2023-2024學(xué)年上海市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題七（含答案）

2023-2024學(xué)年上海市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知向量a,b是平面ɑ內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量，非零向量C在直線/上，則“c?4=0,

且c力=0"是/_La的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【正確答案】C

【分析】由線面垂直的定義和判定定理即可得到答案.

【詳解】解：由題意，T=OoDcb=O^1b-

因?yàn)橄蛄喀?6是平面α內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量，

所以，根據(jù)平面向量基本定理，對(duì)于平面ɑ內(nèi)的任意直線”，其方向向量為加，存在唯一實(shí)

數(shù)對(duì)X，y使得m=xa+yb成立，

所以，m-c=xa-c+ybc=O,即c_L，

所以直線/與平面α內(nèi)的任意直線都垂直，故∕le;

若/_La,根據(jù)線面垂直的定義，可以得到；.：=0,且U=o?

所以“；7=0,且H=o”是Ua的充分必要條件.

故選：C.

2.如果兩個(gè)球的表面積之比為4：9,那么這兩個(gè)球的體積之比為（）

A.8：27B.2：13C.4：943D.2：9

【正確答案】A

【分析】球的表面積之比是兩球的半徑的平方之比，體積之比是半徑的立方之比，據(jù)此即可

計(jì)算.

4TΓΛ*24-/2

【詳解】設(shè)兩球的半徑分別為小公則7?=χ,???,=W,

4529r23

Va*8

所以?xún)汕虻捏w積比為U=?-;

匕3仍327

32

故選：A.

3.從某中學(xué)甲、乙兩班各隨機(jī)抽取10名同學(xué)，測(cè)量他們的身高（單位：cm）,所得數(shù)據(jù)用

莖葉圖表示如下，由此可估計(jì)甲、乙兩班同學(xué)的身高情況，則下列結(jié)論正確的是（）

甲班乙班

21182-

8201712689

65316247

87159

A.甲乙兩班同學(xué)身高的極差不相等

B.甲班同學(xué)身高的平均值較大

C.甲班同學(xué)身高的中位數(shù)較大

D.甲班同學(xué)身高在175Cm以上的人數(shù)較多

【正確答案】A

【分析】利用莖葉圖的概念結(jié)合數(shù)據(jù)分析即可確定答案.

【詳解】對(duì)于A,甲班同學(xué)身高的極差為182-157=25,乙班同學(xué)身高的極差為182-159

=23,

.?.甲乙兩班同學(xué)身高的極差不相等，故A正確；

對(duì)于B,甲班數(shù)據(jù)靠上的相對(duì)少，乙班數(shù)據(jù)靠上的相對(duì)多，

.?.估計(jì)甲班同學(xué)身高的平均值較小，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,甲班同學(xué)身高的中位數(shù)為∣66[7）=i68,

乙班同學(xué)身高的中位數(shù)為巧12=171.5,

.?.甲班同學(xué)身高的中位數(shù)較小，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,甲班同學(xué)身高在175Cm以上的有3人，乙班同學(xué)身高在175Cm以上的有4人,

甲班同學(xué)身高在175Cm以上的人數(shù)較少，故D錯(cuò)誤.

故選:A.

4.下列說(shuō)法正確的是（）

A.四邊形一定是平面圖形

B.不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面

C.梯形不一定是平面圖形

D.平面α和平面尸一定有交線

【正確答案】B

【分析】根據(jù)空間元素的位置關(guān)系和三大公理及推論分別判斷選項(xiàng)正誤.

【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A,四邊形不一定是平面圖形,也可能是空間四邊形,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面,故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,梯形中，有一組對(duì)邊平行,可以確定一個(gè)平面,故梯形一定是平面圖形，C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,若平面α和平面夕平行,則其沒(méi)有交線,故D錯(cuò)誤；

故選:B.

5.在正四面體ABC。中，點(diǎn)E,F,G分別為棱3C,CD,AC的中點(diǎn)，則異面直線4E,FG

所成角的余弦值為（）

A.?B.—C.qD.近

2533

【正確答案】C

【分析】作出輔助線，找到異面直線AE,FG所成角，設(shè)出正四面體的邊長(zhǎng)，表達(dá)出其他邊

長(zhǎng)，利用余弦定理求出答案.

【詳解】連接OE,因?yàn)辄c(diǎn)F,G分別為棱CD,AC的中點(diǎn)，

所以FGHAD,

所以NEAD或其補(bǔ)角為異面直線AE,FG所成角，

設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為α,

則AE=DE=且?α,AD^a,

2

32232

222-a~+a——a~

AE^AD-DE,44

由余弦定理得：COSZEAD=-AE-D

?√323

2×—ci

2

所以異面直線SFG所成角的余弦值為#

故選：C

6.2"K）被9除所得的余數(shù)為（）

A.1B.3C.5D.7

【正確答案】D

【分析】由題意可得:2儂=2（9-1）33,結(jié)合二項(xiàng)展開(kāi)式分析求解

【詳解】由題意可得:2'fl0=2×2w=2×833=2(9-1)33,

99

可知2(9-1)”的展開(kāi)式為卻=2G9x9r(-l),r=O,l,…,99,

當(dāng)r=0,l,...,98時(shí)，&=2C‰χ9"Tχ(-iy均可被9整除;

當(dāng)r=99時(shí)，%=24（-1）"=-2被9除所得的余數(shù)為7；

綜上所述：2必被9除所得的余數(shù)為7.

故選：D.

7.某校安排5名同學(xué)去A,B,C,。四個(gè)愛(ài)國(guó)主義教育基地學(xué)習(xí)，每人去一個(gè)基地，每個(gè)

基地至少安排一人，則甲同學(xué)被安排到A基地的排法總數(shù)為（）

A.24B.36C.60D.240

【正確答案】C

【分析】分兩種情況分類(lèi)計(jì)算，一種是A基地只有甲同學(xué)在，另外一種是A基地有甲同學(xué)還

有另外一個(gè)同學(xué)也在，兩種情況相加即可.

【詳解】當(dāng)A基地只有甲同學(xué)在時(shí)，那么總的排法是C：A；=36種;

當(dāng)A基地有甲同學(xué)還有另外一個(gè)同學(xué)也在時(shí)，那么總的排法是C：A；=24種；

則甲同學(xué)被安排到A基地的排法總數(shù)為36+24=60種.

故選：C

8.“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，它揭示了二項(xiàng)式展開(kāi)式中的組合數(shù)在三角

形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則下列關(guān)于“楊輝三角''的結(jié)論正確的是（）

楊輝三角

第OH1

第I行II

第2行I2I

*3行1331

翳4行14641

第5行I5IOIO5I

第6行I61520156I

第7行I7213535217I

第8行I828567056288I

A.C+C"C+???+Cj0=165

B.在第2022行中第IOll個(gè)數(shù)最大

C.第6行的第7個(gè)數(shù)、第7行的第7個(gè)數(shù)及第8行的第7個(gè)數(shù)之和等于9行的第8個(gè)數(shù)

D.第34行中第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為2：3

【正確答案】C

【分析】A選項(xiàng)由C：I+C；=C3&C；+C；+C；++C；（I=C；+C；+C；+C；++C>1即

可判斷；B選項(xiàng)由二項(xiàng)式系數(shù)的增減性即可判斷；C選項(xiàng)由c：i+c:=CM及C：=G即可判

斷；D選項(xiàng)直接計(jì)算比值即可判斷.

【詳解】由c<+c=cc∣可得C+G+C++c：°=c；+c；+c；+C++Cf0-I

=C：+C；+C；++C?-1=C〈-1=?譽(yù)-1=164,故A錯(cuò)誤；

3×2×1

第2022行中第1011個(gè)數(shù)為C盟<e???,故B錯(cuò)誤;

c：+G+c；=c；+c；+c；=c；+c；=c；,故C正確;

第34行中第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為

「14.∣5_34×33××2134×33××20

r=15:20=3:4,故D錯(cuò)誤.

<34,~34―14×13×^^^T15×14×13×^^×F

故選：C.

9.一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4.連續(xù)拋擲這個(gè)正四面

體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“第一次向下的數(shù)字

為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）

A.P(A)W

B.事件4與事件8互斥

C.事件A與事件8相互獨(dú)立D.P(AuB)=-

2

【正確答案】C

【分析】利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的意義及古典概率公式逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.

【詳解】依題意，拋擲正四面體木塊，第一次向下的數(shù)字有1,2,3,4四個(gè)基本事件，則

21

P(A)=-=—,A不正確；

42

事件B含有的基本事件有8個(gè):(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),

其中事件(2,1),(2,3),(3,2),(3,4)發(fā)生時(shí)，事件A也發(fā)生,即事件A,8可以同時(shí)發(fā)生，B不正

確；

拋擲正四面體木塊兩次的所有基本事件有16個(gè)，P(B)=2=1,P(AB)=之=J=尸(A)P(8),

162164

即事件A與事件8相互獨(dú)立，C正確；

1113

P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)=-+------=-,D不正確.

2244

故選：C

10.如圖，三棱柱ABC-4瓦￡滿(mǎn)足棱長(zhǎng)都相等且AAJL平面ABC,。是棱CG的中點(diǎn)，E

是棱AA上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)A￡=x,隨著X增大，平面BDE與底面ABC所成銳二面角的平面角

是()

A.先增大再減小B.減小C.增大D.先減小再增大

【正確答案】D

【分析】以AC中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，O&OC分別為χ,y軸，并垂直向上作Z軸建立空間直角

坐標(biāo)系.

百

設(shè)所有棱長(zhǎng)均為2,則Xe(0,2),通過(guò)空間向量來(lái)求二面角的COSe=I~~百，故CoSe

√u-2r+7

在XG(吟上單增，x《,2)上單減，即隨著X增大先變大后變小，所以。隨著X增大先

變小后變大.即可得出結(jié)果.

以AC中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，03,。C分別為X,y軸，并垂直向上作Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)所有棱長(zhǎng)均為2,則Xe(0,2),β(√3,0,0),D((),l,l),E(0,-l,x),DB=(6,-1,-1),

OE=(O,-2,x-l),設(shè)平面BQE法向量”=(α,%,c),

67=X+1

〃?DB=O>∕3a=b+c?「*

b=瓜X-D,

則f八，令c=2G有〈

小DE=Ul-2?+c(x-l)=0

c=2√3

故〃=(x+1,百*一1),2Λ∕3).

又平面ABC的法向量m=((),0,1),故平面3OE與底面43C所成銳二面角的平面角6的余弦

/士Qm'n2√3λ∕3

值COSθ=I~~Γj-C=/=?=I=

阿W√(x+l)2+3(x-l)2+12√x2-x+4

―611

I↑~~\5?又X￡(。,2),故COS。在x∈(0,?上單增，xw(,2)上單減,

卜丁f+“22

即隨著X增大先變大后變小，所以。隨著X增大先變小后變大.

故選：D.

本題考查了用空間向量求二面角的余弦值，考查了解決問(wèn)題能力和計(jì)算能力，屬于中檔題目.

二、填空題

11.已知。為空間任意一點(diǎn)，A、8、C、P滿(mǎn)足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且

OP=mOA-2OB-OC，則巾的值為.

【正確答案】4

【分析】根據(jù)空間中四點(diǎn)共面的推論結(jié)合OP=〃QA-2OB-OC，求解即可.

【詳解】解：因?yàn)?。為空間任意一點(diǎn)，A、8、C、P滿(mǎn)足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，

SiOP=mOA-2OB-OC

所以m+(-2)+(-I)=1,故加=4.

故答案為.4

12.(x+l)"的展開(kāi)式中/的系數(shù)為.

【正確答案】6

在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)中令X的指數(shù)為2,求出參數(shù)值，然后代入通項(xiàng)可得出結(jié)果.

【詳解】(x+l)4的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)M=ClXJ，令4—r=2nr=2,

因此，(x+l)4的展開(kāi)式中V的系數(shù)為C：=6.

故答案為?6

本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng)系數(shù)的求解，涉及二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

13.正方體的6個(gè)面無(wú)限延展后把空間分成個(gè)部分

【正確答案】27

【分析】正方體的6個(gè)面無(wú)限延展后把空間分成27個(gè)部分，得到答案.

【詳解】正方體的6個(gè)面無(wú)限延展后把空間分成3x9=27個(gè)部分.

故27

14.正方體ABCO-ABGR的棱長(zhǎng)為4,E,F分別為BC、CG的中點(diǎn)，則平面AEF截正方

體所得的截面面積為.

【正確答案】18

【分析】把截面AEF補(bǔ)形為四邊形AEF。，由等腰梯形計(jì)算其面積即可.

【詳解】解：如圖，把截面AE尸補(bǔ)形為四邊形AEFR,

連接4。，由正方體可得E尸〃AR,可得等腰梯形AEFR為平面AEF截正方體所得的截面

圖形，

由正方體"CO-ABlGQ的棱長(zhǎng)為4,得曲=40,EF=2√2.

.尸=4E="7?=2√L則E到AR的距離即等腰梯形AEFR的高為

吟耳=3夜,

所求截面的面積為S='(2夜+4夜)x3a=18,

2

故18.

15.已知正三棱柱ABC-A耳G的底面邊長(zhǎng)為2,高為5,從點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面

繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線長(zhǎng)度為.

【正確答案】13

【分析】將正三棱柱沿4A,剪開(kāi)，即可求解.

【詳解】如圖所示，將正三棱柱沿AA剪開(kāi)，可得到一個(gè)矩形，其長(zhǎng)為6,寬為5,

其最短路線為量相等線段之和，其長(zhǎng)度等于2j(g)2+G=13,

故答案為.13

16.某電池廠有A、B兩條生產(chǎn)線，現(xiàn)從A生產(chǎn)線中取出產(chǎn)品8件，測(cè)得它們的可充電次數(shù)

的平均值為210,方差為4；從B生產(chǎn)線中取出產(chǎn)品12件，測(cè)得它們的可充電次數(shù)的平均值

為200,方差為4.則20件產(chǎn)品組成的總樣本的方差為.

【正確答案】28

【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、方差的公式運(yùn)算求解.

【詳解】設(shè)A生產(chǎn)線中取出產(chǎn)品8件的可充電次數(shù)為4%，…,A，

^=?^=2104∑(x--^)2=lf∑x?2-8^V4-則之看=1680,云=352832,

可得:

θZ=Ie/=IXli=I)i=∣/=1

5生產(chǎn)線中取出產(chǎn)品12件的可充電次數(shù)為加內(nèi)，???，加，

_112112_21(12

可得：y=-∑λ=200^Σ(λ->,)=J=4,則

1，Z=I"i=ι"I/=I)

1212

yyi=2400,24=480048,

i=li=l

故20件產(chǎn)品組成的總樣本的平均數(shù)而=Y）辱+±>J=204,

812

其方差J=：[∑(x-m)'+'∑(y-mf-2

ili4∣∑b∑yr0-20m=28.

,=1i=l

故28.

o

17.在平行六面體ABCO-A4Gq中，ZA1AB=ZAtAD=ZBAD=60,IABl=I=

∣Ml=ι.則IACb.

【正確答案】√6

UUUII

【分析】先用向量線性表示出AG,然后求出IAGl即可.

【詳解】設(shè)AB=a,A￡>=∕?,AAi=c,PPJAC1=AC+CC1=AB÷AD+CC1=a+h-^-cf

IiMM*M?∣2/---\2—212—2——

AC1=∣6t÷?+c)=a+b+c+24?0+24?c+2b?c,

又因?yàn)镹AAD=NAA8=NDAB=60。，cιb=de=be=

所以kc『=1+1+1+1+1+1=6,則IAGl=

D1C1

AL------------0B

故答案為.后

18.已知一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐同底等高，且圓錐的軸截面是一個(gè)正三角形，則圓柱的側(cè)面積

與圓錐的側(cè)面積之比為.

【正確答案】

【分析】利用勾股定理及圓的面積公式，結(jié)合圓柱圓錐的側(cè)面積公式即可求解.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r,則圓錐的高為J(2r)2-H=Gr,

所以圓柱的側(cè)面積為2τtr出r=2?∕3πr2.

由題意可知，圓錐的底面周長(zhǎng)為2”，母線長(zhǎng)為2人

所以圓錐的側(cè)面積為:X2口X2r=2π∕.

所以圓柱的側(cè)面積與圓錐的側(cè)面積之比為百：1.

故答案為.石:1

19.甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，已知甲每輪猜

對(duì)的概率為“乙每輪猜對(duì)的概率喏.在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)

果也互不影響，則“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率為.

【正確答案】?

【分析】?jī)奢喕顒?dòng)猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ),相當(dāng)于事件“甲猜對(duì)1個(gè),乙猜對(duì)2個(gè)”、事件“甲猜對(duì)2個(gè)，

乙猜對(duì)1個(gè)”的和事件發(fā)生,根據(jù)獨(dú)立事件概率求法,即可得解.

【詳解】解：設(shè)A，4分別表示甲兩輪猜對(duì)1個(gè),2個(gè)成語(yǔ)的事件,織層分別表示乙兩輪猜對(duì)1

個(gè),2個(gè)成語(yǔ)的事件.根據(jù)獨(dú)立事件的性質(zhì),可得

P(A)=2χ3XL。,尸(4)=僅］=2

v7448'，⑷16

P(βl)=2x∣χl=l,P(B2)=[∣J4

設(shè)4="兩輪活動(dòng)'星隊(duì)’猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”,則A=?B2A2B1,且AtB2與A2B1互斥,4與生,α與B1

分別相互獨(dú)立，

所以P(A)=P(A員)+「(44)=/>(4)0(4)+。(4)網(wǎng)4)=[><e+《*《=卷

因此‘星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率是卷.

故11

20.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCZ)-AAGA中，E、尸分別為棱AA、B用的中點(diǎn)，G為棱AE

上的一點(diǎn)，且AG=ZI(O≤∕i≤l),則點(diǎn)G到平面REF的距離為.

【正確答案】y

【分析】以。為原點(diǎn)，DA,DC,OA所在直線分別為X軸，V軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)

系。-肛z,利用向量法能求出點(diǎn)G到平面D1EF的距離.

【詳解】以。為原點(diǎn)，DA,DC,?！ㄋ谥本€分別為X軸，V軸，Z軸建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系。-孫Z,

則G(l,4,l),D∣(0,O,?),尸[1[,；),

所以AE=(1,0,-g),RF=(I,l,-g),GE=(O,-Λ-1),

設(shè)平面QlEF的法向量為"=(x,y,z),

nD.E=x--z=O,

12

則

n?D1F=x+y--z=O,

令x=l,則y=O,z=2,所以平面。EF的一個(gè)法向量”=(l,O,2).

點(diǎn)G到平面EF的距離為GEn正.

D1I1?3I=

∣H∣√55

故答案為：手.

21.如圖，在Rt_A8C中，己知BC=4,AC=3,力是斜邊AB上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn))沿

直線CD將ABC折成直二面角8-CD-A,當(dāng)AD=時(shí)，折疊后A、B兩點(diǎn)間的

距離最小.

【分析】根據(jù)題意作出圖形，作A作AELC。于E,作點(diǎn)B作BFLCD于F,然后

ΛACD=θ[Q<θ<^,進(jìn)而求出AE,BECE,砂，進(jìn)而用勾股定理得到AB"最后通過(guò)三

角變換與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得答案.

【詳解】如圖，設(shè)翻折后點(diǎn)B位于點(diǎn)9處，即求A"最小時(shí)AO的長(zhǎng)度.

設(shè)NACD="[θ<e<∣^∣,作A作AELCO于E,作點(diǎn)8作旅，CD于凡根據(jù)題意，平面

夕COj_平面ACr>,且交于CO,所以AEj_平面B'CO.

AE=3sin6,Bb=4Sin怎一8=4CoSaCE=3cos6,,CF=4cosl∣π-∕9∣=4sin6>,所以

2

￡F=CF—CE=4Sine—3COS6.

易得AEJ_5'E,所以48'=JAE2+B，E?=JAE?+BE?=y∣AE?+BF?+EF?

=^9sin20+16cos20+(4sin0-3cos0)"=√25-12sin20?

π?Γ)AC4

于是,當(dāng)。二時(shí)，即當(dāng)8為,ACB的角平分線時(shí)，AH最小.此時(shí)萬(wàn)i=k"又

AD+DB=5,解得.AO=二

7

故答案為.^y

22.在一個(gè)棱長(zhǎng)為6cm的密封正方體盒子中，放一個(gè)半徑為ICm的小球.無(wú)論怎樣搖動(dòng)盒

子，小球在盒子中不能達(dá)到的空間體積是.cm3.

40

【正確答案】56-yπ

【分析】小球不能到達(dá)的位置為正方體的8個(gè)頂點(diǎn)附近和12條棱附近的部分組成.

【詳解】頂點(diǎn)部分不能到達(dá)部分為棱長(zhǎng)為1的正方體減去半徑為1的球體的：，如下圖,

O

41?4

所以8個(gè)頂點(diǎn)部分體積為F—一TrXrX—×8=8—Tt,

38J3

棱部分不能到達(dá)部分為底面是邊長(zhǎng)為1,高為4的長(zhǎng)方體減去底面半徑為1,高為4的圓柱

440

所以不能至IJ達(dá)的體積為8—§兀+48-12π=56-3~兀.

40

故56——π

3

23.己知正方體ABCO-AqGe中，AB=6,點(diǎn)P在平面ABI。內(nèi)，∕41P=3√2,求點(diǎn)P到

BG距離的最小值為.

【正確答案】2#I

【分析】分別取4。、BG的中點(diǎn)E、F,連接AE、BtE.BlF.EF,證明出80，平面

BtEF,對(duì)于平面4耳2內(nèi)任意一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作MN〃/1。分別交AR、B1E,4用于點(diǎn)M、

Q、N,分析可知點(diǎn)尸到直線BC的距離等于線段QF的長(zhǎng)，當(dāng)QFLqE時(shí)，Q尸最短，此

時(shí)點(diǎn)P到直線BC1的距離取到最小值，利用等面積法求解即可.

【詳解】分別取AR、8C∣的中點(diǎn)￡、F,連接AE、BRB1F,EF,

AB〃CQ且A8=CQ,所以，四邊形ABGR為平行四邊形,

所以，AD"∕BG且AR=BC-

因?yàn)镋、F分別為AA、BG的中點(diǎn)，

則且AE=BF,

所以，四邊形ABRE為平行四邊形，

故EF//AB且EF=AB=6,

（2m，平面8片G（？，；.所，平面88C（，

BlFy8C∣u平面BMGC,則8EF,EF±BCt,

BBl=BlCI,則B1F1.BC1,

因?yàn)锽∣FcEF=F,.?.8C∣_L平面與EF,

22

.?.BlF=^βlC=→√6+6=3√2,

對(duì)于平面4與R內(nèi)任意一點(diǎn)P,

過(guò)點(diǎn)P作MN//AR分別交B9、BRA用于點(diǎn)M、Q、N,

ADt∕/BCt,:.MNHBCx,

所以點(diǎn)P到直線BC1的距離等于點(diǎn)。到直線BC1的距離，

.?.QFu平面4EF,故QFJ.BC”所以點(diǎn)。到直線8C∣的距離為線段QF的長(zhǎng)，

,B.F1EF,則BEF是以為直角的直角三角形，

當(dāng)。尸，BE時(shí)，Q尸最短，此時(shí)點(diǎn)P到直線BG的距離取到最小值.

在正方體中，Ba?L平面AOR4,又AEU平面ADRA,

所以用AJ.AE,又AE=BF=3框,

所以gE=JBlA2+AE?=^62+(3√2)2=3√6,

所以在RtBlEF中由等面積法可得：

-BlEQF=-BtFEF,即QF=?三-=下斤-=2√3,

2Zn∣Δ3√o

所以P到直線BC1的距離取到最小值為2石，

故答案為.26

24.有一種投擲骰子走跳棋的游戲：棋盤(pán)上標(biāo)有第1站、第2站、第3站....第10站，

共10站，設(shè)棋子跳到第〃站的概率為2,若一枚棋子開(kāi)始在第1站，棋手每次投擲骰子一

次，棋子向前跳動(dòng)一次，若骰子點(diǎn)數(shù)小于等于3,棋子向前跳一站；否則，棋子向前跳兩站,

直到棋子跳到第9站(失敗)或者第10站(獲勝)時(shí)，游戲結(jié)束，則該棋手獲勝的概率為

【正確答案】當(dāng)

［分析］根據(jù)題意找出E,(3≤〃≤8)與K-2,Pn-X的關(guān)系即可求解.

【詳解】由題K=2%2+14T(3≤"≤8),故失3=G

N2??i-l-rn-2乙

故答案為?生

三、解答題

25.如圖所示的幾何體是圓柱的一部分，它由矩形ABCO的邊AB所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)

120得到的，AB=3,AD=2.

(1)求這個(gè)幾何體的體積;

(2)這個(gè)幾何體的表面積.

【正確答案】(l)4π;

(2)12+^.

【分析】（1）求出矩形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的體積，根據(jù)幾何體與圓柱體積比求其體積即可;

（2）分別求出幾何體外側(cè)曲面、上下底面、兩個(gè)矩形的面積，進(jìn)而加總即可得結(jié)果.

【詳解】（1）由題設(shè)，若將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的體積為V=A8χS∣,

其中Sl為底面積，且SI=TtXAI）。故y=3χ4τt=12π,

因?yàn)閹缀误w是矩形旋轉(zhuǎn)120得到，故幾何體體積為12蕓0V=三V=4兀.

3603

14τr4Tr

（2）由題設(shè)Z7D=EC=-X2AZ）xπ:=—，則幾何體外側(cè)曲面的面積為3x二~=4π,

333

CQ

上下底面的面積和為2xg=^π,矩形A8CD,ABE尸的面積和為12,

綜上，幾何體的表面積為12+等.

26.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD_L底面ABC￡>,四邊形ABC。為正方形，PD=DC,

E,F分別是AO,PB的中點(diǎn).

⑴證明：EF〃平面PeD

（2）求直線PA與平面CEF所成角的正弦值.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

Q）B

2

【分析】（1）由平行四邊形可得線線平行，進(jìn)而由線面平行的判定定理即可求證,

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法即可求解線面角.

【詳解】（1）如圖，設(shè)M為PC的中點(diǎn)，連接尸M,MD.

P

因?yàn)槭?，M分別為PB,PC的中點(diǎn)，所以網(wǎng)W〃BC,QW=^BC.

在正方形ABC。中，DE〃BC,DE=>