2013年上海市黃浦區(qū)中考數(shù)學二模試卷含解析

2013年上海市黃浦區(qū)中考數(shù)學二模試卷一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）一件襯衫原價是90元，現(xiàn)在打八折出售，那么這件襯衫現(xiàn)在的售價是（）A．82元 B．80元 C．72元 D．18元2．（4分）下列二次根式中，的同類根式是（）A． B． C． D．3．（4分）方程x2﹣2x+3＝0的實數(shù)根的個數(shù)是（）A．3 B．2 C．1 D．04．（4分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點（2，0）與（0，3），則關(guān)于x的不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞35．（4分）我們把兩個能夠完全重合的圖形稱為全等圖形，則下列命題中真命題是（）A．有一條邊長對應(yīng)相等的兩個矩形是全等圖形 B．有一個內(nèi)角對應(yīng)相等的兩個菱形是全等圖形 C．有兩條對角線對應(yīng)相等的兩個矩形是全等圖形 D．有兩條對角線對應(yīng)相等的兩個菱形是全等圖形6．（4分）如圖，E、F分別是平行四邊形ABCD邊BC、CD的中點，AE、AF交BD于點G、H，若△AGH的面積為1，則五邊形CEGHF的面積是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）計算：a6÷a3＝．8．（4分）分解因式：x3+x2+x+1＝．9．（4分）下列數(shù)據(jù)是七年級（3）班第2小隊10位同學上學期參加志愿者活動的次數(shù)：7，6，7，8，5，4，10，7，8，6，那么這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是．10．（4分）方程的解是．11．（4分）已知反比例函數(shù)y＝的圖象位于第一、第三象限，則k的取值范圍是．12．（4分）一次函數(shù)y＝2x﹣6的圖象與y軸的交點坐標是．13．（4分）從1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這十個數(shù)中隨機選一個數(shù)替代二次根式中的字母x使所得二次根式有意義的概率是．14．（4分）下表是六年級學生小林的學期成績單，由于不小心蘸上了墨水，他的數(shù)學平時成績看不到，小林去問了數(shù)學課代表，課代表說他也不知道小林的平時成績，但他說：“我知道老師核算學期總成績的方法，就是期中成績與平時成績各占30%，而期末成績占40%”小林核算了語文成績：80×30%+80×40%+70×30%＝77，完全正確，他再核對了英語成績，同樣如課代表所說，那么按上述方法核算的話，小林數(shù)學平時成績是分．學科期中成績期末成績平時成績學期總成績語文80807077數(shù)學807578英語9085908815．（4分）八邊形的內(nèi)角和為．16．（4分）如圖，已知等邊△ABC的邊長為1，設(shè)，那么向量的模||＝．17．（4分）如圖，平面直角坐標系中正方形ABCD，已知A（1，0），B（0，3），則sin∠COA＝．18．（4分）如圖，圓心O恰好為正方形ABCD的中心，已知AB＝4，⊙O的直徑為1，現(xiàn)將⊙O沿某一方向平移，當它與正方形ABCD的某條邊相切時停止平移，記平移的距離為d，則d的取值范圍是．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計算：．20．（10分）解方程組．21．（10分）如圖，MN是⊙O的直徑，點A是弧的中點，⊙O的弦AB交直徑MN于點C，且∠ACO＝2∠CAO（1）求∠CAO的度數(shù)；（2）若⊙O的半徑長為，求AB的長．22．（10分）如圖，線段AB，CD分別是一輛轎車和一輛客車在行駛過程中油箱內(nèi)的剩余油量y1（升）、y2（升）關(guān)于行駛時間x（小時）的函數(shù)圖象．（1）分別求y1、y2關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（2）如果兩車同時從相距300千米的甲、乙兩地出發(fā)，相向而行，勻速行駛，已知轎車的行駛速度比客車的行駛速度快30千米/小時，且當兩車在途中相遇時，它們油箱中所剩余的油量恰好相等，求兩車的行駛速度．23．（12分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，對角線AC與BD交于點O，OE⊥BC，垂足是E．（1）求證：E是BC的中點；（2）若在線段BO上存在點P，使得四邊形AOEP為平行四邊形．求證：四邊形ABED是平行四邊形．24．（12分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點P（0，1）與Q（2，﹣3）．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）若點A是第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上一點，過點A作x軸的平行線交二次函數(shù)圖象于點B，分別過點B、A作x軸的垂線，垂足分別為C、D，且所得四邊形ABCD恰為正方形①求正方形的ABCD的面積；②聯(lián)結(jié)PA、PD，PD交AB于點E，求證：△PAD∽△PEA．25．（14分）如圖，在梯形ABCD中，AD＝BC＝10，tanD＝，E是腰AD上一點，且AE：ED＝1：3．（1）當AB：CD＝1：3時，求梯形ABCD的面積；（2）當∠ABE＝∠BCE時，求線段BE的長；（3）當△BCE是直角三角形時，求邊AB的長．

2013年上海市黃浦區(qū)中考數(shù)學二模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）一件襯衫原價是90元，現(xiàn)在打八折出售，那么這件襯衫現(xiàn)在的售價是（）A．82元 B．80元 C．72元 D．18元【考點】1C：有理數(shù)的乘法．【分析】根據(jù)八折就是百分之八十列式進行計算即可得解．【解答】解：90×80%＝72元．故選：C．【點評】本題考查了有理數(shù)的乘法，熟記八折的意義是解題的關(guān)鍵．2．（4分）下列二次根式中，的同類根式是（）A． B． C． D．【考點】77：同類二次根式．【分析】根據(jù)同類二次根式的意義，將選項中的根式化簡，找到被開方數(shù)為2者即可．【解答】解：A、＝2，與的被開方數(shù)不同，故本選項錯誤；B、與的被開方數(shù)不同，故本選項錯誤；C、＝2，與的被開方數(shù)相同，故本選項正確；D、與的被開方數(shù)不同，故本選項錯誤；故選：C．【點評】本題考查了同類二次根式的知識，要判斷幾個根式是不是同類二次根式，須先化簡根號里面的數(shù)，把非最簡二次根式化成最簡二次根式，然后判斷．3．（4分）方程x2﹣2x+3＝0的實數(shù)根的個數(shù)是（）A．3 B．2 C．1 D．0【考點】AA：根的判別式．【專題】11：計算題．【分析】先計算根的判別式得到△＝22﹣4×3＝﹣8＜0，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷根的情況．【解答】解：∵△＝22﹣4×3＝﹣8＜0，∴方程沒有實數(shù)根．故選：D．【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式△＝b2﹣4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．4．（4分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點（2，0）與（0，3），則關(guān)于x的不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜3 D．x＞3【考點】FD：一次函數(shù)與一元一次不等式．【分析】首先利用圖象可找到圖象在x軸上方時x＜2，進而得到關(guān)于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2．【解答】解：由題意可得：一次函數(shù)y＝kx+b中，y＞0時，圖象在x軸上方，x＜2，則關(guān)于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2，故選：A．【點評】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合思想．認真體會一次函數(shù)與一元一次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系．5．（4分）我們把兩個能夠完全重合的圖形稱為全等圖形，則下列命題中真命題是（）A．有一條邊長對應(yīng)相等的兩個矩形是全等圖形 B．有一個內(nèi)角對應(yīng)相等的兩個菱形是全等圖形 C．有兩條對角線對應(yīng)相等的兩個矩形是全等圖形 D．有兩條對角線對應(yīng)相等的兩個菱形是全等圖形【考點】K9：全等圖形；O1：命題與定理．【分析】根據(jù)全等圖形的定義及特點，結(jié)合各選項進行判斷即可．【解答】解：A、有一條邊長對應(yīng)相等的兩個矩形是全等圖形，命題不正確，故本選項錯誤；B、有一個內(nèi)角對應(yīng)相等的兩個菱形是全等圖形，命題不正確，故本選項錯誤；C、有兩條對角線對應(yīng)相等的兩個矩形是全等圖形，命題不正確，故本選項錯誤；D、兩條對角線對應(yīng)相等的兩個菱形是全等圖形，是真命題，故本選項正確．故選：D．【點評】本題考查了全等圖形的知識，注意掌握全等圖形的定義，屬于基礎(chǔ)題．6．（4分）如圖，E、F分別是平行四邊形ABCD邊BC、CD的中點，AE、AF交BD于點G、H，若△AGH的面積為1，則五邊形CEGHF的面積是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】L5：平行四邊形的性質(zhì)；S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥BC，所以△AGD∽EGB，由相似三角形的性質(zhì)和已知條件可得：BG：GD＝BE：AD＝1：2，同理可證明△AHB∽△FHD，由相似的性質(zhì)可得：DH：HB＝DF：AB＝1：2，即G，H是BD三等分點，所以S△ABG＝S△AGH＝S△AHD＝1，又因為S△ABE＝S平行四邊形ABCD，所以S平行四邊形ABCD＝×4＝6，進而求出五邊形CEGHF面積．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴△AGD∽△EGB，∵E，F(xiàn)分別是平行四邊形ABCD邊BC，CD中點，∴BG：GD＝BE：AD＝1：2，同理△AHB∽FHD，∴DH：HB＝DF：AB＝1：2，∴BG＝BD，同理：DH＝BD，∴BG＝DH＝GH，即G，H是BD三等分點，∴S△ABG＝S△AGH＝S△AHD＝1，∵AH：HF＝2：1，∴AG：GE＝2：1，∴S△DHF＝，S△BGE＝，又∵S△ABE＝S平行四邊形ABCD，∴S平行四邊形ABCD＝×4＝6，∴五邊形CEGHF面積＝6﹣3﹣﹣＝2．故選：B．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等底同高的三角形面積性質(zhì)以及多邊形的面積求解，題目的綜合性很強，難度中等．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）計算：a6÷a3＝a3．【考點】48：同底數(shù)冪的除法．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減計算即可．【解答】解：a6÷a3＝a6﹣3＝a3．故應(yīng)填a3．【點評】本題主要考查同底數(shù)冪的除法運算性質(zhì)，熟練掌握運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（4分）分解因式：x3+x2+x+1＝（x+1）（x2+1）．【考點】56：因式分解﹣分組分解法．【專題】11：計算題．【分析】前兩項結(jié)合，后兩項結(jié)合，提取公因式即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝（x3+x2）+（x+1）＝x2（x+1）+（x+1）＝（x+1）（x2+1）．故答案為：（x+1）（x2+1）【點評】此題考查了因式分解﹣分組分解法，原式進行適當?shù)姆纸M是分解的關(guān)鍵．9．（4分）下列數(shù)據(jù)是七年級（3）班第2小隊10位同學上學期參加志愿者活動的次數(shù)：7，6，7，8，5，4，10，7，8，6，那么這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是7．【考點】W5：眾數(shù)．【分析】一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)，由此可得出答案．【解答】解：7，6，7，8，5，4，10，7，8，6，中7出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為：7．故答案為：7．【點評】本題考查了眾數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．10．（4分）方程的解是x＝1．【考點】AG：無理方程．【分析】先把方程兩邊平方，把無理方程轉(zhuǎn)化成有理方程，求出方程的解，再進行檢驗即可求出答案．【解答】解：，兩邊平方得：x2﹣1＝x﹣1，x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，解得：x1＝0，x2＝1，檢驗：當x1＝0時，左邊＝，方程無意義，當x2＝1時，左邊＝右邊＝0，則原方程的解是x＝1；故答案為：x＝1．【點評】此題考查了無理方程，關(guān)鍵是通過把方程兩邊平方，把無理方程轉(zhuǎn)化成有理方程，要注意檢驗．11．（4分）已知反比例函數(shù)y＝的圖象位于第一、第三象限，則k的取值范圍是k＞2．【考點】G4：反比例函數(shù)的性質(zhì)．【分析】由題意得，反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限，則k﹣2＞0，求出k的取值范圍即可．【解答】解：∵y＝的圖象位于第一、第三象限，∴k﹣2＞0，k＞2．故答案為k＞2．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：①、當k＞0時，圖象分別位于第一、三象限；當k＜0時，圖象分別位于第二、四象限．②、當k＞0時，在同一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當k＜0時，在同一個象限，y隨x的增大而增大．12．（4分）一次函數(shù)y＝2x﹣6的圖象與y軸的交點坐標是（0，﹣6）．【考點】F8：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．【專題】33：函數(shù)思想．【分析】根據(jù)坐標軸上點的坐標特點可知，令x＝0，求出y的值即為直線與y軸的交點坐標．【解答】解：令x＝0，則y＝﹣6，∴直線與y軸的交點坐標是（0，﹣6）．故答案是：（0，﹣6）．【點評】此題屬簡單題目，主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．解答此題的關(guān)鍵是熟知兩坐標軸上點的坐標特點．13．（4分）從1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這十個數(shù)中隨機選一個數(shù)替代二次根式中的字母x使所得二次根式有意義的概率是．【考點】72：二次根式有意義的條件；X4：概率公式．【分析】根據(jù)二次根式中被開方數(shù)的取值范圍即二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)，進而得出答案．【解答】解：∵1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這十個數(shù)中，只有x＝5，6，7，8，9，10時，二次根式中的字母x使所得二次根式有意義，∴二次根式有意義的概率是：＝．故答案為：．【點評】此題主要考查了概率公式以及二次根式有意義的條件，得出具體符合題意的值是解題關(guān)鍵．14．（4分）下表是六年級學生小林的學期成績單，由于不小心蘸上了墨水，他的數(shù)學平時成績看不到，小林去問了數(shù)學課代表，課代表說他也不知道小林的平時成績，但他說：“我知道老師核算學期總成績的方法，就是期中成績與平時成績各占30%，而期末成績占40%”小林核算了語文成績：80×30%+80×40%+70×30%＝77，完全正確，他再核對了英語成績，同樣如課代表所說，那么按上述方法核算的話，小林數(shù)學平時成績是80分．學科期中成績期末成績平時成績學期總成績語文80807077數(shù)學807578英語90859088【考點】W2：加權(quán)平均數(shù)．【分析】設(shè)小林數(shù)學平時成績是x分，根據(jù)小林學期總成績78＝期中成績×30%+平時成績×30%+期末成績×40%，列出關(guān)于x的方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)小林數(shù)學平時成績是x分，由題意，得80×30%+30%x+75×40%＝78，解得x＝80．即小林數(shù)學平時成績是80分．故答案為80．【點評】本題考查了加權(quán)平均數(shù)的計算．平均數(shù)等于所有數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)的個數(shù)．權(quán)的大小直接影響結(jié)果．15．（4分）八邊形的內(nèi)角和為1080°．【考點】L3：多邊形內(nèi)角與外角．【專題】11：計算題．【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°進行計算即可得解．【解答】解：（8﹣2）?180°＝6×180°＝1080°．故答案為：1080°．【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，熟記內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．16．（4分）如圖，已知等邊△ABC的邊長為1，設(shè)，那么向量的模||＝1．【考點】LM：*平面向量．【分析】先得出，然后計算其模即可．【解答】解：＝，∵△ABC是邊長為1的等邊三角形，∴||＝1．故答案為：1．【點評】本題考查了平面向量的知識，先計算出是解答本題的關(guān)鍵．17．（4分）如圖，平面直角坐標系中正方形ABCD，已知A（1，0），B（0，3），則sin∠COA＝．【考點】D5：坐標與圖形性質(zhì)；KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；LE：正方形的性質(zhì)；T1：銳角三角函數(shù)的定義．【分析】過點C作CE⊥y軸于E，根據(jù)點A、B的坐標求出OA、OB的長，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠ABO＝∠BCE，然后利用“角角邊”證明△ABO和△BCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OA＝BE，CE＝OB，然后求出OE的長，再利用勾股定理列式求出OC，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠OCE＝∠COA，再根據(jù)銳角的正切等于對邊比斜邊解答即可．【解答】解：如圖，過點C作CE⊥y軸于E，∵A（1，0），B（0，3），∴OA＝1，OB＝3，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∵∠ABO+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ABO＝∠BCE，在△ABO和△BCE中，，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴OA＝BE＝1，CE＝OB＝3，∴OE＝OB+BE＝3+1＝4，在Rt△OCE中，OC＝＝＝5，∵CE⊥y軸，x軸⊥y軸，∴CE∥x軸，∴∠OCE＝∠COA，∴sin∠COA＝sin∠OCE＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．18．（4分）如圖，圓心O恰好為正方形ABCD的中心，已知AB＝4，⊙O的直徑為1，現(xiàn)將⊙O沿某一方向平移，當它與正方形ABCD的某條邊相切時停止平移，記平移的距離為d，則d的取值范圍是≤d≤．【考點】MC：切線的性質(zhì)．【專題】11：計算題．【分析】如圖所示，當圓心運動到與點A重合時，d最大，運動到與點B重合時，d最小，求出OA與OB，即可確定出d的范圍．【解答】解：作出圖形，當圓心O運動到A點時，d最大，當圓心O運動到B點時，d最小，∵正方形ABCD的邊長為4，∴對角線為4，則AO＝2﹣＝；BO＝2﹣＝，則d的范圍為≤d≤．故答案為：≤d≤【點評】此題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，以及正方形的性質(zhì)，找出d的最大值與最小值是解本題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計算：．【考點】6E：零指數(shù)冪；6F：負整數(shù)指數(shù)冪；79：二次根式的混合運算；T5：特殊角的三角函數(shù)值．【分析】求出（+1）2＝2+2+1，20130＝1，tan60°＝，（﹣1）﹣1＝＝＝+1，再代入求出即可．【解答】解：原式＝2+2+1+1﹣（）2﹣＝4+2﹣3﹣﹣1＝．【點評】本題考查了完全平方公式，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出各個部分的值．20．（10分）解方程組．【考點】AF：高次方程．【分析】首先對原方程組進行化簡，用含y的表達式表示出x，然后分別重新組合，成為兩個方程組，最后解這兩個方程組即可．【解答】解：原方程組可化為如下兩個方程組（1）（2）解方程組（1）得，解方程組（2）得，∴原方程組的解為，，，．【點評】本題主要考查解高次方程，關(guān)鍵在于對原方程組的兩個方程進行化簡，重新組合．21．（10分）如圖，MN是⊙O的直徑，點A是弧的中點，⊙O的弦AB交直徑MN于點C，且∠ACO＝2∠CAO（1）求∠CAO的度數(shù)；（2）若⊙O的半徑長為，求AB的長．【考點】KQ：勾股定理；M2：垂徑定理；M5：圓周角定理．【專題】2B：探究型．【分析】（1）先根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系判斷出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形兩角互補的性質(zhì)求出∠CAO的度數(shù)即可；（2）過點O作OD⊥AB，由垂徑定理可知AD＝AB，在Rt△AOD中由銳角三角函數(shù)的定義可求出AD的長，故可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵MN是⊙O的直徑，點A是弧的中點，∴∠AOM＝×360°＝90°，∴∠ACO+∠CAO＝90°，∵∠ACO＝2∠CAO，∴3∠CAO＝90°，解得∠CAO＝30°；（2）過點O作OD⊥AB于點D，∵點O是圓心，∴AD＝AB，在Rt△AOD中，∵OA＝，∠CAO＝30°，∴AD＝OA?cos30°＝×＝，∴AB＝2AD＝2×＝3．【點評】本題考查的是垂徑定理及圓周角定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．22．（10分）如圖，線段AB，CD分別是一輛轎車和一輛客車在行駛過程中油箱內(nèi)的剩余油量y1（升）、y2（升）關(guān)于行駛時間x（小時）的函數(shù)圖象．（1）分別求y1、y2關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（2）如果兩車同時從相距300千米的甲、乙兩地出發(fā)，相向而行，勻速行駛，已知轎車的行駛速度比客車的行駛速度快30千米/小時，且當兩車在途中相遇時，它們油箱中所剩余的油量恰好相等，求兩車的行駛速度．【考點】FH：一次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）直接運用待定系數(shù)法就可以求出y1、y2關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）設(shè)客車的速度為xkm/時，則小轎車的速度為（x+30）km/時，先根據(jù)相遇問題表示出相遇時間，再由圖象可以求出客車和小轎車每小時的耗油量，再根據(jù)剩余的油相等建立方程求出其解就可以了．【解答】解：（1）設(shè)線段AB，CD的解析式分別為y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，由圖象得，，解得：，，∴y1＝﹣15x+60（0≤x≤4），y2＝﹣30x+90（0≤x≤3）（2）設(shè)客車的速度為xkm/時，則小轎車的速度為（x+30）km/時，所以兩車的相遇時間為：，轎車每小時的耗油量為60÷4＝15升，客車每小時耗油量為90÷3＝30升．∵相遇時，它們油箱中所剩余的油量恰好相等，∴90﹣30×＝60﹣15×，解得：x＝60，經(jīng)檢驗，x＝60是原方程的解，轎車的速度為：60+30＝90千米/時．答：客車60千米/小時，轎車90千米/小時．【點評】本題考查了運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運用，相遇問題的解法的運用，解答本題時先表示出兩車相遇的時間利用剩余的油量相等建立分式方程是關(guān)鍵，分式方程要檢驗是解答的必要過程，學生容易忘記．23．（12分）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，對角線AC與BD交于點O，OE⊥BC，垂足是E．（1）求證：E是BC的中點；（2）若在線段BO上存在點P，使得四邊形AOEP為平行四邊形．求證：四邊形ABED是平行四邊形．【考點】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；L7：平行四邊形的判定與性質(zhì)；LJ：等腰梯形的性質(zhì)．【專題】14：證明題．【分析】（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可進行△ABC≌△DCB的判定，繼而得出∠ACB＝∠DBC，則OB＝OC，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）證明△APD≌△EOB，從而得出AD＝EB，這樣即可判斷出四邊形ABED是平行四邊形【解答】（1）證明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∵在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠ACB＝∠DBC，∴OB＝OC，∵OE⊥BC，∴點E是BC中點（三線合一）．（2）∵四邊形AOEP是平行四邊形，∴AP＝OE，∵在△APD和△EOB中，，∴△APD≌△EOB（AAS），∴AD＝BE，又∵AD∥BC，∴四邊形ABED是平行四邊形．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及等腰梯形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵要熟練掌握等腰梯形的對角線相等及平行四邊形的性質(zhì)與判定定理．24．（12分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點P（0，1）與Q（2，﹣3）．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）若點A是第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上一點，過點A作x軸的平行線交二次函數(shù)圖象于點B，分別過點B、A作x軸的垂線，垂足分別為C、D，且所得四邊形ABCD恰為正方形①求正方形的ABCD的面積；②聯(lián)結(jié)PA、PD，PD交AB于點E，求證：△PAD∽△PEA．【考點】HF：二次函數(shù)綜合題．【專題】16：壓軸題．【分析】（1）把點P、Q的坐標代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；（2）①根據(jù)二次函數(shù)和正方形的對稱性可知正方形ABCD關(guān)于y軸對稱，設(shè)點A的坐標為（m，2m），代入二次函數(shù)解析式求出m的值，再求出2m，然后根據(jù)正方形的面積公式列式計算即可得解；②設(shè)AB與y軸交于點F，根據(jù)點A的坐標求出AF、PF，然后利用兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等兩三角形相似求出△APF和△PDO相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等可得∠PAF＝∠DPO，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠DPO＝∠ADP，從而得到∠PAF＝∠ADP，然后利用兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似證明即可．【解答】（1）解：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點P（0，1）與Q（2，﹣3），∴，解得，∴此二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+1；（2）①解：如圖，∵二次函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，∴正方形ABCD關(guān)于y軸對稱，設(shè)點A的坐標為（m，2m），則﹣m2+1＝2m，解得m1＝﹣1，m2＝﹣﹣1（舍去），∴正方形的邊長2m＝2﹣2，∴正方形ABCD的面積＝（2﹣2）2＝12﹣8；②證明：設(shè)AB與y軸交于點F，∵A（﹣1，2﹣2），∴AF＝﹣1，PF＝1﹣（2﹣2）＝3﹣2，∵＝＝﹣1，＝＝﹣1，∴＝，又∵∠AFP＝∠POD，∴△APF∽△PDO，∴∠PAF＝∠DPO，∵AD∥y軸，∴∠DPO＝∠ADP，∴∠PAF＝∠ADP，又∵∠APE＝∠DPA，∴△PAD∽△PEA．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對稱軸和正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，相似三角形的判定與性質(zhì)，（2）②求出兩三角形的對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．25．（14分）如圖，在梯形ABCD中，AD＝BC＝10，tanD＝，E是腰AD上一點，且AE：ED＝1：3．（1）當AB：CD＝1：3時，求梯形ABCD的面積；（2）當∠ABE＝∠BCE時，求線段BE的長；（3）當△BCE是直角三角形時，求邊AB的長．【考點】LO：四邊形綜合題．【專題】15：綜合題．【分析】（1）作梯形的高AH，BG，根據(jù)正切的定義得到＝，設(shè)AH＝4t，DH＝3t，根據(jù)勾股定理計算出AD＝5t，5t＝10，解得t＝2，則DH＝6，AH＝8，設(shè)AB＝x，CD＝3x，所以6+x+6＝3x，解得x＝6，然后根據(jù)梯形的面積公式計算梯形ABCD的面積；（2）作Ek∥CD交BC于k，由AE：ED＝1：3，AD＝10得到AE＝，ED＝，由AB∥C