2023-2024學(xué)年深圳外國語高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年深圳外國語高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷

（試卷滿分150分，考試時間120分鐘）2023.11

第一部分選擇題（共60分）

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.）

----=1

1.己知橢圓的標準方程43，其焦距為（）

A.2B.GC.1D.2

2.設(shè)向量"，°，。不共面，則下列可作為空間的一個基底的是（）

A[a+b,b-a.a}g[a+b,b-a.b}Q{a+b,b-a,c}{a+b+c,a+b,c]

3.己知向量a=(122)涉=(-2,1,1),則向量b在向量。上的投影向量為()

_4_4Af244^f211>￡」

A.I9'9'9)B.19'9,9%.I3,3句D,U'3,3J

4.如圖，在正方體中，M、N分別是8、CG的中點，則異面直線A"與所成角的

大小是（）

A.30。B.45°c.60°D.90°

OE=-EA,BF=-BC

5.如圖，在四面體OABC中，OA=a,OB=b,OC=c9且24,則斯=)

13,113,113,113,1

—a——b+—c—a+—b+—c——a——b+—c——a+—b+—c

A.344B.344C.344D.344

6.己知直線/：皿一＞T=°,若直線/與連接A（L-2）、8（2,1）兩點的線段總有公共點，則直線/的傾斜角

1

范圍為（）

兀71713兀

49445T

A.B.C.D.

7.關(guān)于曲線c/+y4=i下列說法：①關(guān)于點?°）對稱；②關(guān)于直線無軸對稱；③關(guān)于直線＞=彳對稱;

④曲線c是封閉圖形，面積小于n；⑤曲線c是封閉圖形，面積大于兀；⑥曲線c不是封閉圖形無法計算

面積.其中正確的序號（）

A.①②⑥B.①②⑤C.①②④D.②③⑥

8.當曲線yn-67/與直線近一，+2左-4=°有兩個相異的交點時，實數(shù)上的取值范圍是（）

A"B刖C加D31

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選

對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.）

9.下列命題中，正確的有（）

A.%%分別是平面&，￡的法向量，若a〃￡,則4

B.分別是平面團尸的法向量，若4?巧=。，則2,分

U

C."是平面a的法向量，。是直線1的方向向量，若。力=°,則〃/￡

；（a,n}=120°

D.〃是平面。的法向量，“是直線1的方向向量，若'/,貝也與平面。所成角為6?！?/p>

10.下列各選項中，不正確的是（）

A.若從B、C、D是空間任意四點，則有A8+BC+CZ）+D4=0

B,對于非零向量。自〈。力〉°〉

C.若A3,°。共線，則AB〃CD

D.對空間任意一點。與不共線的三點A、反C,若°P=xO4+y°B+zOC（其中x,y,zeR）,則

尸、從B、C四點共面

11.已知直線0m+1卜+（10）廣%2=0（由2與圓c：/_4x+y2=0,則（）

A.對VmeR,直線恒過一定點

B.3meR,使直線與圓相切

C.對V〃zwR,直線與圓一定相交

D.直線與圓相交且直線被圓所截得的最短弦長為加

2

12.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：三角形的外心（中垂

線的交點）、重心（中線的交點）、垂心（高的交點）在同一條直線上，后來，人們把這條直線稱為歐拉線.若△ABC

的頂點A（—4,0）,B（0,4）,其歐拉線方程為x—y+2=0,則下列說法正確的是（）

A.△八8（3的外心為（一1,1）B.△ABC的頂點C的坐標可能為（-2,0）

C.△ABC的垂心坐標可能為（-2,0）D.△ABC的重心坐標可能為

第二部分非選擇題（共90分）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）

2__|___=]

13.橢圓169的焦點為士、P為橢圓上不同于長軸端點的一點，則的周長為

14.如圖在平行六面體ABCD-ABrCDf中，AB=3,AD=1,AAr=2

/BAD=90。，4A=/DAA=60。，則AC的長是

15.過點P（1,2）且在X軸，Y軸上截距相等的直線方程是

16.據(jù)監(jiān)測，在海濱某城市附近的海面有一臺風(fēng).臺風(fēng)中心位于城市A的東偏南60方向、距離城市1206協(xié)7

的海面尸處，并以2?；谩?〃的速度向西偏北3。方向移動（如圖示）.如果臺風(fēng)侵襲范圍為圓形區(qū)域，半徑

120A%臺風(fēng)移動的方向與速度不變，那么該城市受臺風(fēng)侵襲的時長為

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.己知直角帥C的頂點坐標"（TO）,直角頂點'（1，一2）,頂點c在x軸上.

（1）求點C的坐標；（2）求?的斜邊中線所在直線的方程.

3

18.如圖所示，在棱長為2的正方體A'。。一MCA中，瓦F分別為叩3的中點.

⑴求證：Cf7/面AGD；（2）求點G到平面3＜歹的距離.

19.已知圓G經(jīng)過“（1，3），8（4,2）,0（5,—5）三點.

⑴求圓G的方程；（2）過點。（3,3）向圓G作切線QS,QT,切點分別是S,T,求直線ST的方程.

20.已知圓E：（x+iy+V=16,點是圓￡上任意一點，線段G廠的垂直平分線和半徑GE相交于2

⑴求動點H的軌跡L的方程；

⑵若A（—2，°），8（2,0）,過F作直線/與軌跡L交于M，N兩點（不與A8重合），記直線4〃與2N的斜率

?

分別為如片,證明：網(wǎng)為定值.

21.在如圖所示的四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是邊長為2的正方形，△尸4。是正三角形，平面F4D，

平面ABC。

（1）求平面總與平面尸CD所成銳二面角的大??；

（2）設(shè)E為必上的動點，直線CE與平面上鉆所成的角為6，求sin?的最大值.

22.已知A（3,0）,B（-3,0）,C是動點，滿足=&（幾為常數(shù)），過C作x軸的垂線，垂足為H,記

CH中點M的軌跡為「，

（1）若「是橢圓，求此橢圓的離心率；

⑵若“（2，1）在：T上，過點G（0,m）作直線1與「交于P、Q兩點，如果m值變化時，直線MP、MQ的傾斜

角總保持互補，求AMPQ面積的最大值.

4

1.A

【分析】結(jié)合標準方程及橢圓,關(guān)系可求得結(jié)果.

【詳解】由橢圓標準方程知：橢圓焦距為2g=2.

故選：A.

2.C

【分析】依次判斷四個選項中三個向量是否共面即可

【詳解】選項A：由于3+⑸-(〃-“)=%,三個向量共面，故不能作為空間的一個基底；

選項B：由于(。+?+缶-")=2,三個向量共面，故不能作為空間的一個基底；

選項C：若a+b涉一。，工三個向量共面，則存在使得c=?3一a)=(*-y)a+(x+y?,

則向量a，"c共面，矛盾，故〃+6*,三個向量不共面，因此可以作為空間的一個基底；

選項D：由于"+6+'=(a+6)+c,三個向量共面，故不能作為空間的一個基底；

故選：C

3.B

【分析】利用投影向量的定義結(jié)合已知條件直接求解即可.

【詳解】因為向量”(1，2,2)8=(-2,1,1),

所以向量方在向量。上的投影向量為

a-baa-b-2+2+244^

=---a?(122)=

a1+4+4

故選：B

4.D

【分析】若E為CN中點，連接ME,A,E有ME//DN,異面直線所成角即為幺板，進而求其大小.

【詳解】若E為CN中點，連接又M是C。的中點，皿MEHDN,

所以A"與DN所成角，即為4"與ME所成角幺

5

44￡=—ME=^-

令正方體棱長為2,則AM=3,2,2

22

在AAtME中AtM+ME=4爐，則ZA.ME=90°

故選：D

5.D

31131

OF=—b+—cEF=OF—OE=——d+—b+—c

【分析】利用空間向量基本定理求解出44,從而求出344.

BF=-BCOF=OB+BF=OB+-BC=OB+-（OC-OB）=-b+-c

【詳解】因為4,所以4444,

OE=—EA=—aEF=OF-OE=-—a+—b+—c

又23,所以344.

故選：D

6.D

【分析】根據(jù)直線過定點，即可根據(jù)斜率公式求解邊界線的斜率，即可根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解.

卜=0

【詳解】直線/的方程可得L=T,所以，直線/過定點〃（°‘一1）,

設(shè)直線/的斜率為左，直線/的傾斜角為a,則°<夕<兀,

T一（-2）-1-1

—1-------=1

因為直線叢的斜率為0-1,直線總的斜率為2

因為直線/經(jīng)過點尸（°'一1）,且與線段AB總有公共點,

3兀

Q<zy<A—?a<兀

所以一IV左41,gp-l<tan（z<l,因為。<夕<兀，所以一-4或4

3兀

0,-u,7t

故直線’的傾斜角的取值范圍是L4」T

故選：D.

7.B

【分析】將（f'-y）、（"7）和（?、榇肭€c方程可確定①②③的正誤；根據(jù)羽y的范圍，結(jié)合當

6

T<%<1時，y：<$可確定曲線c圍成封閉圖形的面積大于圓x2+y2=l的面積，知④⑤⑥正誤.

【詳解】對于①，將（一員一?。┐肭€C方程得：（一域+（7）4=*+力=1,

二曲線C關(guān)于點（°，°）對稱，①正確；

對于②，將（x,r）代入曲線c方程得：d+（-y）4=*+V=i,

，曲線c關(guān)于直線》軸對稱，②正確；

對于③，將（、㈤代入曲線c方程得：/+/=1,與曲線c方程不同，

，曲線c不關(guān)于直線y=x對稱，③錯誤；

對于④⑤⑥，由Y+y4=i知：TWxWl,-l<y<l,則曲線C為封閉圖形；

在曲線C上取-點”（不幾），

當一1<%<1時，二君+$>考+乂=1,即點/在圓/+9=1外，

二曲線c圍成封閉圖形的面積大于圓/+9=1的面積無，⑤正確，④⑥錯誤.

故選：B.

8.C

【分析】確定曲線為圓的下半部分，確定直線的定點，根據(jù)直線與半圓相切時得到斜率，再計算Kc=l,

結(jié)合圖像得到答案.

【詳解】丫=一^^,即，+產(chǎn)=4,（y<0）,是圓的下半部分，

直線依-"21=。過定點A（-2T）,且C（2,0）,。（-2,0）,

畫出圖像，如圖所示：

當直線與半圓相切且斜率存在時，圓心到直線的距離,解得

k==1

A，2+2,根據(jù)圖像知:

7

故選：c

9.AB

【分析】根據(jù)平面向量的法向量的位置關(guān)系，直接判斷面面，線面位置關(guān)系和線線角即可得到答案.

【詳解】選項A.%，%分別是平面火尸的法向量，若?，則％〃%,正確.

選項B.心內(nèi)分別是平面d6的法向量，若％?%=°,則正確

選項C.”是平面a的法向量，a是直線1的方向向量，若心"=°,則〃/&或/ua,故不正確.

:?日力=120。

選項D.”是平面。的法向量，a是直線1的方向向量，若'/,貝也與平面。所成角為30°,故不

正確

故選：AB

10.ACD

【分析】由空間向量的概念和運算對選項逐一判斷.

UUUUUUUUU1ULUL1

【詳解】解：A選項：若A、B、C、。是空間任意四點，則有AB+BC+CO+D4=°,故A錯誤；

COS=j^|==cos(-a,一苗

B選項：因為MN卜“產(chǎn),且向量夾角范圍為【°"］，所以〈。，6〉=〈-"，-%

故B正確；

C選項：若AB，。共線，則至〃8或A,民CO四點共線，故c錯誤；

D選項：對空間任意一點。與不共線的三點4B、C,若。尸=MM+y°B+z°C(其中x,y,zwR),

jjlijOP=(x+y+z)OA+y(^OB—OA)+z(OC—OA)即OP—(x+y+z)OA=yA.B+zA.C

當x+y+z=l時，AP=yAB+zACt止匕時只4&C四點共面，

當x+V+zNl時，此時P、A、B、C四點不共面，故D錯誤.

故選：ACD

11.AC

【分析】通過直線轉(zhuǎn)化為直線系，求出直線恒過定點；根據(jù)定點與圓的位置關(guān)系，即可判斷圓與直線的位

置關(guān)系；當圓心與定點的連線與直線垂直時，即可求得直線被圓所截得的最短弦長.

［詳角率］/：(2:〃+l)x+(l—7〃)y-7〃-2=O(〃zeR),即Qx—y—l)優(yōu)+(x+y—2)=0,

f2x-y-l=0(x=l

令［x+y-2=0,解得［y=l,所以直線恒過點P(U),故A正確；

圓C：(x-2尸+產(chǎn)=4,圓心C(2,0),半徑廠=2.

因為|PC1=W-2)2+(1-0)2=8<r,所以點尸(1,1)在圓c內(nèi),

8

所以直線與圓一定相交，故B錯誤，C正確；

當尸CU時，直線與圓相交且直線被圓所截得的弦長最短,

最短弦長為2J/TPC，=26,故口錯誤.

故選：AC

12.ACD

【分析】求出直線AB的垂直分線方程，聯(lián)立歐拉方程可求得外心坐標，判斷A;求出外接圓方程，表示出

重心，坐標，代入到外接圓方程中，可求得C的坐標，進而判斷B,D的對錯；寫出過C和直線AB垂直的

可能的方程，和歐拉方程聯(lián)立求得垂心坐標，可判斷C.

【詳解】由頂點A（—4,0）,B（0,4）,可知直線AB的垂直分線方程為,二一》,

ABC的外心在直線x—y+2=0上，

jLy+2=0

聯(lián)立1丁=-尤，可得外心坐標為（一1,1），故A正確；

設(shè)外心為G,則G（—1,1）,故仁川=加，

所以外接圓方程為（x+iy+（yT）2=i°,

（1―4y+4）

設(shè)c（尤,y）,則ABC的重心為（丁'丁），代入歐拉線方程為X—y+2=0中，

fx=2JLO

得：x-y-2=0,和（x+l）2+（y-l）』0聯(lián)立，解得卜=0或^=-2,

即C點坐標可以為（2，°），（（），-2）,故B錯誤；

（--2---4）（--4---2）

由C點坐標為（2，°），（°，-2）,可知重心可能為3'3'3'3,故D正確；

當C點坐標為（2，°）時，過C和AB垂直的直線方程為了=一犬+2,

聯(lián)立歐拉線方程為x-y+2=0可解得垂心坐標為（°，2）；

當C點坐標為（°，-2）時，過c和AB垂直的直線方程為F=-x-2,

聯(lián)立歐拉線方程為x-y+2=0可解得垂心坐標為（一2,°）,故C正確，

故選：ACD.

13.8+2近

【分析】根據(jù)橢圓方程可得°，°,計算出。，然后根據(jù)橢圓的定義和焦距的定義可得三角形的周長.

9

-----1=19

【詳解】由169可得/=16,廳=9,

所以c2=a2-b2=16-9=7,所以。=近，

所以146r2c=2幣,

根據(jù)橢圓的定義可得口幣+1刊■=2a=8,

所以△幽瑪?shù)闹荛L為：口耳|+|「6|+|￡居|=8+2近

故答案為：8+2近.

【點睛】本題考查了橢圓的標準方程，考查了橢圓的定義、幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.厄

【分析】根據(jù)題意，由條件可得AC'=A8+AO+44,再由空間向量的模長公式，即可得到結(jié)果.

【詳解】因為AC=48+AO+A4，，所以Ml=(AB+AD+AA,)=|AB|+|AD|+|/L4,|

+2|AB|.|AD|COS90°+2|AB|.|AA,|COS600+2|A￡)|-|A4,|COS60°=9+1+4+0

4-2X3X2X—+2xlx2x—=2214d-A./??I—

22，則-乜一?22,所以AC，的長是也.

故答案為：底.

15.2x-y=0或x+y-3=0

【詳解】試題分析：當直線過原點時，可設(shè)直線的方程為，=丘，

代入點P(1,2)可得k=2,故方程為尸法，化為一般式可得2*-'=。；

"=1

當直線不過原點時，可設(shè)直線的方程為。。，

二+2=1。

代入點P(1,2)可得“=3,故方程為33，化為一般式可得3=0；

綜上可得所求直線的方程為：2x-y=0或x+y-3=0

故答案為2x-y=°或》y-3=o.

考點：直線的截距式方程.

16.6小時

【分析】當城市距離臺風(fēng)中心小于等于120km時，城市開始受到臺風(fēng)侵襲，所以只要城市距離臺風(fēng)移動方

向大于等于120km即可；由題意，畫出圖形解三角形.

10

【詳解】解：由題意如圖，設(shè)臺風(fēng)中心到達Q,開始侵襲城市，到達0則結(jié)束侵襲.

在AAQP中，AQ=120km,AP=120&km,ZAPQ=30°,ZPAQ=180°-30°-ZQ=150°-ZQ,

12073120

由正弦定理得到sMAQPs6?30。，

所以/AQP=i20。，/AOP=60。，所以△AQO為等邊三角形.所以0Q=12。

120/

------O

所以該城市會受到臺風(fēng)的侵襲時長為20小時.

【點睛】本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用；關(guān)鍵是由題意將問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題

17.(1)C(2，。)；⑵4x+3y+2=0.

【分析】(1)由題意利用直線的斜率公式，兩條直線垂直與直線斜率的關(guān)系，求得點C的坐標.

(2)先求出斜邊中點的坐標，再求出中線的斜率，用點斜式求出中線的方程.

【詳解】⑴直角的頂點坐標"(TO),直角頂點3。，-2),

頂點C在x軸上，設(shè)

r,左BA.kcB=F―7*1,求得加=2,故C（2,。）.

則-3-1

0+24

3

M(——,0)——1

(2)斜邊AC的中點為2,BM的斜率為2

故BM的方程為.312),即4x+3y+2=0.

【點睛】本題主要考查直線的斜率公式，兩條直線垂直與直線斜率的關(guān)系，用點斜式求直線的方程，屬于

基礎(chǔ)題.

18.(1)證明見解析(2)3

【分析】(1)由平行四邊形性質(zhì)可知,/AG,由線面平行判定定理可證得結(jié)論;

(2)利用等體積法/叫“構(gòu)造方程求得結(jié)果.

11

【詳解】⑴連接AG,ADGDAJ

AV/CG,M=CQ；四邊形ACGA為平行四邊形，

AC〃AG,即c/〃AG,又AGu平面AG。，。方.平面AC。

.?c〃平面AG。

(2)連接''GJ

=J4-2=V2

B—BC?BB；=2五,BQ.+BF;K加”,

112AS

.-.B.F+CF=BXC即8/_LCP=-JBlFCF=-x^xA/6=73

—(JD=]

尸為8。中點，，點r到平面8CG4的距離為2

VS￡?>|rC|cC=-2B.C],]-CC.i=-2x2x2=2.'.K-D?|rC]rC=-3SDR]rC|cC-2CD=-3

2

j_VFB?C__3__26

-%/GC=%TCJ.?.點G到平面與。尸的距離3B，CF3.

12

[9（1）*+V—2兀+4y_20=0Q）2x+5y—17=0

分析】（1）假設(shè)圓的一般方程，代入A8,C三點坐標即可構(gòu)造方程組求得結(jié)果;

（2）弦ST是以QG為直徑的圓與圓G的公共弦，求得以°G為直徑的圓的方程后，與圓G方程作差即可求

得結(jié)果.

【詳解】⑴設(shè)圓G方程為：/+戶以+助+F=0（RE,小R4+E—尸>。）,

圓G過點A。，]，現(xiàn)4,2）,C（5,—5）,

10+￡>+3￡+F=0伊=-2

:.<20+4D+2E+F=0J,E=4

5O+5D-5E+F^O；解得：|尸=一20(滿足加+工一^^尸>0)

二圓G方程為：x2+y2-2x+4y-20=0

半徑「=gj(-2)2+42-4x(-20)=5

圓G的圓心G（l，-2）,

（2）由（1）知:

0,QT與圓G相切，，S,T在以QG為直徑的圓上,

22

.|2G|=A/(3-1)+(3+2)=V29>QG中點為口；］

(X-2)2+G」［="22

二以2G為直徑的圓的方程為：I2)4,即廠+?-4尤一丁一3=0,

X2+y2-4x-y-3=0

<-

由J?+y~—2尤+4了-20=。得.2x+5y—17=0

即直線ST的方程為：2x+5y_17=0.

20.（1）43；⑵證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求解即可;

（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，并根據(jù)韋達定理得到必+必，必必，表示出斜率后化簡即可得證.

【詳解】⑴圓氏（》+1）2+9=16,圓心E（-l,0）,半徑廠=4

因為線段GF的垂直平分線和半徑GE相交于a,

所以|HG|=|"「|,所以|"E|+田尸H"?+l〃G|=|EG|=r=4>|EF|

13

所以點H的軌跡是以E(T，0),“1⑼為焦點，且長軸長為4的橢圓.

故a=2,c=1,=Q2—H=3,

22

工+匕=1

所以點H的軌跡L的方程是43.

(2)證明：因為直線1不與重合，所以直線1斜率不為0,

故設(shè)ltx=my+l,M(x1,%),N(x2,%)

(x2y2.

---1---=199

<43=>(3m+6my-9=0

x=my+l

9

所以13z?,+4

%9m9m

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K~y2(myi+1+2)myiy2+3y2___^+3(____/___3

222

X2-23m+4'3m+4/3m+4一

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所以七為定值5.

￡742

21.(1)3.(2)7.

【分析】取AD的中點°,取BC的中點/，連接°P,°尸，以｛°尸。DOB為正交基底建立如圖所示空間

直角坐標系。一孫z.

(1)求出二面角兩個面的法向量，由法向量的夾角得二面角；

UU1UUUU1

(2)設(shè)=Xe[°，l],求出CE與平面皿法向量夾角的余弦的絕對值，利用函數(shù)的知識求得最大

值.

【詳解】解：取的中點°,取BC的中點產(chǎn)，連接8,°廠，

因為底面ABC。是正方形，六。尸，也，

?.?△乃是正三角形，。為AD的中點，.?.OPLAD,

又因為平面R4D，平面ABC。，平面平面ABCD=AT>,0Pu平面上4D,

14

：,OP±^ABCD,

以｛OR°￡>,°P｝為正交基底建立如圖所示空間直角坐標系。一孫z.

⑴尸(0,0,指),A(O,T,O),8(2,-1,0),則罰=(2,0,0),AP=(0,l,g),

設(shè)根=(x,y,z)為平面皿的一個法向量，

m?AB=2x=0

則[m-AP=y+J^z=0,則彳=。，令z=l,得y=_百，機=(。,一石,1)

尸(0,0,百)，C(2,l,0),。(0,1,0),則￡^=(2,0,0),D尸=(0,-1,百)，

設(shè)”=5,6,c)為平面尸8的一個法向量，

n-DC=2。=0

<

貝I]〔",■°尸=_6+其=0,貝！|a=0,令c=l,得b=6,?=(0,73,1)；

m-n-2_12萬

cos<m,n>=

\m\\n\2x22又〈九孔>￡[0,4].3

n

：.面由與平面尸CD所成銳二面角的大小為了.

UUIUULIUI-I-

(2)i^BE=ABP,"e[0』],則BE='(-2』,")=(-22,2,6A)

則CE=CB+BE=(0,-2,0)+(-2A,2,后)=(-22,2-2,后)，

因為直線CE與平面上鉆所成的角為.，

.、1\CE-m\|-5/3(A-2)+V32|

sin0n=|cos<CE,m>|=-----------=/——

.