2023-2024學年河北省衡水市重點中學高二（上）第一次月考數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年河北省衡水市重點中學高二（上）第一次月考數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共9小題，共45.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知4(1,1,0),B(2,0,-1).C(-l,3,-2),則荏+尻=()

A.(4,-4,0)B.(-4,4,0)C.(-2,2,0)D.(-2,2,-2)

2.直線3x+2y-l=0的一個方向向量是

()

A.(2,-3)B.(2,3)C.(-3,2)D.(3,2)

3.已知向量胃=(6,-2,6)5=(-3,1,%).則使因/3成立的乂為()

A.-2B.3C.-3D.4

4.如圖，空間四邊形。4BC中，色？=乙而=方，厲=高點M在萬?上，且。M=2M4點N為BC中點，則

麗=()

N……

Aab+Ca+|c

/\\-2-32B--3ZL

_\c°?頡+頡一WD.|五

+123Hb~2ITC

5.兩條平行直線3%+4y-12=0與a%+8y+11=0之間的距離為

B()

ATBJC.7D.Z

6.如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-&B1GD1中，44

2AB=2,則異面直線與AD1所成角的余弦值為()

A]

Bl

ClTl

Ab

建

7.若第一象限內(nèi)的點（犯九）關(guān)于直線％+y-2=0的對稱點在直線2%+y+3=0上，則'+穎最小值是

()

A.25B.9C.17D.去

99

8.閱讀材料：空間直角坐標系。-xyz中，過點P（%o，yo，Zo）且一個法向量為五=（Q,b,c）的平面a的方程為

a（x-x0）+b（y-丫。）+c（z-Z。）=0：過點「（而,%，z。）且一個方向向量為胃=（u,vtw）（uvwQ0）的直線2

的方程為三色=口=3.利用上面的材料，解決下面的問題：己知平面a的方程為3x-5y+z-7=0,

UVW

直線，的方向向量為記=（3,1,-2）,則直線/與平面a所成角的正弦值為（）

9.下列命題中正確的是（）

A.若A,B,C,。是空間任意四點，則有而+能+而+萬？=注

B.同一日|=|4+,是五,各共線的充要條件

C.若萬，而共線，則4B//CD

D.對空間任意一點。不共線的三點4,B,C,若加=xH?+y話+z元（其中x,y,zeR）,則P,4B,C

四點共面

二、多選題（本大題共3小題，共15.0分。在每小題有多項符合題目要求）

10.已知直線kax-y+2=0,直線x—ay+2=0,則（）

A.當a=0時，兩直線的交點為（-2,2）B.直線匕恒過點（0,2）

C.若，1J.L則a=0D.若匕〃%,則a=l或a=-l

11.下列說法正確的是（）

A.直線/的方程為x—+2=0,則直線I的傾斜角a的范圍是冷方U（J片］

B,直線3x-y-l=0在y軸上的截距為1

C.如果4B<0,BC<0,那么直線4%一By-C=0不經(jīng)過第三象限

D.經(jīng)過平面內(nèi)任意相異兩點（X1，%）,（%2，、2）的直線都可以用方程（%2-xl）（y-71）-。2-yD（x-Xl）表

示

12.如圖所示的八面體的表面是由2個全等的等邊三角形和6個全等的等腰

梯形組成，設(shè)4遇=&Bi=l,AB=2,有以下四個結(jié)論：其中正確的結(jié)

論是（）

Bz

A.BC，平面以七

B.44"/平面BB2c2c

C.直線與CC2成角的余弦值為，

o

D.直線4C]與平面a4&B所成角的正弦值為?

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知直線I的一個方向向量為2=(1,-2,0)，平面a的一個法向量為元=0,3,6),且“/a,則m=.

14.已知直線(過定點4(321),且元=(1,0,1)為其一個方向向量，則點P(3,3,2)到直線(的距離為.

15.點P(-2,-1)到直線I：(1+3A)x+(1+A)y-2-4A=0(4為任意實數(shù))的距離的最大值為.

16.如圖，三個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，邊83c3上有10個不同的點P],P2,...P10,

記?nt=福?福(i=1,2,3,...,10)，則nh+m2+…+血10的值為?

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知等腰三角形4BC,底邊上兩頂點坐標為C(3,8),頂點4在直線上x+y-6=0,

(1)求BC邊垂直平分線的方程；

(2)求點4的坐標.

18.(本小題12.0分)

如圖，在底面為菱形的四棱錐E-4BCD中，BE1底面4BCC,尸為CD的中點，且48=BE=2,乙4BC=120°,

以B為坐標原點，0的方向為工軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.

(1)寫出A,B,D,E四點的坐標；

(2)求cos/瓦瓦＞

z

19.(本小題12.0分)

已知空間三點4(0,2,3),B(-2,1,6),C(l,-1,5).

(1)求以AB,4C為鄰邊的平行四邊形的面積：

(2)若向量，分別與希，而垂直，且@=3,求向量3的坐標.

20.(本小題12.0分)

如圖，在直三棱柱ABC-中，4B=BBi=2,BC=3,三棱柱4BC-4窗也1的側(cè)面積為10+2/13.

(1)求證：平面4BC1平面4BB1公；

(2)求直線CBi與平面&BC所成角的正弦值.

21.(本小題12.0分)

在平面直角坐標系中，已知射線04：y/~lx-y=0，射線。B；<3x+3y=0(x>0),過點P(l,0)作直線

分別交射線。4、OB于爾8點.

(1)當AB的中點為P時，求直線4B的方程；

(2)當線段4B的中點在直線y=上時，求直線AB的方程.

22.(本小題12.0分)

如圖，在三棱柱ABC—4B1G中，底面是邊長為2的等邊三角形，CG=2,D,E分別是線段AC,CG的中

點，G在平面4BC內(nèi)的射影為D.

(1)求證：41cl平面BDE；

(2)若點尸為棱為G的中點，求點尸到平面BDE的距離；

(3)若點尸為線段BiG上的動點(不包括端點)，求銳二面角F-BD-E的余弦值的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4(1,1,0)，B(2,0,-l),C(-13-2),則而=(1,_1,T),BC=(-3,3,-1);

故而+亙？=(-2,2,-2).

故選：D.

直接利用向量的坐標運算求出結(jié)果.

本題考查的知識要點：向量的坐標運算，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了直線的方向向量，屬于基礎(chǔ)題.

先根據(jù)直線方程得直線的斜率，再根據(jù)斜率可得直線的方向向量.

【解答】

3

解：依題意，直線3x+2y-l=0的斜率為1=2-

???則直線3x+2y-1=0的一個方向向量為(2,-3),

故選：A.

3.【答案】C

【解析】解：當日〃方時，則存在唯一的實數(shù);I使得3=4肉

—3=64(_1

即1=—2/1,解得『二一5,

.%=6A廢=-3

所以使2〃另成立的x為-3.

故選：C.

由向量共線的充要條件結(jié)合向量的坐標運算即可求解.

本題考查向量共線的充要條件以及向量的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本題考點是空間向量基本定理，考查了向量的線性運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形

把所研究的向量用三個基向量表示出來，屬于基礎(chǔ)題.

A

B

由題意，把瓦?，0B，前三個向量看作是基向量，由圖形根據(jù)向量的線性運算，將而用三個基向量表示出

來，即可得到答案.

【解答】

解：由題意

M/V=AM+AB+B/V

1_,_,_,1__,

=耳0A+0B—0A+2BC

2_>_,1_,1_>

=——0A+0B+—0C——0B

211

=-^OA+^OB+^OC

又。4=a>OB=b<OC=c

—,2_1_1_

???MN=-ga+,b+2c

故選8.

5.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查兩條平行直線之間的距離公式的運用，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

先將兩條平行直線的系數(shù)化成對應(yīng)相等，再利用距離公式，即可求得結(jié)論.

【解答】

解：由題意，直線3x+4y-12=0與ax+8y+11=0,

所以*音，解得a=6,

直線3%+4y—12=0可化為6%+8y—24=0,

???兩條平行直線之間的距離為畀望=9

V36+642

故選。.

6.【答案】D

【解析】解：連結(jié)BQ,因為C10J/4B且/A=4B,

所以四邊形SBCWi是平行四邊形，故8Ci〃4Ci，

所以乙41BG就是異面直線與AD1所成的角或其補角,

連結(jié)A1G，由4B=1,AAt=2,

則力iG—y/~2,ArB—BC1—V-5，

所以C0SN4BG=2X%XM=r

故異面直線與4名所成角的余弦值為"

故選：D.

連結(jié)BG，利用棱柱的幾何性質(zhì)得到BG〃/，從而得到乙41BG就是異面直線4B與AD1所成的角或其補角,

三角形中利用余弦定理分析求解即可.

本題考查了空間角的求解，涉及了兩條異面直線所成角的求解，解題的關(guān)鍵是尋找平行線，找到兩條異面

直線所成的角，屬于中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：設(shè)點(科九)關(guān)于直線%+丫一2=0的對稱點(見6)在直線2%+)/+3=0上，

m+a.n+b

-+--2o=n0

2Q+b+3=0,

n-b4

---=1

m-a

整理得TH+2幾=9,

所以5+5=30+2n)4+令=*17+賓+沿號(17+8)=年

當且僅當n=2m且m+2n=9,即m=看，n=:時取等號.

故選：8.

由已知結(jié)合點關(guān)于直線的對稱性可得m+2n=9,然后結(jié)合乘1法及基本不等式即可求解.

本題主要考查了點關(guān)于直線的對稱性，還考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：?.?平面a的方程為3x-5y+z-7=0,

???平面a的法向量可取記=(3,-5,1),

直線，的方向向量為記=(3,1,-2),則直線，與平面a所成角的大小為。，

sin。=|cos<^，元>|=晶=禁?

故選：A.

由平面a的方程為3x-5y+z-7=0,求出平面法向量，再確定角的正弦值.

本題主要考查利用空間向量求直線和平面的夾角，屬于基礎(chǔ)題型.

9.【答案】A

【解析】解：根據(jù)向量加法三角形法則可知4對；

若日、京司向共線則不滿足|五||石|=|己+3|，可知B錯；

若前，而共線，則ZB〃CD或重合，可知C錯；

對空間任意一點P與不共線的三點4、B、C,若而=xOA+y'OB+zOC(x,y,z€R),當x+y+z=1時P、

人B、C四點共面，可知。錯.

故選：4.

根據(jù)向量加法三角形法則可判斷4；根據(jù)向量模的定義可判斷B：根據(jù)向量共線可判斷C；通過x+y+z與1

的關(guān)系可判斷D.

本題考查的知識要點：向量的共線，向量的模，四點共面，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中

檔題.

10.【答案】ABC

【解析】解：力中，a=0時，直線及的方程為：y=2,直線"的方程為：x=-2,

可知兩條直線的交點坐標為(-2,2),所以A正確；

B中，直線。恒過(0,2),所以B正確；

C中，若卜1，2，則ax1+(—1)-(—a)=0,可得a=0,所以C正確：

。中，若?！á賱t一a?=—1,且—2片—2a,此時a€0,所以。不正確.

故選：ABC.

力中，a=0時，求出兩條直線的方程，可得交點坐標，判斷A的真假；B中直線可得恒過的定點的坐標，判

斷B的真假；C,。中，由兩條直線垂直，平行，可得參數(shù)的關(guān)系，求出a的值，判斷C,。的真假.

本題考查直線的交點坐標的求法及直線平行，垂直滿足的條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】CD

【解析】解：對2：直線[的方程為％—ysin。+2=0,當s仇。=0時，

直線方程為x=-2,傾斜角a=p

當s譏。力0時，直線方程化為y=工％+芻，斜率k=上，

,sin。sm0sm8

因為sin。6[-1,0)U(0,1],

所以々G(—oo,-l]u[1,+oo),即tanaW(-00,-1]u[l,+oo),

又因為ae[O,；r),所以ae[羽)u(1曲,

綜上可得ae6,為故A錯誤；

對于將％=0代入直線方程3%—y—1=0,可得—y—l=0,解得y=—l,故8錯誤;

對于C,由4%-By-C=0可得，y=《x-。，

DD

所以直線的斜率4<0,縱截距一5>0,

所以直線經(jīng)過一、二、四象限，故C正確；

對。：經(jīng)過任意兩個不同的點POi，yi）,（2。2，乃）的直線，

當斜率等于o時，%=%，%二%2,方程為y=%，能用方程。2-xi）,（y-%）=（為一%）,（%一4）表示；

當斜率不存在時，%i=%2?yiw丫2，方程為％=與，能用方程（不一與）,（y一yi）=仇-yi）,（%-/）表

示；

當斜率不為0且斜率存在時，直線方程為號?=三2也能用此方程表示，故。正確.

Z2x2X1

故選：CD.

對于4,結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解；對于8,結(jié)合截距的定義，即可求解；對于C,結(jié)合

一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；對于。，結(jié)合兩點式方程，并分類討論，即可求解.

本題主要考查直線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：對于4如圖所示，連接乙&，取BC中點。，取BiQ中點E.連接&E,AD,DE.

由等邊三角形的性質(zhì)得BC_L4D,由等腰梯形的性質(zhì)得BCJ.DE.又ADnDE=D,AD,DEu平面ADE4,

所以8c1平面4DE4.

所以BC_LA4i,同理BCJ.442，Y.AA1CtAA2=A,AAt,AA2c^AAyA2,

所以BC_L平面44送2,所以該選項正確；

B/

對于B,首先計算等腰梯形的高=Jp-（|）2=￡5,再計算幾何體ABC-AiBiG的高.

1

111

22

取AB中點。，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)。1是AAiBiCi的中心，外是AABC的中心.

過久作41G1AD,過E作EH14。?OH=。2。一。2“=?一gx?=?.

HE=](?)_(率)=苧.所以幾何體4BC-的高為?.

所以4(—1,0,0),44(一；，4^，4^)，3(1,0,0),。(0,，'^,-

ZO□ZOD

所以標=G，?,?),配=(—l,q,0),甌=(4？,_爭，

ZO□ZO□

m-BC=—/=0

設(shè)平面BB2c2。的法向量為記=(%i，%，Zi),則沆.時=一；Xi+?yi-?Zi=0'

???沆=(/3,1,-3)

所以沆?磯=；XC+?X1+?X(—?)=?NO,

所以44"/平面BB2c?C,

所以該選項不正確;

B2

對于C,由題得C2(0,|C,—?)，.??南=(0,—?,?>

對于D,由題得6(0,|q,?)，.?.砧*=0,?,0),荏=(2,0,0)，

西=（小，？，-？）?

（n-AB=2X=0

設(shè)平面4/2828的法向量為日=。2，丫2*2），則｛____>21<3>T6

n?BB2=-2%2+~y2-~Z2=0

Am=（0,2。,1）,

|2xQx爭學?所以該選項正確.

所以直線4的與平面4424B所成角的正弦值為

J"+卜8+1

故選：ACD.

對于A如圖所示，連接取BC中點0,取BiG中點E.連接&E,AD,DE,證明BCJ.441，BC1AA2,

即可判斷；對于8,C,D,取4B中點。，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)01是AAiBiCi的中心，02是4ABC

的中心.過&作為G1AD,過E作EH14D,再利用向量法計算即可判斷得解.

本題主要考查利用空間向量求角和線面的位置關(guān)系，屬于中檔題.

13.【答案】6

【解析】解：???直線I的一個方向向量為Z=（1,—2,0），

平而儀的一個法向量為運=（m,3,6）,且1〃a,

Am-d=m—6=0，

解得zn=6.

故答案為：6.

由線面平行得到沅4=0,由此能求出結(jié)果.

本題考查實數(shù)值的求法，涉及到線面平行、向量垂直等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力等核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)

題.

14.【答案】?

【解析】解:設(shè)五=AP=（0,1,i）＞日=備=（好，。苧）,

則方?u—￥，

則點P到直線I的距離d=J片一0.諭2=J2-（與）2=?.

故答案為：

利用空間中的點到直線的距離公式，即可求解.

本題主要考查空間中的點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】V13

【解析】解：???直線心(1+3A)x+(1+A)y-2-4A=0,

???可將直線方程變形為x+y-2+(3x4-y-4)2=0,

fx+y-2=0

"(3x+y-4=(T

解得x=1,y=1,

由此可得直線系橫過點4(1,1)

則P到直線1的最近距離為4此時直線過P.

P到直線/的最遠距離為|PA|,\PA\=J(1+2尸+(1+1)2=y/~i3.

故答案為：V13.

將直線方程變形為％+y-2+(3x+y-4》=0,得直線系恒過點4(1,1),由此得到P到直線，的最遠距離

為伊川，此時直線垂直于PA,即可求出直線方程.

本題主要考查經(jīng)過定點的直線，兩直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】180

【解析】解：以4為坐標原點，4cl所在直線為x軸建

立

直角坐標系，

可得B2(3,C),%(5,，3),C3(6,0),

直線B3c3的方程為y=-<3(x-6)，

可設(shè)Pi(X"%),可得，可刈+%=6y/~3<

即有-AB2-AP；-3xj+

=y/~3(y/~3Xi+=18>

則wi]+m2+…+m10=18x10=180.

故答案為:180.

以4為坐標原點，AC1所在直線為x軸建立直角坐標系，可得82(3,，石)，B3(5,y/~3),C3(6,0),求出直線B3c3

的方程，可設(shè)8(々,%)，可得「勺+%=6q，運用向量的數(shù)量積的坐標表示，計算即可得到所求和.

本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示，注意運用直線方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題.

17.【答案】解:(l)%c=U=2,且BC的中點M(2,6),

所以BC邊的垂直平分線的斜率為-；，

且經(jīng)過點M(2,6),所求方程為y-6=整理得x+2y-14=0.

(2)由題可得，等腰三角形力BC的頂點在BC邊的垂直平分線x+2y-14=0±,

且在直線x+y-6=0上，聯(lián)立得x=-2,y=8,即4(—2,8).

【解析】(1)根據(jù)中垂線過線段的中點且與線段垂直求解；

(2)聯(lián)立點4所在的兩條直線方程可求解.

本題主要考查直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)由題意，可得ABC。為正三角形,

vAB=2,BF=

以8為坐標原點，分別以B4BF,BE所在的直線為x、y、z軸建立的空間直角坐標系,

可得做2,0,0),8(0,0,0),D(l,<3,0),￡(0,0,2);

(2)由(1)可得四=(-2,0,0),DF=(一1,一，^,2)，

麗?說_2_/_2

cos{AB,DE)=

\AB\\DE\-2x212—~

【解析】(1)根據(jù)△BCD為正三角形，由4B=2,結(jié)合空間直角坐標系中坐標的寫法，即可求解;

(2)利用空間向量的夾角公式，即可求解.

本題考查空間向量點的坐標的求法，考查空間向量的坐標運算，是基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：⑴因為空間三點4(0,2,3),8(-2,1,6),C(l,-1,5),

所以近=(-2,-1,3)，AC=(1,-3,2).BC=(3,-2,-1).

因為|荏|=|前|=|就|=y/~14,

所以△ABC為等邊三角形，

故以向量而，而為鄰邊的平行四邊形的面積S=?x(Q4)2=

(2)設(shè)2=Q,y,z),由已知中向量日分別與向量彳瓦而垂直，且|4|=C，

—2x—y+3z=0

%-3y+2z=0,

2_|_y2_|_2_3

(Xz

解得％=y=z=±1,

五=(1,L1)或日=(-1,一1,一1).

【解析】（1）由已知中空間三點4（0,2,3）,5（-2,1,6）,C（l,一1,5）,我們分別求出向量荏，AC，前的坐標,

進而根據(jù)它們?nèi)齻€的模相等，判斷出三角形ABC為等邊三角形，進而得到以向量荏,而為鄰邊的平行四邊

形的面積S；

（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，易得向量方分別與向量荏，而;垂直，且|中=O）設(shè)出向量&的坐標，進而構(gòu)造方程組，

解方程組即可求出向量a的坐標.

本題考查平面向量的坐標運算和三角形的面積公式，屬于中檔題.

20.【答案】解：（1）證明：依題意，（2+3+4C）x2=10+2C5,4C=C^，

所以AB?+BC2=4。2,所以4B1BC,

根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知SB1，平面ABC,

而平面所以

AB,BCuABC,BBilZB,BB11BC,

由此以B為原點建立如圖所示空間直角坐標系，

則4(2,0,2),C(0,3,0),設(shè)平面4BC的法向量為元=(x,y,z),

則1n空12x+2z°,令％=],則y=°,z=-1,故可得元=(1,0,—1).

tn-BC=3y=0

平面ABBMi的一個法向量是沆=(0,1,0),

由于記,元=0,所以記1元，

所以平面&BC1平面

(2)由(1)得平面4BC的法向量元=(1,0,-1).

(0,0,2),C(0,3,0),B^=(03-2)，

設(shè)直線CH1與平面&BC所成角為仇

瓦?五,_2_

則sin。=|瓦①|(zhì)宿?一口^義0~13

【解析】(1)建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面&BC1平面4BB1公；

(2)利用向量法求得直線C/與平面&BC所成角的正弦值.

本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，屬中檔題.

X

21.【答案】解：⑴設(shè)AQi，，"就!),B(X2>~'^2)-

???線段AB的中點為P(1,O)時，.?.丹強=1,口工廣苧管二0,

Z2

pi-|

解得(

92=2

.AG、

,??4(5丁),

二直線4B的方程為y—0=—1),化為+y—=0.

2-1

(2)設(shè)4Qi，B(X2,-^X2)-

線段4B的中點為“(空，01芻2)在直線y=上，

.0「等2=G化為叼=X2.

232

又直線48過點P(l,0),

%]-%2=1?

??,直線48的方程為％=1.

【解析】(1)設(shè)4(X1，，百XI)，B(X2，-孕不).由于線段4B的中點為P(l,0)時，利用中點坐標公式可得空=1,

0點2=0,解出再利用點斜式即可得出.

(2))設(shè)4Qi，，豆》]),8熾2，-?#2)?由于線段4B的中點為M(9尹，0>石2)在直線y=?”上，代入可

得與=&.又直線48過點P(l,0),即可得出直線方程.

本題考查了直線的方程、中點坐標公式、待定系數(shù)法求直線的方程，考查了推理能力與計算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

22.【答案】證明：(1)法一：連結(jié)AG，???△ABC為等邊三角