114廣東省深圳市南山區(qū)南山二外（集團）學(xué)府中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級下學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年第二學(xué)期九年級開學(xué)闖關(guān)數(shù)學(xué)一．選擇題（共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出4個選項，其中只有一個是正確的）1.右圖是我們生活中常用的“空心卷紙”，其主視圖為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．看不見的棱要用虛線表示．找到從前面看所得到的圖形即可．【詳解】解：卷紙的主視圖應(yīng)是：，故選：C．2.用配方法解一元二次方程，變形正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)完全平方公式和等式的性質(zhì)進行配方即可．【詳解】解：故選：B．【點睛】本題考查了配方法，其一般步驟為：①把常數(shù)項移到等號的右邊；②把二次項的系數(shù)化為1；③等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．3.不透明的盒子放有三張大小、形狀及質(zhì)地相同的卡片，卡片上分別寫有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荊門送別》和王維《寄荊州張丞相》三首詩，小明從盒子中隨機抽取兩張卡片，卡片上詩的作者都是李白的概率（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】可利用畫樹狀圖得到所有等可能的結(jié)果數(shù)，再找出滿足條件的結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式求解即可．【詳解】解：設(shè)李白《峨眉山月歌》，李白《渡荊門送別》和王維《寄荊州張丞相》三首詩分別為A、B、C，畫樹狀圖為：由圖知，一共有6種等可能的結(jié)果，其中從盒子中隨機抽取兩張卡片，卡片上詩的作者都是李白的有2種，∴從盒子中隨機抽取兩張卡片，卡片上詩的作者都是李白的概率為，故選：A．【點睛】本題考查了用樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意題目中是放回試驗還是不放回實驗試驗．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．4.如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上，若線段，則線段的長是（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，過點作平行線的垂線，交點所在的平行橫線于，交點所在的平行橫線于，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，進行計算即可，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過點作平行線的垂線，交點所在的平行橫線于，交點所在的平行橫線于，，則，線段，，，故選：C．5.點和在反比例函數(shù)的圖象上，若，則下列不等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是看k，并能正確把握反比例函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，當時，圖象在第一三象限，在圖象的每一支上y隨x的增大而減小，可以判斷出，【詳解】解：∵反比例函數(shù)中，，∴在圖象的每一支上y隨x的增大而減小，∵，∴．故選：D．6.下列說法中，錯誤的是（）A.有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 B.平行四邊形對角相等C.對角線互相垂直且相等的四邊形是矩形 D.對角線互相垂直的矩形是正方形【答案】C【解析】【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，矩形、菱形及正方形的判定，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，矩形、菱形及正方形的判定定理進行排除．【詳解】A、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；故原說法正確；B、平行四邊形對角相等；故原說法正確；C、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故原說法錯誤；D、對角線互相垂直的矩形是正方形，原說法正確；故選：C．7.如圖，E、F、G、H是四邊形ABCD四條邊的中點，則四邊形EFGH一定是()A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四邊形【答案】D【解析】【分析】連接AC、DB，根據(jù)題意可確定線段EH為的中位線，線段FG為的中位線，即得出，，可判定四邊形EFGH為平行四邊形．【詳解】如圖，連接AC、DB．∵E、F、G、H是四邊形ABCD四條邊的中點，∴線段EH為的中位線，線段FG為的中位線，∴，，∴四邊形EFGH為平行四邊形．故選D．【點睛】本題考查三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定．正確的連接輔助線是解題關(guān)鍵．8.10月8日，杭州亞運會乒乓球比賽全部結(jié)束，國乒攬獲除女雙項目外的6塊金牌，展現(xiàn)了在乒乓球領(lǐng)域強大的統(tǒng)治力．乒乓球比賽采用雙循環(huán)制（每兩隊之間都進行兩場比賽），比賽總場數(shù)為380場，若設(shè)參賽隊伍有x支，則可列方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是設(shè)參賽隊伍有支，根據(jù)參加乒乓球比賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽380場，可列出方程．【詳解】解：設(shè)參賽隊伍有x支，由題意可得：，故選B．9.如圖，為的對角線，分別以B，D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點，過這兩點的直線分別交于點E，F(xiàn)，交于點O，連接．根據(jù)以上尺規(guī)作圖過程，下列結(jié)論不一定正確的是（）A.點O為的對稱中心 B.平分C. D.四邊形為菱形【答案】B【解析】【分析】由作圖知，是線段的垂直平分線，利用平行四邊形的性質(zhì)可判斷選項A；根據(jù)菱形的判定定理可判斷選項C；根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，可判斷選項D；不一定平分，選項B不正確．【詳解】解：由作圖知，是線段的垂直平分線，即點O為的對稱中心，故選項A正確，不符合題意；∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵是線段垂直平分線，∴，，，∴，∴，∴，∴四邊形為菱形，故選項D正確，不符合題意；∴，∴，故選項C正確，不符合題意；不一定平分，故選項B不正確，符合題意；故選：B．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．10.如圖1，在平行四邊形ABCD中，，，動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段AB運動到點B停止，同時動點Q從點B出發(fā)，以每秒4個單位的速度沿折線運動到點D停止．圖2是點P、Q運動時，的面積S與運動時間t函數(shù)關(guān)系的圖象，則a的值是（）A. B. C.6 D.12【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意計算得；再結(jié)合題意，得當動點Q在上時，的面積S隨運動時間t變化呈現(xiàn)二次函數(shù)關(guān)系；當動點Q在上時，的面積S隨運動時間t變化呈現(xiàn)一次函數(shù)關(guān)系，從而得a對應(yīng)動點Q和點C重合；通過計算，即可得到答案．【詳解】解：∵動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段AB運動到點B停止，一共用6秒鐘，∴AB=1×6=6，∵，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD=6，當動點Q在上時，的面積S隨運動時間t變化呈現(xiàn)二次函數(shù)關(guān)系，當動點Q在上時，的面積S隨運動時間t變化呈現(xiàn)一次函數(shù)關(guān)系，∴a對應(yīng)動點Q和點C重合，如圖：∵動點Q以每秒4個單位的速度從點B出發(fā)，∴，∴，∴，∴，如圖，過點C作，交于點E，∴，∴，即．故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形、函數(shù)圖像，二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角函數(shù),與三角形高有關(guān)的計算等知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．二．填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）11.如果，那么______．【答案】【解析】【分析】本題考查利用比例性質(zhì)求代數(shù)式值，涉及比例性質(zhì)、分式求值等知識，由條件可設(shè)，其中，代入分式化簡求值即可得到答案，熟練掌握由比例性質(zhì)設(shè)出值是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：，設(shè)，其中，，故答案為：．12.在△ABC中，若，則的度數(shù)是_____．【答案】##105度【解析】【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值：記住特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．也考查了非負數(shù)的性質(zhì)．先利用非負數(shù)的性質(zhì)得到，即，則根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算出的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．13.如圖，某幅畫的總面積為，該幅畫平鋪在地面上被墨汁污染了一部分，向畫內(nèi)隨機投擲骰子（假設(shè)骰子落在畫內(nèi)的每一點都是等可能的），經(jīng)過大量重復(fù)投擲試驗，發(fā)現(xiàn)骰子落在畫內(nèi)被污染部分上的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.6附近，由此可估計畫上被污染部分的面積約為__________．【答案】【解析】【分析】本題考查的是利用頻率估計概率．因為骰子落在畫內(nèi)被污染部分上的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.6附近，可估計畫上被污染部分的面積約占整幅畫面積的，由此計算即可．【詳解】∵骰子落在畫內(nèi)被污染部分上的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.6附近，∴可估計畫上被污染部分的面積約占整幅畫面積的，即畫上被污染部分的面積約為．故答案為：14.如圖，為某公園“水上滑梯”的側(cè)面圖，其中BC段可看成是一段雙曲線，建立如圖的坐標系后，其中，矩形AOEB為向上攀爬的梯子，OA=5米，進口AB∥OD，且AB=2米，出口C點距水面的距離CD為1米，則B、C之間的水平距離DE的長度為________米．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BE=OA=5，AB=2，求得B（2，5），設(shè)雙曲線BC的解析式為y=，代入B點坐標，得到k=10，然后求出D點橫坐標，最后用OD-OE即可求解．【詳解】∵四邊形AOEB是矩形∴BE=OA=5，AB=2∴B(2，5)設(shè)雙曲線的解析式為y=，將點B的坐標代入，5=∴k=10∴y=∵CD為1∴當y=1時，x=10∴OD=10∴DE=OD-OE=10?2=8∴B、C之間的水平距離DE的長度為8米．故答案為8．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，解題突破口是設(shè)雙曲線BC的解析式為y=．15.如圖，點E是正方形邊的中點，，連接，將沿AE翻折，得到，延長，交的延長線于點M，交于點N．則的長度為________．【答案】【解析】【分析】連接，過點M作于點H，求出，得出，證明，求出，再證明，求出結(jié)果即可．【詳解】解：連接，過點M作于點H，如圖所示：∵四邊形為正方形，∴，，，∵E是的中點，∴，根據(jù)折疊可知，，，，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，即，解得：，∴，，∵，，∴，∴，即，解得：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證明，求出．三．解答題（本大題有七題，其中第16題5分、第17題7分、第18題8分、第19題8分，第20題8分、第21題9分、第22題10分，共55分，解答應(yīng)寫出文字說明或演算步驟）16.（1）計算：．（2）先化簡，再求值：，其中．【答案】（1）；（2），【解析】【分析】本題考查了實數(shù)運算，分式的化簡求值，能正確根據(jù)分式的運算法則進行計算是解此題的關(guān)鍵，注意運算順序．（1）直接利用絕對值的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值分別化簡得出答案．（2）先根據(jù)分式的減法法則進行計算，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．【詳解】解：（1）；（2）當時，原式．17.我校舉行“創(chuàng)建文明城市，從我做起”的征文比賽，賽后整理參賽學(xué)生的成績，將學(xué)生的成績分為A，B，C，D四個等級，并將結(jié)果繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，但均不完整，請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題．（1）參加比賽的學(xué)生人數(shù)共有名，在扇形統(tǒng)計圖中，表示“B等級”的扇形的圓心角為度，圖中m的值為；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）組委會決定從本次比賽中獲得A等級的學(xué)生中，選出兩名去參加市中學(xué)生征文比賽，已知A等級中男生有2名，請用畫樹狀圖或列表的方法求出所選學(xué)生恰是一男一女的概率．【答案】（1）20,90,40（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)等級為A的人數(shù)除以所占的百分比求出學(xué)生總數(shù)，再用總?cè)藬?shù)減去A、C、D的人數(shù)得到“B等級”，然后用乘以“B等級”所占的百分比即可求得“B等級”的扇形的圓心角的度數(shù)；再后求出“C等級”所占的百分比即可求得m的值；（2）根據(jù)（1）求得“B等級”的數(shù)量，補全條形統(tǒng)計圖即可；（2）根據(jù)D級的人數(shù)求得D等級扇形圓心角的度數(shù)，由C等級人數(shù)及總?cè)藬?shù)可求得m的值；（3）列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出一男一女的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算即可．【小問1詳解】解：根據(jù)題意得：（人），即參賽學(xué)生共20人；則B等級人數(shù)（人）．“B等級”的扇形的圓心角的度數(shù)為：；“C等級”的所占的百分比為：，即．故答案為：20，90，40．【小問2詳解】解：補全條形圖如下：【小問3詳解】解：根據(jù)題意，列表表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：由表可知共有6種等可能的結(jié)果，其中所選兩名學(xué)生恰好是1名男生和1名女生的結(jié)果有4種，∴所選學(xué)生恰是一男一女的概率．【點睛】本題主要考查了條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、列表法求概率等知識點，弄清題意、從條形圖和扇形圖得到解題所需數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵．18.請用學(xué)過的方法研究一類新函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象和性質(zhì)．（1）在給出的平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象；（2）對于函數(shù)，當自變量x的值增大時，函數(shù)值y怎樣變化？（3）在坐標系中畫出函數(shù)的圖象，并結(jié)合圖象，求當時，x的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）①時，當，y隨x增大而增大，時，y隨x增大而減?。跁r，當，y隨x增大而減小，時，y隨x增大而增大；（3）圖象見解析，或【解析】【分析】（1）利用描點法可以畫出圖象．（2）分和兩種情形討論增減性即可；（3）畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可求得．【詳解】（1）函數(shù)的圖象，如圖所示，（2）①時，當，y隨x增大而增大，時，y隨x增大而減?。跁r，當，y隨x增大而減小，時，y隨x增大而增大；（3）由圖象可知，當時，x的取值范圍是或．【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象、正比例函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握描點法畫函數(shù)圖象，學(xué)會利用函數(shù)圖象說明函數(shù)增減性．19.公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進價為30元/個，測算在市場中，當售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少5個，為使月銷售利潤達到8625元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應(yīng)定為多少元/個？【答案】19.該品牌頭盔銷售量的月增長率為20.該品牌頭盔的實際售價應(yīng)定為元/個【解析】【分析】（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為，根據(jù)“從4月份到6月份銷售量的月增長率相同”列一元二次方程，求解即可；（2）設(shè)該品牌頭盔的實際售價為y元/個，“月銷售利潤達到10000元”列方程，求解即可．【小問1詳解】解：設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為，根據(jù)題意可得，解得，（舍去），答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為；【小問2詳解】解：設(shè)該品牌頭盔的實際售價為y元/個，由題意可得，解得，盡可能讓顧客得到實惠，（舍去），答：該品牌頭盔的實際售價應(yīng)定為45元/個．【點睛】本題考查了列一元二次方程解決實際問題，準確理解題意，找出等量關(guān)系且熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．20.下面是多媒體上的一道試題：如圖，在菱形中，過點作于點，點在邊上，，連接，求證：四邊形是矩形．小星和小紅分別給出了自己的思路．小星：先證明四邊形是平行四邊形，然后利用矩形定義即可得證；小紅：先證明與全等，然后利用“有三個角是直角四邊形是矩形”即可得證．（1）請你選擇一位同學(xué)的思路，并進行證明；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）的長為【解析】【分析】（1）小星的思路．先證明四邊形是平行四邊形，然后利用矩形定義即可得證；小紅的思路．由“”可證≌，可得，然后利用“有三個角是直角的四邊形是矩形”即可得證；（2）先在中利用勾股定理求出的長，再在中利用勾股定理求出的長即可．【小問1詳解】選擇小星的思路．證明：四邊形是菱形，，．，，四邊形是平行四邊形．，，四邊形矩形；選擇小紅的思路．證明：四邊形是菱形，，．，，，．，，，四邊形是矩形；【小問2詳解】在中，，四邊形是菱形，，．中，，，解得．的長為．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．21.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．素材1一圓形噴泉池的中央安裝了一個噴水裝置，通過調(diào)節(jié)噴水裝置的高度，從而實現(xiàn)噴出水柱豎直方向的升降，但不改變水柱的形狀．為了美觀在半徑為米的噴泉池四周種植了一圈寬度均相等的花卉（圖1中的陰影部分）．圖1素材2從噴泉口A噴出的水柱成拋物線形，如圖2是該噴泉噴水時的一個截面示意圖，已知噴水口A離地面高度為米，噴出的水柱在離噴水口水平距離為米處離地面最高，高度為米．圖2問題解決任務(wù)1建立模型以點O為原點，所在直線為y軸建立平面直角坐標系，根據(jù)素材2求拋物線的函數(shù)表達式．任務(wù)2利用模型為了提高對水資源的利用率，在欣賞噴泉之余也能噴灌四周的花卉，確定噴水口A升高的最小值．任務(wù)3分析計算噴泉口A升高的最大值為米，為能充分噴灌四周花卉，請對花卉的種植寬度提出合理的建議．【答案】任務(wù)1：；任務(wù)2：噴水口升高的最小值為米；任務(wù)3：建議花卉的種植寬度為米【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．任務(wù)1：依據(jù)題意，用待定系數(shù)法求得拋物線的:函數(shù)表達式；任務(wù)2：依據(jù)題意，由噴泉池的半徑為米，令，則，從而可以求出噴水口升高的最小值；任務(wù)3:：依據(jù)題意，當向上平移個單位，再令，，求出x的值，再減去即可判斷得解．【詳解】解：任務(wù)1：由題意得，，頂點為，可設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為，拋物線過，，解得：，拋物線的函數(shù)表達式為；任務(wù)2：由題意，噴泉池的半徑為米，令，則，噴水口升高的最小值為米；任務(wù)3：當向上平移個單位，則，令，，解得：，（舍去），米，建議花卉的種植寬度為米．22.【問題呈現(xiàn)】如圖1，在中，，，，點P，Q分別是射線，射線上的兩動點，且滿足，連接．問：有何特點？【探究與延伸】（1）以下是某中學(xué)九年級（4）班同學(xué)們的一些猜測，其中正確的是（填序號）；①運動過