第6講 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（教師版）-高一數(shù)學(xué)同步講義

第1講等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.會(huì)用不等式表示不等關(guān)系；掌握等

式性質(zhì)和不等式性質(zhì).

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能做到用不等式表示不等關(guān)系，能

2.會(huì)利用不等式性質(zhì)比較大小.

利用等式及不等式的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行大小的比較、不等關(guān)

3.會(huì)利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)易的求系的證明、求解相應(yīng)代數(shù)式的取值范圍.

范圍與證明.

破知識(shí)精講

*'知識(shí)點(diǎn)01等式的性質(zhì)

等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1如果&=/?,那么/?=a；

性質(zhì)2如果a=b,b—c,那么a=c；

性質(zhì)3如果那么。土c=Z?土c；

性質(zhì)4如果a=b,那么ac=bc；

性質(zhì)5如果c/0,那么?=g.

【微點(diǎn)撥】利用等式的相關(guān)性質(zhì)來(lái)處理與相等關(guān)系有關(guān)的問(wèn)題，比如說(shuō)：等式的變形(化簡(jiǎn))、解方程與方

程組等.

【即學(xué)即練1】方程一3x2—12%+36=0的解為.

【答案】-6,2

【解析】利用等式的性質(zhì)將方程一3x2—12x+36=0兩邊同時(shí)除以-3得/+4%—12=0,將方程左邊因式

分解可得(x+6)(x-2)=0,所以有x=-6,x=2,所以方程的解為-6,2.

更,知識(shí)點(diǎn)02不等關(guān)系及不等式

【微點(diǎn)撥】用數(shù)學(xué)式子表達(dá)不等關(guān)系時(shí)，一定要在讀懂題的要求下用準(zhǔn)確的不等關(guān)系表達(dá)變量間的關(guān)系,

特別要注意的是等號(hào)的包含與不包含.

【即學(xué)即練2】一般認(rèn)為，民用住宅窗戶面積〃與地板面積6的比應(yīng)不小于10%,即而且比

10b

值越大采光效果越好，若窗戶面積與地板面積同時(shí)增加，小采光效果變好還是變壞？請(qǐng)將你的判斷用不等

式表示___________

aa+m

【答案】-<--

bb+m

【分析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)可得答案.

【詳解】

aa+m

若窗戶面積與地板面積同時(shí)增加m,采光效果變好了，用不等式表示為:一＜-----

bb+m

aa+ma(b+m)-(a+m)b(a-b)m「a+m

所以一＜——成立.

bb+mb(b+m)b(b+m^bbtm

aa+m

故答案為:一＜-----

bb+m

【即學(xué)即練3］為了慶祝我們偉大祖國(guó)70周年華誕，某市世紀(jì)公園推出優(yōu)惠活動(dòng).票價(jià)降低到每人5元；且

一次購(gòu)票滿30張，每張?jiān)偕偈?元.某班有27人去世紀(jì)公園游玩，當(dāng)班長(zhǎng)王小華準(zhǔn)備好了零錢到售票處買

票時(shí)，愛(ài)動(dòng)腦筋的李敏喊住了王小華，提議買30張票.但有的同學(xué)不明白，明明我們只有27個(gè)人，買30張

票，豈不是“浪費(fèi)”嗎？

那么，李敏的提議對(duì)不對(duì)呢？是不是真的浪費(fèi)？談?wù)勀銈兊目捶?

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】計(jì)算兩種不同的購(gòu)票方式所花的費(fèi)用比較大小即可.

【詳解】如果買27張票要花27x5=135(元)，

如果買30張票要花30x(5-1)=120(76).

通過(guò)比較，135>120,所以27人買30張票不是浪費(fèi)，反而還節(jié)省15元呢.

塞、知識(shí)點(diǎn)03不等式的相關(guān)性質(zhì)

不等式的一些常用性質(zhì)

(1)倒數(shù)的性質(zhì)①a>b,ab>0=>~<r.(2)a<0<b=>-<r.@a>b>0,0<c<d=?->7.?0<a<x<ba<x<b<0=>r<-<-.

a-Da—Dc-ciD—x—a

(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)

,,r—bb+mbb-ma+maa-m

若a>b>0,m>0,則啜<*；￡>M(b—m>0).@p>^；后<石8-m>°)-

3.不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒

對(duì)稱性a>b=b<a=

傳遞性a>b,b>c=>g>c=>

可加性a>b<^>g-\-c>b+c<=>

a>b

>nac>bc

c>0

可乘性注意c的符號(hào)

a>b

>=>ac<bc

c<0

a>b

同向可加性>=>a+c>h+d=

od

a>b>0

同向同正可乘性=ac>bd=>

c>d>0

可乘方性a>b>0=>a">bn(n^N,M>1)

a,b同為正數(shù)

可開方性a>b>0=>y[ci>甑(〃eN,/?>2)

【微點(diǎn)撥】運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷時(shí)，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑想當(dāng)然隨

意捏造性質(zhì).解有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特殊值法進(jìn)行排除,注意取值一定要遵循如下原則：一是滿

足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算.

【即學(xué)即練4】對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c,下列命題中的真命題是

則工>:

11B.a>b>0,

A.若a>bf則ac>hc

ab

C.a<b<0,則厘D.a>b,1>工,則a>0,b<0

abab

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：選項(xiàng)A,取c等于0,由不等式可知若“>江則ac2=bc2,故命題A為假命題;

選項(xiàng)B,若心b>0,則！<！，故命題B為假命題；

ab

命題C,由a<Z?<0,則故命題C為假命題；

ab

命題D,由工〉二得，L—』>0即"@>0,而由得。一。<0,故出?<0,即異號(hào)；乂a>b,

ababab

故a>0,b<0,命題D為真命題.

故選D.

考點(diǎn)：不等式的性質(zhì)及命題的真假判斷與應(yīng)用.

【即學(xué)即練5】下面是甲、乙、丙三位同學(xué)做的三個(gè)題目，請(qǐng)你看看他們做得對(duì)嗎？如果不對(duì)，請(qǐng)指出錯(cuò)誤

的原因.

甲：因?yàn)?6<“<8,-4cb<2,所以-2<a-X6.

乙：因?yàn)?<〃<3,所以

3b2

又因?yàn)?6<tz<8,所以-2<—<4.

b

丙：因?yàn)?<a-b<4,所以-4<b-a<-2.

又因?yàn)?2<a+b<2,所以0<a<3,-3<b<0,

所以-3<a+b<3.

【答案】甲乙丙做的都不對(duì)，理由見(jiàn)解析.

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一分析即可.

【詳解】

甲同學(xué)做的不對(duì).因?yàn)橥虿坏仁骄哂锌杉有?，但不能相減，甲同學(xué)對(duì)同向不等式求差是錯(cuò)誤的.

乙同學(xué)做的不對(duì).因?yàn)椴坏仁絻蛇呁艘砸粋€(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，但同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改

變，在本題中只知道-6<a<8.不明確a值的正負(fù).故不能將與一6<a<8兩邊分別相乘，只有兩邊都是

3b2

正數(shù)的同向不等式才能分別相乘.

丙同學(xué)做的不對(duì).同向不等式兩邊可以相加，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形.丙同學(xué)將2<“方<4與-2<4+b<2兩邊相加

得0<a<3,又將與-2<a+X2兩邊相加得出-3<*0,又將該式與0<a<3兩邊相加得出-3<“+*3,多

次使用了這種轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致了a+b范圍的擴(kuò)大.

J能力拓展

考法01

不等關(guān)系的表示：

【典例1】?？颂撬泻腥丝颂粒?>人>0）,若在糖水中加入X克糖，則糖水變甜了.試根據(jù)這個(gè)事實(shí)提煉

出一個(gè)不等式：

【答案】*，m>b>o)

a+xa

【分析】利用糖水的濃度可得標(biāo)>2m>/>>0)即可.

a+xa

【解答】解：由?？颂撬泻腥丝颂?。>匕>0)可得糖水的濃度為2x100%；

a

在糖水中加入X克糖，可得糖水的濃度為3X100%.

a+x

糖水變甜了，于是可得5xl00%>2xl00%;

a+xa

/x+bb,八、

化b為---->—(az>b>0).

a+xa

故答案為*>?(a>6>0).

a+xa

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了溶液的濃度，及不等關(guān)系的表示.

【典例2】【2019年高考北京卷理數(shù)】李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白

梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)

行促銷：一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得

到支付款的80%.

①當(dāng)戶10時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為

【答案】①130；②15.

【解析】(1)x=l(),顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各一盒，需要支付(60+8())—10=13。元.

(2)設(shè)顧客一次購(gòu)買水果的促銷前總價(jià)為y元,y<120元時(shí)，李明得到的金額為yx80%，符合要求.

^^120元時(shí),有()—力*8()%2/7()%恒成立,即8(丫一“27丫/42.即》《傳=15元.

87min

所以X的最大值為15.

考法02

比較大?。簝蓚€(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

a—b>0<=>a>b

⑴作差法彳a—b=0oa=b(a,beR)；

a-b<0<=>a<b

一般步驟是：①作差；②變形；③定號(hào)；④結(jié)論.其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化

等方法把差式變成積式或者完全平方式.當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差.

a

r>l<=>a>b

b-----

(2)作商法〈仁=9a=b(a￡R,b>0).

a

r<1<=>a<b

VD---------

一般步驟是：①作商；②變形；③判斷商與1的大?。虎芙Y(jié)論.

(3)特值法:

若是選擇題、填空題可以用特值法比較大小；若是解答題，可先用特值探究思路，再用作差或作商法

判斷.

注意：用作商法時(shí)要注意商式中分母的正負(fù)，否則極易得出相反的結(jié)論.

【典例3】1)己知0,a2G(0,1)，記M=0s，N=ai+z-l，則M與N的大小關(guān)系是()

A.M<NB.M>NC.M=ND.不確定

【解析]M—N=ai“2—(ai+"2—l)=ai42—，"一1=。1(42—1)一(俏一—1)(42—I)，

又?.ZiG(0,l),a2G(0,D，Aai-KO,a2~l<0..*.(ai-1)(a2-1)>0,即M-N>0.，M>N.

【答案】B

2)設(shè)a,b^[0,+oo),A=W+的，B=，不①，則A,B的大小關(guān)系是()

A.A<BB.A>BC.A<BD.A>B

【答案】B

【解析】VA>0,B>0,A2-B2=(/+2屈+〃一(。+力=2標(biāo)對(duì)，AA^B.

3)若a>b>0,c<d<0,則一定有()

abababah

A.—>—B.—<—C.—>—D.—<—

dccdcddc

【答案】D

【解析】因?yàn)閏<"<0.所以—c>—d〉0,0<」-<」一又a>力>0,所以4>2>0,變形得且<2,

~c—cl-d—cd.c

選D.

4)若。=18%〃=16艮則。與b的大小關(guān)系為.

【答案】a<b

【解析】￡=瞿=揄喘=(版(君6=(泰嚴(yán)，

麻3：曲

6<1,VlS'Soje'So,18%16叱即avb.

5）已知a>Z;>c且Q+/?+C=0,則下列不等式恒成立的是（）

A.a2>b2>c2B.a\b\>c\k\C.ac>beD.ab>ac

【解析】己知〃>Z?c且a+〃+c=0,則〃>0,c<0,對(duì)于A:令〃=1,b=0fc=-\,不成立，

對(duì)于B:令〃=0,不成立，對(duì)于C:c〈O,由力得：ac<hc,不成立，對(duì)于D:由b>c,都乘以得到〃/?>a,

故選：D.

【答案】D

考法03

不等式的性質(zhì)的運(yùn)用：

【典例4】已知a,b,c,d均為實(shí)數(shù)，有下列命題：

①若ah>0,bc-ad>0,則。一工>。；②若ab>0,^>0,則bc-ad>0；

③若/?c—ad>0,^>0.則加>0.其中正確的命題是.

【答案】①②③

【解析】：。匕>0,bc-ad>0,.?.：_￡=",出,二①正確；

Vab>0,又彳一/>°,即j”>o,/.bc-ad>G,②正確；

■：bc—ad>0,又:-f>°，即次廠>0,二③正確.故①②③都正確.

考法04

利用不等式的性質(zhì)證明：利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)

（1）利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問(wèn)題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等

式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.

（2）應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更

不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.

【典例5】1）已知a,。,c,de（0,1）,試比較"cd與a+b+c+d—3的大小,并給出你的證明.

【答案】abcd>a+b+c+d-3，證明見(jiàn)解析.

【分析】

先證明—然后用。人，c分別替換Q/?>Q+8-1中的〃，匕可證明

aboa+b+c-2,再用訪。，d分別替換。/?>。+匕一1中再利用已證的不等式放縮即可求證.

【詳解】ahcd>a+b+c+d—3

證明如卜：因?yàn)榱Α?0』)，所以勿?—(a+b—1)=1=(a—1)(/?-1)>0,

即ab>a+b-l.

因?yàn)閍,O,cw(O,l),所以。/?￡(0』)，所以=>a〃+c-l>〃+〃-1+。一1,

即abc>a+b+c—2.

因?yàn)閍,瓦c,d￡(O,l),所以必c￡(O,l),

abc?(d)>cibc+d—l>a+Z?+c—2+d—l=a+b+c+d—3,

即證得"cd>a+Z?+c+d-3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是首先利用。力w(O,l),證明"〉a+b-L通過(guò)類比和放縮即

可證明.

2)設(shè)a>b>c,求證：be2+ccr+ab1<b2c+c2a+a2b.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】利用綜合法的思想證明不等式，作差后?定要化為因式乘積的形式.

【詳解】

he2+cc/-\-cib1-b2c-c2a-a2h

=b^c2_*+。2(Q-C)+QC(Q_C)

=b(a+c^c-a)-b2(^c-a)-ac(c-a)

=(C-Q)(C-/?)(Z?-Q)<0.

考法05

利用不等式的性質(zhì)求范圍：求含字母的數(shù)(或式子)的取值范圍時(shí).，一要注意題設(shè)中的條件，二要正確使

用不等式的性質(zhì)，尤其是兩個(gè)同方向的不等式可加不可減，可乘不可除.

【典例6】1)已知一工求4+2,4二日的取值范圍

2222

■Ari▼.-I、r式/c/冗1.17CCLTC7C。7C

【解析】r因?yàn)?--￡a<■0&—，所以---<一<一，------<—4一.

22424424

??Ka+BTC

兩式相加，得<———<—.

222

因?yàn)橐还?lt;2?工，所以-三4—2〈工，

424424

,,,兀a—Bn

則——<——-<—.

222

又。</，所以歸2<o,

“2

,,,7ta-B八

則——<——-<0.

22

a-P

2

2)己知一l<xvy<3,求x—y的取值范圍.

【解析】,.,一l<x<3,—l<y<3,A—3<—y<l,-4<x—y<4.

又,.?x<y,x—y<0,—4<x—y<0,故x—y的取值范圍為(一4,0).

3)—1<x+y<4,2<x—y<3,求3x+2y的取值范圍.

fm+n=3,[m=i

【解析】設(shè)3x+2y=m(x+y)+n(x-y),貝?。?\

m—n=2,

〔l7

即3x+2y=|(x+y)+^(x—y),又3—1<x+y<4,2<x—y<3,/.—|<|(x+y)<10,1<^(x—y)<|，

—|<|(x+y)+1(x—y)<^,即一方<3x+2y<當(dāng)

.?.3x+2y的取值范圍為(一/y).

分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.已知“，b為非零實(shí)數(shù)，且則下列命題成立的是（）

A.a2<b2B.a2h<ab2

11ba

C.—7<-；—D.一<一

ab'a'bab

【答案】C

【分析】根據(jù)反例或作差法逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

對(duì)于A,取a=—3/=—2,則。<匕，但故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,取〃=-3力=2,則。<。，但。2〃=18>-12=出;2,故B錯(cuò)誤.

而2=_2故D錯(cuò)誤.

a32b

對(duì)十C,因?yàn)椤?一五丁<0,故——<---，故C止確.

ab~crbcrb~ab-ab

故選：C.

2.已知了<。<0,下列不等式一定成立的是（）

A.x2<a2<0B.x2>ax>a1C.x2<at<0D.x2>a2>ax

【答案】B

【分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷.

【詳解】

22

x<a<0,x<0,a<0/>的辦>/,x>ax>a

故選：B.

3.已知a<匕<0,下列不等式中成立的是（）

11

22-<

A.a<hB.—<1C.a<4—bD.4

b

-

【答案】Cb

【分析】

令a=—2,b=-l,驗(yàn)證排除可得結(jié)果.

【詳解】

令a=—2,b=-l,滿足。</?vO，則a?>/,—=2>1,—>—,故A、B>D都不成立，排除A、

hab

B、D，

故選：C.

4.若a>b,c>d,則下列關(guān)系一定成立的是（）

A.ac>bdB.ac>bc

C.a+c>b+dD.ci-c>b—d

【答案】C

【分析】

利用基本不等式的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一驗(yàn)證，即可得到答案；

【詳解】

對(duì)A,當(dāng)a>b>0,c>d>0=>ac>bd,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,當(dāng)c>0時(shí)，aobc,故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,同向不等式的可加性，故C正確；

對(duì)D,若。=2*=l,c=0,d=-3na—c=l,b—d=4,不等式顯然不成立，故D錯(cuò)誤；

故選：C.

5.若a,b,cGR,B.a>b,則下列不等式一定成立的是（）

c2

A.a+c>b-cB.ac2>he2C.------>0D.（a-b）c2>0

a-b

【答案】D

【分析】

作差法比較大小，再取值驗(yàn)算.

【詳解】

因?yàn)椤?c-伍-c）=。-b+202c,

當(dāng)取。=l,/?=0,c=-2時(shí)，b-c=2,有a+cvb—c.故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

2

因?yàn)?c2-be2=^a-b^c2>0,——>0,

a-b

c2

當(dāng)取c=0時(shí)，ac1=b$，」一=0,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確.

a-b

故選：D.

6.、/7+3與指+J16的大小關(guān)系是()

A.V7+3<V6+V10B.V7+3>V6+V10C.@+3=指+屈D.不

確定

【答案】B

【分析】

利用平方作差，再判斷差的正負(fù)即可得解.

【詳解】

因0+3>0，V6+V10>0.

RiJ(x/7+3)2-(V6+ViO)2=(16+6x/7)-(16+4^)=2(377-2^)=2(763-760)>0,

所以J7+3>指+JiU.

故選：B

7.若xe(0,l),a=咽三，6=3(:),咽三］,則a,"c的大小關(guān)系是()

XX21X,

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【答案】D

【分析】

因?yàn)楸绢}是選擇題，所以可以用特值法排除錯(cuò)誤的選項(xiàng)，進(jìn)而得到正確答案.

【詳解】

7T

因?yàn)閄￡(0,l),所以取1=一,

4

7TTC

tan—tan一

則”一4顯然c>4,故可排除選項(xiàng)A和B；

7171

44；

又匕=C，故可排除選項(xiàng)C.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)特值成立的選項(xiàng)不一定是正確答案，但是對(duì)特值不成立的選項(xiàng)一定是錯(cuò)誤答案.因此特值法

往往和排除法結(jié)合在一起使用.

8.實(shí)數(shù)X、》、z滿足/=4x+z—y—4且％+/+2=(),則下列關(guān)系成立的是()

A.y>x>zB.z>x>y

C.y>z>xD.z>y>x

【答案】D

【分析】

分別把兩個(gè)等式轉(zhuǎn)化，寫成2-、=》2-4》+4=。-2)220及％=-(；/+2)的形式，從而比較數(shù)的大小.

【詳解】

由x?=4x+z—y-4知，

z-j=x2-4x+4=(x-2)2>0,即zNy；

由尤+y-+2=()如，x——(y~+2),

,1,7

則y—X=y2+2+y=(y+-)2+->0,即y>X；

24

綜上，z>y>x

故選：D

題組B能力提升練

1.已知a>6>2,則一定有（

,11

A.1>—+—B.ab>4

ab

C.若ceR,則ac2>be2D.若%>y,貝ijar>〃y

【答案】AB

【分析】

利用不等式的基本性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一分析判斷.

【詳解】

對(duì)A,因?yàn)椤?gt;〃>2,所以一</<一,所以—F-<—I—=1,故A正確;

ab2ab22

對(duì)B,因?yàn)閍>h>2,所以出7>2x2=4，故B正確;

對(duì)C,若C=0,則比2=兒2,故C錯(cuò)誤;

對(duì)D,若x=-4,y=-5,a=4,Z?=3,則(-4)x4<(—5)x3,此時(shí)arc外，故D錯(cuò)誤.

故選：AB

2.設(shè)實(shí)數(shù)。、b、c滿足〃+c=6—4a+3a2,c-b=4-4a+a2^則下列不等式成立的是（）

A.c<bB.h>\C.b<aD.a<c

【答案】BD

【分析】

由已知可得匕=/+],作差即可比較大小，得出答案.

【詳解】

0+。=6—4。+3。2…一..

2，兩式相減得2b=2/+2，即b="+i，???匕21.

。一人二4-4。+。~

、23.

Lb-ci—ci~+1—a=H—>0，?.b>a.

2)4

而c—Z?=4—4。+。2=(a—2)-NO.c>b,從而cNb>a.

故選：BD.

3.下列命題不正確的（）

ab,

A.-<-<()=>|?|>|ZJ|B.—>—=>a>b

ahcc

a3>/?11cr>b211

c.>n—<一D.=>—<-

ab>0abab>0ab

【答案】ABD

【分析】

利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合特殊值法、比較法逐一判斷即可.

【詳解】

A：—<—<0:.ab>0且一■->>0,因此一,.aZ?》一,

ababah

即—b>—ci>0=>|—/?|>|-6?|>0=>|/?|>|tz|,故本命題不正確；

48

B：因?yàn)椴唬@然4>8不成立，所以本命題不正確；

-2-2

C:由>萬(wàn)3=（。一〃）（/++而Q〃>（）,

所以有a>b,而工―二q<O=L<L,故本命題正確；

ababab

D：若。=一2/=-1,顯然>b成立，但是_?_<」_不成立，故本命題不正確，

ab>0-2-1

故選：ABD

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：關(guān)于不等式是否成立問(wèn)題，一般有直接運(yùn)用不等式性質(zhì)法、特殊值法、比較法.

4.下列命題正確的是（）

A.3^/?G/?,|6Z-2|+（Z?+1）2<0B.PawRmxeR,使得6>2

C.出7彳0是"+〃/（）的充要條件D.若則旦之上

1+al+b

【答案】AD

【分析】

對(duì)A.當(dāng)。=2/=-1時(shí)，可判斷真假，對(duì)B.當(dāng)。=0時(shí)，0-x=0<2,可判斷真假，對(duì)C.當(dāng)。=0,〃力0

時(shí)，可判斷真假，對(duì)D可用不等式性質(zhì)證明.

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，。=21=—1時(shí)，一2|+3+1）2<0,故A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)。=0時(shí)，or>2不成立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)“而。0”時(shí)，“"+62#0”成立；當(dāng)“。2+62#0，，時(shí)，如。=1/=o,此時(shí)而=（）,故

“他H0”不成立，也即“必*0”是wo”的充分不必要條件，故c選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)。2人>0時(shí)，4+。/?2匕+。良。（1+/?）2仇1+。），由于1+。>0,1+。>0,故/一，

1+al+b

所以D選項(xiàng)正確.

故選：AD

5.下列命題為真命題的是（）

A.若a>6,c>d,則a-c>Z?-d

B.若>0,a>b,則，<?

ab

C.設(shè)a,b是任意實(shí)數(shù)，則〃（〃—。）之火4—勖）

D.若八>&，則Q匕A/??

E.若a>/?>（）,c>d>0,則ac>bd>0

【答案】BCE

【分析】

利用不等式的性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析和判斷，即可得到答案.

【詳解】

解：若。=5,。=4,c=4,d=2時(shí)，則有c>d成立，但是a-cvZ?-d，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

因?yàn)槌?>0,。>人，所以/?—。<0,則有-----——■—<0,故-----<0?

ahahab

所以故選項(xiàng)B正確；

ab

因?yàn)橐?（4—2與=/一246+2》2=（。一/?）2+/?220恒成立，

故對(duì)任意實(shí)數(shù)“，b,都有a（a-A）20（a-力），故選項(xiàng)C正確；

當(dāng)b=0時(shí)，ab=b2故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

因?yàn)椤?gt;。>0,c>d>0,

所以@>1,->1,故所以ac>Z?d>0,故選項(xiàng)E正確.

bdbd

故選：BCE.

6.已知xwO,貝與/+爐+1的大小關(guān)系為.

【答案】（/+1）2>/+為2+1

【分析】

計(jì)算可得（/+）_（/+/+］）=*2,由"0,可得可>0,從而可得（丁+1）2>/+/+1.

【詳解】

因?yàn)椋ㄈ?1）一（X，+x2+1）=%4+2x2+1-x4-x2-1=x2>

又xwO,所以爐>0

所以(J+1)2>彳4+*2+].

故答案為：(/+1)2>/+/+1.

,2019I,2020,1

7.勺產(chǎn)篇上(用不等號(hào)“V”或“〉”填空).

【答案】>

【分析】

利用作差法比較大小即可.

【詳解】

22019+122020+1_(22019+1)(2202,+1)-(22020+1)2_22019+22021-2.22020

'=(22020+1)(2202,+1)=(22020+1)(22021+1)

22019(1+4-4)八

=---------------------->0

(22020+1)(22021+1)'

220"+i22020+1

故答案為：＞

8.P^a2+a+\,Q^-^一,(aeE),則P,Q的大小關(guān)系為

a-a+1

【答案】＞

【分析】

用作商法比較P,Q的大小關(guān)系，化簡(jiǎn)即可得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)镻=a2+a+i=(a+，]+->0.cT-a+\.=[a-^\+->0則Q>0

I2；4I1)4

由：=(a2+a+l)(a2a+l)=(q2+l)-a~=a4+a2+1>1

所以PNQ

故答案為：N

題組C培優(yōu)拔尖練

1.命題：若a>6,則工<1.

ab

（1）請(qǐng)判斷這個(gè)命題的真假.若是真命題請(qǐng)證明；若是假命題，請(qǐng)舉一個(gè)反例；

（2）請(qǐng)你適當(dāng)修改命題的條件使其成為一個(gè)真命題.

【答案】（1）假命題，反例不唯一；（2）答案不唯一.

【分析】

（I）通過(guò)a>0>匕即可知原命題為假，且能得到反例；

（2）將變?yōu)橥?hào)，根據(jù)不等式的性質(zhì)知命題為真命題.

【詳解】

（1）若。=1,/，=—2,滿足a>6,此時(shí)工>工；

ab

二原命題為假命題.

（2）可改成：若a>〃>0,則』<1（或：若0>a>6,則!<4）.

abab

2.下面是甲、乙、丙三位同學(xué)做的三個(gè)題目，請(qǐng)你看看他們做得對(duì)嗎？如果不對(duì)，請(qǐng)指出錯(cuò)誤的原因.

甲：因?yàn)?6<“<8,-4cb<2,所以-2<a-X6.

乙：因?yàn)?<6<3,所以,（!<工，

3b2

又因?yàn)?6<tz<8,所以-2<—<4.

b

丙：因?yàn)?<a-b<4,所以-4<6/<-2.

又因?yàn)?2<a+b<2,所以0<a<3,-3<Z?<0,

所以-3<a+*3.

【答案】甲乙丙做的都不對(duì)，理由見(jiàn)解析.

【分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一分析即可.

【詳解】

甲同學(xué)做的不對(duì).因?yàn)橥虿坏仁骄哂锌杉有?，但不能相減，甲同學(xué)對(duì)同向不等式求差是錯(cuò)誤的.

乙同學(xué)做的不對(duì).因?yàn)椴坏仁絻蛇呁艘砸粋€(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，但同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改

變，在本題中只知道-6<a<8.不明確a值的正負(fù).故不能將!與-6<a<8兩邊分別相乘，只有兩邊都是

3b2

正數(shù)的同向不等式才能分別相乘.

內(nèi)同學(xué)做的不對(duì).同向不等式兩邊可以相加，這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形.內(nèi)同學(xué)將2<a-b<4與-2<〃+X2兩邊相加

得又將-4<兒。<-2與-2<a+K2兩邊相加得出又將該式與0<“<3兩邊相加得出-3<4+次3,多

次使用了這種轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致ra+b范圍的擴(kuò)大.

a+b+c

3.已知a>/?>c>0,比較優(yōu)。%,與的大小

a+b+c

【答案】〉（abc尸

【分析】

利用作商法比大小.

【詳解】

優(yōu)b%c

從而a+6+c>

(abc)3

a+b

即aabbcc>(abc)~

4.甲、乙兩位消費(fèi)者同時(shí)兩次購(gòu)買同一種物品，分別采用兩種不同的策略，甲的策略是不考慮物品價(jià)格的升

降，每次購(gòu)買這種物品的數(shù)量一定；乙的策略是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買這種物品所花的錢數(shù)一

定.

（1）若兩次購(gòu)買這種物品的價(jià)格分別為6元，4元，求甲兩次購(gòu)買這種物品平均價(jià)格和乙兩次購(gòu)買這種物

品平均價(jià)格分別為多少;

（2）設(shè)兩次購(gòu)買這種物品的價(jià)格分別為。元，。元問(wèn)甲、乙誰(shuí)的購(gòu)物比較經(jīng)濟(jì)合算.

24

【答案】（1）5,y；（2）乙的購(gòu)物比較經(jīng)濟(jì)合算.

【分析】

（1）首先設(shè)甲每次購(gòu)買這種物品的數(shù)量為加，乙每次購(gòu)買這種物品所花的錢數(shù)為〃，再分別計(jì)算甲、乙的

平均價(jià)格即可.

（2）首先分別算出甲、乙的平均價(jià)格，再作差比較即可.

【詳解】

(1)設(shè)甲每次購(gòu)買這種物品的數(shù)量為加，乙每次購(gòu)買這種物品所花的錢數(shù)為〃，

6m+4/77

所以甲兩次購(gòu)買這種物品平均價(jià)格為，--------=5,

m+m

In_24

乙兩次購(gòu)買這種物品平均價(jià)格為，nn=~5.

6+4

(2)設(shè)甲每次購(gòu)買這種物品的數(shù)量為加，乙每次購(gòu)買這種物品所花的錢數(shù)為〃，

所以甲兩次購(gòu)買這種物品平均價(jià)格為，-a一m4-乙hni=幺ci+上h，

m+m2

2〃_2ah

乙兩次購(gòu)買這種物品平均價(jià)格為幾，"一a+b，

ab

a+b2ab(a+h)2-4aba2+b2-lab(a-b)2..

_________—___________—__________—______>■j

2a+b2(。+〃)2(a+h)2(a+〃)

所以乙的購(gòu)物比較經(jīng)濟(jì)合算.

5.已知cvdvO.證明：

(1)ac<bd\

a-cb-c

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】

(1)利用不等式的性質(zhì)即可證明；

(2)利用不等式的性質(zhì)即可證明.

【詳解】

解：證明：(1)???〃>/?>(),c<0,

ac<be<01

又Qcvd<0,/?>O?

bc<bd<0^

故ac<bd?、

(2)由evO,得一c>0,

乂?a>b>0，

:.a—c>b—c>0，

即。<」一<」一

a-cb-c

又?tz>0.

aa

：.------<------

a-cb-c

6.比較Ja—