(1.4.15)-《大學(xué)物理》第一章作業(yè)輔導(dǎo)

《大學(xué)物理》第一章作業(yè)輔導(dǎo)選擇題1、質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，表示位置矢量，表示速度，表示加速度，S表示路程，表示切向加速度，下列表達(dá)式中，D(1)，(2)(3)，(4)．(A)只有(1)、(4)是對(duì)的．(B)只有(2)、(4)是對(duì)的．(C)只有(2)是對(duì)的．(D)只有(3)是對(duì)的．解答要點(diǎn)：（1）表示速率對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)應(yīng)等于加速度的大小，不是加速度本身，加速度是矢量，其既有大小又有方向。等式左邊是標(biāo)量右邊是矢量，錯(cuò)誤。（2）是位移對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)應(yīng)等于速度矢量，等式右邊的V是標(biāo)量僅代表速度的大小，而不是速度矢量，錯(cuò)誤。（3）是路程對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于速率，正確。（4）是速度矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值，代表總加速度的大小，而不僅僅是切向加速度的大小，自然坐標(biāo)系中，總加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和。所以該表達(dá)式是錯(cuò)誤的。2、一質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，已知質(zhì)點(diǎn)位置矢量的表示式為（其中a、b為常量）,則該質(zhì)點(diǎn)作B(A)勻速直線運(yùn)動(dòng)．(B)變速直線運(yùn)動(dòng)．(C)拋物線運(yùn)動(dòng)．(D)一般曲線運(yùn)動(dòng)．解答要點(diǎn)：要判斷質(zhì)點(diǎn)作什么運(yùn)動(dòng)，先對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程（即位移矢量的時(shí)間函數(shù)）求二階導(dǎo)數(shù)，得到加速度矢量表示式a=2ai+2bj,不含時(shí)間t為一常量，說明該質(zhì)點(diǎn)所作運(yùn)動(dòng)為勻變速直線運(yùn)動(dòng)。上面4個(gè)答案中只有（B）符合題意3、質(zhì)點(diǎn)作半徑為R的變速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小為D解答要點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)作平面曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，往往用自然坐標(biāo)系對(duì)其運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述，在自然坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的總加速度為切向加速度與法向加速度的矢量和，其大小等于切向加速度大小的平方與法向加速度大小的平方之和再開根，因而只有（D）正確。4、一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)位于矢徑的端點(diǎn)處，其速度大小為D(A)(B)(C)(D)解答要點(diǎn)：從矢徑（即位移矢量）表示式r(x,y)可知質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，其瞬時(shí)速度大小等于瞬時(shí)速度水平分量大小的平方與瞬時(shí)速度垂直分量大小的平方之和再開根，故只有（D）正確。5、一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻的瞬時(shí)速度，瞬時(shí)加速度，則一秒鐘后質(zhì)點(diǎn)的速度D(A)等于零(B)等于-2m/s(C)等于2m/s(D)不能確定。解答要點(diǎn)：瞬時(shí)速度等于加速度表達(dá)式對(duì)時(shí)間t的積分，積分可以用定積分或不定積分，如果用定積分，必須用初始條件確定積分上下限，如果用不定積分，也必須用初始條件確定積分常數(shù)，本題初始條件不明確，所以無法通過積分得到確定的瞬時(shí)速度表示式，也就無法計(jì)算一秒后質(zhì)點(diǎn)的速度，所以該題正確答案為（D）6、一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周作勻速率運(yùn)動(dòng)，每t秒轉(zhuǎn)一圈，在2t時(shí)間間隔中，其平均速度大小和平均速率大小分別為B(A)(B)(C)(D)解答要點(diǎn)：平均速度是指速度矢量的變化值與所經(jīng)歷的時(shí)間之比，2t時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到同一位置，速度矢量變化值為0，因此2t時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的平均速度為0，平均速率是指質(zhì)點(diǎn)走過的路程與所經(jīng)歷的時(shí)間之比，2t時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)走過2圈，路程為4πR，平均速率為，因此本題正確答案為（B）二、填空題1、一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為x=6t－t2(SI)，則在t由0至4s的時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的位移大小為__________，在t由0到4s的時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)走過的路程為_____________．[答案：8m10m]解答要點(diǎn)：只有質(zhì)點(diǎn)作單向直線運(yùn)動(dòng)或經(jīng)歷時(shí)間足夠短的情況下，其位移大小才等于路程。2、一質(zhì)點(diǎn)從靜止出發(fā)沿半徑R=1m的圓周運(yùn)動(dòng)，其角加速度隨時(shí)間t的變化規(guī)律是β=12t2-6t(SI)，則質(zhì)點(diǎn)的角速度=_____________；切向加速度=_____________。[答案：4t3-3t2(rad/s)，12t2-6t(m/s2) ]解答要點(diǎn)：角速度等于角加速度對(duì)時(shí)間t的積分，初始條件為t=0時(shí)，角速度＝0，切向加速度=dvdt,其中v為切向速率，也就是線速度。3、一質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為=3+5,=2+3-4.式中以s計(jì)，,以m計(jì)，質(zhì)點(diǎn)速度矢量表示式為____________，＝4s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為____________。[答案：3i+(t+3)jm/s；3i+7jm/s]解答要點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為,對(duì)t求導(dǎo)即得速度矢量表示式，再將t=4s代入可得結(jié)果4、一質(zhì)點(diǎn)，以的勻速率作半徑為5m的圓周運(yùn)動(dòng)，則該質(zhì)點(diǎn)在5s內(nèi)，位移的大小是；經(jīng)過的路程是。[答案：10m；5πm]解答要點(diǎn)：位移大小等于路程必須滿足兩個(gè)條件之一：1、質(zhì)點(diǎn)做單向直線運(yùn)動(dòng)，2、運(yùn)動(dòng)時(shí)間間隔趨于零。5、一質(zhì)點(diǎn)沿x方向運(yùn)動(dòng)，其加速度隨時(shí)間的變化關(guān)系為a=3+2t(SI)，如果初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度v0為5m·s-1，則當(dāng)t為3s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度v=[答案：23m·s-1]解答要點(diǎn)：題目明確給出了初始條件，用加速度表達(dá)式對(duì)t積分結(jié)合初始條件可得速度表達(dá)式，再將t=3s代入即可得出結(jié)果。6、輪船在水上以相對(duì)于水的速度航行，水流速度為，一人相對(duì)于甲板以速度行走。如人相對(duì)于岸靜止，則、和的關(guān)系是。[答案：]解答要點(diǎn)：物體做相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，要選擇兩個(gè)參考系對(duì)其運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述。一個(gè)叫靜止參考系，通常選地面，另一個(gè)叫運(yùn)動(dòng)參考系，選相對(duì)靜止參考系作勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體或物體群，所考察的運(yùn)動(dòng)物體相對(duì)靜止參考系的速度稱為絕對(duì)速度，相對(duì)運(yùn)動(dòng)參考系的速度稱為相對(duì)速度，運(yùn)動(dòng)參考系相對(duì)靜止參考系的速度稱為牽連速度，三種速度的關(guān)系為：絕對(duì)＝相對(duì)+牽連本題分兩步分別計(jì)算，第一步：以地面為靜止參考系、水流為運(yùn)動(dòng)參考系，以船為考察對(duì)象，則水對(duì)地的速度為牽連速度，船對(duì)水的速度為相對(duì)速度，那么船對(duì)地的速度就為。第二步：以人為考察對(duì)象，以河岸為靜止參考系，以船為運(yùn)動(dòng)參考系，因人相對(duì)河岸靜止，說明人的絕對(duì)速度為0，船對(duì)地的速度即牽連速度為，人相對(duì)甲板（即船）的速度為相對(duì)速度，因此按時(shí)三種速度的關(guān)系絕對(duì)＝相對(duì)+牽連，有0＝+，也即是三、下面幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，哪個(gè)是勻變速直線運(yùn)動(dòng)？（1）x=4t-3；（2）x=-4t3+3t2+6；（3）x=-2t2+8t+4；（4）x=2/t2-4/t。給出這個(gè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)在t=3s時(shí)的速度和加速度，并說明該時(shí)刻運(yùn)動(dòng)是加速的還是減速的。（x單位為m，t單位為s）解答要點(diǎn)：此題計(jì)算過程中遺漏了負(fù)號(hào)，正確結(jié)果應(yīng)為：v=-4m/s，a=-4m/s2。解：勻變速直線運(yùn)動(dòng)即加速度為不等于零的常數(shù)時(shí)的運(yùn)動(dòng)。加速度又是位移對(duì)時(shí)間的兩階導(dǎo)數(shù)。于是可得（3）為勻變速直線運(yùn)動(dòng)。其速度和加速度表達(dá)式分別為t=3s時(shí)的速度和加速度分別為v=20m/s，a=4m/s2。因加速度為正所以是加速的。四、質(zhì)點(diǎn)沿軸運(yùn)動(dòng)，其加速度和位置的關(guān)系為＝2+6，的單位為，的單位為m.質(zhì)點(diǎn)在＝0處，速度為10,試求質(zhì)點(diǎn)在任何坐標(biāo)處的速度值。解答要點(diǎn)：因速度是加速度對(duì)時(shí)間t的積分，加速度表示式中含有變量，將其對(duì)t積分后得到的速度表示式既含時(shí)間t,又含變量不合題意，因此先作變形。解：∵分離變量：兩邊積分得由題知，時(shí)，,∴∴五、已知一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為＝4+3開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，＝5m，=0，求該質(zhì)點(diǎn)在＝10s時(shí)的速度和位置．解答要點(diǎn)：本題為已知加速度表示式，求速度表達(dá)式及運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，屬于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)中的第二類基本問題，先用加速度表達(dá)式對(duì)t積分結(jié)合初始條件確定積分常數(shù)得到速度表達(dá)式，再用速度表達(dá)式對(duì)t積分結(jié)合初始條件確定積分常數(shù)得到運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，最后將t=10s分別代入速度表達(dá)式和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程即得所求結(jié)果。解：∵分離變量，得積分，得由題知，,,∴故又因?yàn)榉蛛x變量，積分得由題知,,∴故所以時(shí)六、一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為1m的圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為=2+3，式中以弧度計(jì)，以秒計(jì)，求：(1)＝2s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的切向和法向加速度；(2)當(dāng)加速度的方向和半徑成45°角時(shí)，其角位移是多少?解答要點(diǎn)：本題為已知運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度及加速度表達(dá)式，屬于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)中第一類基本問題，先用運(yùn)動(dòng)學(xué)方程對(duì)t求導(dǎo)得到速度表示式，再根據(jù)自然坐標(biāo)系中切向加速度和法向加速度的計(jì)算公式分別求出二者，再根據(jù)矢量合成規(guī)則求出總加速度。解：(1)時(shí)，(2)當(dāng)加速度方向與半徑成角時(shí)，有即亦即則解得于是角位移為七、質(zhì)點(diǎn)沿半徑為的圓周按＝的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，式中為質(zhì)點(diǎn)離圓周上某點(diǎn)的弧長,，都是常量，求：(1)時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的加速度；(2)為何值時(shí)，加速度在數(shù)值上等于．解答要點(diǎn)：本題仍是已知運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求速度