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2024年江西撫州市臨川區(qū)數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1.如圖,把Rt△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△DFC,若直線DF垂直平分AB,垂足為點(diǎn)E,連接BF,CE,且BC=2,下面四個(gè)結(jié)論:①BF=;②∠CBF=45°;③△BEC的面積=△FBC的面積;④△ECD的面積為,其中正確的結(jié)論有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2.化簡(jiǎn)(﹣)2的結(jié)果是()A.±3 B.﹣3 C.3 D.93.下列多項(xiàng)式中,能用完全平方公式分解因式的是()A.x2﹣x+1 B.1﹣2xy+x2y2 C.m2﹣2m﹣1 D.4.某正比例函數(shù)的圖象如圖所示,則此正比例函數(shù)的表達(dá)式為()A.y=x B.y=x C.y=-2x D.y=2x5.下列命題中,是假命題的是()A.在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=1:2:3,則△ABC是直角三角形B.在△ABC中,若a2=(b+c)(b-c),則△ABC是直角三角形C.在△ABC中,若∠B=∠C=∠A,則△ABC是直角三角形D.在△ABC中,若a:b:c=5:4:3,則△ABC是直角三角形6.若分式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.7.如圖,正方形的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)為的中點(diǎn),連接,將沿折疊,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為.連接CF,則的長(zhǎng)為()A. B. C. D.8.正五邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)是(
)A.60°
B.90°
C.108°D.120°9.方程x(x﹣1)=x的解是()A.x=0 B.x=2 C.x1=0,x2=1 D.x1=0,x2=210.計(jì)算的結(jié)果是()A.4 B.± C.2 D.二、填空題(每小題3分,共24分)11.若b為常數(shù),且﹣bx+1是完全平方式,那么b=_____.12.如圖,△ABC中,已知M、N分別為AB、BC的中點(diǎn),且MN=3,則AC的長(zhǎng)為_____.13.某地區(qū)為了增強(qiáng)市民的法治觀念,隨機(jī)抽取了一部分市民進(jìn)行一次知識(shí)競(jìng)賽,將競(jìng)賽成績(jī)(得分取整數(shù))整理后分成五組并繪制成如圖所示的頻數(shù)直方圖.請(qǐng)結(jié)合圖中信息,解答下列問題:抽取了多少人參加競(jìng)賽?這一分?jǐn)?shù)段的頻數(shù)、頻率分別是多少?這次競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)落在哪個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)?14.若代數(shù)式有意義,則x的取值范圍是______。15.若是完全平方式,則的值是__________.16.如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中,AE平分∠DAC,AE交CD于點(diǎn)F,CE⊥AE,垂足為點(diǎn)E,EG⊥CD,垂足為點(diǎn)G,點(diǎn)H在邊BC上,BH=DF,連接AH、FH,F(xiàn)H與AC交于點(diǎn)M,以下結(jié)論:①FH=2BH;②AC⊥FH;③S△ACF=1;④CE=AF;⑤EG2=FG?DG,其中正確結(jié)論的有_____(只填序號(hào)).17.如圖,ΔABC中,E為BC的中點(diǎn),AD平分∠BAC,BD⊥AD,若AB=10,AC=16,則DE=______.18.分式,,的最簡(jiǎn)公分母__________.三、解答題(共66分)19.(10分)如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=?12x+2與交坐標(biāo)軸于A,B兩點(diǎn).以AB為斜邊在第一象限作等腰直角三角形ABC,C為直角頂點(diǎn),連接OC.(1)求線段AB的長(zhǎng)度(2)求直線BC的解析式;(3)如圖②,將線段AB繞B點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至BD,且,直線DO交直線y=x+3于P點(diǎn),求P點(diǎn)坐標(biāo).20.(6分)求證:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.(要求:根據(jù)題意先畫出圖形,并寫出已知、求證,再證明).21.(6分)(課題研究)旋轉(zhuǎn)圖形中對(duì)應(yīng)線段所在直線的夾角(小于等于的角)與旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系.(問題初探)線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段,其中點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng),點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng),旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為,且.(1)如圖(1)當(dāng)時(shí),線段、所在直線夾角為______.(2)如圖(2)當(dāng)時(shí),線段、所在直線夾角為_____.(3)如圖(3),當(dāng)時(shí),直線與直線夾角與旋轉(zhuǎn)角存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由;(形成結(jié)論)旋轉(zhuǎn)圖形中,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于平角時(shí),對(duì)應(yīng)線段所在直線的夾角與旋轉(zhuǎn)角_____.(運(yùn)用拓廣)運(yùn)用所形成的結(jié)論求解下面的問題:(4)如圖(4),四邊形中,,,,,,試求的長(zhǎng)度.22.(8分)如圖,在?ABCD中,點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn),連接AE并延長(zhǎng)與DC的延長(zhǎng)線交于F.(1)求證:CF=CD;(2)若AF平分∠BAD,連接DE,試判斷DE與AF的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.23.(8分)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師提出問題:如圖,有一張長(zhǎng)4dm,寬1dm的長(zhǎng)方形紙板,在紙板的四個(gè)角裁去四個(gè)相同的小正方形,然后把四邊折起來(lái),做成一個(gè)無(wú)蓋的盒子,問小正方形的邊長(zhǎng)為多少時(shí),盒子的體積最大.下面是探究過程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:(1)設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為xdm,體積為ydm1,根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式得到y(tǒng)和x的關(guān)系式:;(2)確定自變量x的取值范圍是;(1)列出y與x的幾組對(duì)應(yīng)值.x/dm……y/dm1…1.12.22.7m1.02.82.5n1.50.9…(4)在下面的平面直角坐標(biāo)系中,描出補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),并畫出該函數(shù)的圖象如下圖;結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,解決問題:當(dāng)小正方形的邊長(zhǎng)約為dm時(shí),(保留1位小數(shù)),盒子的體積最大,最大值約為dm1.(保留1位小數(shù))24.(8分)如圖,,是四邊形的對(duì)角線上兩點(diǎn),,,.求證:四邊形是平行四邊形.25.(10分)如圖,已知:在平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=4,∠ABC=60°,E為AD上一點(diǎn),連接CE,AF∥CE且交BC于點(diǎn)F.(1)求證:四邊形AECF為平行四邊形.(2)證明:△AFB≌△CED.(3)DE等于多少時(shí),四邊形AECF為菱形.(4)DE等于多少時(shí),四邊形AECF為矩形.26.(10分)如圖,點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),點(diǎn)在軸的正半軸上,正方形的邊長(zhǎng)是3,點(diǎn)在上,且.將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到.(1)求證:;(2)在軸上找一點(diǎn),使得的值最小,求出點(diǎn)的坐標(biāo).
參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【解析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△BCF為等腰直角三角形,故可判斷①②,根據(jù)三角形的面積公式即可判斷③,根據(jù)直線DF垂直平分AB可得EH是△ABC的中位線,各科求出EH的長(zhǎng),再根據(jù)三角形的面積公式求出△ECD的面積即可判斷④.【詳解】∵把Rt△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△DFC,∴CB=FC,∠BCF=90°,∴△BCF為等腰直角三角形,故∠CBF=45°,②正確;∵BC=2,∴FC=2,∴BF==,①正確;過點(diǎn)E作EH⊥BD,∵△BEC和△FBC的底都為BC,高分別為EH和FC,且EH≠FC,∴△BEC的面積≠△FBC的面積,③錯(cuò)誤;∵直線DF垂直平分AB,∴AF=BF=,∴CD=AC=2+∵直線DF垂直平分AB,則E為AB中點(diǎn),又AC⊥BC,EH⊥BC,∴EH是△ABC的中位線,∴EH=AC=1+,△ECD的面積為×CD×EH=,故④正確,故選C.【點(diǎn)睛】此題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì).2、C【解析】
根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案.【詳解】原式=3,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì),本題屬于基礎(chǔ)題型.3、B【解析】
利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可.【詳解】解:選項(xiàng)中的4個(gè)多項(xiàng)式中,能用完全平方公式分解因式的是1-2xy+x2y2=(1-xy)2,
故選B.【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解-運(yùn)用公式法,熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.4、A【解析】
本題可設(shè)該正比例函數(shù)的解析式為y=kx,然后結(jié)合圖象可知,該函數(shù)圖象過點(diǎn)A(-2,1),由此可利用方程求出k的值,進(jìn)而解決問題.【詳解】解:正比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)M(?2,1),∴將點(diǎn)(?2,1)代入y=kx,得:1=?2k,∴k=﹣,∴y=﹣x,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式,牢牢掌握該法求函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵.5、C【解析】
一個(gè)三角形中有一個(gè)直角,或三邊滿足勾股定理的逆定理則為直角三角形,否則則不是,據(jù)此依次分析各項(xiàng)即可.【詳解】A.△ABC中,若∠B=∠C-∠A,則∠C=∠A+∠B,則△ABC是直角三角形,本選項(xiàng)正確;B.△ABC中,若a2=(b+c)(b-c),則a2=b2-c2,b2=a2+c2,則△ABC是直角三角形,本選項(xiàng)正確;C.△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,則∠,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;D.△ABC中,若a∶b∶c=5∶4∶3,則△ABC是直角三角形,本選項(xiàng)正確;故選C.【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的判定,利用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形的一般步驟:①確定三角形的最長(zhǎng)邊;②分別計(jì)算出最長(zhǎng)邊的平方與另兩邊的平方和;③比較最長(zhǎng)邊的平方與另兩邊的平方和是否相等.若相等,則此三角形是直角三角形;否則,就不是直角三角形.6、D【解析】
根據(jù)分式有意義的條件即可求出答案.【詳解】解:由分式有意義的條件可知:,,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查分式有意義的條件,解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式有意義的條件,本題屬于基礎(chǔ)題型.7、D【解析】
連接AF交BE于點(diǎn)O,過點(diǎn)F作MN⊥AB,由勾股定理可求BE的長(zhǎng),由三角形面積公式可求AO的長(zhǎng),由折疊的性質(zhì)可得AO=OH=,AB=BF=2,由勾股定理可求BN,F(xiàn)N的長(zhǎng),由矩形的性質(zhì)可求FM,MC的長(zhǎng),由勾股定理可求CF的長(zhǎng).【詳解】解:如圖,連接AF交BE于點(diǎn)O,過點(diǎn)F作MN⊥AB,∵AB∥CD,MN⊥AB,∴MN⊥CD,∵AB=2=AD,點(diǎn)E是AD中點(diǎn),∴AE=1,∴EB=,∵S△ABE=×AB×AE=×BE×AO,∴2×1=AO,∴AO=,∵將△ABE沿BE折疊,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F,∴AO=OH=,AB=BF=2,∴AF=,∵AF2-AN2=FN2,BF2-BN2=FN2,∴AF2-AN2=BF2-BN2,∴-(2-BN)2=4-BN2,∴BN=,∴FN=,∵M(jìn)N⊥AB,MN⊥CD,∠DCB=90°,∴四邊形MNBC是矩形,∴BN=MC=,BC=MN=2,∴MF=,∴CF=.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì),矩形的判定,勾股定理,利用勾股定理列出等式求線段的長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵.8、C【解析】
先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式(n-2)?180°求出內(nèi)角和,然后除以5即可;【詳解】根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理可得:(5-2)?180°=540°,
540°÷5=108°;故選:C.【點(diǎn)睛】考查了正多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系,解題關(guān)鍵熟記、運(yùn)用求多邊形內(nèi)角和公式(n-2)?180°.9、D【解析】
移項(xiàng)后分解因式,即可得出兩個(gè)一元一次方程,求出方程的解即可.【詳解】x(x?1)=x,x(x?1)?x=0,x(x?1?1)=0,x=0,x?1?1=0,x1=0,x1=1.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用,能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵.10、C【解析】
根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可求出答案.【詳解】解:原式==2,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的運(yùn)算,解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則,本題屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題(每小題3分,共24分)11、±1【解析】
根據(jù)完全平方式的一般式,計(jì)算一次項(xiàng)系數(shù)即可.【詳解】解:∵b為常數(shù),且x2﹣bx+1是完全平方式,∴b=±1,故答案為±1.【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式的系數(shù)關(guān)系,關(guān)鍵在于一次項(xiàng)系數(shù)的計(jì)算.12、6【解析】
由題意可知,MN是三角形ABC的中位線,然后依據(jù)三角形的中位線定理求解即可?!驹斀狻拷猓骸進(jìn)、N分別為AB、BC的中點(diǎn),∴MN是△ABC的中位線,∴.AC=2MN=2×3=6.故答案為:6.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形的中位線定理,熟練掌握三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵.13、(1)抽取了人參加比賽;(2)頻數(shù)為,頻數(shù)為0.25;(3)【解析】
(1)將每組的人數(shù)相加即可;(2)看頻數(shù)直方圖可知這一分?jǐn)?shù)段的頻數(shù)為12,用頻數(shù)÷總?cè)藬?shù)即可得到頻率;(3)直接通過頻數(shù)直方圖即可得解.【詳解】解:(人),答:抽取了人參加比賽;頻數(shù)為,頻數(shù)為;這次競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)落在這個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi).【點(diǎn)睛】本題主要考查頻數(shù)直方圖,中位數(shù)等,解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn),通過直方圖得到有用的信息.14、x>5【解析】
若代數(shù)式有意義,則分母即≠0,可得出x≠5.根據(jù)根式的性質(zhì)能夠得出x-5≥0,結(jié)合前面x≠5,即可得出x的取值范圍.【詳解】若代數(shù)式有意義,則≠0,得出x≠5.根據(jù)根式的性質(zhì)知中被開方數(shù)x-5≥0則x≥5,由于x≠5,則可得出x>5,答案為x>5.【點(diǎn)睛】本題主要考查分式及根式有意義的條件,易錯(cuò)點(diǎn)在于學(xué)生容易漏掉其中之一.15、【解析】
根據(jù)完全平方公式即可求解.【詳解】∵是完全平方式,故k=【點(diǎn)睛】此題主要考查完全平方式,解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式的特點(diǎn).16、①②④⑤【解析】
①②∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=∠D=90°,∠BAD=90°,∵AE平分∠DAC,∴∠FAD=∠CAF=22.5°,∵BH=DF,∴△ABH≌△ADF,∴AH=AF,∠BAH=?FAD=22.5°,∴∠HAC=∠FAC,∴HM=FM,AC⊥FH,∵AE平分∠DAC,∴DF=FM,∴FH=2DF=2BH,故選項(xiàng)①②正確;③在Rt△FMC中,∠FCM=45°,∴△FMC是等腰直角三角形,∵正方形的邊長(zhǎng)為2,∴AC=,MC=DF=﹣2,∴FC=2﹣DF=2﹣(﹣2)=4﹣,S△AFC=CF?AD≠1,所以選項(xiàng)③不正確;④AF===,∵△ADF∽△CEF,∴,∴,∴CE=,∴CE=AF,故選項(xiàng)④正確;⑤在Rt△FEC中,EG⊥FC,∴=FG?CG,cos∠FCE=,∴CG===1,∴DG=CG,∴=FG?DG,故選項(xiàng)⑤正確;本題正確的結(jié)論有4個(gè),故答案為①②④⑤.17、3【解析】
延長(zhǎng)BD交AC于H,證明△ADB≌△ADH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AH=AB=10,BD=DH,根據(jù)三角形的中位線定理即可求解.【詳解】延長(zhǎng)BD交AC于H,∵AD平分∠BAC,BD⊥AD,∴∠BAD=∠HAD,∠ADB=∠ADH=90°,又AD=AD,∴△ADB≌△ADH,∴AH=AB=10,D為BH中點(diǎn),∴CH=AC-AH=6,∵E為BC中點(diǎn),故DE是△BCH的中位線,∴DE=12CH=3故填:3.【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形中位線的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線證明三角形全等進(jìn)行求解.18、【解析】
確定最簡(jiǎn)公分母的方法是:(1)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù);(2)凡單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的一個(gè)因式;(3)同底數(shù)冪取次數(shù)最高的,得到的因式的積就是最簡(jiǎn)公分母.【詳解】分式,,的分母分別是x、3xy、6(x-y),故最簡(jiǎn)公分母是,故答案為.【點(diǎn)睛】此題考查最簡(jiǎn)公分母,難度不大三、解答題(共66分)19、(1);(2);(3)P點(diǎn)的坐標(biāo)是.【解析】
(1)先確定出點(diǎn)A,B坐標(biāo),利用勾股定理計(jì)算即可;(2)如圖1中,作CE⊥x軸于E,作CF⊥y軸于F,進(jìn)而判斷出,即可判斷出四邊形OECF是正方形,求出點(diǎn)C坐標(biāo)即可解決問題.(3)如圖2中,先判斷出點(diǎn)B是AM的中點(diǎn),進(jìn)而求出M的坐標(biāo),即可求出DP的解析式,聯(lián)立成方程組求解即可得出結(jié)論.【詳解】解:(1)∵直線交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn).∴令,,∴B點(diǎn)的坐標(biāo)是,,令,,∴A點(diǎn)的坐標(biāo)是,,根據(jù)勾股定理得:.(2)如圖,作CE⊥x軸于E,作CF⊥y軸于F,∴四邊形OECF是矩形.∵是等腰直角三角形,,,,,,,.∴四邊形OECF是正方形,,,,.∴C點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)直線BC的解析式為:,∴將、代入得:,解得:,.∴直線BC的解析式為:.(3)延長(zhǎng)AB交DP于M,由旋轉(zhuǎn)知,BD=AB,∴∠BAD=∠BDA,∵AD⊥DP,∴∠ADP=90°,∴∠BDA+∠BDM=90°,∠BAD+∠AMD=90°,∴∠AMD=∠BDM,∴BD=BM,∴BM=AB,∴點(diǎn)B是AM的中點(diǎn),∵A(4,0),B(0,2),∴M(?4,4),∴直線DP的解析式為y=?x,∵直線DO交直線y=x+3于P點(diǎn),將直線與聯(lián)立得:解得:∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是.【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)綜合題,主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,一次函數(shù)的圖像和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì)等,解(2)的關(guān)鍵是求出點(diǎn)C的坐標(biāo),解(3)的關(guān)鍵是證明點(diǎn)B是AM的中點(diǎn),求出直線DP的解析式.20、見解析【解析】
分別作出AB、AC的垂直平分線,得到點(diǎn)M,N,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)證明結(jié)論.【詳解】如圖,點(diǎn)M,N即為所求作的點(diǎn),已知:如圖,△ABC中,點(diǎn)M,N分別是AB,AC的中點(diǎn),連接MN,求證:MN∥BC,MN=BC證明:延長(zhǎng)MN至點(diǎn)D,使得MN=ND,連接CD,在△AMN和△CDN中,,∴△AMN≌△CDN(SAS)∴∠AMN=∠D,AM=CD,∴AM∥CD,即BM∥CD,∵AM=BM=CD,∴四邊形BMDC為平行四邊形,∴MN∥BC,MD=BC,∵M(jìn)N=MD,∴MN=BC.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、平行四邊形的判定定理、直角三角形的性質(zhì),掌握三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.21、(1)90°;(2)60°;(3)互補(bǔ),理由見解析;相等或互補(bǔ);(4).【解析】
(1)通過作輔助線如圖1,延長(zhǎng)DC交AB于F,交BO于E,可以通過旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到AB=CD,OA=OC,BO=DO,證明△AOB≌△COD,進(jìn)而求得∠B=∠D得∠BFE=∠EOD=90°(2)通過作輔助線如圖2,延長(zhǎng)DC交AB于F,交BO于E,同(1)得∠BFE=∠EOD=60°(3)通過作輔助線如圖3,直線與直線所夾的銳角與旋轉(zhuǎn)角互補(bǔ),延長(zhǎng),交于點(diǎn)通過證明得,再通過平角的定義和四邊形內(nèi)角和定理,證得;形成結(jié)論:通過問題(1)(2)(3)可以總結(jié)出旋轉(zhuǎn)圖形中,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于平角時(shí),對(duì)應(yīng)線段所在直線的夾角與旋轉(zhuǎn)角相等或互補(bǔ);(4)通過作輔助線如圖:將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使得與重合,得到,連接,延長(zhǎng),交于點(diǎn),可得,進(jìn)一步得到△BDF是等邊三角形,,再利用勾股定理求得.【詳解】(1)解:(1)如圖1,延長(zhǎng)DC交AB于F,交BO于E,
∵α=90°
∴∠BOD=90°
∵線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段CD,
∴AB=CD,OA=OC,BO=DO
∴△AOB≌△COD(SSS)
∴∠B=∠D
∵∠B=∠D,∠OED=∠BEF
∴∠BFE=∠EOD=90°
故答案為:90°
(2)如圖2,延長(zhǎng)DC交AB于F,交BO于E,
∵α=60°
∴∠BOD=60°
∵線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段CD,
∴AB=CD,OA=OC,BO=DO
∴△AOB≌△COD(SSS)
∴∠B=∠D
∵∠B=∠D,∠OED=∠BEF
∴∠BFE=∠EOD=60°
故答案為:60°(3)直線與直線所夾的銳角與旋轉(zhuǎn)角互補(bǔ),延長(zhǎng),交于點(diǎn)∵線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段,∴,,∴∴∴∵∴∴∴直線與直線所夾的銳角與旋轉(zhuǎn)角互補(bǔ);形成結(jié)論:旋轉(zhuǎn)圖形中,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角小于平角時(shí),對(duì)應(yīng)線段所在直線的夾角與旋轉(zhuǎn)角相等或互補(bǔ);(4)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使得與重合,得到,連接,延長(zhǎng),交于點(diǎn),∴旋轉(zhuǎn)角為,∴,,,∴△BDF是等邊三角形,∵,,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題,考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),添加輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.22、(1)見解析(2)DE⊥AF【解析】試題分析:(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到AB∥CD,從而可得到AB∥DF,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到兩組角相等,已知點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),從而可根據(jù)AAS來(lái)判定△BAE≌△CFE,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可證得AB=CF,進(jìn)而得出CF=CD;(2)利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出AE=EF,再利用角平分線的性質(zhì)以及等角對(duì)等邊求出DA=DF,利用等腰三角形的性質(zhì)求出即可.(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,∵點(diǎn)F為DC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),∴AB∥DF,∴∠BAE=∠CFE,∠ECF=∠EBA,∵E為BC中點(diǎn),∴BE=CE,則在△BAE和△CFE中,,∴△BAE≌△CFE(AAS),∴AB=CF,∴CF=CD;(2)解:DE⊥AF,理由:∵AF平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF,∵∠BAF=∠F,∴∠DAF=∠F,∴DA=DF,又由(1)知△BAE≌△CFE,∴AE=EF,∴DE⊥AF.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì),證明線段相等的常用方法是證明三角形全等.23、(1)(或);(2);(1)m=1,n=2;(4)~都行,1~1.1都行.【解析】
根據(jù)題意,列出y與x的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)盒子長(zhǎng)寬高值為正數(shù),求出自變量取值范圍;利用圖象求出盒子最大體積.【詳解】(1)y=x(4?2x)(1?2x)=4x?14x+12x故答案為:y=4x?14x+12x(2)由已知解得:0<x<(1)根據(jù)函數(shù)關(guān)系式,當(dāng)x=時(shí),y=1;當(dāng)x=1時(shí),y=2(4)根據(jù)圖象,當(dāng)x=0.55dm時(shí),盒子的體積最大,最大值約為1.01dm1故答案為:~都行,1~1.1都行【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)的表示方法,函數(shù)自變量的取值范圍,函數(shù)圖像,解題關(guān)鍵在于看懂圖中數(shù)據(jù).24、見解析【解析】
由平行線的性質(zhì)得出∠AEB=∠CFD,求出BE=DF,由SAS即可
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