2023-2024學年遼寧省丹東市高一年級上冊期末數(shù)學試題（含答案）

2023-2024學年遼寧省丹東市高一上冊期末數(shù)學試題

一、單選題

1.設全集U={123,4,5},集合〃滿足七〃={1,2,3},則（）

A.2GMB.3&MC.41MD.5^M

【正確答案】C

【分析】由條件求出集合進而求解.

【詳解】因為U={1,2,3,4,5},={1,2,3},

所以M={4,5}.

故選：C.

2.有一筆統(tǒng)計資料，共有10個數(shù)據(jù)如下：90,92,92,93,93,94,95,96,99,100,

則這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為（）

A.92B.95C.95.5D.96

【正確答案】D

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.

【詳解】因為75%xl0=7.5,

則這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為該組數(shù)據(jù)的第8個，即為96.

故選：D.

3.已知事函數(shù)的圖象經過點卜.；），則〃x）在定義域內（）

A.單調遞增B.單調遞減C.有最大值D.有最小值

【正確答案】B

-11

【分析】現(xiàn)根據(jù)基函數(shù)的定義，求得/（X）=X2=%，進而求解.

【詳解】設/（x）=x",則〃9）=9"=g,

1_11

所以□=_],即/（尤）=》2=耳，

則函數(shù)“X）的定義域為（0,+8）,

且在定義域內單調遞減，沒有最大值和最小值.

故選：B.

4.函數(shù)y=(g]”的值域為()

A.(0,2]B.(0,+功C.[2,+co)D.[1,+co)

【正確答案】A

【分析】令f=d-2x,求出f的范圍，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性即可求解.

【詳解】依題意，

令?=/-2x,則f=x2-2x=(x-l)2-iz-i,

因為y=(gj單調遞減,且"(">0

所以d；)=2，

所以y￡(0,2].

故選：A.

5.設函數(shù)/(力=爲，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A./(x-l)-lB./(x-l)+lC./U+D-1D./(x+l)+l

【正確答案】A

【分析】分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可得選項.

r-19

【詳解】由題意可得/5)=一=1-—，

1+X1+X

22

對于A,/(x-l)-l-l-―—百一1二一一是奇函數(shù)，故A正確；

l+[X—LJX

22

對于B,+1=[一]+()二])+1=2：不是奇函數(shù),故B不正確；

22

對于C,/(》+1)-1=1-]+卜+])-1=一0,其定義域不關于原點對稱，所以不是奇函數(shù),

故C不正確；

22

對于D,/(x+l)+l=l-i++1=2--,其定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù)，

故D不正確.

故選：A.

6.神舟十二號載人飛船搭載三名宇航員進入太空，在中國空間站完成了為期三個月的太空

駐留任務，期間進行了很多空間實驗，目前已經順利返回地球，在太空中水資源有限，要通

過回收水的方法制造可用水，回收水是將宇航員的尿液，汗液和太空中的水收集起來，經過

特殊的凈水器處理成飲用水，循環(huán)使用.凈化水的過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質

3

=，要使水中雜質減少到原來的1%以下，則至少需要過濾的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)lg2=0.3010)

4

()

A.3B.4C.5D.6

【正確答案】B

【分析】設過濾的次數(shù)為“，原來水中雜質為1,得到不等式解岀即可.

【詳解】設過濾的次數(shù)為“，原來水中雜質為1,

則［I)<1%,

所以喘=-2,

所以-〃lg4<-2,所以〃>二=工”3.322,

1g41g2

因為〃wN*,所以〃的最小值為4,則至少要過濾4次.

故選：B.

7.已知正數(shù)x,y滿足1+4y=盯，則x+y的最小值為()

A.10B.9C.8D.7

【正確答案】B

14

【分析】整理可得一+-=1,根據(jù)基本不等式力”的活用，計算即可得答案.

yx

14

【詳解】由x+4y=冋，可得一+—=1,

所以x+y=(x+y)(丄+&=5+—+—>5+2-=9,

㈠x丿x丫\xy

當且僅當"=二，即x=6,y=3取等號，

所以x+y的最小值為9.

故選：B.

8.若偶函數(shù)/(x)在［0,+力)上單調遞增，且/(5)=-〃-5),則不等式切〈X-1)>0解集是

()

A.(T,0)56,+oo)B.(T,6)

C.(y,-4)(6,+oo)D.(v,-4)5。，6)

【正確答案】A

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質，結合分類討論思想進行求解即可.

【詳解】因為/(x)是偶函數(shù)，所以由/(5)=—/(—5)=/(5)=-/(5)=/(5)=。,

當x>0時，由^5-1)>0=/(*_1)>0=/(5)=〃歸一叫>〃5),

因為/(x)在［0,+8)上單調遞增，

所以/(卜-1|)>"5)=h-1|>5=》>6,或xv-4,

而x>0,所以x>6；

當x<0時，由4(xT>0=f(xT<0=〃5)=/(k_l|)<〃5),

因為f(x)在［0,+8)上單調遞增，

所以f(卜-1|)</(5)=忖-1|<5=-4<犬<6或》<-4,

而xvO,所以Y<x<0,

故選：A

二、多選題

9.設A,8是兩個隨機事件，則下列說法正確的是()

A.A+B表示兩個事件至少有一個發(fā)生

B.初+A豆表示兩個事件至少有一個發(fā)生

C.石力表示兩個事件均不發(fā)生

D.而表示兩個事件均不發(fā)生

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)隨機事件的表示方法，逐項判斷即可.

【詳解】因為A,5是兩個隨機事件，

所以A+B表示兩個事件至少有一個發(fā)生，故A正確；

句3+A5表示兩個事件恰有一個發(fā)生，故B錯誤；

汨不表示兩個事件均不發(fā)生，故c正確；

入后表示兩個事件均不發(fā)生，故D正確.

故選：ACD.

10.在,/BC中，AD,BE,C尸分別是8C,CA,A8的中線且交于點O,則下列結論正

確的是（）

A.AB-BC=CAB.AO=g（AB+AC）

C.AD+BE+CF=0D.OA+OB+OC=0

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)三角形重心的性質，結合向量加法和減法法則進行即可即可.

【詳解】依題意，如圖所示：

因為A。，BE,CF分別是8C,CA,A8的中線且交于點。，

所以。是43c的重心.

對于A：若A8-3C=CA,貝ljAB=8C+C4,因為BA=BC+C4，

所以區(qū)4=48，顯然不成立，故A錯誤；

對于B：AO=—AD=-X—x^/4B+/4Cj=-^>4^+ACj,故B正確;

又寸于C：AO+3E+CF=g（A3+AC）+g（3A+3C）+J（G4+C3）

=g（AB+網+；（AC+C4）+g（8C+CB）=0,故C正確；

222

對于D：O4+O8+OC=——AD一一BE一一CF

333

=-|（/1D4-BE+CF）=-|X0=0,故D正確.

故選：BCD.

11.若a>Z?>0,m>0,則下列不等式成立的是（）

A.a2>h2B.a3+b3<ab2+a2b

、a+ma

C.”丄D.------<-

abb+mh

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)不等式的性質逐項判斷即可.

【詳解】對于A,由a>Z?>0,則a?>。?，故A正確;

對于B,巒+分一(加+42沖=(〃+/7乂々2一姉+/?2)一姉(。+3=(4+〃)(〃一/?)2,

由a>b>0,所以/+。3>姉2+〃2〃，故B錯誤；

對于C,由a>6>0,可得丄<1，所以-丄>-?，

abab

所以“一丄〉人一］,故C錯誤；

ab

a+mab(a+m)-a(b+m)rn^b-a)

“于D'b+mbb{b+iri)b(b+m),

由a>6>0,則^；------<0,即■；----<-,故D正確.

b+mbb+mb

故選：AD.

12.已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足〃-x)=-/(x),且/(1一力=〃1+力,則下列選項

正確的是()

A./(2)=0B.“X)的圖象關于直線x=l對稱

C./(x—2)是偶函數(shù)D./(x+2)=—/(x)

【正確答案】ABD

【分析】由條件通過賦值判斷A,D,根據(jù)偶函數(shù)的定義及性質判斷B,根據(jù)奇函數(shù)的定義

判斷C.

【詳解】因為/(lT)=〃l+x),取x=l可得〃0)=/(2),

因為〃—x)=-〃x),取尤=0可得"0)=0,故"2)=0,A正確;

由已知/(x+2)=/(l+x+l)=/(—x)=_.f(x)

所以/(x+2)=-/(x),D正確；

因為〃l-x)=〃l+x),所以函數(shù)〃x+l)為偶函數(shù)，

所以函數(shù)/(%+1)的圖象關于直線x=0對稱，

所以函數(shù)/(X)的圖象關于直線X=1對稱，B正確；

由已知/(_x_2)=_/(x+2)=_/(l+x+l)=_/(_力=/(力，

/(x-2)=-/(2-x)=-/(l+l-x)=-/(x),

所以/(x—2)=-/(—x—2),

故函數(shù)/(x-2)為奇函數(shù)，故C錯誤；

故選：ABD.

三、填空題

13.命題“Vxe(0,yo),爐+3-2>0”的否定是.

2

【正確答案】3xe(O,-K?),X+X-2<0

【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題，直接寫出命題的否定即可.

【詳解】命題“心?0,卄)，/+X一2>0''的否定是“去?0,內)，X2+X-2<0,).

故3xe(0,+oo),X2+X-2<0.

14.現(xiàn)有7名世界杯志愿者，其中A，4，&通曉日語，月，冬通曉韓語，C-C。通曉

葡萄牙語，從中選出通曉日語、韓語、葡萄牙語志愿者各一名組成一個小組，則用，的不

全被選中的概率為.

3

【正確答案】-##0.75

4

【分析】求得基本事件的總數(shù)，利用列舉法求得事件斤所包含的基本事件的個數(shù)，求得

PCN),結合對立事件，即可求得P(N).

【詳解】由題意，選出通曉日語、俄語、韓語的翻譯人員各一人，包含下列樣本點

(4,46),(446](4，員4),(4也,&),

(厶2，綜￡),(4,4，。2),(4，4,￡),(4，46),

(4,4,G),(4,線,G),(A‘星,cJ,(4,6,G)，

共有12種不同的選法,

若N表示事件“B/,。不全被選中”這一事件，則R表示“B/,G全被選中”這一事件，

由于亞由(A，4,G),(4,4，c),(A，4,G),共有3個樣本點組成，

—31—13

所以PWXRMT，所以P(N)=1—P(N)=l—：=：.

12444

亠3

故答案為

4

f+xxK0

15.己知函數(shù)〃x)=<'一八，當函數(shù)y=f(x)+a有且僅有三個零點時，則實數(shù)。的取

logox,x>0

值范圍是.

【正確答案】[o,￡]

【分析】根據(jù)零點定義由已知可得函數(shù)“X)與y=-。圖像有3個交點，討論。，作函數(shù)”X)

的圖象，結合圖象求。的取值范圍.

【詳解】因為函數(shù)y=/(x)+a有且僅有三個零點，

所以方程/(x)+a=O有且僅有三個根，

所以方程有且僅有三個根，

即函數(shù)“X)與y=-“圖像有3個交點，

當a>1時，作函數(shù)〃x)和V=-"的圖象如下:

觀察圖象可得不存在滿足條件的“，

當0<a<l時，作函數(shù)“X)和的圖象如下:

y

'、二,y=-a

又函數(shù)y=/+x圖象為對稱軸為X=-g的拋物線，

當x=_；時，y=一；，

觀察圖象可得-丄＜-。＜0時，

4

函數(shù)/(X)與y=Y圖像有3個交點，所以0＜a＜；,

故當函數(shù)y=/(x)+a有且僅有三個零點時，實數(shù)”的取值范圍是(0,；),

故答案為.(0。)

16.某班級在開學初進行了一次數(shù)學測試，男同學平均答對17道題，方差為11,女同學平

均答對12道題，方差為16,班級男女同學人數(shù)之比為3:2,那么全班同學答對題目數(shù)的方

差為.

【正確答案】19

【分析】設男同學人數(shù)為3a,女同學人數(shù)為2a,計算全班同學答對題目數(shù)的平均數(shù)，再根

據(jù)總體方差公式，計算總體方差即可.

【詳解】依題意，設男同學人數(shù)為3a,女同學人數(shù)為2a,

n，人士L.W丄17x3a+12x2a

則全班同學答對題目數(shù)的平均數(shù)為：-一----=15,

3a+2a

所以全班同學答對題目數(shù)的方差為jx[ll+(17-15)[+|x[16+(12-15)2]=19

故答案為.19

四、解答題

17.已知實數(shù)。，6滿足3"=2,^log34=l.

⑴用”表示Iog34-log36：

(2)計算9"+9一°+4〃+4"的值.

【正確答案】⑴4-1

⑵里

21

【分析】根據(jù)對數(shù)的運算法則及性質求解即可.

【詳解】(1)由題意可知a=log32,

2

所以Iog34-log36=log?§=log?2-1=4-1.

,1,_

(2)因為〃=■;~T=log43,

log34

iin1

logj2

所以9"+9"'+4〃+4"=9+9-啕2+4哂3+4-^3=4+_+3+j=^.

18.己知q,e2是平面內不共線的兩個向量，a=2q—e?,b=3et+e2,c=3et+Ae2,且3a+

與6+2c共線.

⑴求2的值；

(2)請用°,b表示c.

【正確答案】(1)T

⑵c=3a-b

【分析】(1)利用向量的運算法則與共線定理，根據(jù)待定系數(shù)即可求解；

(2)設‘=網+辿，分別代入“，b,c，根據(jù)待定系數(shù)即可求解.

【詳解】(1)依題意，

因為a=2q—e2,b=3et+e2,c=3q+A.e2

所以3“+c=3僅q-e?)+3e1+=9q+(4-3)e2,

b+2c=3et+e2+2(3q+Ae2j=9et+(2A+l)e2,

又因為3a+c?與"2c共線，

所以3=22+1,即2=—4.

(2)^,c=xa+yh,貝?。萦?q-4e2=卒4/卄小弓+e?),

即3e,-4e2=(2x+3y)q+(-x+y”2

2x+3y=3,[x=3

所以,解得,所以c=3a-b.

-x+y=-4[y=一]

19.甲、乙兩人進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得1分，負方得0分，沒

有平局.三個項目比賽結束后，總得分高的人獲得冠軍.已知甲在三個項目中獲勝的概率分

別為p,q(p<q),各項目的比賽結果相互獨立，甲得。分的概率是總，甲得3分

的概率是言.

(1)求p,q的值；

(2)甲乙兩人誰獲得最終勝利的可能性大？并說明理由.

24

【正確答案】(l)P=￡,q

(2)甲，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)獨立事件的概率公式進行求解即可;

(2)根據(jù)獨立事件的概率公式和概率加法公式進行求解即可.

g(i-p)(i-q)=2p=l

【詳解】(1)因為14，且。<夕，解得4

]2(4^1(2)4(]>2411

(2)甲得2分的概率4=^x三x1--+-x1--x-+1--x-x-=—,

11432

所以甲得2分或3分的概率左=：,那么乙得2分或3分的概率為:

所以甲獲得最終勝利的可能性大.

「3'

20.已知函數(shù)/(力=加一4奴+1(a>0)在區(qū)間13上的最大值為-2.

(1)求。的值;

(2)若愴加，也〃是函數(shù)/(x)的兩個零點，求。的值?

【正確答案】(1)1

⑵12

【分析】(1)根據(jù)一元二次函數(shù)的對稱軸與單調性即可求解；

(2)利用韋達定理即可求出1刎+回=4,愴”回=1,再利用對數(shù)的運算法則即可求解.

【詳解】（1）根據(jù)a>0,由題意可知，拋物線的對稱軸方程為x=2.

3

因為函數(shù)“X）在區(qū)間扌3上的最大值為_2,

所以〃力3=〃3）=-3a+l=—2,所以a=l.

(2)因為函數(shù)八了)=尤2-4犬+1的兩個零點為Igm,lg〃，

所以［gm+Ign=4,lg/nlgn=l,

所以［lg3)=(lgM-lgm)2=(lg〃+lg〃z)~-41gnlg/w=16-4=12.

21.已知集合4={,已|20

集合B=^X|(X-/H)(X-2Z?I)>01.

⑴求集合A;

（2）若xeA是尤金3的必要不充分條件，求實數(shù)加的取值范圍.

【正確答案】（1）答案見解析

3

（2）-</H<2

2

【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法分類討論進行求解即可.

（2）先解分式不等式得到集合A,再根據(jù)必要不充分條件的性質進行求解即可.

【詳解】（1）當〃?>0時，不等式的解為2機或,

當帆=0時，不等式的解為xeR,

當相V0時，不等式的解為m或,

綜上所述：當機>0時，集合8={x|xN2m或xWm}；

當〃7=0時，集合B=R,

當機<0時，集合B=5或工<2m}.

因為xeA是的必要不充分條件，所以集合8是集合A的真子集,

fm<23

當機>0時，\,所以彳Wm<2；

2m>32

當〃7=0時，不合題意;

\2m＜2

當mv0時，\，加無解；

[m＞3

3

綜上，實數(shù)機的取值范圍為彳＜機＜2.

22.已知函數(shù)〃力=1嗚（3'+1）+蛆是偶函數(shù).

（1）求加的值；

⑵設函數(shù)g（x）=log3（G3'-；a）+gx-〃x）（aeR）,若g（x）有唯一零點，求實數(shù)。的取

值范圍.

【正確答案】（1）-；

⑵。＞0或°=-10-4迷

【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)性質=代入即可求解；

（2）令3*=f,轉化為關于f的一元二次函數(shù)，對。分類討論即可求解.

【詳解】（1）依題意，

因為“X）的定義域為R的偶函數(shù)，所以/（—x）=/（x）,

所以logs（3*+1）+，nr=log,（3-'+l）-/ra;,