流體力學流體力學基本方程

關于流體力學流體力學基本方程為什么河道較窄的地方流速較大？思考1第2頁,共93頁，2024年2月25日，星期天高樓頂層的水壓為什么較低？思考2第3頁,共93頁，2024年2月25日，星期天自來水可以爬上幾十米的高樓，洪水為什么不能爬上幾米的岸邊山坡？思考3第4頁,共93頁，2024年2月25日，星期天水流速度V2是多少？思考4第5頁,共93頁，2024年2月25日，星期天§3-1描述流體運動的方法描述流體的運動的困難第6頁,共93頁，2024年2月25日，星期天§3-1描述流體運動的方法描述流體的運動的困難第7頁,共93頁，2024年2月25日，星期天§3-1描述流體運動的方法1.拉格朗日法：一.拉格朗日法與歐拉法：第8頁,共93頁，2024年2月25日，星期天§3-1描述流體運動的方法1.拉格朗日法：設某質點的軌跡為：x=x(a,b,c,t),y=y(a,b,c,t),z=z(a,b,c,t)。(a,b,c)為質點的初始位置坐標。研究每個流體質點的運動情況，并給出其運動軌跡。一.拉格朗日法與歐拉法：上式中用粗體字母表示矢量。第9頁,共93頁，2024年2月25日，星期天§3-1描述流體運動的方法1.拉格朗日法：速度：加速度：研究每個流體質點的運動情況，并給出其運動軌跡。一.拉格朗日法與歐拉法：第10頁,共93頁，2024年2月25日，星期天u=u(x,y,z,t)，v=v(x,y,z,t)，w=(x,y,z,t)研究流場空間中某個點的流動參數，并給出這些參數的分布。2.歐拉法：§3-1描述流體運動的方法第11頁,共93頁，2024年2月25日，星期天2.歐拉法：§3-1描述流體運動的方法第12頁,共93頁，2024年2月25日，星期天§3-1描述流體運動的方法第13頁,共93頁，2024年2月25日，星期天§3-1描述流體運動的方法第14頁,共93頁，2024年2月25日，星期天上式中用粗體字母表示矢量。由速度分布求加速度：2.歐拉法：§3-1描述流體運動的方法u=u(x,y,z,t)，v=v(x,y,z,t)，w=(x,y,z,t)第15頁,共93頁，2024年2月25日，星期天由速度分布求加速度：

某質點t

時刻位于（x,y,z），速度為：t+Δt

時刻位于(x+Δx,y+Δy,z+Δz,t+Δt),速度為：V0和V1的關系為：§3-1描述流體運動的方法(泰勒展開式)第16頁,共93頁，2024年2月25日，星期天加速度：而：注意到：因此：用粗體字母表示矢量，則：§3-1描述流體運動的方法第17頁,共93頁，2024年2月25日，星期天§3-1描述流體運動的方法第18頁,共93頁，2024年2月25日，星期天加速度的投影值：§3-1描述流體運動的方法第19頁,共93頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)：P52-53，第19題、第21題。第20頁,共93頁，2024年2月25日，星期天1.恒定流（定常流動）：2.非恒定流（非定常流動）：流場中各點處的所有流動參數均不隨時間而變化的流動。流場中各點的流體質點的所有流動參數中只要有一個隨時間而變化，這樣的流動就稱為非恒定流?！?-1描述流體運動的方法二.恒定流與非恒定流：第21頁,共93頁，2024年2月25日，星期天跡線：給定質點在一段連續(xù)時間內的運動軌跡?！?-1描述流體運動的方法三.跡線和流線：第22頁,共93頁，2024年2月25日，星期天

流線：§3-1描述流體運動的方法三.跡線和流線：第23頁,共93頁，2024年2月25日，星期天§3-1描述流體運動的方法三.跡線和流線：第24頁,共93頁，2024年2月25日，星期天流線和跡線的區(qū)別：§3-1描述流體運動的方法三.跡線和流線：第25頁,共93頁，2024年2月25日，星期天流線微分方程：設流線微段為：該點的流體的速度為：因為：故兩矢量的坐標分量對應成比例：§3-1描述流體運動的方法第26頁,共93頁，2024年2月25日，星期天1.流管：2.流束：3.元流：在流場中任一條封閉曲線（不是流線）上的每一點作流線，這些流線所圍成的管狀表面稱為流管。流管內的一束運動流體稱為流束。如果流管的橫截面積為dA,這種流管稱為微流管,微流管內的流束稱為元流。無數元流的總和稱為總流。4.總流：§3-1描述流體運動的方法四.流管、流束、元流、總流：第27頁,共93頁，2024年2月25日，星期天過流斷面：與流線正交的橫斷面。平均流速：V=Q/A

對曲面A,（體積）流量Q：單位時間內通過過流斷面的流體體積?！?-1描述流體運動的方法五.流量：第28頁,共93頁，2024年2月25日，星期天1.均勻流與非均勻流：2.漸變流與急變流：在給定時刻，流場中各流線都是平行直線的流動稱為均勻流；否之，則為非均勻流。在非均勻流中，各流線是接近于平行直線的流動稱為漸變流（或稱緩變流）；否之，則為急變流?！?-1描述流體運動的方法六.均勻流、非均勻流、漸變流、急變流：第29頁,共93頁，2024年2月25日，星期天§3-1描述流體運動的方法第30頁,共93頁，2024年2月25日，星期天§3-1描述流體運動的方法第31頁,共93頁，2024年2月25日，星期天若流體的流動參數是空間三個坐標和時間的函數，這種流動稱為三元流動；若流動參數是兩個坐標和時間的函數，這種流動稱為二元流動；若流動參數是一個坐標和時間的函數，這種流動稱為一元流動。§3-1描述流體運動的方法七.一元流動、二元流動、三元流動：第32頁,共93頁，2024年2月25日，星期天§3-1描述流體運動的方法動第33頁,共93頁，2024年2月25日，星期天§3-1描述流體運動的方法第34頁,共93頁，2024年2月25日，星期天求：t=0時，經過點A（-1，-1）的流線方程。例1：已知：u=x+t，v=-y+t,w=0解：

t=0時，u=x，v=-y,w=0；代入流線微分方程：流線過點A（-1，-1）∴C=1§3-1描述流體運動的方法流線方程為：第35頁,共93頁，2024年2月25日，星期天例2：已知某流場中流速分布為：u=-x，v=2y,w=5-z。求通過點(x,y,z)=(2,4,1)的流線方程。解：流線微分方程為：由上述兩式分別積分，并整理得：§3-1描述流體運動的方法第36頁,共93頁，2024年2月25日，星期天即流線為曲面和平面的交線。將(x,y,z)=(2,4,1),代入①可確定c1和c2

故通點(2,4,1)的流線方程為：

§3-1描述流體運動的方法第37頁,共93頁，2024年2月25日，星期天§3-2連續(xù)性方程1.系統(tǒng)與控制體：系統(tǒng)：控制體：包含確定不變的物質的集合。一個空間固定體稱為控制體。一.積分形式的連續(xù)性方程：第38頁,共93頁，2024年2月25日，星期天系統(tǒng)的流體質量為：質量守恒:系統(tǒng)的質量在任何時刻都相等。2.連續(xù)性方程的推導：我們選取t時刻系統(tǒng)的體積τ和表面積A為控制體的體積和表面積?！?-2連續(xù)性方程第39頁,共93頁，2024年2月25日，星期天§3-2連續(xù)性方程第40頁,共93頁，2024年2月25日，星期天因此：對于任一物理量φ（如動量）：§3-2連續(xù)性方程φ——單位體積的某物理量。第41頁,共93頁，2024年2月25日，星期天即：系統(tǒng)的任一物理量的總變化率等于控制體內該物理量的時間變化率和該物理量通過控制體表面的凈流出率之和。由于質量守恒，因此：此方程稱為積分形式的連續(xù)性方程?！?-2連續(xù)性方程第42頁,共93頁，2024年2月25日，星期天定常流動：一元流動：ρ1V1A1=ρ2V2A2不可壓縮流體的一元流動：V1A1=V2A2§3-2連續(xù)性方程第43頁,共93頁，2024年2月25日，星期天二元流動，取控制體如圖，長為dx,寬為dy。設控制體中心點的速度分別為u，v，密度為ρ。第一項為：§3-2連續(xù)性方程二.微分形式的連續(xù)性方程：第44頁,共93頁，2024年2月25日，星期天考慮第二項：左側面流入質量：右側面流出質量：x方向凈流出的質量為：§3-2連續(xù)性方程單位時間內控制體表面的凈流出量。第45頁,共93頁，2024年2月25日，星期天同理,單位時間內y方向凈流出的質量為：因此：即：三元流動：§3-2連續(xù)性方程第46頁,共93頁，2024年2月25日，星期天對于定常流動（恒定流）：當ρ=常數時（不可壓縮流體）：§3-2連續(xù)性方程第47頁,共93頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)：P106，第6題、第8題。第48頁,共93頁，2024年2月25日，星期天§3-3流體運動的微分方程x方向：

max=F

x從理想流體中取出邊長分別為dx、dy和dz的微元平行六面體。設微元體中心點的速度分量為u、v和w，其壓強為p、密度為ρ。理想流體的動壓強與液體的靜壓強的特性一致。一.理想流體的運動微分方程：第49頁,共93頁，2024年2月25日，星期天同理：即：理想流體的運動微分方程又稱為歐拉運動微分方程。不可壓縮粘性流體的運動微分方程又稱為納維-斯托克斯方程，簡稱為N-S方程?！?-3流體運動的微分方程二.粘性流體的運動微分方程（N-S方程）簡介：第50頁,共93頁，2024年2月25日，星期天N-S方程：在N-S方程中，若

=0（理想流體），則N-S方程變?yōu)闅W拉運動微分方程?！?-3流體運動的微分方程第51頁,共93頁，2024年2月25日，星期天§3-5伯努利方程一.理想流體沿流線s的伯努利方程：加速度：如果流動恒定，則：考查理想流體沿流線s的運動方程：1.方程的推導：第52頁,共93頁，2024年2月25日，星期天§3-5伯努利方程如果質量力僅為重力：如果ρ為常數：積分得：沿流線積分第53頁,共93頁，2024年2月25日，星期天或：位置水頭(Z)、壓強水頭(p/

)與流速水頭(u2/2g)之和稱為總水頭（H）。這就是重力作用下，理想不可壓縮流體恒定流沿流線的伯努利方程。§3-5伯努利方程物理意義和幾何意義見第二章物理意義→單位重量的流體所具有的動能幾何意義→流速水頭第54頁,共93頁，2024年2月25日，星期天2.方程的物理意義和幾何意義：恒定元流伯努利方程的物理意義：理想、不可壓縮流體在重力場中作恒定流動時，沿元流各斷面上機械能守恒。恒定元流伯努利方程的幾何意義：理想、不可壓縮流體在重力場中作恒定流動時，沿元流各斷面上總水頭保持不變。由于元流的極限狀態(tài)就是流線，故沿流線的伯努利方程就是沿元流的伯努利方程?！?-5伯努利方程第55頁,共93頁，2024年2月25日，星期天二.壓強沿流線法向的變化：§3-5伯努利方程第56頁,共93頁，2024年2月25日，星期天漸變流和急變流的概念（復習）：如果某處的流線的曲率半徑非常大,則此處的流動稱為漸變流；否則稱為急變流。這時沿流線的法向有：在漸變流斷面上有：§3-5伯努利方程第57頁,共93頁，2024年2月25日，星期天理想流體沿流線的法向有：理想流體沿流線(或元流)的伯努利方程：微分形式的連續(xù)性方程：積分形式的連續(xù)性方程：理想流體的運動微分方程：第58頁,共93頁，2024年2月25日，星期天三.理想流體總流的伯努利方程：研究總流在斷面1-1和2-2之間的部份。取其中某一元流，速度和斷面積分別為u1、dA1和u2、dA2。u1dA1=u2dA2

或

dQ1=dQ2§3-5伯努利方程第59頁,共93頁，2024年2月25日，星期天設兩斷面1-1和2-2處在漸變流中故：§3-5伯努利方程由于在漸變流斷面上有：令：式中：稱為動能修正系數，與斷面速度分布有關。工程中其值約為1.03-1.07，近似取為1。第60頁,共93頁，2024年2月25日，星期天理想流體恒定總流的伯努利方程中：

各項的物理意義和幾何意義分別與元流的伯努利方程中的相應項的物理意義和幾何意義相同。§3-5伯努利方程第61頁,共93頁，2024年2月25日，星期天四.粘性總流的伯努利方程：如圖：1-1斷面在上游，2-2斷面在下游。由于有粘性，機械能沿流程減少。實際流體具有粘性，在流動過程中，摩擦阻力做功會消耗掉一部分機械能。設單位重量流體從總流的1-1斷面運移至2-2斷面的機械能損失為hw1-2。則：§3-5伯努利方程第62頁,共93頁，2024年2月25日，星期天水力坡度J：單位重量流體沿總流單位長度上的機械能損失?；颍骸?-5伯努利方程第63頁,共93頁，2024年2月25日，星期天§3-6伯努利方程的應用1.連續(xù)流體（液、氣）。2.流體均勻不可壓縮，

=const.。3.恒定流。4.質量力僅為重力。5.所取的兩個計算斷面為均勻流斷面或漸變流斷面（兩斷面間可以是急變流）。一.伯努利方程的應用條件：第64頁,共93頁，2024年2月25日，星期天單位重量流體從1-1斷面流至0-0斷面：單位重量流體從2-2斷面流至0-0斷面：二.有匯流（或分流）的伯努利方程：§3-6伯努利方程的應用前提：過流斷面流速均勻第65頁,共93頁，2024年2月25日，星期天水泵由進水管1，出水管2，以及葉輪，渦殼等組成。水由進水管進入葉輪中心，流經葉片之間的通道進入渦殼，由于葉輪的高速旋轉，水流獲得能量，出口2-2斷面的壓力增高。p2>p1。1.有能量輸入：三.有能量輸入或輸出的伯努利方程：§3-6伯努利方程的應用式中Hm為單位重量液體流經水泵所獲得的機械能，也稱為水泵的揚程。第66頁,共93頁，2024年2月25日，星期天2.有能量輸出：這時的伯努利方程為：§3-6伯努利方程的應用式中Hm為單位重量液體傳遞給水輪機的機械能，也稱為水輪機的工作水頭。第67頁,共93頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)：P107，第12題、第13題。第68頁,共93頁，2024年2月25日，星期天四.總流伯努利方程的應用舉例：1.定斷面：應將計算斷面取在已知條件較多的均勻流或漸變流斷面上，并使伯努利方程包含所要求解的未知數。2.過流斷面上計算點的取定：原則上計算點可在均勻流或漸變流斷面上任取。但為了方便，管流的計算點應取在管軸中心處；明渠流的計算點則應取在自由表面上。3.定基準面：兩過流斷面必須選取同一基準面，常使Z≥0。4.方程中的動壓強p1和p2既可為絕對壓強，也可為相對壓強。但p1和p2必須同為絕對壓強或同為相對壓強。5.分析和考慮兩過流斷面間的能量損失hw1-2。解題時應注意以下幾點：§3-6伯努利方程的應用第69頁,共93頁，2024年2月25日，星期天例1.求小孔出流的流量：如圖，對斷面0-0和斷面1-1列伯努利方程，不計能量損失，有：上式中：A為小孔的面積，

A為1-1斷面的面積。解：§3-6伯努利方程的應用第70頁,共93頁，2024年2月25日，星期天例2.用文丘里流量計測定管道中的流量：如圖，在1-1及2-2斷面列伯努利方程，不計能量損失有：解：§3-6伯努利方程的應用由于：故：又因為：所以：第71頁,共93頁，2024年2月25日，星期天

：考慮能量損失及其它因素所加的系數（1）§3-6伯努利方程的應用流量為：第72頁,共93頁，2024年2月25日，星期天例3.用皮托管測流速：§3-6伯努利方程的應用第73頁,共93頁，2024年2月25日，星期天書上P80–81例3-10解：對1-1和2-2斷面列伯努利方程：水泵的有效功率：§3-6伯努利方程的應用水泵抽水,已知:

Q=8.5×10-3m3/s,h=6.3m,hw=0.9m(水柱)。

求：水泵的有效功率P=？第74頁,共93頁，2024年2月25日，星期天書上P81–82例3-11輸氣管入口，已知：ρ’=1000kg/m3，ρ=1.25kg/m3，d=0.4m，h=30mm。求：Q=?解：對0-0和1-1斷面列伯努利方程，不計損失：§3-6伯努利方程的應用第75頁,共93頁，2024年2月25日，星期天書上P83–84例3-14有一虹吸管，已知：d=0.1m,hWAC=2.12m，hWCB=3.51m,h=6.2m，H=4.85m。求：Q=?pa–pc=?解：1)對水池液面和管道出口斷面列伯努利方程：§3-6伯努利方程的應用第76頁,共93頁，2024年2月25日，星期天2)對水池液面和管道C斷面列伯努利方程：§3-6伯努利方程的應用第77頁,共93頁，2024年2月25日，星期天§3-7動量方程及其應用一.總流動量方程的推導：質點的動量方程：質點系（系統(tǒng)）的動量方程：在§3-2中知：對于任一物理量φ（如動量）有：即：第78頁,共93頁，2024年2月25日，星期天對于恒定總流，有：若令：對于控制體不計粘性力：§3-7動量方程及其應用第79頁,共93頁，2024年2月25日，星期天對于如圖所示的不可壓縮液體的恒定總流，有：兩斷面1-1和2-2為均勻流斷面或漸變流斷面。§3-7動量方程及其應用或：這里：第80頁,共93頁，2024年2月25日，星期天在求解實際問題時，一般采用直角坐標系中的投影形式：動量方程中的外力：包括質量力(重力)和表面力。式中：稱為動量修正系數，與斷面速度分布有關。工程中其值約為1.01-1.03，近似取為1。不可壓液體恒定總流的動量方程：§3-7動量方程及其應用物理意義：流出控制體動量-流入控制體動量=外力和第81頁,共93頁，2024年2月25日，星期天二.總流動量方程的應用舉例：1.解題關鍵——正確地選取控制體。通常將控制面的一部分取在運動液體與固體的交界面（或液體與氣體的分界面）上，另一部分取在漸變流斷面上，并使控制面封閉。2.解題步驟：1）先利用連續(xù)性方程、伯努利方程等求出一些相關參數。2）選取漸變流斷面，確定控制體；并建立直角坐標系。3）分析作用在控制體內液體上的所有外力及漸變流斷面上的流速V；確定力和速度的方向，并將其在坐標軸上投影。4）列動量方程，并求解之。動量方程一般用于求解液體作用在固體壁面上的力。§3-7動量方程及其應用第82頁,共93頁，2024年2月25日，星期天確定射流對平板的沖擊力（1）：平板受力分析：左邊受動水壓強p，右邊受大氣壓強pa。平板受到的射流的作用力T由相對壓強所引起。平板對射流的反作用力為F，有：F與T大小相等，方向相反?！?-7動量方程及其應用第83頁,共93頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)：P108，第18題

P110，第27題第84頁,共93頁，2024