四川省百師聯(lián)盟2024屆高三沖刺卷（五）全國卷文科數(shù)學試題

2024屆高三沖刺卷（五）全國卷文科數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回?？荚嚂r間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，則（）A． B．1 C． D．2．設集合，則（）A． B． C． D．3．函數(shù)的大致圖象為（）A． B． C． D．4．若關于的不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形區(qū)域，則實數(shù)（）A． B．1 C．或0 D．0或15．已知命題“”為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．下圖是某全國性冰淇淋銷售連鎖機構的某款冰淇淋在2023年1月至8月的月銷售量折線圖（單位：杯），則下列選項錯誤的是（）A．這8個月月銷售量的極差是3258 B．這8個月月銷售量的中位數(shù)是3194C．這8個月中2月份的銷量最低 D．這8個月中銷量比前一個月增長最多的是4月份7．已知向量，則（）A． B． C． D．8．已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（）A． B． C． D．9．某導航通訊的信號可以用函數(shù)近似模擬，若函數(shù)在上有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．已知，則的大小關系為（）A． B． C． D．11．分形幾何學是美籍法國數(shù)學家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新學科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學領域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照圖①的分形規(guī)律生長成一個圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個數(shù)是（）A．12 B．13 C．40 D．12112．在三棱錐中，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，若的概率為，則_________。14．已知函數(shù)的導函數(shù)，若不是的極值點，則實數(shù)_________。15．阿基米德既是古希臘著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓的面積為，點在橢圓上，且與橢圓上、下頂點連線的斜率之積為．記橢圓的左、右兩個焦點分別為，則的面積可能為_________．（橫線上寫出滿足條件的一個值）16．如圖，在中，為邊上的一點，且，則_________。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：60分。17．（12分）某校為了了解學生每周參加課外興趣班的情況，隨機調(diào)查了該校1000名學生在2023年最后一周參加課外興趣班的時長（單位：分鐘），得到如圖所示的頻率分布直方圖．直方圖中成等差數(shù)列，時長落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為200．（1）求出直方圖中的值；（2）估計樣本時長的中位數(shù)（精確到0.1）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；（3）從參加課外興趣班的時長在和的學生中按照分層抽樣的方法隨機抽取6人進行問卷調(diào)查，再從這6人中隨機抽取2人進行參加興趣班情況的深入調(diào)查，求被抽到的2人中參加課外興趣班的時長在和恰好各一人的概率．18．（12分）如圖，在以為頂點的五面體中，四邊形為正方形，四邊形為等腰梯形，，且平面平面．（1）證明：；（2）求三棱錐的體積．19．（12分）已知為正項數(shù)列的前．項和，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求的前10項和．20．（12分）已知拋物線的焦點為．點在拋物線上，且．（1）求；（2）過焦點的直線交拋物線于兩點，原點為，若直線分別交直線：于兩點，求線段長度的最小值．21．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）設是函數(shù)的兩個零點，求證：．（二）選考題：共10分。請考生在第22，23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）．以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．（1）求直線的直角坐標方程和曲線的普通方程；（2）已知點，直線與曲線交于兩點，求的值．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知均為正實數(shù)，且滿足．（1）求的最小值；（2）求證：．2024屆高三沖刺卷（五）全國卷文科數(shù)學參考答案及評分意見1．B【解析】由題意可得，所以．故選B．2．C【解析】由題意，則，故選C．3．B【解析】因為的定義域為，故排除；又，故排除，故排除D．故選B．4．C【解析】由題意必有與垂直或與垂直，解得或，可驗證當或時均滿足題意，故選C．5．A【解析】因為命題“”為真命題，所以．令與在上均為增函數(shù)，故為增函數(shù)，當時，有最小值，即，故選A．6．B【解析】極差是，A正確；中位數(shù)是，B錯誤；這8個月中2月份的銷量最低，C正確；這8個月中銷量比前一個月增長最多的是4月份，增加了1619，D正確．故選B．7．B【解析】因為，所以，所以．故選B．8．D【解析】因為角的終邊經(jīng)過點，所以，所以．故選D．9．A【解析】結合圖象，令，得，所以函數(shù)的零點為，可知在上的零點依次為，若在上有3個零點，則．故選A．10．A【解析】當時，，用代替，可得，即，所以，即．又知，所以，所以，故選A．拓展：①恒成立，當且僅當時取等號；②時，恒成立，當且僅當時取等號．11．C【解析】設題圖②中第行白心圈的個數(shù)為，黑心圈的個數(shù)為，依題意可得，且有，故有所以是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，為常數(shù)數(shù)列，且，所以是以為首項，1為公比的等比數(shù)列，故故所以．故選C．12．C【解析】由題意可知，．且平面平面，所以平面．設的外接圓的半徑為，則由正弦定理可得，即，所以．設三棱錐的外接球的半徑為，則，即，所以，所以外接球的表面積為．故選C．13．2【解析】顯然．區(qū)間長度是7，區(qū)間上隨機取一個數(shù)的解集為，區(qū)間長度為，所以的概率為，所以．14．3【解析】由題意可知，設，若不是函數(shù)的極值點，則必有，即，所以．當時，，故當時，，當時，，因此是的極值點，不是極值點，滿足題意，故．15．2（答案不唯一，在內(nèi)的任何數(shù)都可以）【解析】因為橢圓的面積為，所以，即，設點，顯然，由，得，橢圓的上、下頂點坐標分別為，所以，可得，則，，又，則．16．【解析】由題可知，在中，由正弦定理得，即．得，所以．則．又為等腰直角三角形，則．17．解：（1）由已知可得，則，即，又成等差數(shù)列，，解得．（2），設中位數(shù)為，且，，解得，即中位數(shù)為71.7平均數(shù)為（3）由（1）知，按照分層抽樣隨機抽取6人中，參加課外興趣班的時長在內(nèi)的有人，記為，參加課外興趣班的時長在內(nèi)的有人，記為．從中隨機抽取2人的所有基本事件有，，共15種，9分其中，被抽到的2人中參加課外興趣班的時長在和的恰好各一人的事件有，共8種．所以被抽到的2人中參加課外興趣班的時長在和的恰好各一人的概率為18．解：（1）連接平面平面，平面平面，平面．又平面，是直角三角形，即．在梯形中，作于，則，則．又，則，．（2），平面平面，平面平面，平面．由（1）知，19．解：（1）由題意知：，即，當時，，兩式相減，可得，因為，可得．又因為，當時，，即，解得或（舍去），所以，從而，所以數(shù)列表示首項為3，公差為2的等差數(shù)列．所以數(shù)列的通項公式為．（2）由題意得，所以20．解：（1）因為點在上，所以①，因為，所以由拋物線定義得②，由①②解得或（舍）．所以．（2）由（1）知，拋物線的方程為．顯然直線的斜率存在．設直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立消去得，所以，從而有．直線的方程，聯(lián)立解得，同理．所以．令，則，所以．21．解：（1）當時，，則，則切線方程為，因此曲線在點處的切線方程為．（2）證明：函數(shù)是的兩個零點，所以，則有，且，由，得．要證，只要證明，即證．記，則，因此只要證明，即．記，則，令，則，當時，，所以函數(shù)在上遞增，則，即，則在上單調(diào)遞增，，即成立，22．解：