山東省日照市2023年高三《數(shù)學》上學期期末試卷與參考答案

山東省日照市2023年高三《數(shù)學》上學期期末試題與參考答案一、單項選擇題本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，然后利用交集的定義即可求解.【詳解】因為集合，又，所以，故選：.2.設(shè)a,b為實數(shù)，若復(fù)數(shù)，則A. B.C. D.【答案】A【分析】先化簡，然后用復(fù)數(shù)相等的條件，列方程組求解．【詳解】由可得1+2i＝（a﹣b）+（a+b）i，所以，解得，，故選A．3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先求解分式不等式，然后根據(jù)兩者的關(guān)系判斷是什么條件.【詳解】由可得，，即，可等價變形為：，即或，顯然“或”是“”的必要不充分條件.故選：B4.已知是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，則D.若，，則【答案】C【分析】對于A項，過直線找一個平面與平面相交，設(shè)交線為，按照此途徑解決.對于B項，討論直線與平面的位置關(guān)系.對于D項，設(shè)，作直線，按照此途徑解決對于C項，分和當時兩種情況證明.【詳解】對于A項，過直線找一個平面與平面相交，設(shè)交線為，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，又因為，所以，所以，故A不正確.對于B項，若，，則或，故B不正確.對于D項，若，設(shè)，作直線，則，，故D不正確.對于C項，因為并且所以，或者；當時，又因為根據(jù)面面垂直得判定定理可得，當時，過作平面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得：又因為所以，又因為，所以，綜上若，則，所以C正確.故選：C5.若曲線在點處的切線與曲線在點處的切線垂直，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【分析】先求出曲線在點處的切線的斜率為，利用斜率成積等于-1，求出曲線y=lnx在點P處的切線的斜率，利用導數(shù)即可求出切點的橫坐標，代入可解.【詳解】的導數(shù)為，所以曲線在點處的切線的斜率為.因為曲線在點處的切線與曲線y=lnx在點P處的切線垂直，所以曲線y=lnx在點P處的切線的斜率.而y=lnx的導數(shù)，所以切點的橫坐標為，所以切點.故選：D6.我們要檢測視力時會發(fā)現(xiàn)對數(shù)視力表中有兩列數(shù)據(jù)，分別是小數(shù)記錄與五分記錄，如圖所示(已隱去數(shù)據(jù))，其部分數(shù)據(jù)如表：小數(shù)記錄0.10.120.150.2…？…1.01.21.52.0五分記錄4.04.14.24.3…4.7…5.05.15.25.3現(xiàn)有如下函數(shù)模型：①，②，表示小數(shù)記錄數(shù)據(jù)，表示五分記錄數(shù)據(jù)，請選擇最合適的模型解決如下問題：小明同學檢測視力時，醫(yī)生告訴他的視力為4.7，則小明同學的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為（）(附：)A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.8【答案】B【分析】通過表格中的數(shù)據(jù)進行模型驗證，可得選模型①更合適，然后令解出的值即為答案.【詳解】由數(shù)據(jù)可知，當時，，兩個都符合，但當時，由，得，與表中的數(shù)據(jù)符合，而，與表中的數(shù)據(jù)不符合，所以選擇模型更合適，此時令，則，所以.故選：B.7.安排4名小學生參與社區(qū)志愿服務(wù)活動，有4項工作可以參與，每人參與1項工作，每項工作至多安排2名小學生，則不同的安排方式有（）A.168種 B.180種 C.192種 D.204種【答案】D【分析】考慮4名學生的工作方式：每名小學生參與不同的工作，有2名小學生參與相同的工作，4名小學生兩兩分組分別計算即可【詳解】分3種情況：①每名小學生參與不同的工作，則有種安排方式；②有2名小學生參與相同的工作，則有種安排方式；③4名小學生兩兩分組，則有種安排方式；所以總的安排方式有種；故選:D.8.已知、分別為雙曲線的兩個焦點，雙曲線上的點到原點的距離為，且，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【分析】本題首先可以結(jié)合題意繪出雙曲線的圖像，然后根據(jù)得出，根據(jù)雙曲線的定義得出，再然后根據(jù)得出以及，根據(jù)得出，最后將點坐標代入雙曲線中，通過化簡即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)為雙曲線的下焦點，為雙曲線的上焦點，繪出雙曲線的圖像，如圖，過點作于點,因為，所以，，因為，所以，因為雙曲線上的點到原點的距離為，即，且，所以，，故，，因為，所以，，將代入雙曲線中，即，化簡得，，，，，解得或（舍去），，，則該雙曲線的漸近線方程為，故選：A.二、多項選擇題本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.（多選）對于拋物線上，下列描述正確的是（）A.開口向上，焦點為 B.開口向上，焦點為C.焦點到準線的距離為4 D.準線方程為【答案】AC【分析】寫出標準形式即，即可得到相關(guān)結(jié)論【詳解】由拋物線，即，可知拋物線的開口向上，焦點坐標為，焦點到準線的距離為4，準線方程為．故選：AC10.已知數(shù)列滿足，則（）A.≥2 B.是遞增數(shù)列C.{-4}是遞增數(shù)列 D.【答案】ABD【分析】根據(jù)所給的遞推公式，結(jié)合選項構(gòu)造對應(yīng)的表達式推導即可【詳解】對于A，因為，故，所以，當且僅當時取等號，故A正確；對于B，由A可得為正數(shù)數(shù)列，且，則，故為遞增數(shù)列，且，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性，為遞增數(shù)列，故B正確；對于C，由，由題意，，即可知不是遞增數(shù)列；對于D，因為，所以，所以，所以，即.故選：ABD11.雙扭線最早于1694年被瑞士數(shù)學家雅各布·伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線．在平面直角坐標系xOy中，把到定點，距離之積等于的點的軌跡稱為雙扭線C．已知點是雙扭線C上一點，下列說法中正確的有（）A.雙扭線C關(guān)于原點O中心對稱；B.；C.雙扭線C上滿足的點P有兩個；D.的最大值為．【答案】ABD【分析】對A，設(shè)動點，則對稱點代入軌跡方程，顯然成立；對B，根據(jù)的面積范圍證明；對C，若，則在y軸上，代入軌跡方程求解；對D，根據(jù)余弦定理分析中的邊長關(guān)系，進而利用三角形的關(guān)系證明即可.【詳解】對A，設(shè)動點，由題意可得的軌跡方程為把關(guān)于原點對稱的點代入軌跡方程，顯然成立；對B，因為，故．又，所以，即，故．故B正確；對C，若，則在的中垂線即y軸上．故此時，代入，可得，即，僅有一個，故C錯誤；對D，因為，故，，因為，，故．即，所以．又，當且僅當，，共線時取等號．故，即，解得，故D正確．故選：ABD.12.已知三棱錐的棱長均為，其內(nèi)有個小球，球與三棱錐的四個面都相切，球與三棱錐的三個面和球都相切，如此類推，…，球與三棱錐的三個面和球都相切（，且），球的表面積為，體積為，則（）A. B.C.數(shù)列為等差數(shù)列 D.數(shù)列為等比數(shù)列【答案】AD【分析】根據(jù)題意求出三棱錐內(nèi)切球和球的半徑，找出半徑之間的關(guān)系，進而進行計算即可得出結(jié)論.【詳解】由題意知三棱錐的內(nèi)切球的球心在高上，如圖1所示，由正三角形中心的性質(zhì)可得：，則，設(shè)球的半徑為，則利用等體積法：，即，解得：，所以球體積，故選項正確；如圖2所示：易知，，.設(shè)球與平面切于點，球的半徑為，連接，則，所以，即，所以，則，所以，如此類推，.所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，則，故選項錯誤；由可得，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故選項錯誤；由可得，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故選項正確；故選：.三、填空題本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.二項式的展開式中常數(shù)項為，則的值為______．【答案】1【分析】利用二項式展開式的通項，令，根據(jù)常數(shù)項的值可列等式，求得的值.【詳解】由題意可得二項式的展開式的通項為，令，則，解得，故答案為：114.已知向量夾角為，且，，則______．【答案】【分析】由，再根據(jù)向量的運算律及數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】解：因為.故答案為：15.在中國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為，，，，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為和，對應(yīng)的圓心角為，則圖中異面直線與所成角的余弦值為______．【答案】【分析】建立空間直角坐標系，用向量法求解異面直線與所成角的余弦值.【詳解】設(shè)上底面圓心為，下底面圓心為，連接，，，以為原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，則，，所以，又因為異面直線所成角的范圍為，故異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：.16.設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，首項，關(guān)于的方程有兩個不相等的實根，且存在唯一的，使得．則公比的取值范圍為______．【答案】【分析】根據(jù)可得范圍及韋達定理的結(jié)論，由可進一步確定；由可知等比數(shù)列為遞減數(shù)列，分析可知當，符合題意，由等比數(shù)列通項公式可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】有兩個不相等的實根，，，解得：，，，，解得：，；不滿足，則存在唯一的，使得，，，等比數(shù)列為遞減數(shù)列，即；若，則均不滿足，不合題意；，又唯一，則，，解得：，即公比取值范圍為.故答案為：.四、解答題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）將函數(shù)圖象上點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再把所得函數(shù)圖象向下平移個單位得到函數(shù)的圖象，求的最小值及取得最小值時的x的取值集合.【答案】（1）（2）﹣1；【分析】（1）先利用三角恒等變換化簡，再結(jié)合的單調(diào)性即可求得的單調(diào)增區(qū)間；（2）先利用三角函數(shù)的圖像變換得到的解析式，再結(jié)合的性質(zhì)即可求得的最小值及取得最小值時的x的取值集合.【小問1詳解】因為，由，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為.【小問2詳解】將函數(shù)圖象上點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再把所得函數(shù)圖象向下平移個單位得到函數(shù)的圖象，所以，故當，即時，，即取得最小值，所以的最小值為，此時x的取值集合為.18.如圖，長方形紙片的長為，將矩形沿折痕翻折，使得兩點均落于邊上的點，若.（1）當時，求長方形寬的長度；（2）當時，求長方形寬的最大值.【答案】（1）（2）【分析】(1)利用二倍角公式求出，再用余弦定理結(jié)合面積公式即可求解；（2）由余弦定理結(jié)合面積公式表示出即可討論最值.【小問1詳解】依題意,在△中,,,,的長度即為△的邊上的高,當時，,所以，設(shè)，①由余弦定理得,得,，,②.【小問2詳解】在中，，①，②.19.如圖，四棱錐的底面為正方形，平面，，是側(cè)面上一點．（1）過點作一個截面，使得與都與平行．作出與四棱錐表面的交線，并證明；（2）設(shè)，其中．若與平面所成角的正弦值為，求的值．【答案】（1）答案和證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理分別在幾何體表面作出與平行的直線即可求解；（2）根據(jù)表示出點的坐標，再求出平面的法向量，從而表示得與平面所成角的正弦值，解方程求解.【小問1詳解】過點作的平行線，分別交于點，過作的平行線，交于點，過作的平行線交于點，則截面為所求截面，證明如下：因為截面,截面,所以截面,因截面,截面,所以截面.【小問2詳解】因為平面，平面，所以，且，所以以為坐標原點，為軸建系如圖，則所以，所以，又因為，所以，設(shè)平面的法向量為，所以令，所以，設(shè)與平面所成角為，則，整理得，解得（舍），.20.已知數(shù)列的各項均為非零實數(shù)，其前項和為，且.（1）若，求的值；（2）若，，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求其前項和.【答案】（1）1（2）證明過程見解析，前項和為【分析】（1）令得到，結(jié)合得到，利用求出；（2）得到，累乘法得到，當時，，相減后得到，得到數(shù)列為等差數(shù)列，首項為，公差為，數(shù)列為等差數(shù)列，首項為，公差為，利用，求出，寫出和的通項公式，合并得到，利用定義法證明出數(shù)列是等差數(shù)列，并求出其前項和.【小問1詳解】中令得：，因為數(shù)列的各項均為非零實數(shù)，所以，因為，所以，即，解得：；【小問2詳解】，即，所以，，，……，，以上式子相乘得：，因為數(shù)列的各項均為非零實數(shù)，且，所以，即，當時，，所以，因為，所以，所以，，故數(shù)列為等差數(shù)列，首項為，公差為，數(shù)列為等差數(shù)列，首項為，公差為，，所以，所以，，故，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和.【點睛】當遇到時，數(shù)列往往要分奇數(shù)項和偶數(shù)項，分別求出通項公式，最后再檢驗?zāi)懿荒芎喜橐粋€，這類題目的處理思路可分別令和，用累加法進行求解.21.設(shè)橢圓左右焦點分別為，橢圓的上頂點，點為橢圓上一點，且.（1）求橢圓的離心率及其標準方程；（2）圓圓心在原點，半徑為，過原點的直線與橢圓交于兩點，橢圓上一點滿足，試說明直線與圓的位置關(guān)系，并證明.【答案】（1），橢圓的方程為；（2）直線與圓相切，證明見解析.【分析】(1)由題意可得，設(shè)，由，可得，代入橢圓方程得，從而可得，再由即可求得橢圓的方程；(2)先證明直線與圓相切，分直線的斜率存在與不存在兩種情況分別證明；當線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理，只要求出點到直線的距離即可；直線的斜率不存在時，只要求出直線的方程為或即可；從而可得直線與圓相切；同理可證線與圓相切.【小問1詳解】解：由題意可得，設(shè)，所以，又因為，所以，所以，所以，即，代入橢圓方程得：，所以，所以，因數(shù)，即，所以，又因為，所以，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】解：直線與圓相切.證明：因為關(guān)于原點對稱，所以，，，所以，設(shè)，當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線和橢圓方程可得：，