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文檔簡介
2020級高三校際聯(lián)合考試
數(shù)學(xué)試題
一、單項選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題
目要求的。
1.若復(fù)數(shù)z=2-,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為()
1-i
A.(1,-1)B.(-1,1)C.(1,1)D.(-1,-1)
2.已知集合4=卜,<4},B={x|(x-4)(x-l)<0},則他A)c3=()
A.{鄧<x<2}B.{x[2<x<4}C.1%|2<%<4|D.{x|x<2或xN4}
3.不等式七」<2的解集為()
x—5
A.{x|x>ll或x<5}B.{x[5cx<11}C.{x|-l<x<5}D.
人們設(shè)計了一種由外圍四個大小相等的半圓和中間正方形所構(gòu)成的窗花(如圖1).已知正方形ABC。的邊長
為2,中心為。,四個半圓的圓心均在正方形A8CQ各邊的中點(如圖2),若點P在四個半圓的圓弧上運動,
則A80P的取值范圍是()
C.[3"30]D.[-4,4]
6.“數(shù)列{&}為等比數(shù)列”是“數(shù)列{lg|a,J}為等差數(shù)列”的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
7.正項數(shù)列{?!埃校??!?|=必”(%為常數(shù)),若%)21+。2022+%023=3,貝UGo21+^022+W)23
的取值范圍是()
A.[3,9)B.[3,9]C.[3,15)D.[3,15]
8.已知平面向量d",3滿足d'Z?,且同=忖=4,卜+8—c|=2,則,一日+21一d的最小值為()
A.4>/5B.2歷C.275D.V17
二、多項選擇題:本大題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要
求的,全部選對得5分,選對但不全的得2分,有選錯的得0分。
9.已知等差數(shù)列{4}的前"項和為S",若“2=3,S2=7,則()
A.an=5-n
B.若+Q〃=,則—l---的最小值為—
mn12
C.5〃取最大值時,鹿=4或〃=5
D.若S〃>0,〃的最大值為8
10.函數(shù)/(x)=3sin(5+o)(69>0,0<o<?)的部分圖象如圖所示,則(
5*
A./(x)=3sin2x+
B./(x)圖象的一條對稱軸方程是x=-二
8
keZ
D.函數(shù)y=/是偶函數(shù)
11.若a=,b=ln,。=",則()
1011
A.a>bB.a<cC.b<cD.a>c
12.已知定義在R上的函數(shù)滿足〃x)=〃8—x)+〃4),又/(x+?)的圖象關(guān)于點(一兀
試題
,0)對稱,且/(1)=2022,則()
A.函數(shù)/(x)的一個周期為16B.7(2023)=-2022
C./(x)的圖象關(guān)于直線尸12對稱D.42x7)+萬的圖象關(guān)于點弓,乃)對稱
三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分。
13.若0<6<一,sin6==,則sin20+cos?8=.
25
14.設(shè)a,〃為兩不相等的實數(shù),若二次函數(shù)/(%)=/+狽+方滿足/(。)=/3),則/(2)的值為.
15.已知函數(shù)={,其中機》一1.若存在實數(shù)兒使得關(guān)于X的方程/(x)=8
有兩個不同的實數(shù)根,則實數(shù),”的取值范圍是.
16.對任意閉區(qū)間/,用也,表示函數(shù)y=cosx在/上的最小值.若正數(shù)a滿足皿0團(tuán)=修“.2寸則正數(shù)a的
取值范圍為.
四、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
17.(10分)
在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為小h,c,點。滿足3BO=6C,且AO-AC=0.
(1)若b=c,求A的值;
(2)求B的最大值.
18.(12分).
已知等差數(shù)列{4},分別從下表第一、二、三行中各取一一個數(shù),依次作為G,42,a4,且m,44中任何
兩個數(shù)都不在同一列.公比大于1的等比數(shù)列{d}的前三項恰為數(shù)列{《,}前5項中的三個項.
第一列第二列第三列
第一行802
第二行743
第三行9124
(1)求數(shù)列{為},{〃}的通項公式;
(2)設(shè)%="也,求數(shù)列{5}的前”項和
4+4+2
19.(12分)
試題
設(shè)函數(shù)〃》)=[辦2—(3a+2)x+3a+4]e,.
(1)若曲線y=/(x)在點(2,/(2))處的切線斜率為0,求實數(shù)a的值;
(2)若y=/(x)在x=l處取得極小值,求實數(shù)a的取值范圍.
20.(12分)
已知數(shù)列{玉}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且玉+々=3,X3-X2=2.
(1)求數(shù)列{玉}的通項公式;.
(2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系X。),中,依次連接1),8(%,2),……,P?+i(xn+l,n+l),得到折線
《鳥,……2+i,求由該折線與直線y=0,X=M,x=x“+i所圍成的區(qū)域的面積
21.(12分)
如圖,某公園擬劃出一塊平行四邊形區(qū)域ABCD進(jìn)行改造,在此區(qū)域中,將NDC2和/D4B為圓心角的兩個
扇形區(qū)域改造為活動區(qū)域,其他區(qū)域進(jìn)行綠化,且這兩個扇形的圓弧均與8。相切.
(1)若AZ)=40,AB=30,BD=10V37(長度單位:米),求活動區(qū)域的面積;
3
(2)若扇形的半徑為10米,圓心角為2萬,則N8OA多大時,平行四邊形區(qū)域ABC。面積最小?
4
22.(12分)
己知函數(shù)+(a+i)x+alnx,aeR.
(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知關(guān)于X的方程-6a=0有兩個解芯,X2(玉<龍2),
(I)求實數(shù)a的取值范圍;
(H)若4為正實數(shù),當(dāng)$=/1(看+%2)時,都有了'(s)>0,求丸的取值范圍.
試題
高三
2022年高三校際聯(lián)合考試
數(shù)學(xué)試題答案
一、單項選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題
目要求的。
1-4BCAC5-8DAAB
1.【答案】B,解析:z=^=^4^^=i(l+i)=—1+i,
1-i(l-i)(l+i)1)
因此,復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為(-1,1).故選B.
2.【答案】C,解析:
因為A={,2"<4}=1x|x<2},B=4)(x-l)<o|=|x|lvx<4},
所以&A)c8=1x|x>2}c{x|l<%v4}=何2<x<4}.故選C.
3.【答案】A,解析:因為土生<2,--2<0,曰'>(),所以不等式皿<2的解集為
x—5X-5x~5x—5
|x|x>11或尤<5}.故選A.
4.【答案】C,解析:記/(x)=(l-y^}cos[]+x)=|7^?(一sinx)=^|^sinx,
貝iJ/(r)=^^?sin(-x)=-|^,sinx=^|^sinx=/(x),
因此函數(shù)了=1—鼻71cos是偶函數(shù),故排除AB;
1-1_V
當(dāng)0<x<萬時,-----<0,sinx>0,因此〃x)=--------sinx<0,排除D;故選C.
5.【答案】D,解析:AB-OP=\AB^OP\cos^AB,OP),即網(wǎng)與OP在向量AB方向上的投影的積.由圖
2知,。點在直線AB上的射影是AB中點,由于48=2,圓弧直徑是2,半徑為1,所以O(shè)P向量A3方向上
的投影的最大值是2,最小值是一2,因此A8-0P的最大值是2X2=4,最小值是2X(-2)=—4,因此其
取值范圍為[—4,4],故選D.
6.【答案】A,解析:
解析:數(shù)列{%}為等比數(shù)列,設(shè)其公比為q,則{㈤}也為等比數(shù)列,且㈤>0,
試題
高三
所以3|%+||一3|4|=館皆^
=lg|同,所以,{1g同}為等差數(shù)列,反之,若數(shù)列{愴⑷}為等差數(shù)列,例如
1,1<H<10,
則㈤=11g㈤=°,
滿足數(shù)列{lg|a,J}為等差數(shù)列,但推不出“數(shù)列{《,}為等比數(shù)列”(明正負(fù)隨取構(gòu)不成等比數(shù)列).所以,“數(shù)
列{4}為等比數(shù)列”是“數(shù)列{愴何4}為等差數(shù)列”的充分不必要條件.故選A.
7.【答案】A解析:因為a,02i+“20”+2023=3,所以外1+生儂+%氏儂=3,
k
]
=
令/=—F攵(,之2),化簡可得Q;o2i+022+@0239(廣T)
k。;百
=91一;|^)(后2),所以/(r)e[3,9).故選A.
令〃吟(~)百
8.【答案】B,解析:設(shè)O4=a=(4,0),。8=匕=(0,4),則a+b=(4,4),卜+8一4=2,
即C在以。(4,4)為圓心,2為半徑的圓上,如圖,取E(4,3),則CZ)=2OE=2,AO=2CZ)=4,所以有
△ZMC-ADCE,所以AC=2CE,又因為1―C?卜忸q,忖―4=,斗
所以,一d+2}一,=國卜2的=2回+2忸牛23后=2717.
二、多項選擇題:本大題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要
求的,全部選對得5分,選對但不全的得2分,有選錯的得0分。
9.ACD10.BD11.AD12.ACD
a=4
9.【答案】ACD【解答】由題意得。1=4,〃2=3,可得《?,
則等差數(shù)列{q}的通項公式為4=5-〃,則選項A判斷正確;
試題
高三
若+。〃=g+%0,則加+幾=2+10=12
116(116)m+n_11Gin心7+8)*
則nl一+——=—+——x17+—+
mnymn12~12mn
iojo
(當(dāng)且僅當(dāng)m=匕,〃=竺時等號成立)
55
又m,〃eZ,則的最小值不是竺.則選項B判斷錯誤;
mn12
等差數(shù)列{〃“}中,4]=4>生=3>〃3=2>%=1>。5=0>。6=—1>…
則等差數(shù)列{4}的前〃項和S“取到最大值時,〃=4或〃=5.則選項C正確;
(4+5—n)〃(9一〃)
S=---------^二」——^>0,得0<〃<9則選項D判斷正確故選:ACD
H22
10.【答案】BD【解答】解:由函數(shù)/(x)=3sin3x+p)的圖象知,=,71=;乃,所以7-71\
71/口3萬
即二二〃,解得①=2,所以/(x)=3sin(2x+°),由五點對應(yīng)法,得2x+(p=—,解得夕=彳
CD
所以/(X)=3sin12x+今
,選項A錯誤.
當(dāng)》=—巨[1寸,2x+—=I,所以/(x)的一條對稱軸方程是x=-言,選項B正確.
84
37r137r
令2x+2—=k兀,左£Z,解得x=—攵?一2—,kGZ,
428
所以/(X)的對稱中心是B版■-三,°
,%GZ,選項C錯誤.
.f?7萬3萬3sin(2x+^
y=fX+3Qsin2.xH----1---=3cos2x,
[TI44
是定義域R上的偶函數(shù),所以選項D正確.
1?
11.【答案】AD【解答】a=e°」=e記,令〃x)=/
,令g(x)=l+ln(l+,),
/?=l+ln|1+—c=l+---,令〃(尤)=1+」一
I101+10')1+工
當(dāng)了>0時,ex>-+l>lnfl+-1+1>1---4+1=--——nl.所以取x=10,a>b>c.
xXJx+1
X
試題
高三
12.【答案】ACD【詳解】由〃x)=/.(8-x)+/(4),令x=4,得〃4)=〃8-4)+〃4),/(4)=0,
所以〃x)=/(8-x),“X)關(guān)于直線x=4對稱.由于"x+不)的圖象關(guān)于點(一肛0)對稱,
所以/(x)的圖象關(guān)于(0,0)對稱,所以〃x)是奇函數(shù).
所以〃%+16)=/(8-(-8-力)=〃-8-力-8)=-/(8-(-力)=-/(-%)=/(力,
所以“X)的周期為16,A選項正確.
/(2023)=/(126xl6+7)=/⑺=*1)=2022,B選項不正確.
結(jié)合上述分析可知,/(X)的圖象關(guān)于直線x=4+8Z(ACZ)對稱,故C選項正確;
f(x)關(guān)于點(8k,0)(Jtez)對稱,
所以/(2x—1)關(guān)于點(亭Lo)(kez)對稱,
所以“2x-l)+〃關(guān)于點(與二萬)(k£Z)對稱,
令k=0,得f(2x—1)+乃關(guān)于點萬)對稱,D選項正確.故選:ACD
三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分。
13.-14.415.[-1,2)16.<aa=〃或卜
13.【答案】-【詳解】因為0<。<上,sin0=3,
525
4
由sirre+cos-8=1,得cos。=一,
5
sin2^+cos2^=2sin^cos^+cos2故答案為:一.
55
14.【答案】4【詳解】由己知條件及二次函數(shù)圖像的軸對稱性,可得"4=一色,即2。+。=0,所以
22
〃2)=4+2a+0=4.
15.【答案】[一1,2)解析:當(dāng)一2<啟機時,〃x)=log4(x+2)是增函數(shù);
當(dāng)X〉加時,"%)=2*-3也是增函數(shù),所以當(dāng)點(〃?,log4(m+2))在點(肛2"'-3)上方時,存在實數(shù)6,
使直線尸匕與曲線>=/(%)有兩個交點,即存在實數(shù)從使得關(guān)于x的方程/。)=匕
試題
w
有兩個不同的實數(shù)根,所以log4(^+2)>2-3即log4(m+2)>—2"'+3>0,令
g(x)=log4(x+2)-2'+3.x>-l.
所以,3=^^一2/2'
因為當(dāng)xN-l,函數(shù)~寸:單調(diào)遞減,函數(shù)y=2'單調(diào)遞增,
(x+2)ln4
所以當(dāng)xN—1時,g'(x)=7—\-----21n2單調(diào)遞減,
(x+2)ln4
,.1in21―(ln2)~,/、1
又=-----------_L>o,g12=-----------41n2<0,
1721n2221n2\'8In2
所以存在而e(-1,2),使得g'(xo)=0,
所以當(dāng)xe(-l,x()),g'(x)>。,g(x)單調(diào)遞增:當(dāng)xe(Xo,+8),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
因為g(-l)=log41-g+3>0,g(2)=log44-4+3=0,所以當(dāng)xe[-l,2)時,g(x)>0,
故機的取值范圍是[一1,2),故答案為:[一1,2)
37r
16.【答案】<aa=7T^a>^-
【解析】①當(dāng)0<a《W?時,0<2aW%,y=cosx為在[0,2a]上為減函數(shù),所以%)句=cosa,
Mya2<7J=cos2a,得cosa=l或cosa=-;,不合題意;
當(dāng)萬<a<)時,有冗<2a32兀,妁()㈤=8§。,M^a=-1,得。=4;
3萬
當(dāng)乃<a<多時,有2萬<2a<3萬,叫00=-1,M[a2a]>—1,不合題意;
3?
當(dāng)%時,有3萬<20〈4萬,妁0句=—L修幺2句=一1,適合題意;
當(dāng)a22乃時,[a,2al的區(qū)間長度不小于2〃,故加口句二
-1,M[a2a]=-lf適合題意?綜上正數(shù)a的取值
*3〃
范圍為4aa=7t或a>——
2
四、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
試題
高三
17.解:(1)因為4£).AC=0,所以(A8+gBC〉A(chǔ)C=0,即(gAB+gAC〉A(chǔ)C=O,
(21、21?1
所以-AB+-AC\-AC=-ABAC+-ACAC^-bccosA+-b2=0,
U3J3333
因為b=c,所以cosA=-,,
2
27r
因為0<A<?,所以A=—.
3
(21A21?1
(2)因為AO-AC=-AB+-AC\-AC=-AB-AC+-AC-AC=-bccosA+-b2=0
(3313333
:+9=0
由余弦定理得,一bccosA+一82=—Z?c————-
3332bc
EP2b2+c2-a2=0,
222之
22a-Ca3c
a2+c2-h2a+C廠
cosBD=---------=-------------萬+1G
laclac2ac2
2Q2
當(dāng)且僅當(dāng)幺=上時,即Q=A時,取等號.
22
IT
因為0<B<?,所以B的最大值為土.
6
18.解:⑴由題意可知,{4}滿足q=0,4=3,4=9,
則公差4=出一q=3,所以數(shù)歹iJ{a“}的通項公式為q=3(〃-1)=3〃-3;
{4}的前5項為0,3,6,9,12,所以數(shù)列{2}的前三項為3,6,12,
h
所以公比彳=也=2,hn=3-2'-'.
4
ab_(3n-3)x3-2n-1_2"
⑵c.nn
an^\an+23〃(3〃+3)〃+1n
2°)22212322}2〃2〃T、
++++
II132(43)〃+1n)〃+1
7\
2"
所以數(shù)列{%}的前"項和7;=UJ-1.
19.解:⑴
試題
因為/(6=[加-(3a+2)x+3a+4]e*,所以廣(x)=[加一(a+2)x+2]e”,
因為曲線y=/(x)在點(2,/(2))處的切線斜率為0,所以/'(2)=(4a-加一4+2"=0,
解得。=1;
(2)/1X)=[#—(a+2)x+2jeJt=(x—l)(ar—2)ex?
①若a=0,則Kl時,r(x)>o,〃X)單調(diào)遞增:x>l時,r(x)<o,/(X)單調(diào)遞減,故在x=l處/(X)
取得極大值,不符合題意;
②若.=2,貝ur(x)=2(x—Ipe'NO,/(x)單調(diào)遞增,無極值,不符合題意;
2
③右〃>2,則一<1,
a
o9
當(dāng)或工>1時,/(x)>0;當(dāng)一VX<1時,/(x)<0,
aQ
故/(X)在E,l)單調(diào)遞減;在(1,+8),,oo[)單調(diào)遞增,
可得/(X)在X=1處取得極小值,符合題意;
2
④若032,則一>1,
a
72
當(dāng)X<1或尤〉士時,/,(x)>0;當(dāng)1<X<£時,_f(x)<0,
故/(x)在卜,力單調(diào)遞減;在(-00,1)單調(diào)遞增,
可得/(x)在x=l處取得極大值,不符合題意;
2
⑤若〃<0,則一<1,
a
79
當(dāng)或X>1時,f(x)<0;當(dāng)一VX<1時,/(力>0,
aa
故/(X)在(j,1)單調(diào)遞增;在(1,+8),(一00,單調(diào)遞減,
可得/(X)在X=1處取得極大值,不符合題意;
綜上可得,〃的范圍是(2,+8)
20.解:⑴設(shè)數(shù)列{1}的公比為q,由己知q>0.
試題
由題意得]玉:,所以3/_5q_2=0,
%q—x^q=2
因為q>0,所以q=2,制=1,
因此數(shù)列{%,,}的通項公式為4=2'"'.
(2)過Pi,P2,……,尸”+I分別向x軸作垂線,垂足分別為。,。2,……,4+1,
由(I)得當(dāng)=2"T
記梯形6?+QMQ”的面積為即
由題意b?=("+,)x2"-'=(2n+l)x2"2,
所以7;=4+仇+%++b?
=3x2-l+5x2°+7x21++(2n-1)x2"-3+(2n-1)x2"-2?
又27;=3x2°+5x2i+7x22++(2n-1)xT-2+(2n-1)x2Z"1@
①一②得—7;=3x2-i+Qi+2?++-(2〃+1)x2n-1
3
=—+-(2〃+1)X2"T
21-2
,(2n-l)x2n+l
所以——g-----
4力2_i_AH/)2402+302-100x37_1
21.解:(1)在△ABO中,由余弦定理,cosA=—~
2ADAB2x40x30~~2
故A=2萬,
3
BDAD故sinNA8O=42sin2;r=婆,所以扇形的半徑
又由正弦定理有
sin120°sinZABDBD3y/37
r=ABsinZABD=3Q-^=^^-,故活動區(qū)域的面積
V37V37
2
I7200乃
S'=2VTX37
31
(2)設(shè)NBZM=。,則NA8D="一巳萬一。=—萬一。.
44
試題
故AD=-^-,AB10
sin。sin《—e
故平行四邊形ABC。面積
c11010.3萬100V2100
2?—?----.----------.sin—=---------------------?---=-----------------
2sin。.(萬力4.八夜/八.八、2sin-cossin20
sinl--6?Isin(cos6?-sin61)
200_200
,
■sin2^+cos2^-rV2s.n^+^_1
(jr\(7r\TT7TTTJT
因為。e0,-,當(dāng)sin2。+—=1,即26+—=—,6=上時,即NBD4=一時,平行四邊形區(qū)域48C£>
(I4)4288
面積最小.
22.解:(1)因為=+(a+i)x+a]nx(x>0),所以
r(x)=x+(a+l)+?=立空2=上乎的,
當(dāng)a20時,/'(x"1一△——i>0,故“X)在(0,+8)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a<0時,令/"(x)<0得0<x<-a;令/''(x)>0得尤>-a;
所以/(X)在(0,-a)上單調(diào)遞減,在(-。,+0。)上單調(diào)遞增,
綜上:當(dāng)aNO時,/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間(0,+00);
當(dāng)a<0時,/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,-a),單調(diào)遞增區(qū)間為(-a,+8).
1y
(I)法一:由/(x)——x2-ax=0,得x+〃lnx=(),即〃=-----,
v72Inx
此時方程/(X)-f—奴=0的根的個數(shù)
X
等價于直線y=a與函數(shù)y=--圖像交點個數(shù),
Inx
令g(x)=--L,犬=1是函數(shù)g(x)漸近線,g7x)=-~mg
Inx(Inx)
當(dāng)0<x<l時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,且g(x)>0,
試題
當(dāng)x>1時,g(x)<0,
l<xve時,gr(x)>0?g(x)單調(diào)遞增,x>e時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
故時,g(x)取得極大值,且g(e)=-e,x—>+1,^(x)—>-oo,x->-t-oo,g(x)—>-00,
故當(dāng)a<-e時,直線y=a與函數(shù)y=g(x)圖像有兩個交點,
此時方程/(x)-g/一如=0有兩個解,
綜上,實數(shù)”的取值范圍為(-8,-e).
法二:由/(x)-gx2-ox=0得x+alnx=0,即x+alnx=0有兩個解石,馬(王(馬),
令g(x)=x+alnx(x>0),則g'(x)=]+、=,且g(%)在(0,十8)上兩個零點,
當(dāng)“20時,g<x)=H@>0,故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,則g(x
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