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2023-2024學(xué)年福建省德化一中、永安一中、漳平一中高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖,則下列陳述中不正確的是()A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江?。瓸.與去年同期相比,2017年第一季度的GDP總量實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng).C.2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個(gè)D.去年同期河南省的GDP總量不超過(guò)4000億元.2.已知為定義在上的奇函數(shù),若當(dāng)時(shí),(為實(shí)數(shù)),則關(guān)于的不等式的解集是()A. B. C. D.3.是的()條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要4.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.5.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復(fù)數(shù)的模為()A. B.4 C.2 D.6.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.若,則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系為()A. B. C. D.8.已知雙曲線(xiàn)的左,右焦點(diǎn)分別為、,過(guò)的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)的右支于點(diǎn)P,以雙曲線(xiàn)的實(shí)軸為直徑的圓與直線(xiàn)l相切,切點(diǎn)為H,若,則雙曲線(xiàn)C的離心率為()A. B. C. D.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為11,則圖中的判斷條件可以為()A. B. C. D.10.博覽會(huì)安排了分別標(biāo)有序號(hào)為“1號(hào)”“2號(hào)”“3號(hào)”的三輛車(chē),等可能隨機(jī)順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想,設(shè)計(jì)兩種乘車(chē)方案.方案一:不乘坐第一輛車(chē),若第二輛車(chē)的車(chē)序號(hào)大于第一輛車(chē)的車(chē)序號(hào),就乘坐此車(chē),否則乘坐第三輛車(chē);方案二:直接乘坐第一輛車(chē).記方案一與方案二坐到“3號(hào)”車(chē)的概率分別為P1,P2,則()A.P1?P2= B.P1=P2= C.P1+P2= D.P1<P211.已知若(1-ai)(3+2i)為純虛數(shù),則a的值為()A. B. C. D.12.如圖,圓錐底面半徑為,體積為,、是底面圓的兩條互相垂直的直徑,是母線(xiàn)的中點(diǎn),已知過(guò)與的平面與圓錐側(cè)面的交線(xiàn)是以為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)的一部分,則該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離等于()A. B.1 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知為矩形的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),現(xiàn)從這5個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn),則這3個(gè)點(diǎn)不共線(xiàn)的概率為_(kāi)_______.14.已知,記,則的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為_(kāi)_________.15.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),且成等差數(shù)列,則=__________.16.已知定義在的函數(shù)滿(mǎn)足,且當(dāng)時(shí),,則的解集為_(kāi)_________________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四邊形ABCD中,AB//CD,∠ABD=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF.(Ⅰ)求證:平面ADE⊥平面BDEF;(Ⅱ)若二面角CBFD的大小為60°,求CF與平面ABCD所成角的正弦值.18.(12分)如圖,在正四棱柱中,已知,.(1)求異面直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角的大??;(2)求點(diǎn)到平面的距離.19.(12分)如圖,四棱錐中,平面平面,若,四邊形是平行四邊形,且.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)若點(diǎn)在線(xiàn)段上,且平面,,,求二面角的余弦值.20.(12分)已知多面體中,、均垂直于平面,,,,是的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.21.(12分)已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)橢圓C:(a>b>0)的左焦點(diǎn)F,且點(diǎn)F到直線(xiàn)l:(c為橢圓焦距的一半)的距離為4.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)F做直線(xiàn)與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),P是AB的中點(diǎn),線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)交直線(xiàn)l于點(diǎn)Q.若,求直線(xiàn)AB的方程.22.(10分)在極坐標(biāo)系中,已知曲線(xiàn),.(1)求曲線(xiàn)、的直角坐標(biāo)方程,并判斷兩曲線(xiàn)的形狀;(2)若曲線(xiàn)、交于、兩點(diǎn),求兩交點(diǎn)間的距離.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
利用圖表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析即可求解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng):2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是:江蘇、遼寧、山東、河南、浙江,故A正確;對(duì)于B選項(xiàng):與去年同期相比,2017年第一季度5省的GDP均有不同的增長(zhǎng),所以其總量也實(shí)現(xiàn)了增長(zhǎng),故B正確;對(duì)于C選項(xiàng):2017年第一季度GDP總量由高到低排位分別是:江蘇、山東、浙江、河南、遼寧,2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是:江蘇、遼寧、山東、河南、浙江,均居同一位的省有2個(gè),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D選項(xiàng):去年同期河南省的GDP總量,故D正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了圖表分析,學(xué)生的分析能力,推理能力,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值,然后結(jié)合單調(diào)性求解不等式.【詳解】據(jù)題意,得,得,所以當(dāng)時(shí),.分析知,函數(shù)在上為增函數(shù).又,所以.又,所以,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3、B【解析】
利用充分條件、必要條件與集合包含關(guān)系之間的等價(jià)關(guān)系,即可得出?!驹斀狻吭O(shè)對(duì)應(yīng)的集合是,由解得且對(duì)應(yīng)的集合是,所以,故是的必要不充分條件,故選B。【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關(guān)系法。設(shè),如果,則是的充分條件;如果B則是的充分不必要條件;如果,則是的必要條件;如果,則是的必要不充分條件。4、C【解析】
由題可知,曲線(xiàn)與有公共點(diǎn),即方程有解,可得有解,令,則,對(duì)分類(lèi)討論,得出時(shí),取得極大值,也即為最大值,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】解:由題可知,曲線(xiàn)與有公共點(diǎn),即方程有解,即有解,令,則,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故時(shí),取得極大值,也即為最大值,當(dāng)趨近于時(shí),趨近于,所以滿(mǎn)足條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,考查抽象概括、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)能力,屬于難題.5、D【解析】
由復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算求出,再寫(xiě)出其共軛復(fù)數(shù),然后由模的定義計(jì)算模.【詳解】,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)與模的定義,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算、復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義,即可得答案;【詳解】,對(duì)應(yīng)的點(diǎn),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第四象限.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算、復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)的幾何意義,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
將化成以為底的對(duì)數(shù),即可判斷的大小關(guān)系;由對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可判斷出與1的大小關(guān)系,從而可判斷三者的大小關(guān)系.【詳解】依題意,由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.又因?yàn)?,?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).兩個(gè)對(duì)數(shù)型的數(shù)字比較大小時(shí),底數(shù)相同,則構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù),結(jié)合對(duì)數(shù)的單調(diào)性可判斷大?。蝗粽鏀?shù)相同,則結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像或者換底公式可判斷大??;若真數(shù)和底數(shù)都不相同,則可與中間值如1,0比較大小.8、A【解析】
在中,由余弦定理,得到,再利用即可建立的方程.【詳解】由已知,,在中,由余弦定理,得,又,,所以,,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)離心率的計(jì)算問(wèn)題,處理雙曲線(xiàn)離心率問(wèn)題的關(guān)鍵是建立三者間的關(guān)系,本題是一道中檔題.9、B【解析】
根據(jù)程序框圖知當(dāng)時(shí),循環(huán)終止,此時(shí),即可得答案.【詳解】,.運(yùn)行第一次,,不成立,運(yùn)行第二次,,不成立,運(yùn)行第三次,,不成立,運(yùn)行第四次,,不成立,運(yùn)行第五次,,成立,輸出i的值為11,結(jié)束.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)充程序框圖判斷框的條件,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意模擬程序一步一步執(zhí)行的求解策略.10、C【解析】
將三輛車(chē)的出車(chē)可能順序一一列出,找出符合條件的即可.【詳解】三輛車(chē)的出車(chē)順序可能為:123、132、213、231、312、321方案一坐車(chē)可能:132、213、231,所以,P1=;方案二坐車(chē)可能:312、321,所以,P1=;所以P1+P2=故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率的求法,常用列舉法得到各種情況下基本事件的個(gè)數(shù),屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)可得,根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由題可知原式為,該復(fù)數(shù)為純虛數(shù),所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的分類(lèi),屬基礎(chǔ)題.12、D【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,求得拋物線(xiàn)的軌跡方程,解直角三角形求得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)的距離.【詳解】將拋物線(xiàn)放入坐標(biāo)系,如圖所示,∵,,,∴,設(shè)拋物線(xiàn),代入點(diǎn),可得∴焦點(diǎn)為,即焦點(diǎn)為中點(diǎn),設(shè)焦點(diǎn)為,,,∴.故選:D【點(diǎn)睛】本小題考查圓錐曲線(xiàn)的概念,拋物線(xiàn)的性質(zhì),兩點(diǎn)間的距離等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,空間想象能力,推理論證能力,應(yīng)用意識(shí).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
基本事件總數(shù),這3個(gè)點(diǎn)共線(xiàn)的情況有兩種和,由此能求出這3個(gè)點(diǎn)不共線(xiàn)的概率.【詳解】解:為矩形的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),現(xiàn)從,,,,這5個(gè)點(diǎn)中任選3個(gè)點(diǎn),基本事件總數(shù),這3個(gè)點(diǎn)共線(xiàn)的情況有兩種和,這3個(gè)點(diǎn)不共線(xiàn)的概率為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
根據(jù)定積分的計(jì)算,得到,令,求得,即可得到答案.【詳解】根據(jù)定積分的計(jì)算,可得,令,則,即的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的應(yīng)用,以及二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理求得的表示是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì),結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得公比;代入表達(dá)式,結(jié)合對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),且成等差數(shù)列,則,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可知,所以,解得或(舍),所以由對(duì)數(shù)式運(yùn)算性質(zhì)可得,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,等比數(shù)列通項(xiàng)公式的用法,對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)運(yùn)算,屬于中檔題.16、【解析】
由已知得出函數(shù)是偶函數(shù),再得出函數(shù)的單調(diào)性,得出所解不等式的等價(jià)的不等式,可得解集.【詳解】因?yàn)槎x在的函數(shù)滿(mǎn)足,所以函數(shù)是偶函數(shù),又當(dāng)時(shí),,得時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以不等式等價(jià)于,即或,解得或,所以不等式的解集為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的不等式的求解,關(guān)鍵得出函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】分析:(1)根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ADE⊥平面BDEF;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法即可求CF與平面ABCD所成角的正弦值;也可以應(yīng)用常規(guī)法,作出線(xiàn)面角,放在三角形當(dāng)中來(lái)求解.詳解:(Ⅰ)在△ABD中,∠ABD=30°,由AO2=AB2+BD2-2AB·BDcos30°,解得BD=,所以AB2+BD2=AB2,根據(jù)勾股定理得∠ADB=90°∴AD⊥BD.又因?yàn)镈E⊥平面ABCD,AD平面ABCD,∴AD⊥DE.又因?yàn)锽DDE=D,所以AD⊥平面BDEF,又AD平面ABCD,∴平面ADE⊥平面BDEF,(Ⅱ)方法一:如圖,由已知可得,,則,則三角形BCD為銳角為30°的等腰三角形.則.過(guò)點(diǎn)C做,交DB、AB于點(diǎn)G,H,則點(diǎn)G為點(diǎn)F在面ABCD上的投影.連接FG,則,DE⊥平面ABCD,則平面.過(guò)G做于點(diǎn)I,則BF平面,即角為二面角CBFD的平面角,則60°.則,,則.在直角梯形BDEF中,G為BD中點(diǎn),,,,設(shè),則,,則.,則,即CF與平面ABCD所成角的正弦值為.(Ⅱ)方法二:可知DA、DB、DE兩兩垂直,以D為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.設(shè)DE=h,則D(0,0,0),B(0,,0),C(-,-,h).,.設(shè)平面BCF的法向量為m=(x,y,z),則所以取x=,所以m=(,-1,-),取平面BDEF的法向量為n=(1,0,0),由,解得,則,又,則,設(shè)CF與平面ABCD所成角為,則sin=.故直線(xiàn)CF與平面ABCD所成角的正弦值為點(diǎn)睛:該題考查的是立體幾何的有關(guān)問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有面面垂直的判定,線(xiàn)面角的正弦值,在求解的過(guò)程中,需要把握面面垂直的判定定理的內(nèi)容,要明白垂直關(guān)系直角的轉(zhuǎn)化,在求線(xiàn)面角的有關(guān)量的時(shí)候,有兩種方法,可以應(yīng)用常規(guī)法,也可以應(yīng)用向量法.18、(1);(2).【解析】
(1)建立空間坐標(biāo)系,通過(guò)求向量與向量的夾角,轉(zhuǎn)化為異面直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角的大小;(2)先求出面的一個(gè)法向量,再用點(diǎn)到面的距離公式算出即可.【詳解】以為原點(diǎn),所在直線(xiàn)分別為軸建系,設(shè)所以,,所以異面直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角的余弦值為,異面直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角的大小為.(2)因?yàn)椋?,設(shè)是面的一個(gè)法向量,所以有即,令,,故,又,所以點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量法求異面直線(xiàn)所成角的大小和點(diǎn)到面的距離,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19、(Ⅰ)見(jiàn)解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)推導(dǎo)出BC⊥CE,從而EC⊥平面ABCD,進(jìn)而EC⊥BD,再由BD⊥AE,得BD⊥平面AEC,從而B(niǎo)D⊥AC,進(jìn)而四邊形ABCD是菱形,由此能證明AB=AD.(Ⅱ)設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為G,推導(dǎo)出EC//FG,取BC的中點(diǎn)為O,連結(jié)OD,則OD⊥BC,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以過(guò)點(diǎn)O且與CE平行的直線(xiàn)為x軸,以BC為y軸,OD為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角A-BF-D的余弦值.【詳解】(Ⅰ)證明:,即,因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?,所以,因?yàn)?,所以平面,所以,因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?,所以四邊形是菱形,故;解法一:(Ⅱ)設(shè)與的交點(diǎn)為,因?yàn)槠矫?,平面平面于,所以,因?yàn)槭侵悬c(diǎn),所以是的中點(diǎn),因?yàn)椋〉闹悬c(diǎn)為,連接,則,因?yàn)槠矫嫫矫?,所以面,以為坐?biāo)原點(diǎn),以過(guò)點(diǎn)且與平行的直線(xiàn)為軸,以所在直線(xiàn)為軸,以所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則,,,,,,,設(shè)平面的法向量,則,取,同理可得平面的法向量,設(shè)平面與平面的夾角為,因?yàn)?,所以二面角的余弦值?解法二:(Ⅱ)設(shè)與的交點(diǎn)為,因?yàn)槠矫?,平面平面于,所以,因?yàn)槭侵悬c(diǎn),所以是的中點(diǎn),因?yàn)?,,所以平面,所以,取中點(diǎn),連接、,因?yàn)?,所以,故平面,所以,即是二面角的平面角,不妨設(shè),因?yàn)?,,在中,,所以,所以二面角的余弦值?【點(diǎn)睛】本題考查求空間角中的二面角的余弦值,還考查由空間中線(xiàn)面關(guān)系進(jìn)而證明線(xiàn)線(xiàn)相等,屬于中檔題.20、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接、,推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形,可得出,由此能證明平面;(2)由,得平面,則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),就是到平面的距離,也就是點(diǎn)到平面的距離,由此能求出直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)取的中點(diǎn),連接、,、分別為、的中點(diǎn),則且,、均垂直于平面,且,則,且,所以,四邊形為平行四邊形,則,平面,平面,因此,平面;(2)由,平面,平面,平面,點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),平面,平面,,,,平面,即就是到平面的距離,也就是點(diǎn)到平面的距離,設(shè),則到平面的距離,
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