第2講 平面向量的數(shù)量積（教師版）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)（新教材新高考）

第02講平面向量的數(shù)量積（核心考點(diǎn)精講精練）

考情探究

1.4年真題考點(diǎn)分布

4年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2023年新II卷，第13題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律向量的模長(zhǎng)運(yùn)算

2022年新II卷,第4題,5分?jǐn)?shù)量積及向量夾角的坐標(biāo)表示平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

坐標(biāo)計(jì)算向量的模

2021年新I卷，第10題,5分?jǐn)?shù)量積的坐標(biāo)表示逆用和、差角的余弦公式化簡(jiǎn)、求值

二倍角的余弦公式

2021年新II卷，第15題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律無(wú)

2020年新I卷，第7題,5分用定義求向量的數(shù)量積無(wú)

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

【備考策略】1通過(guò)物理中功等實(shí)例理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積

2會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

3能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，并會(huì)表示及計(jì)算兩個(gè)平面向量的夾角

4會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題以及其他實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)

和實(shí)際問(wèn)題中的作用

5會(huì)用數(shù)量積解決向量中的最值及范圍問(wèn)題

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)一般考查平面向量數(shù)量積的表示和計(jì)算、在平面幾何圖形中的范圍及最值等應(yīng)用，易理

解，易得分，需重點(diǎn)復(fù)習(xí)。

考點(diǎn)梳理

知識(shí)講解

1.平面向量的數(shù)量積

設(shè)兩個(gè)非零向量a，。的夾角為仇記作?，且。e[0，T

定義

則數(shù)量同例cos。叫做a與萬(wàn)的數(shù)量積，記作ab

⑷cose叫做向量。在b方向上的投影，

投影

\b\cos0叫做向量b在a方向上的投影

幾何

數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度間與〃在a的方向上的投影網(wǎng)cos6的乘積

意義

2,向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(l)a?b=ba

(2)(2。)仍=%(〃,5)

(3)(a+b)c=ac+bc.

3.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知非零向量a=(xi,yi),b=(x2,y2),a與〃的夾角為0.

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模⑷=yjera⑷=信+5

八abxi九2+yi"

夾角0—CS

cos\Ia\it\b>\|°也?+.々工+貨

a±b的充要條件ab=0xiX2+yiy2=0

|a創(chuàng)與同網(wǎng)的關(guān)系|@創(chuàng)0即。|\x\x2+yip|Wyj(3+")(杉+次)

1.數(shù)量積運(yùn)算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，

例如，a0=<TC(QWO)不能得出方=c,兩邊不能約去一個(gè)向量.

2.4。=0不能推出a=0或8=0,因?yàn)?。=0時(shí)，有可能a_LA.

3.在用⑷=4混求向量的模時(shí)，一定要先求出屋再進(jìn)行開(kāi)方.

考點(diǎn)一、求平面向量的數(shù)量積

☆典例引領(lǐng)

1.(重慶?高考真題)設(shè)向量〃=(一1,2)力=(2,—1),則(。旬(。+6)等于()

A.(1,1)B.(-4,-4)C.-4D.(-2,-2)

【答案】B

【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算與線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】因?yàn)椤?(—1,2)力=(2,—1),

所以Gb=(_l,2)(2,_l)=_2_2=Y,?+/?=(-1,2)+(2,-1)=(1,1),

故(a.州a+6)=-4x(11)=(-4,-4).

故選：B.

2.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)正方形A8CD的邊長(zhǎng)是2,E是A8的中點(diǎn)，則￡。即=()

A.6B.3C.2石D.5

【答案】B

【分析】方法一：以為基底向量表示fCED，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法三：利用余弦定理求8SNDEC,進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的定義運(yùn)算求解.

,、?um11UUU1uunion

【詳解】方法一：以｛AB,AZ>｝為基底向量，可知卜8卜k4=2,A5-AQ=0,

mmuirmuiuunimnuunmruuiiiuunuiun

則EC=E8+8C=-A8+AO,￡O=￡4+AO=——A8+AO,

22

muinn(\uuniiiiui\(iuunuuv、]uun,uuu、

所以疣.￡0=匕45+40)匕45+4￡>=-廠(chǎng)3+AD=-1+4=3；

方法二：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

IILIUL1UU1

則E（1,0）,C（2,2）,0（0,2）,可得EC=（1,2）,E￡>=（—1,2）,

ULWULW

所以EC-ED=-l+4=3；

方法三：由題意可得：ED=EC=ECD=2,

nr2+CE2-DC25+S-43

在，CDE中，由余弦定理可得cosNDEC=:，

2DECEW2x^5x>/55

ULDIUK|Ulin||UlIl|3

所以ECE￡）=[EC|Eqcos〃EC=6x6x'=3.

故選：B.

3.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）設(shè)向量”，b的夾角的余弦值為g,且忖=1,=3,則（2“+〃）力=.

【答案】11

【分析】設(shè)a與匕的夾角為。，依題意可得cos6=；,再根據(jù)數(shù)量積的定義求出“力，最后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)

算律計(jì)算可得.

【詳解】解：設(shè)a與6的夾角為凡因?yàn)閍與6的夾角的余弦值為（，即cos，=g,

又W=l,1|=3,所以4力=卜，小0$。=1乂3*!=1,

所以（2a+1）力=2a/+6=2a-b+1/?|=2x1+32=11.

故答案為：11.

4.（浙江,高考真題）已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿(mǎn)足|A@=3,|BC|=4,|CA卜5,則AB.8C+8c.e4+C4A8

的值等于.

【答案】-25

【分析】根據(jù)A8+8C+C4=0可得，（AB+BC+CA）2=0,展開(kāi)可得

|AB|2+|BC|2+|CA|2+2（ABBC+ABAC+BCAC）=0,代入即可得到答案.

【詳解】解：由AB+BC+C4=0可得(AB+BC+CA)2=0,

網(wǎng)=3,|sc|=4,|C4|=5,

所以I+|8C『+|CA『+2(AB-BC+AB-AC+BC-AC)=0,

g|J9+16+25+2(ABBC+BC-CA+CAAB)=0

ABBC+BCCAAB=-25.

故答案為：-25

5.(2020?北京?統(tǒng)考高考真題汨知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P滿(mǎn)足AP=g(AB+AC)，則|PD|=

PBPD=?

【答案】75-1

【分析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD所在直線(xiàn)分別為X、丫軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)尸的坐標(biāo),

利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得卜4以及PBPD的值.

【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.A。所在宜線(xiàn)分別為X、)'軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)A(0,0)、8(2,0)、C(2,2)、D(0,2),

AP=；(A8+ACj=#2,0)+；(2,2)=(2,l),

則點(diǎn)P(2,l),.?/￡>=(-2,1),PB=(0,-1),

因此，|PD|=7(-2)2+12=45,Pfi-PD=0x(-2)+lx(-])=-1.

故答案為：后:-1.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的模和數(shù)量積的計(jì)算，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵，考

查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

☆即時(shí)檢測(cè)

1.(上海?模擬預(yù)測(cè))已知。=(-2,3),6=(1,2),求e6=；

【答案】4

【分析】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解，

【詳解】由題意得a吆=-2xl+3x2=4，

故答案為：4

2.(上海?高考真題)若以6的夾角為(，卜|=同=1，貝Ijd?a-O)=.

【答案】；/0.5

【分析】先求出H，進(jìn)而由=a〃求出答案.

【詳解】因?yàn)閍,匕的夾角為§,|a|=l勿=1,所以0b=lxlxcos§=/,于是=a-ab=\--=~.

故答案為：y.

3.(2023?河南洛陽(yáng)?洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知向量的=(乂1),〃=(-3,2),若2次+九=校4),則

mn=.

【答案】-4

【分析】根據(jù)平面向量線(xiàn)性運(yùn)算和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.

【詳解】因?yàn)閙=(x,l),〃=(-3,2),所以2m+〃=(2x-3,4)=(l,4),

所以2x-3=1,即x=2,

所以〃=-3%+2=—3x2+2=T.

故答案為：-4.

4.(2022全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)(多選)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)《(cosa,sine),(cos/?,-sin/?),

A(cos(a+/?),sin(a+尸))，A(l,0),則()

A.|^|=K|B.M=M

C.0Aop、=OP、OP[D.OAOPy=OP2OPy

【答案】AC

uuuuuu

【分析】A、B寫(xiě)出。OPrAPt,A6的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐

標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡(jiǎn)，即可判斷正誤.

【詳解】A：O”(cosa,sina),OR,=(cos^-sin/J),所以1|=Jcos?tz+sin2a=1,

|OP,|=^(cos/J/+C-sin；?)2=1.故|0川=|06|,正確；

B：AP]=(cos?-1,sincr),AP2=(cos/7-1,-sin/?),所以

IAF\|=-Jccosa-l)24-sin2a=Vcos2a-2cosa+l+sin2a=,2(1-cosa)=J4sin2—=21sin—|,同理

|力鳥(niǎo)|=J(cos夕-1)2+sin2尸=21sin，|,故|A[|,||不一定相等，錯(cuò)誤；

C：由題意得：OAOP^=1xcos(a+/?)-i-Oxsin(tz+/?)=cos(a+/?),

OP/OP?=cosa-cos/3+sina-(-sin/7)=cos(?+/7),正確；

D：由題意得：OAOR=Ixcosa+Oxsintz=cosa,OR,-OF^=cos/3xcos(a+/7)+(-sin/?)xsin(a+/?)

=cos(p+(a+p))=cos(a+2p),故一般來(lái)說(shuō)。A.O[w.OR故錯(cuò)誤；

故選：AC

考點(diǎn)二、辨析數(shù)量積的運(yùn)算律

典例引領(lǐng)

1.(上海?高考真題)若a，b，c均為任意向量，〃?eR，則下列等式不一定成立的是()

A.(〃+/?)+c=a+(b+c)B.(a+b)c=ac+bc

C.m(a+/?)=ma+mbD.(a-b)c=a(b-c)

【答案】D

【分析】根據(jù)向量加法、數(shù)量積、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算法則判斷.

【詳解】選項(xiàng)A是向量加法的結(jié)合律，正確；

選項(xiàng)B是向量數(shù)量積運(yùn)算對(duì)加法的分配律，正確；

選項(xiàng)C是數(shù)乘運(yùn)算對(duì)向量加法的分配律，正確；

選項(xiàng)D.根據(jù)數(shù)量積和數(shù)乘定義，等式左邊是與c共線(xiàn)的向量，右邊是與a共線(xiàn)的向量，兩者一般不可能相

等，也即向量的數(shù)量積運(yùn)算沒(méi)有結(jié)合律存在.D錯(cuò).

故選：D.

2.(2021,浙江?統(tǒng)考高考真題)已知非零向量a,b,c,則"a.c=8?c"是=6"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】如圖所示，O4=a,OB=%,OC=c,BA=a-6,當(dāng)AB_LOC時(shí)，°一5與c垂直，刃)；=0,所

以=L成立,此時(shí)日片〃，

回72="2不是。=6的充分條件，

〃r、rrr

當(dāng)4=6時(shí)，a-b=0<回("一葉。=0式=0,13￡.；="2成立，

回“；?_，.<：是a=b的必要條件，

綜上，兀丁是"G=的必要不充分條件

3.（湖北?高考真題）已知a,b,c為非零的平面向量.甲：ab=a,c,乙:b=c，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)向量運(yùn)算法則，結(jié)合充分，必要條件的定義，即可判斷.

【詳解】若=則a?卜-c）=0,因?yàn)閍,b,c為非零的平面向量,

所以a_L僅-c）,或/,=<?,所以甲不是乙的充分條件，

反過(guò)來(lái)，b=c，能推出〃山=“七，所以甲是乙的必要條件.

綜上可知，甲是乙的必要條件，但不是充分條件.

故選：B

即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）有關(guān)平面向量的說(shuō)法，下列錯(cuò)誤的是（）

A.若?！ǎ琤Uc,則；,B.若a與/，共線(xiàn)且模長(zhǎng)相等，則

C.若卜卜W且°與。方向相同，則”>%D.（而）力=4力）=（動(dòng)）恒成立

【答案】ABC

【分析】取b=0,可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量的概念可判斷B選項(xiàng)；利用向量不能比大小可判斷C選項(xiàng);

利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取〃=0,因?yàn)?/），bUc）則a、c不一定共線(xiàn)，A錯(cuò)；

對(duì)于B選項(xiàng)，若a與6共線(xiàn)且模長(zhǎng)相等，則〃=人或〃=-八B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，任何兩個(gè)向量不能比大小，C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，==（\"恒成立,D對(duì).

故選：ABC.

2.（2022?江蘇南通?海安高級(jí)中學(xué)?？级＃╆P(guān)于平面向量oAc,下列說(shuō)去不正確的是（）

A.若℃=/>c，則a=bB.（a+b）-c=a-c+b-c

C.若a?：//,則ac=bcD.（a-bjc=（b-c^-a

【答案】ACD

【分析】令c=0時(shí)可判斷A；利用（a+6）?c=d-c+AY,可判斷B：由/=必可知&與的模長(zhǎng)相等，但

（a-b）-c不一定為0可判斷C；（。2）式與c共線(xiàn)的向量，僅七）?。與a共線(xiàn)，可判斷D.

【詳解】c=0時(shí)，ac=hc=0a與b可任取，故A錯(cuò)；

^a+b^-c=a-c+b-c,故B對(duì)：

“2=川可知〃與人的模長(zhǎng)相等，（”_6）.c不一定為0,回a.cw>c，故C錯(cuò)；

（。/）七與c共線(xiàn)的向量，僅七）?。與a共線(xiàn)的向量.

回（42"*伍,D錯(cuò).

故選：ACD.

3.（2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考二模）關(guān)于平面向量a,b,c,下列說(shuō)法不正確的是（）

A.若a?c=b-c,則

B.[^a+b^-c=a-c+b-c

C.若42=戶(hù),則a-c=b-c

D.（a-b^-c=（b-c^-a

【答案】ACD

【分析】由數(shù)量積性質(zhì)可判斷A,由分配律可判斷B,由相反向量可判斷C,由向量垂直可以判斷D.

【詳解】對(duì)于A,若"=0,則不一定有d=b，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,根據(jù)分配律即可得到，B正確；

對(duì)于C,若則可能a=-6,那么C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若a上b，則有“力=0,那么就不一定有（a?。卜八體）4D錯(cuò)誤.

故選：ACD

考點(diǎn)三、模長(zhǎng)綜合計(jì)算

典例引領(lǐng)

1.(湖南,高考真題)已知向量。=(1,6)，b=(—2,0),則卜+可=.

【答案】2

【分析】由向量模的坐標(biāo)表示計(jì)算.

【詳解】a+b=(-l,73),/.|a+=7^3=2.

故答案為：2.

2.(全國(guó)?高考真題)設(shè)非零向量a,b滿(mǎn)足卜+b卜卜-貝11

A.a^bB.|《=W

C.a^bD.|a|>W

【答案】A

【詳解】由卜+4=卜—可平方得a?+2a+i>2=a?—2a-￡>+左，即a-6=0，則aJLb，故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的數(shù)量積表示，屬于基礎(chǔ)題.

3.(江蘇?高考真題)已知向量“)的夾角為120。，忖=1，忖=3,則忸-/*=.

【答案】7

【分析】將模平方.，結(jié)合數(shù)量積公式，化簡(jiǎn)計(jì)算，即可得答案.

【詳解】卜a-/?|=J5a-H=[25(a)+伍)-10a-b=^25|G|+|/?|?-10|a||/7|cosl20°

=j25+9—10xlx3x[一;)=7.

故答案為：7

4.(2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)設(shè)”,〃為單位向量，且|a+切=1,則.

【答案】73

【分析】整理已知可得：|a+6卜JL，再利用為單位向量即可求得2ae=-1，對(duì)卜-彳變形可得:

卜4M-2.力+忙，問(wèn)題得解.

【詳解】因?yàn)閍,6為單位向量，所以#=M=1

所以1/+0=J(a+6)=+2“力+忖=j2+2a-6=1

解得：2ab=—1

所以卜_2〃⑦+慟=5/3

故答案為：y/3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的計(jì)算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

5.（2021?全國(guó)?高考真題）若向量°,匕滿(mǎn)足忖=3,卜一4=5,〃/=1,則忖=.

【答案】3&

【分析】根據(jù)題目條件，利用a-h模的平方可以得出答案

【詳解】距-4=5

0pz-6|=a+h-2a-h=9+-2=25

雄=3人.

故答案為：36.

☆即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?云南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）平面向量"與1的夾角為60°,”（2,0）,仍|=1,則卜+2同等于（）

A.0B.2石C.4D.12

【答案】B

【分析】轉(zhuǎn)化為平面向的數(shù)量積可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤?（2,0）,所以|a|=2,

\a+2.=J（a+21,=7l?|2+4a-b+4\b\2=，4+4x2xlxcos60+4=2上-

故選：B

2.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿(mǎn)足|￡|=1,防|=2,。+』=（2夜,1）,則|3"+引=（）

A.2&B.715C.3&D.5

【答案】D

【分析】根據(jù)模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算可得卜+百=3,分析可得2）同向，進(jìn)而可求結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榭?彳=42忘）2+F=3,即|a+4=W+W，

則a,b同向，所以|3：+）|=3忖+舊=5.

故選：D.

3.（2023?陜西西安?交大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知忖=1,忖=2,且°與〃的夾角為,，則卜-百耳=（）

A.77B.2&C.加D.V19

【答案】A

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得歸一百目的值.

【詳解】因?yàn)閃=l，W=2,且a與6的夾角為看，

由平面向量數(shù)量積的定義可得a力=忖?Wcos色=1x2x#=6

因此,+31；-2?.b=71+3X22-2^X73=布.

故選：A.

考點(diǎn)四、夾角綜合計(jì)算

VI典例引領(lǐng)

1.（福建?高考真題）己知a，b是非零向量且滿(mǎn)足（a-24U,（b-2a）±b,則“與。的夾角是（）

【答案】B

【分析】利用兩個(gè)向量垂直，數(shù)量積等于0,得到/=/=2〃.6,代入兩個(gè)向量的夾角公式得到夾角的余

弦值，進(jìn)而得到夾角.

【詳解】Q（?-2fe）la,{b-2a]Vb

-2-2

:.a=b=2a-b

設(shè)a與〃的夾角為。,

cose帚」

耶|2

Q^e[0,司

故選:B.

八。?石rr

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解向量夾角長(zhǎng)選擇夾角公式cos。=麗，還要注意向量的夾角范圍[0,句.

2.（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知向量a=（3,l）,b=（2,2）,則cos,+仇a-b）=（）

A±口歷c百n275

171755

【答案】B

【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得口+陽(yáng)。-屏(。+今(。叫，從而利用平面向量余弦

的運(yùn)算公式即可得解.

【詳解】因?yàn)閍=(3,l),6=(2,2),所以a+A=(5,3),a-b=(l,-l),

則,+0=J52+32=后，卜_目=>/?71=&,(a+fe).(?-/?)=5xl+3x(-l)=2,

所以"+…=="平

'/卜+麗-0X/34X7217

故選:B.

3.(2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知向量a,b滿(mǎn)足|。|=5,\b\=6,ab=-6,則cos<a,a+6>=()

“31?19「17八19

A.——B.———C.—D.—

35353535

【答案】D

【分析】計(jì)算出G(4+〃)、%+4的值，利用平面向量數(shù)量積可計(jì)算出cos<a,a+b>的值.

【詳解】忖=5,|4=6,a.0=-6，.,.”?(a+b)=忖+<??/>=52-6=19.

卜+/J=J(a+b)=>la+2a-b+b-'25-2x6+36=7>

a-(a+b]1919

因此，cos<a,a+h>=廠(chǎng)口---r=-——=—.

|a|-|a+/?|5x735

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角余弦值的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算以及向量模的計(jì)算，

考查計(jì)算能力，屬于中等題.

4.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知向量〃也c滿(mǎn)足同=忖=1,k|=&,且〃+/?+心=0，則cos〈〃-c,/?-c〉=

()

4224

A.一一B.一一C.—D.—

5555

【答案】D

【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【詳解】因?yàn)閍+0+c=0,所以「+8二」，

即o'+/??+2。包=/,即1+1+2：?/?=2,所以ab=0-

如圖，設(shè)OA=a,OB="OC=c,

c

由題知,04=OB=1,OC=0,AOAB是等腰直角三角形，

A3邊上的高0。=巫,4。=受，

22

所以8=<?。+。。=&+也=逑，

22

tanZACD=—=-,cosZACD=3

CD3Vioz

cos〈。一c,人一c〉=cosNACB=cos2Z.ACD=2cos2Z.ACD-1

故選:D.

即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量滿(mǎn)足且忖=2,忖=6，則〃

與匕的夾角為.

【答案】y

0

【分析】由向量的數(shù)量積與夾角公式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)樗?/p>

(a-b^-b=(}=a-b-h

2

而門(mén)?[0,可，故.與人的夾角為:

故答案為：J

6

2.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考二模）已知平面向量4方不共線(xiàn),若|a|=l,M|=x,a$=l,則當(dāng)6,2a+6的夾角為30

時(shí)，》的值是.

【答案】2

【分析】根據(jù)平面向量夾角公式列式可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閨a|=l,|b|=x,ab=l,

所以(2。+6)2=4a2+b2+4a-b=x2+8,所以12a+《kJx?+8，

b-[2a+b)=2a-b+\b^=2+x2,

佃2*=黑1=定土冬

COS

整理得2*+4=&3『+24,得x=2（負(fù)值己舍去）.

故答案為：2.

3.（全國(guó)?高考真題）向量°、3滿(mǎn)足（。一6）-（2。+6）=-4,且|〃|=2,|切=4,則。與人夾角的余弦值等

于.

【答案】-]/—0.5

【分析】利用向量數(shù)量積公式得到（。-8＞（2。+。）=242-b2-。?。=8-16-8cos。=-4，解出即可.

【詳解】(a-b)?(2a+b)=2a?-b?-a?b

二2|a|2-|b|2—|〃||b|cose

=2-22-42-2-4-COS6^

=8-16-8cos/9

解得COS0=——.

故答案為：-;.

4.（2023?安徽亳州,蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量〃，入c滿(mǎn)足忖=1，（。圖G+b）=T,

a-b=1，c=-2b.則向量°與c的夾角（）

A.45°B.60°C.135°D.150°

【答案】C

【分析】由向量的數(shù)量積運(yùn)算公式，再應(yīng)用向量夾角公式求夾角，最后結(jié)合向量反向共線(xiàn)求出夾角即可.

【詳解】團(tuán)（〃一=,。2田__j,

明=也.國(guó)〃?二1，

國(guó)8s(叫=扁卷考，同0，兀］，則(叫弋，

設(shè)向量〃與c的夾角為dc=_2"c與人反向，則。=兀-：TT=3TT

44

故選：C.

5.(2023?遼寧?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知單位向量a,6,若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,向+目與孝恒成立，則向量a力的

夾角的取值范圍為()

【答案】A

【分析】利用平面向量數(shù)量積與模長(zhǎng)的關(guān)系結(jié)合一元二次不等式恒成立的解法計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)向量的夾角為仇因?yàn)椴穉+4》手，所以人

223'

則Ya+2xa-b+b~>-,即V+2xcos6>+-20恒成立.

44

所以△=4COS20-14O，解得一JwcosOvg,

故a,b的夾角的取值范圍是py.

故選：A.

考點(diǎn)五、垂直綜合計(jì)算

☆典例引領(lǐng)

1.(2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知向量a=(l,l),b=(l,—l),若(a+勸)_L(“+〃?,則()

A.4+"=1B.尤+〃=-1

C.那=1D.沏=-1

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出a+勸，a+2,再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出.

【詳解】因?yàn)?=(11),。=。,一1),所以々+4。=(1+41—/1),。+〃，2=(1+〃,1一〃)，

由(a+Ab)1(Q+jLibj可得，(a+20)?(a+〃〃)=0,

即(1+為(1+〃)+(_/)(1_〃)=0,整理得：加=-1.

故選：D.

2.(安徽?高考真題)設(shè)向量。=(1,0),6=。/)，則下列結(jié)論中正確的是

A.同=|司B.。必=與

C."6與a垂直D.allb

【答案】C

【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得向量的模，兩向量的數(shù)量積，向量的垂直，向量的平行，可得選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)橄蛄縜=(l,o)，6=(1/)，，所以|a|=Vi石=明=廬產(chǎn)=點(diǎn)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

因?yàn)閍/=lxl+0xl=l,選項(xiàng)B錯(cuò)誤：

因?yàn)閍-b=(0,-1),所以(a-/?).a=lx0+0x(-l)=0,所以a-b與a垂直，選項(xiàng)C正確；

因?yàn)镮xLOxlwO,所以向量4=(1,0),b=(l,l),不平行，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵在于熟知向量的模，向量的數(shù)量積，向量的平行，向量的垂直的

坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

3.(202。山東?統(tǒng)考高考真題)已知點(diǎn)4(4,3),8(-4,2),點(diǎn)尸在函數(shù))，=產(chǎn)-4》_3圖象的對(duì)稱(chēng)軸上,若己4,必，

則點(diǎn)尸的坐標(biāo)是()

A.(2,-6)或(2,1)B.(―2,-6)或(一2,1)

C.(2,6)或(2,-1)D.(-2,6)或(-2,-1)

【答案】C

【分析】由二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸設(shè)出尸點(diǎn)坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.

【詳解】由題意函數(shù)y=W-4x_3圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x=2,設(shè)P(2,y),

因?yàn)閮蒧L而,所以PAP8=(2,3-y>(-6,2-y)=-12+(3-y)(2-y)=0,解得>=6或y=-l,所以尸(2,6)

或尸(2,-1),

故選：C.

4.(2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知單位向量人的夾角為60。，則在下列向量中，與b垂直的是()

A.〃+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b

【答案】D

【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合兩平面向量垂直數(shù)量積為零這一性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】由己知可得：6fZ?=|a|-|z?|cos60?=lxlx^=^.

A：因?yàn)?a+2〃).〃=a.〃+2//=g+2xl=g=0,所以本選項(xiàng)不符合題意；

B：因?yàn)椋?々+〃）.〃=2。./?+〃=2x-+l=2^0,所以本選項(xiàng)不符合題意；

C：因?yàn)椋ā?2/7）.力=。.力-2〃2=1-2><1=-5工。，所以本選項(xiàng)不符合題意；

D：因?yàn)椋?。-6）2=2。2-/=2、3-1=0,所以本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)，考查r兩平面向量數(shù)量積為零則這兩個(gè)平面向量

互相垂直這一性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

☆即時(shí)檢測(cè)

1.（2023?山東前澤?山東省鄴城縣第一中學(xué)校考三模）已知向量。=（2,。力=（1+加,4）,且滿(mǎn)足〃則向

量〃+〃在向量〃上的投影向量為（）

A.（竽'用B.性閣C.（2,1）D.（1,2）

【答案】C

【分析】根據(jù)求出m=-3,再根據(jù)投影向量公式可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閍_Lb，所以a/=2（1+〃z）+4=0,得〃=z—3,

所以〃=（_2,4）,a+h=（0,5）,

所以向量a+方在向量a上的投影向量為里半=4?窄=（2,1）.

|a|l?lV5V5

故選：C

2.（2023?湖南?校聯(lián)考二模）（多選）已知向量。=（2,—1）,“/〃，忖=2忖，c=（l,2）,則（）

A.a±cB.|?|=|c|C.b=（4,—2）D.b—a+c

【答案】AB

【分析】A選項(xiàng)根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷；

B選項(xiàng)根據(jù)模長(zhǎng)公式計(jì)算；

C選項(xiàng)利用向量共線(xiàn)的關(guān)系結(jié)合模長(zhǎng)公式計(jì)算：

D選項(xiàng)根據(jù)向量的加法進(jìn)行判斷.

【詳解】因?yàn)樾　?（2,-1）-（1,2）=0,所以a,c，則A正確；

W=H="，則B正確；

因?yàn)閍〃b，所以設(shè)匕=船=/1（2,-1）=（2兒一/1）,因?yàn)殁?2卜|=2石，

所以42團(tuán)2+(4)2=2百,解得2=±2,所以6=(4,-2)或6=(-4,2),故C錯(cuò)誤；

a+C=(3,l)H從故D錯(cuò)誤.

故選：AB

3.(2023?廣東廣州?統(tǒng)考三模)(多選)已知向量a=(l,2),匕=(-2,1),則()

A.(。一b)J_(a+b)B.(a-b)//(a+b)

C.\a-b\=\a+b\D.〃在Q上的投影向量是〃

【答案】AC

【分析】根據(jù)4-。與〃+人的數(shù)量積為0可得A正確；根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可得B錯(cuò)誤；根據(jù)模長(zhǎng)公式

可得C正確：求出投影向量可得D錯(cuò)誤.

【詳解】因?yàn)椤?力=(3,1),a+b—(—1,3),

所以(a-/?).(〃+/?)=3x(-1)+1x3=0,(a-b)L(a+b),故A正確；

因?yàn)?x3-lx(T)=10工0,故B錯(cuò)誤;

\a-b\=y/l5,\a+b\=\[\01故C正確；

因?yàn)閎e(TT)在讓的投影向量是氣產(chǎn)崎4一，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

考點(diǎn)六、求參數(shù)值或范圍綜合計(jì)算

力典例引領(lǐng)

1.(2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知向量a=(3,l)/=(l,0),c=a+M.若a,c，貝心=.

【答案】一號(hào).

【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得向量4的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得人的值

【詳解】〃=(3,1)力=(1,。),/.C=。+妨=(3+匕1),

a_Lc,/.a?c=3(3+《)+lxl=0,解彳尋k=

故答案為：-

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量

〃=(與,X)，夕=(々，%)垂直的充分必要條件是其數(shù)量積占工2+%%=0.

2.（2023?遼寧?大連二十四中校聯(lián)考三模）已知平面向量a=（l,2）,6=（-2,l）,c=（2"）,若（a+b），c,則

t=.

【答案】I

【分析】求出。+%=（-1,3）,由垂直關(guān)系列出方程，求出答案.

【詳解】a+6=（l,2）+（-2,l）=（-l,3）,

因?yàn)椋╝+6）_Lc,所以（a+6）?c=（-l,3＞（2,f）=-2+3f=0,解得f=|.

故答案為：:

3.（2023,四川遂寧中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面向量|〃|=2,|"=1,。,6的夾角為60,卜+叫=6"eR）,

則實(shí)數(shù)，（）

1

A.—IB.1C.一D.±1

2

【答案】A

【分析】對(duì)兩邊平方，再由數(shù)量積公式計(jì)算可得答案.

【詳解】因?yàn)閗+叫=百，所以,『+2°為1+，2忖"=3,

即4+2x2xcos60，+*=3,解得/=—1.

故選：A.

4.（2023?河南?河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知忖=后,W=l,a與％的夾角為45。，求使向量

2a+2b與Aa+3b的夾角是銳角,則2的取值范圍____.

【答案】（—oo,—6）（-1,指）（6

【分析】由題意，根據(jù)向量夾角為銳角，可得其數(shù)量積大于零的不等式，且可得向量不共線(xiàn)，可得不成比

例的不等式，可得答案.

【詳角單】（2〃+/1/?）?（4a+3。）=24M+6。乃+儲(chǔ)〃力+3/忖

=4/1+6x5/2x1xcos45+22-＞/2xlxcos45+34?1=%?+7幾+6=（4+1）（丸+6）,

由向量2〃+動(dòng)與2a+3）的夾角是銳角，（4+1）（/1+6）＞。，解得％V-6或—1＜之；

22

且向量2〃+/lb與2a+36不共線(xiàn)，則彳工不，解得無(wú)。6,

Z3

所以4的取值范圍為（-8,-6上卜1,指"（＞/^,+8）.

故答案為：（~°°,Y）（—1,街）（遙,十°°）.

即時(shí)檢測(cè)

1.(2023?寧夏銀川?銀川一中?？级?已知向量a=(2cos75°,2sin75°),/,=(cos15",-sin150),且

則實(shí)數(shù)幾的值為()

A.8B.-8C.4D.-4

【答案】A

【分析】利用向量垂宜的坐標(biāo)表示，結(jié)合數(shù)量積公式，即可求解.

【詳解】因?yàn)閍m=2cos75cos15-2sin75sin15=2cos(15+75)=0,

"=2,W=L

所以(2a+b)?a-/l4=2J-；l/=8-2=0.

所以4=8.

故選：A

2.(2023?山西陽(yáng)泉?陽(yáng)泉市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè))已知向量”=(1,2)"=(-1/)，；=(機(jī),2),且(。-28)_1~

則實(shí)數(shù)機(jī)=()

A.-1B.0C.1D.任意實(shí)數(shù)

【答案】B

【分析】首先求出〃-2%的坐標(biāo)，依題意(a-2Abc=0,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.

【詳解】因?yàn)椤?(1,2),分=(-1,1),所以>2%=(l,2)-2(-l,I)=(3,0),

又：=(，”,2),且(a-2b)_Lc,所以。-24；=3m=0,解得%=0.

故選:B.

3.(2023?吉林白山?統(tǒng)考二模)己知向量。=(3,—2),b=(1?—1)，c=ma-b>若bd.c,則.

2

【答案】1/0.4

【分析】由向量線(xiàn)性運(yùn)算及垂直的坐標(biāo)表示求參數(shù)值即可.

【詳解】因?yàn)锧=(3,-2),Z?=(1,-1),所以。=棧一匕=(36一1,一26+1),

___2

因?yàn)?_Zd，所以A?c=3m—I+2機(jī)-1=0，得加=g.

2

故答案為：—

考點(diǎn)七、數(shù)量積范圍的綜合問(wèn)題

☆典例引領(lǐng)

心7...........

L（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）在43c中，AC=3,8C=4,NC=90。.P為..ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC=1,

則PA.尸8的取值范圍是（）

A.[—5,3JB.[—3,5]C.|—6,4]D.I-4,6|

【答案】D

【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（8s6,sin6）,表示出如，PB，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助

角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則C（0,0）,A（3,0）,8（0,4）,

因?yàn)槭珻=l,所以尸在以C為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)產(chǎn)(cos0,sin,0e[(),2句,

所以P4=(3-cose,-sine),PB=(-cos0,4-sin0),

所以PA-PS=(-cosx(3-cos0)+(4-sin(9)x(-sinO')

=cos20-3cos0-4sin^+sin20

=l-3cos6-4sin6

/\34

=l-5sin(6+0),其中sine=g,cos^>=-,

因?yàn)橐?4sin(，+9)41,所以一4Wl-5sin(6+0)W6,H[JPA-PB&[-A,6\：

故選：D

2.（全國(guó)?高考真題）已知一ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，貝UP4（PB+PC）的最小值

是()

-34

A.—2B.—C.—D.—1

23

【答案】B

【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以8c中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

則A(0,?B(-1,O),C(1,O),

設(shè)尸(x,y),則PA=(-x,6-y)，PB=(-l-x,-y),PC=(l-x,-y),

則P4(PB+PC)=2/_2Gy+2y2=2[—+(y—咚)?一令

-'-IX=0,y=時(shí)，取得最小值2x(-])=—1,

242

故選：B.

AB4AC

3.(福建?高考真題)已知ABLAC，|I第?=1]卜I4I=心若P點(diǎn)是..ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且"=畫(huà)+國(guó)，

則PBPC的最大值等于().

A.13B.15C.19D.21

【答案】A

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(LO),C(O,f),AP=(1,0)+4(0,1)=(1,4),

t

即尸(1,4),所以尸3=(1-1,-4),PC=(—1,r-4),因此尸

t

=1-；-4f+16