銳角三角函數(shù)（第二課時）（分層作業(yè)）【解析版】

基礎(chǔ)訓練1．△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．已知a=6，b=8，c=10，則cos∠A的值為（

A．35 B．34 C．45【答案】C【分析】先利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，再利用三角形的邊角間關(guān)系得結(jié)論．【詳解】解：在△ABC中，∵a=6，b=8，c=10，∴a∴a∴△ABC是直角三角形，∴cos故選：C．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系、勾股定理及逆定理是解決本題的關(guān)鍵．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=A．sinA=34 B．cosA=45 C．【答案】D【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，即可求解．【詳解】解：如圖，

∵sinB=AC∴可設(shè)AC=3x,AB=5x，∴BC=4x，A、sinA=BCB、cosA=ACC、tanA=BCD、cotA=AC故選：D【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，則cosB等于（

A．724 B．3124 C．2425【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理可求出BC的值，再根據(jù)余弦的計算方法求解．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7∴BC=A∴cosB=BC故選：C．【點睛】本題主要考查勾股定理，余弦值的計算方法，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．4．在Rt△ABC中，AC≠BC，C=90°，則下列式子成立的是（

A．sinA=sinB B．sinA=cosB C．tanA=tanB D．cosA=tanB【答案】B【分析】根據(jù)各個三角函數(shù)的定義即可解答．【詳解】解：A、∵sinA=BCAB,sinB=B、sinA=BCAB,cosB=C、tanA=BCAC,tanB=D、cosA=ACAB,tanB=故選：B．

【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵的數(shù)量掌握各個三角函數(shù)的求法．5．在直角三角形中，各邊的長度都擴大到原來的3倍，則銳角A的三角函數(shù)值（

）A．都擴大到原來的3倍 B．都縮小為原來的3倍C．都保持原來的數(shù)值不變 D．有的變大，有的縮小【答案】C【分析】理解銳角三角函數(shù)的概念：銳角三角函數(shù)值即為直角三角形中邊的比值．【詳解】解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，可知在直角三角形中，各邊的長度都擴大3倍，銳角A的三角函數(shù)值不變．故選：C．【點睛】本題考查了三角函數(shù)，要能理解銳角三角函數(shù)的概念，明白三角函數(shù)值與邊的長度無關(guān)．6．如圖，一條河兩岸互相平行，為測得此河的寬度PT（PT與河岸PQ垂直），測P、Q兩點距離為m米，∠PQT=α，則河寬PT的長度是（

）A．msinα B．mcosα C．mtanα D．m【答案】C【分析】結(jié)合圖形利用正切函數(shù)求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：tanα∴PT=PQ·tan?α=mtan?α，故選C．【點睛】題目主要考查解直角三角形的實際應(yīng)用，理解題意，利用正切函數(shù)解直角三角形是解題關(guān)鍵．7．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，下列結(jié)論中正確的是（

A．sinA=BCAB B．cosA=BCAC C．【答案】C【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，則sinA=BC故選：C．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．8．在Rt△ABC中，∠C=90°、AB=5、A．34 B．43 C．35【答案】A【分析】先由勾股定理求出AC，再由正切的定義完成求解．【詳解】解：由勾股定理知：AC=tanA故答案選：A．【點睛】本題考查勾股定理和正切的定義，準確求解AC是解題的關(guān)鍵．9．在△ABC中，∠C=90°，若tanA=12，則sinB=A．55 B．32 C．25【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，知tanA=BCAC【詳解】解：在△ABC中，∠C=90°，∵tanA=∴設(shè)BC=x，AC=2x，∴AB=B∴sin故選：C．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，一個銳角的正弦值為對邊比斜邊，余弦值為鄰邊比斜邊，正切值為對邊比鄰邊．10．某滑梯示意圖及部分數(shù)據(jù)如圖所示．若AE=1m，則DF的長為（

A．tanαtanβ B．tanβtanα C．sinβsinα【答案】A【分析】根據(jù)tanα=BEAE，BE=CF，【詳解】∵tanα=BEAE，∴BE=tanα，∵BE=CF，∴BE=CF=tanα，∴tanβ=CF∴DF=CF故選：A．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是掌握正切三角函數(shù)的運用．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=57，如果AB=14，那么【答案】4【分析】根據(jù)余弦定義求得BC，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=57∴BC=5∴AC=A故答案為：46【點睛】本題考查余弦定義、勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解答的關(guān)鍵．12．銳角α滿足cosα=13，則cos【答案】223【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理進行計算即可．【詳解】解：如圖，△ABC，∠C=90°，∠A=α，則∠ABC=90°?α，

由于cosα=13=ACAB所以BC=A∴cos90°?α故答案為：22【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)、勾股定理，理解銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理是正確解答的前提．13．如圖，△ABC的三個頂點都在邊長是1的小正方形的頂點上，則tan∠BAC=．【答案】4【分析】過C作CE⊥AB于E，則∠AEC=90°，求出AE和CE的長，再解直角三角形求出tan∠BAC即可．【詳解】解：如圖，過C作CE⊥AB于E，∴∠AEC=90°，∵小正方形的邊長為1，∴AE=3，CE=4，∴tan∠BAC=CE故答案為：43【點睛】本題考查了解直角三角形．理解和掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分線交AC于點D，延長AC至點E，使CE=AB．（1）若AE=1，求△ABD的周長；（2）若AD=13BD【答案】（1）1；（2）2【分析】(1)作出BC的垂直平分線，連接BD，由垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周長；(2)設(shè)AD=x，BD=3x，進而求出AC=AD+CD=4x，在Rt△ABD中使用勾股定理求得AB=22x，由此即可求出【詳解】解：(1)如圖，連接BD，設(shè)BC垂直平分線交BC于點F，∵DF為BC垂直平分線，∴BD=CD，C=AB+AD+DC=AB+AC∵AB=CE，∴C△ABD(2)設(shè)AD=x，∴BD=3x，又∵BD=CD，∴AC=AD+CD=4x，在Rt△ABD中，AB=B∴tan∠ABC=AC【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義及勾股定理等知識，熟練掌握垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等是解決本題的關(guān)鍵．能力提升1．如圖，A、B、C是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長為1，則tan∠BAC的值為（）A．12 B．1 C．33 【答案】B【分析】連接BC，由網(wǎng)格求出AB，BC，AC的長，利用勾股定理的逆定理得到△ABC為等腰直角三角形，即可求出所求．【詳解】如圖，連接BC，由網(wǎng)格可得AB=BC=5，AC=10，即AB2+BC2=AC2，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，則tan∠BAC=1，故選：B．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解直角三角形，以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．2．如果等腰三角形的腰與底邊的比是5:6，那么底角的余弦值等于．【答案】3【分析】如圖，△ABC中，根據(jù)等腰三角形的腰與底邊的比是5:6，設(shè)腰長為AB=AC=5k，底邊長BC=6k，作AE⊥BC于E，則BE=EC=12BC，在Rt【詳解】解：如圖，△ABC中，∵等腰三角形的腰與底邊的比是5:6，設(shè)腰長為AB=AC=5k，底邊長BC=6k，作AE⊥BC于E，∴BE=EC=1在Rt△AEC∴cosC=故答案為：35【點睛】本題考查了等腰三角形的三線合一性質(zhì)，余弦函數(shù)，熟練掌握函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．如圖矩形ABCD在平面直角坐標系中，若頂點A、B、D在坐標軸上，AB=6，∠ABD=60°，則點D的坐標．

【答案】9【分析】由矩形的性質(zhì)可知∠BAD=90°，再利用AB=6，解直角三角形得OB=3，BD=12，進而可得OD=BD?OB=9，即可求得點D的坐標．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形∴∠BAD=90°∵∠ABD=60°，AB=6，∴OB=AB?cos60°=3，BD=AB∴OD=BD?OB=12?3=9，∴點D的坐標為9,0．故答案為：9,0．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，解直角三角形，圖形與坐標，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及牢記特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．4．如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知BF＝6cm，且tan∠BAF＝34，則折痕AE長是【答案】5【分析】由折疊的性質(zhì)得AF＝AD，EF＝DE，由矩形的性質(zhì)得AF＝AD＝BC，DC＝AB，∠B＝∠C＝∠D＝90°，再由tan∠BAF=34=【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：AF＝AD，EF＝DE∵四邊形ABCD為矩形∴AF＝AD＝BC，DC＝AB，∠B＝∠C＝∠D＝90°∵tan∠BAF=∴AB=8由勾股定理得AF=A∴AD＝BC＝10（cm）∴CF＝BC﹣BF＝4（cm）設(shè)EF＝DE＝xcm，則CE＝（8﹣x）cm在Rt△EFC中，由勾股定理得x2＝42+（8﹣x）2解得：x＝5∴DE＝5cm在Rt△ADE中，由勾股定理得AE=A故答案為：55【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，正切．解題的關(guān)鍵在于找出線段的數(shù)量關(guān)系，多次運用勾股定理求解．拔高拓展1．如圖，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝42，以A為圓心，AB為半徑畫圓，與邊BC交于另一點D．(1)求BD的長；(2)連接AD，求∠DAC的余弦值．【答案】(1)4(2)4【分析】（1）過點A作AH⊥BD于H，利用面積法求出AB和AH，再利用勾股定理求出BH，由垂徑定理即可解決問題；（2）過點D作DM⊥AC于M，利用面積法求出DM，再由勾股定理求出AM即可解決問題．【詳解】（1）過點A作AH⊥BD于H，如圖1所示：∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝42，∴AB＝BC2?A∵12AB?AC＝1∴AH＝AB?ACBC＝2×426∴BH＝AB2?AH2∵AH⊥BD，∴BH＝HD＝23∴BD＝43（2）過點D作DM⊥AC于M，如圖2所示：由（1）得：AH＝432，BD＝∴AD＝AB＝2，CD＝BC﹣BD＝6﹣43＝14∵12AH?CD＝1∴DM＝AH?CDAC＝432在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM＝AD2?DM2∴cos∠DAC＝AMAD＝892【點睛】本題考查了勾股定理、解直角三角形、垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用面積法解決問題．2．如圖，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），將△ACB沿AC對折到△ACE的位置，AE和CD交于點F．(1)求證：△CEF≌△ADF；(2)求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．【答案】(1)證明見解析(2)tan∠DAF＝64?【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代換得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根據(jù)AAS證明三角形全等即可；（2）設(shè)DF＝a，則CF＝8﹣a，根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理表示出DF的長，根據(jù)正切的定義即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF與△