2023年全國碩士研究生招生考試《數(shù)學二》真題及答案解析

2023年全國碩士研究生招生考試《數(shù)學二》真題及答案解析【完整版】

一、選擇題：1~10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是最符

合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上。

1

1.y=xln(|(e+.*1))|曲韁締幗魴不勤()。

A.y=x+e

B.y=x+l/e

C.y=x

D.y=x-1/e

【參考答案】B

xln(le+1

【參考解析】k=lrr'Tx^-'^Fx-ir1(

ii

b=lim(y-kx)=limxln(|(e+j)|-x=IimxIn(|(e+j)|-l

x的x的3x-1川x的世x-r1

=limxln^|l+——X=lim_=-

X)的e(x-1)JX)的e(x-1)e

所以斜漸近線方程為y=x+l/e.

(_

2.函數(shù)f(X)='17的原函數(shù)為(

)o

?Bx,x>0

(|ln(J+x2-x),x=0

A.F(x)=('

||(x+1)cosx-sinx,x>0

*n(4+x2-x)+1,x=0

B.F(x)=

||(x+1)cosx-sinx,x>0

(|ln(d+x2+x),x=0

C.F(x)=('

||(x+l)sinx+cosx,x>0

(|ln(<1+x2+x)+l,x三0

D.F(x)=('

||(x+l)sinx+cosx,x>0

【參考答案】D

【參考解析]當x<0時，

if(x)dx=idx=仿僅+J+x2)+C

JJa+x2

當x>0時，

jf(x)dx=j(x+1)cosxdx

=j(x+l)dsinx=(x+l)sinx—jsinxdx

=(x+l)sinx+cosx+C2

原函數(shù)在(-8,+8)內連續(xù)，則在x=0處

limln(x+?+x2)+C=C,lim(x+1)sinx+cosx+C=1+C

1q7

x)0-x)0+//

所以C1=1+C2,令C2=C,則C]=l+C,故

Jf(x)dx二〈I、,

“\?I一o一0

,、[ln([?工、工)?—

綜合選項，令C=0,貝Uf(x)的一個原函數(shù)為F(X)=〈

?*1r-m??-0

3.設數(shù)列｛xj,3nb齷X1=>=1/2,xn+i=sinxn,丫9產丫/,當n-8時（）o

A.Xn是Yn的|W1階無窮小

B.Yn是Xn的局階無窮小

C.X。是y0的等價無窮小

D.X。是丫。的同階但非等價無窮小

【參考答案】B

【參考解析】在(。，TT/2)中，2x/n<sinx故xn+1=sinxn>2xn/n

1

冗

故yn是xn的fWi階無窮小.

4.已知微分方程式y(tǒng)''+ay'+by=0的解在（-8,+8）上有界，則a,b的取值范圍為（）。

A.a<0,b>0

B.a>0,b>0

C.a=0,b>0

D.a=0,b<0

【參考答案】C

【參考解析】微分方程y"+a/+by=0的特征方程為"+a入+b=0,

當△=a2-4b>0時，特征方程有兩個不同的實根人一入2，貝卜一人2至少有T不等于零，

若Cl,C2都不為零,則微分方程的解y=qe-Ax+c?e-入2乂在(-8,+若無界；

當△=a?-4b=0時，特征方程有兩個相同的實根入L2=一a/2,

a?a

若C2NO,則微分方程的解y=C]?2x+Je2X在(-8,+8)無界；

當△=a2-4b<0時，特謝程的聯(lián))入0=-名士、4b-a2i,

1,222

%(次b萬3s-手)

x+csin

則通解為y=e211cleos222x)『

此時，要使微分方程的解在(-%,+8)有界，貝！Ja=0,再由△=a?-4b<0,知b>0.

5.設函數(shù)丫=f(x)確定，順)o

A.f(x)連續(xù)，f(0)不存在

B.f'(0)存在，f'(x)在x=0處不連續(xù)

C.V(x)連續(xù)，f"(0)不存在

D.f”(0)存在，f”(x)在x=0處不連續(xù)

【參考答案】C

(x=3tdysint+1cost

【參考解析】(1)當t>0時,^ly=tsin't3-

(x=tdy-sint-1cost

當t<0時,[y=-tsintT~

當t=0時，因為f(0)=l"x)-f(°)=1tsint=0;

x,xt?3t

仆rf(x)-f(0)-tsint八

f,(0)=hm=lim=0,

x)0-Xt)0t

所以f'(0)=0.

ci-ri\I-sint+1cost八r,、..-sint-1cost仆

(2)limf,(x)=hm=0;hm￡f,(x)=hm=0n=f,(0);

x)o+t)o+3x)o-t)o-3

所以limf,(x)=f,(0)=0,即f(x)在x=0連續(xù).

x)0

(3)當t=0時，因為fl(0)=|，(。)=I"”"“

x_?n*Xt_u>??,巾9

r,nArf,(x)-fz(0)..-sint-1cost個

fz,(0)=hm=lim=-2

x)0-Xt)0-t

所以f”(0)不存在.

.若函數(shù)1處取得最小值，則

6f(a)=j+wcb^a=a0a°=()o

J2x(lnx)a+1

1

A.

In(In2)

B.-In(In2)

1

C.

--In2

D.In2

【參考答案】A

|+W

i[1

斤】當a>0時f(a)=i+w_dx=_,.11

j2(In2),a

Ithxf(lnx)aaa

12

日用、jf冏11InIn21III1

所以f,(a)=—一(晦—-41(+hln2))|=0,即a=_——

a1

(In2)aaIn(ln2)

7.設函數(shù)f(x)(X2+a)ex,若f(x)沒有極值點，但曲線y=f(x)有拐點，則a的取值范圍是

)o

A.[|0,1)

B.[1,+8)

C.[I1,2)

D.[2,+oo)

【參考答案】c

22x2x

【參考解析】f(x)=(x+a)ex,F(x)=(x+a+2x)ezf'(x)=(x+4x+a+2)e,由于f

(x)無極值點，所以4-4aVO,即a21;由于f(x)有拐點，所以16-4(a+2)>0,即a<2;綜上所

述2).

AE)

8.設A,B為n階可逆矩陣，E為n階單彳物巨陣，M*為矩陣M的伴隨矩陣，則(|)o

(0B)

1_B*A*)

A.

(°A*B*)

B*_A*B*)

B.

II'0BA*)||

“B|A*_B*A*)

C.IKo|A|B*)||

(IBA*_A*B*)

D.II'0|A|B*)||

【參考答案】D

【參考解析】結合伴隨矩陣的核心公式，代入(D)計算知

AE0A*一A*B*dAA*迅版+平*)汩E一限+忤B*)

(|(0B刪0x|B*臚(1(OIAIBB*)11=IKo|A|PF)11

用AEO

=ABEf

O|AB|E2n

故（D）正確.

2+（X1+X3）2-4（X2-X3）2的規(guī)范形為（

9.二次型f（x-x2,X3）=（X]+x2）)。

A+

?y2ly2

B2

2-

?yly2

c2

y2l+-4y2

?y23

D22

yl+2

?2-y3

y2

【參考答案】B

22

【參考解析】由已知f（X],x2,x3）=2xJ-3X2-3X3+2xp<2+2x^3+8x2x3,

211

貝典寸應的0車A=（|||（i一；_））|||

由N-A=A1入+4-4L入（入+7）（入-3）=0,得A的特征值為3,-7,0

-1-4入+三

故選（B）.

（1）（2）（2）（1）

也可由與%,馬

10?已知向量Villi'"此"成儼飛I)『若丫既可由…線性薪，

線性表示，則Y=（)。

（3）

A-k|ll（4）lll，k=R

（3）

及喻『I

（-1）

c.klll（2）HI，k=R

(1)

D,km(8)iirk=R

【參考答案】D

解析】設「=Xlal+X2a2=ylBl+y2B2貝!JXla:L+X2a2-y件「y202=O

(12-2-1)(1003)

X(a1,a2,-p1,-p2)='I-5

J1-9M:::訓

TT

故(X1，x2,y-y2)=c(-3,1,-1,1),ceR

所以r=-cBi+c%=c(-1,-5,-8)T=-cQ,5,8)T=k(1,5,8)T,keR

二、填空題：11~16小題，每小題5分，共30分。請將答案寫在答題紙指定位置上。

11.當x-0時，函數(shù)f(x)=ax+bx2+ln(l+x)與g(x)=ex2-COSX是等價無窮小，則ab=

【參考答案】-21

..f(x)..ax+bx2+In(1+x)ax+bx2+x-^x2+o(x2)

修考解析】hm=hm=hm_____________________=1,

x)og(X)x)o.?cosM-x)oi+x2+°(x2)一i乏+o(x2)

可得a+l=0,b-l/2=3/2,即a=-1,b=2,故ab=-2.

12.曲線y=j、33-1dt的弧長為

-v______

v4

【參考答案】3+''

J

【參考解析】y,=,3-x2,由弧長公式可得

I=j?J+y,dx=j''4-x2xx=2sin12j34cos2tdt

L4

31+cos2tdt=3+".

0,L3

?2z

13.設函數(shù)z=z(x,y)由ez+xz=2x-y確定，貝!］一

【參考答案】-3/2

?z?z

【參考解析】兩邊同時對X求導得：ez..+z+X..=2-0①

?x?x

?Z?Z?2z?z?Z?2z

兩邊再同時7寸X求導得：ez.+ez.,+■+JX.2=0②

?x?x?x2?x?x?x2

將x=l,y=l代入原方程得ez+z=l今z=0

代入①式得e°.?Z+0=2>?Z4-

?x?x?x

代入②式得"e。??2Z<+1+1+?丁2Z=°>?<2Z=等R

14.曲線3x3=y5+2y3在x=l對應點處的法線斜率為.

【緋答案】-11/9

【參考解析】兩邊對X求導:9x2=5y4.y'+6y2y，①

當x=1時，代入原方程得3=y5+2y3ny=1

將x=1,y=l代入①式得9=5y'+6y'=y'|(1.X)=9/11,所以曲線在x=1處的法線斜率為-11/9.

?2??

15.設連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x+2)-f(x)=x，oJf(x)dx=0],則Jf(x)dx=.,

【參考答案】1/2

【參考解析】

=J/(x)d.v+f/(x+2xlv

=j2f(x)dx+j1f(x)+xIdx

?2?1?i

=|f(x)dx+If(x)dx+Ixdx

JiJoJo

?2?1

=|f(x)dx+Ixdx

JoJo

=0+J-

2

1

2-

伊+ao

11a1

16.已知線性方程組有解，其中a,b為常數(shù)，若1a1=4則]

A+.+ai.=02a

12

%+3=2b0

【參考答案】8

【參考解析】由已知r(A)=r(A,b)<3<4,故|A,b|=0

即

1d1aa

=1.(—1)1+112+2.(—1嚴1

2a0

b1

b02

=-h2a+2.4=0,

ab0

1a1

故12a=8.

ab0

三、解答題：17-22小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(本題滿分1。分)

設曲線L:y=y(x)(x>e)經過點(e2,0),L上任一點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于該點處的

切線在y軸上的截距.

(1)求y(x)；

(2)在L上求一點，使該點的切線與兩坐標軸所圍三角形面積最小，并求此最小面積.

【參考解析】(1)曲線L在點P(x,y)處的切線方程為Y-y=y，(X-x),令X=0,則切線在y

軸上的截距為y-y'x,則x=y-y'x,即y'-y/x=-1,解得y(x)=x(C-Inx),其中C為任意常數(shù).又

y(e2)=0,貝！JC=2,故y(x)=x(2-Inx).

(2)設曲線L在點(x,x(2-Inx))處的切線與兩坐標軸所圍三角形面積最小，此時切線方程為

Y-x(2-Inx)=(1-Inx)(X-x).

x

令Y=0,則X=一,r；令X=0,則丫=乂

Inx—1

1lxy2

YX=,

故切線與兩坐標軸所圍三角形面積為s(x)=Y=2-lnx-l2(lnx-l)

則S,(x)=x(2lnx—3)令s，(X)=°,得駐點x=例2.

2(Inx-邛.

當e<x<e3/2時,S'(x)<0;當x>e3/2時，S'(x)>0,故S(x)在x=e3〃處取得極小值，同時也

取最小值，且最小值為S伯3分)=e3.

18.體題滿分12分)

求函數(shù)f(X,y)=xecosy+x72的極值.

If**x=00

【參考解析】〈［,一得駐^點為：(-e/，kn),其中k為奇數(shù)；(-e,kn),其中

=w-(——sin\)=0

=I

A=r*x=i

k為跳則〈「，,'(—siny，代X(-eLkn),其中k斕數(shù)，得(8=./：=0

/"?ve…ysin2y+xemsy(—cosy)[「=/：=—e-2

AC-B2<0,故(-e-1,kn)不是極值點；

A=/"**=i

代入（-e,kn）,其中k為偶數(shù)，得〈6-r--U,AC-B2>0且A>0,故（-e,kn）是極小值點,

f(-e,kn)=-e2/2為極小值.

19.（本題滿分12分）

〈1,y)10共y*1,x>11,

由平面0或D=

IXV1+x2J

（1）求D的面積.

（2）求D繞x軸旋轉所成旋轉體的體積.

【參考解析】（1）由題設條件可知：

12+wt

S=j"L『rlvlVx=tidt=

(b-l)t2

(2)旋轉體體積V=i+w"y2dx="i+w_!_dx="i+w加

J1J1,v(i+xrJ1JiW?

20.體題滿分12分）

設平面有界區(qū)域D位于第一象限，由曲線x2+y2-xy=l,x?+y2-xy=2與直線y=薪,y=0

鼬,計算jjdxdy.

D***'

【參考解析】本題目采用極坐標進行計算

?_?

（高斗丫于rd9=J:d9J,1-S[1'*H*1*-----------------------d9

r2(3cos20?sin:。)(3cos20+sin2G)r

2

11—sin9cos9

=i"______!_______Inr

d9=，______!______JnJ2d9

J1?、in：。)(3cos29+sin29)

1

*11—sin9cos9

1e*I?*

-In2i'------------------------d9=In2i1---------------dtan9

2J”(3+lan'H)?cos，e」tan20)

1In2成,tan93

arctan_

2=8、劭2.

F0

21.體題滿分12分）

設函數(shù)f儀）在［-a,a］上具有2階連續(xù)倒數(shù)，證明：

上；

（1）若f（x）=O,則存在自曰-a,a）使得f,（飛）=f(a)+f(-a)I

⑵若f（x）在（-a,a）內取得極值，則存在（-aa),使里f(a)-f(-a)|.

【參考解析】⑴證明：f(x)=f(0)+f,(0)x+=f,(0)xx2,“介于o與x

之間，

則f(a)=f,(0)(a)+’?)上2,o<[<a①

f(-a)=f,(0)(-a)+'-a<%<0②

①+②得：f(a)+f(-a)=_fXnJ+f,(n2)j③

又f”(x)在由，nJ上連續(xù)，則必有最大值M與最小值m,即m4f”(%)<M;mWf”(r)2)4M;

□H++f,(n1)+f,(n))什一

從而m共12共M；

—2—

由介值定理得：存在汩電，g]u(-a,a),有1'(nJ+"”2)=f,(飛)，代入③得：

O

<r、f(a)+f(-a)

f(a)+f(-a)=a2f“⑷即f,(飛)=

------a2------

(2)證明：設f(x)在X=x0e(-a,a)取極值，且f(x)在x=x0可導，則f(x0)=0.

2

又f(x)=f(x0)+f,(x0)(x-Xo)+'：(x-x0)2=f(x0)+'：(x-x0),丫介于。與x之

間，則f(-a)=f(x)+JQa-xy，-a<Y<0

02!01

2

f(a)=f(x。)+『；x0),0<Y2<a

從而

22

「(a)—f(—a)|=；(a—x0)f,(Y2)-^(a+xo)f,(YJ

共;(a-xJf,(Yp|+；(a+x0)2f,(YJ

又If"(X)|連續(xù)，設M=max{|f"(yJI,If"(Y2)D，則

22

|f(a)—f(—a)|嗎M(a+x0)+'M(a—x0)=M6+xQ