新課標(biāo)八年級數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)第17講：梯形

新課標(biāo)八年級數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)第17講：梯形一、填空題〔共9小題，每題4分，總分值36分〕1．〔4分〕如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，假設(shè)AD=a，AB=b，那么CD的長是_________．2．〔4分〕觀察以下圖形和所給表格中的數(shù)據(jù)后答復(fù)以下問題：梯形個數(shù)12345…圖形周長58111417…當(dāng)梯形個數(shù)為n時，這時圖形的周長為_________．3．〔4分〕〔2012?黃岡二?！吃谔菪蜛BCD中，AD∥BC，AB=DC，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠BOC=120°，AD=7，BD=10，那么四邊形ABCD的面積為_________．4．〔4分〕〔2003?南昌〕如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，那么它至少要飛行_________米．5．〔4分〕如圖，在梯形ABCD中，AD=DC，AB=DC，∠D=120°，對角線CA平分∠BCD，且梯形的周長為20，那么AC=_________，梯形ABCD的面積為_________．6．〔4分〕如圖，ABQR是直角梯形，∠A=∠B=90°，P在AB上，且RP=PQ=a，RA=h，QB=k，∠RPA=75°，∠QPB=45°，那么AB=_________．7．〔4分〕如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=BD，AD=AB=4cm，∠A=120°，那么梯形ABCD的面積為_________cm2．8．〔4分〕如圖在梯形ABCD中，AB=DC=10cm，AC與BD相交于G，且∠AGD=60°，設(shè)E為CG的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，那么EF的長為_________cm．9．〔4分〕梯形上下底長分別為1和4，兩條對角線長分別為3和4，那么此梯形面積為_________．二、選擇題〔共9小題，每題5分，總分值45分〕10．〔5分〕用4條線段a=14，b=13，c=9，d=7作為4條邊構(gòu)成一個梯形，那么在所構(gòu)成的梯形中，中位線的長的最大值為〔〕A．B．C．11D．11．〔5分〕如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，E、M、F、N分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，BC=7，MN=3，那么EF的長為〔〕A．4B．C．5D．612．〔5分〕如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AD的中點(diǎn)，有以下四個命題：①如果AB+DC=BC，那么∠BEC=90°；②如果∠BEC=90°，那么AB+DC=BC；③如果BE是∠ABC的平分線，那么∠BEC=90°，④如果AB+DC=BC，那么CE是∠DCB的平分線，其中真命題的個數(shù)是〔〕A．1個B．2個C．3個D．4個13．〔5分〕如圖，在直角梯形ABCD中，底AB=13，CD=8，AD⊥AB并且AD=12，那么A到BC的距離為〔〕A．12B．13C．D．14．〔5分〕如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，假設(shè)△DEC的面積為S，那么四邊形ABCD的面積為〔〕A．B．2SC．D．15．〔5分〕〔2002?荊門〕如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，AD=a，CD=b，那么AB等于〔〕A．a(chǎn)+B．+bC．a(chǎn)+bD．a(chǎn)+2b16．〔5分〕〔2003?濟(jì)南〕如下圖，四邊形ABED與四邊形AFCD都是平行四邊形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，?ABED的面積是36cm2，那么四邊形ABCD的周長為〔〕A．49cmB．43cmC．41cmD．46cm17．〔5分〕在課外活動課上，某同學(xué)做了一個對角線互相垂直的等腰梯形形狀的風(fēng)箏，其面積為450cm2，那么兩條對角線共用的竹條至少需〔〕A．30cmB．40cmC．60cmD．80cm18．〔5分〕一個梯形的4條邊的長分別為1、2、3、4，那么此梯形的面積等于〔〕A．4B．6C．8D．三、解答題〔共10小題，總分值0分〕19．〔1〕如圖，等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，E是梯形外一點(diǎn)，且EA=ED，求證：EB=EC〔2〕請你將〔1〕中的“等腰梯形”改為另一種四邊形，其余條件不變，使結(jié)論“EB=EC”仍然成立，再根據(jù)改編后的問題畫圖形，并說明理由．20．如圖，梯形ABCD中，BC∥AD，AD=3，BC=6，高h(yuǎn)=2，P是BC邊上的一個動點(diǎn)，直線m過P點(diǎn)，且m∥DC交梯形另外一邊于E，假設(shè)BP=x，梯形位于直線m左側(cè)的圖形面積為y．〔1〕當(dāng)3＜x≤6時，求y與x之間的關(guān)系式；〔2〕當(dāng)0≤x≤3時，求y與x之間的關(guān)系式；〔3〕假設(shè)梯形ABCD的面積為S，當(dāng)y=時，求x的值．21．如圖，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，對角線AC、BD相交于O，∠AOD=120°，點(diǎn)S、P、Q分別為OD、OA、BC的中點(diǎn)．〔1〕判斷△SPQ的形狀并證明你的結(jié)論；〔2〕假設(shè)AB=5，CD=3，求△PQS的面積；〔3〕，求的值．22．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC與BD垂直相交于O，MN是梯形ABCD的中位線，∠DBC=30°，求證：AC=MN．23．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，點(diǎn)P為BC邊上一動點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥CD，問PE+PF的值是否為一定值？假設(shè)為一定值，求出這個定值；假設(shè)不為定值，求出這個值的取值范圍．24．如圖，梯形ABCD中，AB=CD，BC=3AD，E為腰AB上一點(diǎn)．〔1〕假設(shè)CE⊥AB，BE=3AE，AB=CD，求∠B；〔2〕設(shè)△BCE和四邊形AECD的面積分別為S1，S2，假設(shè)2S1=3S2，求．25．在矩形ABCD中，AD＞AB，O為對角線的交點(diǎn)，過O作一直線分別交BC、AD于M、N〔1〕求證：S梯形ABMN=S梯形CDNM；〔2〕當(dāng)M、N滿足什么條件時，將矩形ABCD以MN為折痕翻折后能使C點(diǎn)恰好與A點(diǎn)重合〔只寫出滿足的條件，不要求證明〕；〔3〕在〔2〕的條件下，假設(shè)翻折后不重疊局部的面積是重疊局部面積的，求的值．26．如圖，分別以△ABC的邊AC、BC為一邊，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)P到AB的距離是AB的一半．27．〔2001?常州〕：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=，AD=1，∠B=45°，動點(diǎn)E在折線BA﹣AD﹣DC上移動，過點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，設(shè)BP=x，請寫出題中所有能用x的代數(shù)式表示的圖形的面積．28．〔2003?青島〕巳知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C=60°，BD⊥CD．〔1〕求BC、AD的長度；〔2〕假設(shè)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CD邊向點(diǎn)D以1cm/秒的速度運(yùn)動，當(dāng)P、Q分別從B、C同時出發(fā)時，寫出五邊形ABPQD的面積S與運(yùn)動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍〔不包含點(diǎn)P在B、C兩點(diǎn)的情況〕；〔3〕在〔2〕的前提下，是否存在某一時刻t，使線段PQ把梯形ABCD分成兩局部的面積比為1：5？假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，請說明理由．

新課標(biāo)八年級數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)第17講：梯形參考答案與試題解析一、填空題〔共9小題，每題4分，總分值36分〕1．〔4分〕如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，假設(shè)AD=a，AB=b，那么CD的長是b﹣a．考點(diǎn)：梯形；線段垂直平分線的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)．專題：計(jì)算題．分析：延長AD，BC相交于E，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及中角的關(guān)系可知：∠ECD=∠AEB=∠ABC，即可求證得到：DE=CD，AB=BE，即可求解．解答：解：延長AD，BC相交于E．∵CD平行AB，∴∠ABC=∠DCE．∵∠ADC=∠AEB+∠ECD=2∠ABC=2∠ECD，∴∠ECD=∠AEB=∠ABC．∴CD=DE=AE﹣AD=AB﹣AD=b﹣a．故答案是：b﹣a．點(diǎn)評：平移腰，構(gòu)造等腰三角形、平行四邊形．注平移腰、平移對角線的作用在于，能得到長度為梯形上下底之差或之和的線段，能把題設(shè)條件集中到同一三角形中來．2．〔4分〕觀察以下圖形和所給表格中的數(shù)據(jù)后答復(fù)以下問題：梯形個數(shù)12345…圖形周長58111417…當(dāng)梯形個數(shù)為n時，這時圖形的周長為3n+2．考點(diǎn)：規(guī)律型：圖形的變化類．專題：幾何圖形問題．分析：梯形個數(shù)為1時，周長為5，梯形個數(shù)為2時，周長為5+3，梯形個數(shù)為3時，周長為5+2×3…據(jù)此可得梯形個數(shù)為n時，圖形的周長．解答：解：n=1時，圖形的周長為5；n=2時，圖形的周長為5+3；n=3時，圖形的周長為5+2×3；…當(dāng)梯形個數(shù)為n時，這時圖形的周長為5+〔n﹣1〕×3=3n+2．故答案為：3n+2．點(diǎn)評：此題考查了根據(jù)相應(yīng)圖形找規(guī)律；得到變化的量與n的關(guān)系及不變的量是解決此題的關(guān)鍵．3．〔4分〕〔2012?黃岡二模〕在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠BOC=120°，AD=7，BD=10，那么四邊形ABCD的面積為25．考點(diǎn)：梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)．分析：此題的關(guān)鍵是作對角線的輔助線，通過平行四邊形ACDE?△ABD≌△CDE，從而將梯形的面積轉(zhuǎn)化為直角三角形的面積．解答：解：過點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長線于點(diǎn)E，DF⊥BC于F∵DE∥AC，AD∥BC∴四邊形ACED為平行四邊形，∴DE=AC=BD∴三角形BDE是等腰三角形∵∠BOC=120°∴∠BDE=120°∴∠OBC=∠OCB=30°∴DF=BD=5，BF=BD=5，BE=2BF=10．在△ABD和△CDE中，，∴△ABD≌△CDE〔SAS〕∴根據(jù)梯形的面積等于三角形BDE的面積，即×10×5=25．點(diǎn)評：此題主要是平移對角線，構(gòu)造一個平行四邊形和等腰三角形．把梯形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積．4．〔4分〕〔2003?南昌〕如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，那么它至少要飛行10米．考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用．分析：從題目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．解答：解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，連接BD．在Rt△BDE中，DE=8米，BE=8﹣2=6米．根據(jù)勾股定理得BD=10米．點(diǎn)評：注意作輔助線構(gòu)造直角三角形，熟練運(yùn)用勾股定理．5．〔4分〕如圖，在梯形ABCD中，AD=DC，AB=DC，∠D=120°，對角線CA平分∠BCD，且梯形的周長為20，那么AC=，梯形ABCD的面積為．考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)；勾股定理．分析：由可得梯形ABCD是等腰梯形，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)及可求得AB的長，從而不難求得AC的長，再過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，從而可求得AE的長，根據(jù)梯形面積公式不難求得其面積．解答：解：∵在梯形ABCD中，AB=DC∴梯形ABCD是等腰梯形∴∠D+∠DCB=180°∵∠D=120°∴∠B=∠DCB=60°∵對角線CA平分∠BCD∴∠ACB=30°∵AD=DC∴∠DAC=∠ACD=30°∴∠BAC=90°∴BC=2AB∵梯形的周長=AD+DC+BC+AB=5AB=20∴AB=4∴AC=4，BC=8過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E∵AB=4，AC=4，BC=8∴AE=2∴梯形ABCD的面積=〔4+8〕×2×=12．故答案為：4，12．點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對等腰梯形的性質(zhì)及勾股定理的綜合運(yùn)用能力，關(guān)鍵是弄清各邊之間的關(guān)系，從而根據(jù)周長求得各邊的長．6．〔4分〕如圖，ABQR是直角梯形，∠A=∠B=90°，P在AB上，且RP=PQ=a，RA=h，QB=k，∠RPA=75°，∠QPB=45°，那么AB=h．考點(diǎn)：直角梯形；勾股定理．分析：過Q作QC⊥AR交于點(diǎn)C，由條件易證得△PQR是等邊三角形，根據(jù)勾股定理及等邊三角形的性質(zhì)，可求得AB的長．解答：解：過Q作QC⊥AR交于點(diǎn)C，∵∠A=∠B=90°，∠RPA=75°，∠QPB=45°，∴∠RPQ=60°，QB=PB=k，又∵RP=PQ=a，∴△PQR是等邊三角形，即RP=PQ=RQ=a；設(shè)AB長為x，在Rt△ARP、Rt△PBQ、Rt△RCQ中，RQ2=RC2+CQ2，RP2=RA2+AP2，QP2=QB2+PB2，即a2=〔h﹣k〕2+x2，①a2=h2+〔x﹣k〕2，②由①②可解得2kx=2kh，即x=h．故答案填：h．點(diǎn)評：此題考查了直角梯形、直角三角形、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．7．〔4分〕如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=BD，AD=AB=4cm，∠A=120°，那么梯形ABCD的面積為12+4cm2考點(diǎn)：梯形；勾股定理．專題：計(jì)算題．分析：作梯形的高，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以求得各個角的度數(shù)，作高后，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)30度的直角三角形．根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)求得該梯形的高和下底，再根據(jù)面積進(jìn)行計(jì)算．解答：解：如圖，作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，∴AE∥DF，又∵AD∥BC，且∠A=120°，∴∠ABC=60°，AE=DF，∵AB=AD=4，∴∠ABD=∠ADB=∠DBC=30°，在Rt△ABE中，得AE=2，在Rt△BDF中，BD=2DF=2AE=4，∴BC=BD=4，∴S梯形ABCD=〔AD+BC〕?AE=〔12+4〕cm2．故答案為：12+4．點(diǎn)評：此題考查與梯形有關(guān)的問題，作高是梯形中常見的輔助線方法之一，作好輔助線是關(guān)鍵．能夠根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和30度的直角三角形的性質(zhì)求解．8．〔4分〕如圖在梯形ABCD中，AB=DC=10cm，AC與BD相交于G，且∠AGD=60°，設(shè)E為CG的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，那么EF的長為5c考點(diǎn)：梯形．分析：連接BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證△BCG為等腰三角形，又∠BGC=∠AGD=60°，可證△BCG等邊三角形，BE為中線，故也是CG邊上的高，由此可得△ABE為直角三角形，而EF是斜邊AB上的中線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知EF為AB的一半．解答：解：連接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可證△ABC≌△DCB∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△BCG為等邊三角形，∵BE為△BCG的中線，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF為斜邊AB上的中線，∴EF=AB=5cm．點(diǎn)評：此題考查了等邊三角形、直角三角形的判定與性質(zhì)，表達(dá)了梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題的解題思想．9．〔4分〕梯形上下底長分別為1和4，兩條對角線長分別為3和4，那么此梯形面積為6．考點(diǎn)：梯形．專題：計(jì)算題．分析：過D點(diǎn)作AC的平行線角BC的延長線與E點(diǎn)，將梯形上、下底的和，兩條對角線平移到同一個三角形中，用勾股定理的逆定理證明直角三角形，再將梯形面積轉(zhuǎn)化為求△BDE的面積．解答：解：如圖，過D點(diǎn)作AC的平行線交BC的延長線于E點(diǎn)，∵AD∥BC，∴四邊形ACED為平行四邊形，AD=CE=1，AC=DE=3，在△BDE中，BD=4，BE=BC+CE=5，∵BD2+DE2=42+32=25=BE2，∴∠BDE=90°，S梯形ABCD=S△ABD+S△CBD，=S△CDE+S△CBD，=S△BDE=×BD×DE=×4×3=6．故答案為：6．點(diǎn)評：此題考查了梯形常用的作輔助線的方法：平移一腰，用勾股定理證明直角三角形，求梯形面積的轉(zhuǎn)化方法．二、選擇題〔共9小題，每題5分，總分值45分〕10．〔5分〕用4條線段a=14，b=13，c=9，d=7作為4條邊構(gòu)成一個梯形，那么在所構(gòu)成的梯形中，中位線的長的最大值為〔〕A．B．C．11D．考點(diǎn)：梯形中位線定理．專題：計(jì)算題．分析：分別以7、9、13為上底，其他線段做下底和兩腰，試著判斷是否能構(gòu)成梯形〔實(shí)質(zhì)是否符合三角形三邊的關(guān)系〕，然后計(jì)算，最后取最大值即可解答：解：〔1〕當(dāng)上底為7，下底分別為14，13，9時，能構(gòu)成梯形，中位線長分別為〔7+14〕÷2=10.5，〔7+13〕÷2=10，〔7+9〕÷2=8；〔2〕當(dāng)上底為9和13時，均構(gòu)不成梯形．應(yīng)選D．點(diǎn)評：此題主要考查梯形中位線的性質(zhì)，還要注意判斷能否構(gòu)成梯形，難度中等．11．〔5分〕如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，E、M、F、N分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，BC=7，MN=3，那么EF的長為〔〕A．4B．C．5D．6考點(diǎn)：梯形中位線定理；含30度角的直角三角形．專題：計(jì)算題．分析：作NE∥AB交BC于G，NF∥CD交BC于H，易得△ENF是直角三角形，即可證明MN=GH=〔BC﹣AD〕，根據(jù)求得AD，根據(jù)梯形中位線定理即可求得EF的長．解答：解：作NG∥AB交BC于G，NH∥CD交BC于H，∵AD∥BC，∴ABGN，CDNM是平行四邊形，∴BG=AN，CH=ND，∵M(jìn)，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，∴BG=CH，∴GM=HM，∵∠B=30°，∠C=60°，∴∠HGN=30°，∠NHG=60°，∴∠GNH=90°，∴MN=GH=〔BC﹣AD〕，∴AD=1，∴EF=〔BC+AD〕=4．應(yīng)選A．點(diǎn)評：此題考查梯形中位線定理，綜合考查了平行四邊形的判定、直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，輔助線的作法是關(guān)鍵．12．〔5分〕如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AD的中點(diǎn)，有以下四個命題：①如果AB+DC=BC，那么∠BEC=90°；②如果∠BEC=90°，那么AB+DC=BC；③如果BE是∠ABC的平分線，那么∠BEC=90°，④如果AB+DC=BC，那么CE是∠DCB的平分線，其中真命題的個數(shù)是〔〕A．1個B．2個C．3個D．4個考點(diǎn)：梯形；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；命題與定理．分析：首先過點(diǎn)E作EF∥CD，由E是AD的中點(diǎn)，可得EF是梯形ABCD的中位線，即可得AB∥EF∥CD，EF=〔AB+CD〕；①由AB+DC=BC，可得EF=BC，即可判定∠BEC=90°；②如果∠BEC=90°，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得AB+DC=BC；③如果BE是∠ABC的平分線，易得EF=BC，即可判定∠BEC=90°；④如果AB+DC=BC，可得EF=CF=BC，繼而可得CE是∠DCB的平分線，解答：解：過點(diǎn)E作EF∥CD，∵AB∥DC，E是AD的中點(diǎn)，∴AB∥EF∥CD，EF=〔AB+CD〕；①∵AB+DC=BC，∴EF=BC，∴∠BEC=90°；正確；②∵∠BEC=90°，∴EF=BC，∴AB+DC=BC；正確；③∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE=∠FBE，∵AB∥EF，∴∠BEF=∠ABE，∴∠BEF=∠FBE，∴EF=BF，∴EF=BC，∴∠BEC=90°；正確；④∵AB+DC=BC，∴EF=CF=BC，∴∠FEC=∠FCE，∵EF∥CD，∴∠FEC=∠DCE，∴∠DCE=∠FCE，即CE是∠DCB的平分線，正確．應(yīng)選D．點(diǎn)評：此題考查了梯形的性質(zhì)、梯形中位線的性質(zhì)、直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．13．〔5分〕如圖，在直角梯形ABCD中，底AB=13，CD=8，AD⊥AB并且AD=12，那么A到BC的距離為〔〕A．12B．13C．D．考點(diǎn)：直角梯形；勾股定理．分析：此題可以通過作輔助線來解答，作CE⊥AB交點(diǎn)為E，作AF⊥BC交點(diǎn)為F．根據(jù)梯形的性質(zhì)和色股定理易證得AB=AC=13，根據(jù)三角形全等的判定可得△AFB≌△CEB，即可得CE=AF=12，即可得解．解答：解：如圖，作CE⊥AB交點(diǎn)為E，作AF⊥BC交點(diǎn)為F．∵在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，CE⊥AB，∴DC=AE=8，AD=CE=12，那么BE=AB﹣AE=13﹣8=5，∴在直角三角形BCE中，BC==13．即可得AB=CB；∵∠CEB=∠AFB=90°，∠B為公共角，AB=CB，∴△AFB≌△CEB〔AAS〕，∴CE=AF=12．應(yīng)選A．點(diǎn)評：此題考查了直角梯形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，涉及到全等三角形的判定，是一道中檔綜合題．正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．〔5分〕如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，假設(shè)△DEC的面積為S，那么四邊形ABCD的面積為〔〕A．B．2SC．D．考點(diǎn)：梯形中位線定理；三角形的面積．專題：計(jì)算題．分析：過點(diǎn)E作EF∥AD，那么EF是梯形ABCD的中位線，那么EF=〔AD+BC〕，設(shè)梯形的高為h，那么S△DEC=S△DEF+S△EFC=EF?h=S，由此可求得四邊形ABCD的面積．解答：解：過點(diǎn)E作EF∥AD，設(shè)梯形的高為h，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是梯形，∵E是AB的中點(diǎn)，∴EF是梯形ABCD的中位線，即EF=〔AD+BC〕，∵S△DEC=S△DEF+S△EFC=EF?h=S，∴S四邊形ABCD=〔AD+BC〕?h=EF?h=2S．應(yīng)選B．點(diǎn)評：此題考查梯形中位線的性質(zhì)，作輔助線，求S△DEC=S△DEF+S△EFC=EF?h=S，是解題的關(guān)鍵．15．〔5分〕〔2002?荊門〕如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，AD=a，CD=b，那么AB等于〔〕A．a(chǎn)+B．+bC．a(chǎn)+bD．a(chǎn)+2b考點(diǎn)：梯形；多邊形內(nèi)角與外角；平行四邊形的性質(zhì)．分析：過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，從而得到一個平行四邊形和一個等腰三角形，根據(jù)平行四邊形和等腰三角形的性質(zhì)即可求得AB的長．解答：解：過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，得平行四邊形BCDE∴∠B=∠CDE，∠B=∠AED，BE=CD=b∵∠D=2∠B∴∠ADE=∠AED∴AE=AD=a∴AB=a+b應(yīng)選C．點(diǎn)評：此題中利用平移一腰，構(gòu)造了平行四邊形和一個等腰三角形．16．〔5分〕〔2003?濟(jì)南〕如下圖，四邊形ABED與四邊形AFCD都是平行四邊形，AF和DE相交成直角，AG=3cm，DG=4cm，?ABED的面積是36cm2，那么四邊形ABCD的周長為〔〕A．49cmB．43cmC．41cmD．46cm考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：由于AG=3，DG=4，AG是平行四邊形ABED的高，DG是平行四邊形AFCD的高，故兩平行四邊形的面積相等，都為36，由此可以求出DE，AB，CD，AF又△AGD是直角三角形根據(jù)勾股定理可以求出AD，BE，CF，然后延長CD與BA延長線交于H，可得△BHC是直角三角形，然后利用勾股定理和條件可以求出CH，BH，接著求出BC，最后就可以求出ABCD的周長．解答：解：∵四邊形ABED與四邊形AFCD都是平行四邊形，?ABED的面積是36cm2，∴?AFCD的面積是36cm2∵AG=3，DG=4，∴AG是平行四邊形ABED的高，DG是平行四邊形AFCD的高，∴DE=AB=12，CD=AF=9，又∵△AGD是直角三角形，∴AD=BE=CF=5如圖，延長CD與BA延長線交于H，可得CH=CD+DH=CD+AG=12，BH=ED+DG=16，∵∠EDC=∠EGF=∠BAF=90°，∴∠HAG=∠AGD=∠HDG=90°，∴四邊形AGDH是矩形，即△BHC是直角三角形，那么BC=20，∴ABCD周長為AB+BC+CD+DA=12+20+9+5=46．應(yīng)選D．點(diǎn)評：主要考查了平行四邊形的根本性質(zhì)和平行四邊形面積的求法．此題的解題關(guān)鍵是利用面積求出各邊的長，從而求出周長．17．〔5分〕在課外活動課上，某同學(xué)做了一個對角線互相垂直的等腰梯形形狀的風(fēng)箏，其面積為450cm2，那么兩條對角線共用的竹條至少需〔〕A．30cmB．40cmC．60cmD．80cm考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)．專題：應(yīng)用題．分析：設(shè)對角線的長是x，根據(jù)面積公式可求得對角線的長，從而可得到兩條對角線所用的竹條至少需要多少．解答：解：等腰梯形的對角線互相垂直且相等，可以設(shè)對角線的長是x，那么x2=450，那么x=30cm，兩條對角線所用的竹條至少需要60cm．應(yīng)選C點(diǎn)評：對角線互相垂直的四邊形的面積的計(jì)算方法是需要注意記憶的問題，兩對角線長假設(shè)是a，b那么面積是ab．18．〔5分〕一個梯形的4條邊的長分別為1、2、3、4，那么此梯形的面積等于〔〕A．4B．6C．8D．考點(diǎn)：梯形．分析：給出4條線段分別為1、2、3、4，因?yàn)橐獦?gòu)成梯形需滿足一定條件，討論確定可能的上、下底，梯形只可能是上底1，下底4，腰為2，3．解答：解：因?yàn)樘菪沃豢赡苁巧系?，下底4，腰為2，3，將梯形分為邊為1，2的平行四邊形與邊為2，3，3的三角形．根據(jù)a2=b2+c2﹣2bccosA，高h(yuǎn)=bsinA，a=2，b=3，c=3，解得h=，所以S=×〔1+4〕×=．應(yīng)選D．點(diǎn)評：此題主要先討論1，2，3，4四條邊哪條能做底邊，哪條做腰，組成的梯形的形狀．三、解答題〔共10小題，總分值0分〕19．〔1〕如圖，等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，E是梯形外一點(diǎn)，且EA=ED，求證：EB=EC〔2〕請你將〔1〕中的“等腰梯形”改為另一種四邊形，其余條件不變，使結(jié)論“EB=EC”仍然成立，再根據(jù)改編后的問題畫圖形，并說明理由．考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)；全等三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定；矩形的性質(zhì)．分析：〔1〕可根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)及等邊對等角的性質(zhì)推出∠BAE=∠CDE，從而可利用SAS來判定△BAE≌△CDE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可得到BE=CE．〔2〕要使“EB=EC”仍然成立，只需新的四邊形與等腰梯形有一些共同的特征即可．解答：〔1〕證明：∵等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC∴∠BAD=∠CDA∵EA=ED∴∠EAD=∠EDA∴∠BAE=∠CDE∵AB=CD，AE=DE∴△BAE≌△CDE〔SAS〕∴BE=CE．〔2〕如圖，矩形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，E是矩形外一點(diǎn)，且EA=ED，求證：EB=EC證明：∵四邊形ABCD是矩形∴∠BAD=∠CDA=90°∵EA=ED∴∠EAD=∠EDA∴∠BAE=∠CDE∵AB=CD，AE=DE∴△BAE≌△CDE〔SAS〕∴BE=CE∴當(dāng)四邊形ABCD是矩形時，上述結(jié)論仍成立．點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對等腰梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，及矩形的性質(zhì)等的綜合運(yùn)用．20．如圖，梯形ABCD中，BC∥AD，AD=3，BC=6，高h(yuǎn)=2，P是BC邊上的一個動點(diǎn)，直線m過P點(diǎn)，且m∥DC交梯形另外一邊于E，假設(shè)BP=x，梯形位于直線m左側(cè)的圖形面積為y．〔1〕當(dāng)3＜x≤6時，求y與x之間的關(guān)系式；〔2〕當(dāng)0≤x≤3時，求y與x之間的關(guān)系式；〔3〕假設(shè)梯形ABCD的面積為S，當(dāng)y=時，求x的值．考點(diǎn)：梯形．專題：動點(diǎn)型；分類討論．分析：〔1〕當(dāng)3＜x≤6時，直線m左側(cè)的圖形是梯形，根據(jù)梯形的面積公式即可求解；〔2〕當(dāng)0≤x≤3時，直線m左側(cè)的圖形是三角形，根據(jù)三角形面積公式即可求解；〔3〕應(yīng)該分為兩種，3＜x≤6．和0≤x≤3兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)y=，以及〔1〕〔2〕中得到的函數(shù)關(guān)系式，即可得到一個關(guān)于x的方程，即可求得x的值．解答：解：〔1〕y={x+3﹣〔6﹣x〕}=〔2x﹣3〕=2x﹣3；〔2〕當(dāng)0≤x≤3時，h=x，y=xh=x2；〔3〕應(yīng)該分為兩種，3＜x≤6．0≤x≤3時，〔2x﹣3〕=〔6﹣x〕hh約去得：x=，在3＜x≤6所以xh=〔6﹣x〕hh約去解得：x=4，不在0≤x≤3，所以是不對，所以正確的選項(xiàng)是x=．點(diǎn)評：隨著P點(diǎn)在BC上運(yùn)動，梯形位于直線m左側(cè)的圖形形狀也發(fā)生改變，故解本例的關(guān)鍵是分類討論及梯形常用輔助線的添出．注削弱證明的難度，賦以點(diǎn)〔或線〕運(yùn)動，在動態(tài)過程中解幾何問題，這是近年中考試題中幾何問題的一個顯著特點(diǎn)，這類問題需要動態(tài)分材．21．如圖，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，對角線AC、BD相交于O，∠AOD=120°，點(diǎn)S、P、Q分別為OD、OA、BC的中點(diǎn)．〔1〕判斷△SPQ的形狀并證明你的結(jié)論；〔2〕假設(shè)AB=5，CD=3，求△PQS的面積；〔3〕，求的值．考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)．專題：綜合題．分析：〔1〕連接SC、PB，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)、直角三角形斜邊中線、三角形中位線可判斷出答案．〔2〕根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)及∠AOD=120°可求出等邊三角形的邊長，從而可得出答案．〔3〕設(shè)CD=a，AB=b〔a＜b〕，根據(jù)題意表示出兩面積的比，從而可得出答案．解答：解：〔1〕連接SC、PB，∵四邊形ABCD為等腰梯形，∴AD=BC，∠ADC=∠BCD，又DC=CD，∴△ADC≌△BCD，∴∠ODC=∠OCD，∴OD=OC，即△ODC是等腰三角形，而∠AOD=120°，那么∠DOC=60°，∴△ODC是等邊三角形，∵S為OD的中點(diǎn)，∴CS⊥DO，同理BP⊥AP，又∵Q為BC的中點(diǎn)，即SQ為Rt△BSC斜邊上的中線，∴PS=AD，SQ=BC，PQ=BC，故可得△SPQ是等邊三角形；〔2〕作DE⊥AB，垂足為E，∵AB=5，CD=3，∴AE==1，BE=5﹣1=4，∴DE=BE?tan60°=4，在Rt△ADE中，AD==7，∴PS=PQ=SQ=，∴S△PQS=；〔3〕設(shè)CD=a，AB=b〔a＜b〕，BC2=SC2+BS2=+=a2+b2+ab，∴S△SPQ=〔a2+ab+b2〕，又，S△AOD=S△BOC=CS×OB=×a×b=ab，∴8×〔a2+ab+b2〕=7×ab，即2a2﹣5ab+2b2=0，∴〔a﹣2b〕〔2a﹣b〕=0，∴a=2b〔不合題意舍去〕或2a=b，∴化簡得=，故=．點(diǎn)評：此題考查等腰梯形及等邊三角形的知識，難度較大，注意一些根本知識的掌握，這是解答綜合題的關(guān)鍵．22．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC與BD垂直相交于O，MN是梯形ABCD的中位線，∠DBC=30°，求證：AC=MN．考點(diǎn)：梯形中位線定理；含30度角的直角三角形．專題：證明題．分析：由直角三角形中30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半，可得OA=AD，OC=BC，即可證明．解答：證明：∵AD∥BC，∴∠ADO=∠DBC=30°，∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC，∴AC=OA+OC=〔AD+BC〕，∵M(jìn)N=〔AD+BC〕，∴AC=MN．點(diǎn)評：此題主要考查梯形中位線的性質(zhì)和直角三角形中30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半，難度中等．23．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，點(diǎn)P為BC邊上一動點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥CD，問PE+PF的值是否為一定值？假設(shè)為一定值，求出這個定值；假設(shè)不為定值，求出這個值的取值范圍．考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)．專題：證明題．分析：過P作PH⊥BG，把BG分成兩段，根據(jù)矩形得到PF=HG，再證明△BPH和△PBE全等得到PE=BH，所以PE+PF=BG．解答：解：能．證明：過點(diǎn)B作BG⊥CD，垂足為G，過點(diǎn)P作PH⊥BG，垂足為H，∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°，∴四邊形PHGF是矩形，∴PF=HG，PH∥CD，∴∠BPH=∠C，在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，∴∠PBE=∠BPH，∵∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，∠PBE=∠BPH，∴△PBE≌△BPH〔AAS〕∴PE=BH，∴PE+PF=BH+HG=BG．故PE+PF的值是為一定值．點(diǎn)評：此題考查了等腰梯形的性質(zhì)，難度較大，主要利用“截長補(bǔ)短法”的截長，即把較長的線段截為兩段，再分別證明線段相等，從而問題得以解決．24．如圖，梯形ABCD中，AB=CD，BC=3AD，E為腰AB上一點(diǎn)．〔1〕假設(shè)CE⊥AB，BE=3AE，AB=CD，求∠B；〔2〕設(shè)△BCE和四邊形AECD的面積分別為S1，S2，假設(shè)2S1=3S2，求．考點(diǎn)：梯形；三角形的面積；平行四邊形的判定與性質(zhì)．專題：計(jì)算題．分析：〔1〕設(shè)AE=x，BE=3x，作DF∥AB，交BC于F，交CE于G，先證明三角形DFC為等邊三角形即可求解；〔2〕把梯形ABCD補(bǔ)成平行四邊形ABCF，連接AC，根據(jù)=即可求解．解答：解：〔1〕設(shè)AE=x，BE=3x，作DF∥AB，交BC于F，交CE于G，那么BF=AD，DF=AB=4x，CF=BC﹣BF=2AD，F(xiàn)G：BE=CF：BC=2：3，所以，F(xiàn)G=2x，DG=DF﹣FG=4x﹣2x=2x，G為DF邊的中點(diǎn)，又CE⊥AB，DF∥AB，所以，CG⊥DF，G為DF邊的垂足，所以，CD=CF，又CD=AB=DF，所以，三角形DFC為等邊三角形，所以∠DFC=60°，所以∠B=∠DFC=60°；〔2〕如圖，把梯形ABCD補(bǔ)成平行四邊形ABCF，連接AC，設(shè)S△BCE=3s，S四邊形AECD=2s，那么DF=2AD，又設(shè)S△ACD=x，那么S△ACE=2s﹣x，S△CDF=2x，由S△ABC=S△ACF，得3s+2s﹣x=x+2x，那么x=s，∴S△ACE=2S﹣s，S△ACE=s，故===4．點(diǎn)評：此題考查了梯形及平行四邊形的判定與性質(zhì)，難度較大，主要是巧妙地作輔助線進(jìn)行解題．25．在矩形ABCD中，AD＞AB，O為對角線的交點(diǎn)，過O作一直線分別交BC、AD于M、N〔1〕求證：S梯形ABMN=S梯形CDNM；〔2〕當(dāng)M、N滿足什么條件時，將矩形ABCD以MN為折痕翻折后能使C點(diǎn)恰好與A點(diǎn)重合〔只寫出滿足的條件，不要求證明〕；〔3〕在〔2〕的條件下，假設(shè)翻折后不重疊局部的面積是重疊局部面積的，求的值．考點(diǎn)：翻折變換〔折疊問題〕；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：探究型．分析：〔1〕連AC、BD交于O，根據(jù)四邊形ABCD是矩形可求出△DON≌△BOM，△AON≌△COM，再由梯形的面積即可求解；〔2〕根據(jù)圖形翻折不變性的性質(zhì)即可解答；〔3〕根據(jù)圖形翻折后不重疊局部的面積是重疊局部面積的列出關(guān)系式，再把三角形面積的比轉(zhuǎn)化為的比即可．解答：〔1〕證明：如圖〔一〕，連AC、BD交于O，∵AD∥BC，∴∠DNM=∠BMN，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∵∠BOM=∠DON，∴△DON≌△BOM，∴ND=BM，同理可證△AON≌△COM，∴AN=MC，∴AN+ND=BM+MC，∵AB=CD，∴S梯形ABMN=S梯形CDNM；〔2〕解：如圖〔二〕，∵當(dāng)A點(diǎn)與C點(diǎn)重合時，△AMO≌△CMO，∴MN⊥AC，這是MN應(yīng)滿足的條件；〔3〕解：如圖〔二〕，∵AB=CD=AD′，∵∠BAM+∠MAN=90°，∠MAN+∠NAD′=90°，∴∠BAM=∠NAD′，又∠B=∠D′=90°，∴△ABM≌△AD′N，∴△ABM和△AD′N的面積相等，MC=AM=AN，∵重疊局部是△AMN，不重疊局部是△ABM和△AD′N．∴=，即=，故=．點(diǎn)評：此題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)、梯形的面積公式及三角形的面積，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．26．如圖，分別以△ABC的邊AC、BC為一邊，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)P到AB的距離是AB的一半．考點(diǎn)：梯形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題．分析：分別過E，F(xiàn)，C，P作AB的垂線，垂足依次為R，S，T，Q，那么PQ=〔ER+FS〕，易證Rt△AER≌Rt△CAT，那么ER=AT，F(xiàn)S=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得證．解答：解：分別過E，F(xiàn)，C，P作AB的垂線，垂足依次為R，S，T，Q，那么ER∥PQ∥FS，∵P是EF的中點(diǎn)，∴Q為RS的中點(diǎn)，∴PQ為梯形EFSR的中位線，∴PQ=〔ER+FS〕，∵AE=AC〔正方形的邊長相等〕，∠AER=∠CAT〔同角的余角相等〕，∠R=∠ATC=90°，∴Rt△AER≌Rt△CAT〔AAS〕，同理Rt△BFS≌Rt△CBT，∴ER=AT，F(xiàn)S=BT，∴ER+FS=AT+BT=AB，∴PQ=AB．點(diǎn)評：此題綜合考查了梯形中位線定理、全等三角形的判定以及正方形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，輔助線的作法很關(guān)鍵．27．〔2001?常州〕：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=，AD=1，∠B=45°，動點(diǎn)E在折線BA﹣AD﹣DC上移動，過點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，設(shè)BP=x，請寫出題中所有能用x的代數(shù)式表示的圖形的面積．考點(diǎn)：梯形．專題：