高等數(shù)學A1課件10－第10講導數(shù)的概念

高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程——一元微積分學大學數(shù)學（一）第十講導數(shù)的概念第四章函數(shù)的導數(shù)和微分本章學習要求：理解導數(shù)和微分的概念。熟悉導數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的可導、可微、連續(xù)之間的關系。熟悉一階微分形式不變性。熟悉導數(shù)和微分的運算法則，能熟練運用求導的基本公式、復合函數(shù)求導法、隱函數(shù)求導法、反函數(shù)求導法、參數(shù)方程求導法、取對數(shù)求導法等方法求出函數(shù)的一、二階導數(shù)和微分。了解n

階導數(shù)的概念，會求常見函數(shù)的n

階導數(shù)。熟悉羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能較好運用上述定理解決有關問題（函數(shù)方程求解、不等式的證明等）。掌握羅必塔法則并能熟練運用它計算有關的不定式極限。第一節(jié)導數(shù)的概念第四章函數(shù)的導數(shù)和微分一.導數(shù)產(chǎn)生的背景二.導數(shù)的概念三.導數(shù)存在的必要條件四.函數(shù)的增量與導數(shù)的關系一、導數(shù)產(chǎn)生的背景

1.

物理背景

2.幾何背景1.物理背景在真空中,當時間由t變到t+

t時,自由非勻速運動物體的速度問題落體所經(jīng)過的路程為例1物體由t到t+

t一段的平均速度是求物體在時刻t的瞬時速度

vt,就是令

t0的極限過程：從物理學看,當

t0時,應該有這是否也說明了一個什么問題?Pl

l力學中的線密度問題設有一根可視為直線的棒上非均勻地分布著質(zhì)量.直線的一端為原點,線段OP的長度為l,質(zhì)量為m,則m是l的函數(shù)：m=f(l).求點P處的線密度

.例2O給l一個增量

l,則

l這一段

(

PP')的平均密度是而在P點處的線密度就是

l0平均密度的極限：比較兩個極限式：與

平面曲線上切線的概念割線PQ切線PT切點2.數(shù)學背景—平面曲線的切線問題沿曲線趨近于點

A時的極限位置.平面曲線y=f(x)的切線：曲線在點

A(x0,y0)處的切線AT

為過曲線上點

A的任意一條割線AA’

當點

A’(x0+

x,y0+y)定義切線方程:其中,(1)建立一個函數(shù)關系y=f(x)xI.(2)求函數(shù)由x0到x0+

x的平均變化率：解決與速度變化或變化率相關問題的步驟:(3)求

x0的極限：小結設函數(shù)f(x)在U(x0)有定義,且

x0+

xU(x0).則稱函數(shù)f(x)在點

x0處可導,極限值a稱為

f(x)在如果極限存在,點x0處的導數(shù).記為定義二、導數(shù)的定義k0為常數(shù).如果函數(shù)f(x)在點

x0處可導,則導函數(shù)若

x(a,b),函數(shù)

f(x)皆可導,則說

f(x)在(a,b)內(nèi)可導.這時

f(x)是關于x的一個新函數(shù),稱之為f(x)在(a,b)內(nèi)的導函數(shù).通常我們?nèi)苑Q之為f(x)在(a,b)內(nèi)的導數(shù)：定義函數(shù)在點x0I處的導數(shù):

先求導、后代值.基本初等函數(shù)的導數(shù)推導一些基本公式?。?.y=C

x

R(C為常數(shù)

)Q

通常說成：常數(shù)的導數(shù)為零.2.冪函數(shù)

自變量對其本身的導數(shù)為1例13.指數(shù)函數(shù)

例2求y

.

等價無窮小替代故解4.對數(shù)函數(shù)例3或重要極限5.三角函數(shù)(1)

和差化積等價無窮小(2)其它三角函數(shù)的導數(shù)這些公式一般運用后面所講的方法進行推導.（仿照正弦函數(shù)的推導方法）設函數(shù)f(x)在[x0,x0+

)內(nèi)有定義,若存在,則稱a為f(x)在點x0處的右導數(shù).記為左、右導數(shù)定義設函數(shù)f(x)在(x0–

,

x0]內(nèi)有定義,若存在,則稱a為f(x)在點x0處的左導數(shù).記為定義定理1好像見過面?。∪?、導數(shù)的幾何意義此時,切線方程為:函數(shù)f(x)在點x0的導數(shù)f

(x0)就是對應的平面曲線y=f(x)在點(x0,y0)處的切線的斜率

k:

yO

xx0

y=cf

(x0)=0

yO

xf

(x0)=

x0

O

xyx0

y

O

xx0f

(x0)不存在f

(x0)不存在切線平行于x軸：曲線y=f(x)在點x0處的切線可能平行于x軸、垂直于x軸、或不存在,所反映出的導數(shù)值是：切線垂直于x軸：（曲線為連續(xù)曲線）在點

x0處無切線：f

(x0)不存在.在任意一點

x處,有在點(1,

1)

處故所求切線方程為：求曲線y=x2上任意一點處切線的斜率,并求在點

(1,1)

處的切線方程.即

y=2x–1.y–1=2(x–1),例4解四、導數(shù)與連續(xù)的關系設f(x)在點

x0可導,即有于是故如果函數(shù)f(x)在點x0可導，則函數(shù)f(x)在點

x0必連續(xù).只是必要條件！定理2y=|x|在點x=0連續(xù),但不可導.故f

(0)不存在.y=|x|Oxy例5解在點x=0處的連續(xù)性和可導性.又當n

N時,函數(shù)在在點x=0處連續(xù).例6解當n=1時,不存在,故n=1時,函數(shù)在x=0處不可導.當n>1時,故n>1時,函數(shù)在

x=0處可導.其導數(shù)為

f(x)在x=0處可導,從而f(x)=1+bx,x≤0e–x,x>0f(0)=1

f(x)在x=0處連續(xù),f(0)=a.例7解設a+bx,x≤0求

a,b之值.e–x,x>0y=在x=0可導,由可導性：故b=–1,此時函數(shù)為f(x)=1

x,x≤0e–x,x>0練習.