知橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，離心率為；拋物線G：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F與橢圓E的右焦點(diǎn)重合，若斜率為k的直線l過(guò)拋物線G的焦點(diǎn)F與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線G相交于C，D兩點(diǎn)．（1）求橢圓E及拋物線G的方程；（2）證明：存在實(shí)數(shù)λ，使得+為常數(shù)，并求λ的值．【思路點(diǎn)撥】（1）由2a=2，根據(jù)橢圓的離心率公式即可求得c的值，代入，b2=a2﹣c2=1，求得橢圓方程，由=c，求得c的值，求得拋物線方程；（2）設(shè)直線l的方程，分別代入橢圓方程及拋物線方程，分別求得丨AB丨及丨CD丨，由+=為常數(shù)，則須有20+λ=4，即可求得λ的值．【詳細(xì)解析】8.已知定點(diǎn)Q（，0），P為圓N：上任意一點(diǎn)，線段QP的垂直平分線交NP于點(diǎn)M．（1）當(dāng)P點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；（2）若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且，求證：直線l與某個(gè)定圓E相切，并求出定圓E的方程．【思路點(diǎn)撥】（1）求出圓N的圓心坐標(biāo)為N（，0），半徑為，|MP|=|MQ|，得到|MN|+|MQ|=|MN|+|MP|=|NP|=＞|NQ|，利用橢圓的定義，求解點(diǎn)M的軌跡C的方程．（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓的方程，得消去y，通過(guò)直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用判別式以及韋達(dá)定理，通過(guò)，求解即可，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為x=m，驗(yàn)證求解即可．【詳細(xì)解析】9.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．設(shè)過(guò)點(diǎn)F2的直線l被橢圓C截得的線段為RS，當(dāng)l⊥x軸時(shí)，|RS|=3（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)T（4，0），證明：當(dāng)直線l變化時(shí)，直線TS與TR的斜率之和為定值．【思路點(diǎn)撥】（1）由題意可知：a=2c，=3，且a2=b2+c2，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）分類討論，當(dāng)直線l不垂直與x軸時(shí)，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及直線的斜率公式，即可求得kTR+kTS=0，即可證明直線TS與TR的斜率之和為定值．【詳細(xì)解析】10.已知橢圓E：中，a=b，且橢圓E上任一點(diǎn)到點(diǎn)的最小距離為．（