第21講 用二分法求方程的近似解（學生版）-高一數(shù)學同步講義

第07講用二分法求方程的近似解

號目標導航

課程標準課標解讀

1.理解運用二分法逼近方程近似解的數(shù)

學思想，了解二分法只能用于求變號零點通過本節(jié)課的學習，要求會用二分法進行簡單方程近似

的方法，借助數(shù)學工具用二分法求方程的解的求解，并能根據(jù)題的要求，解決與二分法相關(guān)的參

近似解.數(shù)問題的處理.

2.能解決與方程近似解有關(guān)的問題.

視知識精講

金、知識點01二分法定義

對于在區(qū)間打上連續(xù)不斷且/(?)?/S)<()的函數(shù)y=/(x),通過不斷地把函數(shù)/(x)的零點所在的

區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.

【微點撥】用二分法求函數(shù)的零點近似值的方法僅對函數(shù)的變號零點(曲線通過零點時函數(shù)值的符號變號)

適用，對函數(shù)的不變號零點(曲線通過零點時函數(shù)值的符號不變號)不適用.

叁'知識點02用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟

給定精確度￡,用二分法求函數(shù)/(X)零點近似值的步驟如下：

1.確定區(qū)間句，驗證/(a)?/(〃)<(),給定精確度￡.

2.求區(qū)間(見價的中點c.

3.計算/(c),

(1)若/(c)=0,則c就是函數(shù)的零點；

(2)若/(a)?/(c)v(),則令h=c(此時零點玉)￡(a,c))；

(3)若f(c)?fS)v。,則令〃=c(此時零點/￡(c,b)).

4.判斷是否達到精確度￡：即若,一可<￡,則得到零點近似值a(或力)；否則重復2~4.

【微點撥】1.應用二分法求函數(shù)零點近似值(方程的近似解)時，應注意在第一步中要使：

(1)區(qū)間［a,句的長度盡量??；

(2)/(a),/(。)的值比較容易計算,且/(a)?/(?<().

2.由函數(shù)的零點與相應方程根的關(guān)系，我們可用二分法來求方程的近似解.

【微點撥】精確度與精確到不是一回事，精確度是近似數(shù)的誤差不超過某個數(shù)，就說它的精確度是多少，

即設(shè)x為準確值，X'為x的一個近似值，若卜'一%|<￡，則尤'是精確度為￡的》的一個近似值.而按四舍

五入的原則得到準確值x的前幾位近似值尤'，f的最后一位有效數(shù)字在某一數(shù)位，就說精確到某一數(shù)位.

【即學即練1】下列函數(shù)圖象中，不能用二分法求函數(shù)零點的是()

【即學即練2】用二分法求方程的近似解，求得/(x)=V+2x-9的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如表所示:

X121.51.6251.751.8751.8125

八X)-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793

則當精確度為01時，方程/+2%-9=0的近似解可取為()

A.1.6B.1.7

C.1.8D.1.9

【即學即練3】用二分法求函數(shù)nV+f-Zx-2的一個正零點的近似值(精確度為0.1)時，依次計算

得到如下數(shù)據(jù)：/(I)=-2,/(1.5)=0.625,/(1.25)D.984,/(1.375)?0.260,關(guān)于下一步的說

法正確的是()

A.已經(jīng)達到精確度的要求，可以取1.4作為近似值

B.已經(jīng)達到精確度的要求，可以取1.375作為近似值

C.沒有達到精確度的要求，應該接著計算了(1.4375)

D.沒有達到精確度的要求，應該接著計算了(1.3125)

【即學即練4】為了求函數(shù)/(x)=2，+3x-7的一個零點，某同學利用計算器得到自變量x和函數(shù)/(x)的

部分對應值，如表所示：

X1.251.31251.3751.43751.51.5625

f(x)-0.8716-0.5788-0.28130.21010.328430.64115

則方程2，+3x=7的近似解(精確到0.1)可取為()

A.1.32B.1.39

C.1.4D.1.3

【即學即練5】用二分法求函數(shù)/(x)=/〃(x+l)+x-l在區(qū)間［0,1］上的零點，要求精確度為0.01時，所需

二分區(qū)間的次數(shù)最少為()

A.6B.7C.8D.9

【即學即練6】用二分法研究函數(shù)八x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點時，計算得40)<0,40.5)<0,

那么下一次應計算x=時的函數(shù)值.

2能力拓展

考法01

二分法的適用條件

當方程/(X)=0同時滿足下列三個條件時：

(1)函數(shù)/(x)在閉區(qū)間口,切上的圖象是一條連續(xù)曲線；

(2)函數(shù)/(x)在區(qū)間(a,份上有唯一的零點;

(3)/(?)-/0)<0.用二分法一定能夠求出方程/(x)=0的近似解.

【典例1】下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點，其中能用二分法求零點的是()

【即學即練7】對于用二分法求函數(shù)的零點的說法，下列正確的是()

A.函數(shù)只要有零點，就能用二分法求

B.零點是整數(shù)的函數(shù)不能用二分法求

C.多個零點的函數(shù)，不能用二分法求零點的近似解

D.以上說法都錯誤

【即學即練8】下列函數(shù)中不能用二分法求零點的是()

A..f(x)=4x-3B./(x)=lnx+2x-8

C./(x)=sinx+lD./(x)=x2-3x+l

考法02

二分法的簡單應用

二分就是平均分成兩部分，二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間一分為二，逐步逼近零點的方法，找到

零點附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精確度，用此區(qū)間的某個數(shù)值近似地表示真正的零點.

【典例2】求方程“x)=V-2x-5=0的一個正實根的近似值(精確到0.01).

【即學即練9］用二分法求函數(shù)/(X)的一個正實數(shù)零點時，經(jīng)計算：/(0.64)<0,/(0.72)>0,

/(0.68)<0,/(0.74)>0,則函數(shù)“X)的一個精確度為0.1的正實數(shù)零點的近似值為()

A.0.64B.0.8

C.0.7D.0.6

【即學即練10】用二分法求函數(shù)/(x)=/gx+x-3的一個零點，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，可得函數(shù)/(x)的一個零點

的近似解(精確到0」)為()

(參考數(shù)據(jù):1g2.570.398,1g2.75?0.439,lg2.5625?0.409)

A.2.4B.2.5C.2.6D.2.56

考法03

用二分法求函數(shù)的零點或方程的近似解

(1)用二分法求函數(shù)的零點按照二分法求函數(shù)零點近似值的步驟求解即可，在求解過程中，我們可以借助

表格或數(shù)軸清楚地描寫逐步縮小的零點所在的區(qū)間，在區(qū)間長度小于精確度￡時終止運算.

(2)根據(jù)函數(shù)的零點與相應方程的解的關(guān)系，求函數(shù)的零點與求相應方程的解是等價的.求方程f(x)=0

的近似解，即按照用二分法求函數(shù)/(X)零點近似值的步驟求解.

對于求形如/(X)=g(x)的方程的近似解，可以通過移項轉(zhuǎn)化成求形如P(x)=/(X)-g(x)=0的方程的近

似解，然后按照用二分法求函數(shù)F(X)零點近似值的步驟求解.

有些較復雜的探求方程近似解的問題需要大致作出函數(shù)圖象或列表，以此確定方程近似解所在的區(qū)間，即

初始區(qū)間.

【典例3】用二分法求函數(shù)/(x)=9—5的一個正零點(誤差不超過0.02).

考法04

二分法思想的實際應用

二分法的思想方法除了可以用來處理生活中、數(shù)學中的對稱問題外，還可以通過其思想方法處理一

些現(xiàn)實中的不對稱問題，在生活中、數(shù)學中也經(jīng)常見到.要注意二分法的思想方法與實際問題之間的聯(lián)

系及其應用.

【典例4】有9個外表看上去一樣的小球，其中8個重10克，1個重9克，現(xiàn)有一架天平，問至少稱

次可以確保把輕球挑出來.

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.利用二分法求方程log?x=3-x的近似解，可以取的一個區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

2.若/(司=/+/-2x-2的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，數(shù)據(jù)如下表:

川)=-2/(1.5)=0.625

/(1.25)=-0.984/(1.375)=-0.260

7(1.438)=0.165/(1.4065)=-0.052

那么方程V+Y-2犬-2=0的一個近似根（精確到（M）為（）

A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5

3.設(shè)函數(shù)〃X）=4X3+X-8,用二分法求方程4/+x-8=0近似解的過程中，計算得到了⑴＜0,/（3）＞0,

則方程的近似解落在區(qū)間（）

A.（1,1.5）B.（1.5,2）

C.（2,2.5）D.（2.5,3）

4.用二分法求函數(shù)人x）的一個正實數(shù)零點時，經(jīng)計算式0.64）＜0,式0.72）＞0,共0.68）＜0,則函數(shù)的一個精確度

為0.1的正實數(shù)零點的近似值為（）

A.0.9B.0.7C.0.5D.0.4

5.設(shè)兀r）=3*+3x-8,用二分法求方程3*+3]-8=0在（1,1.5）內(nèi)的近似解的過程中,有/⑴＜0,41.5）＞0,

.穴1.25）＜0,則該方程的根所在的區(qū)間為（）

A.（1,1.25）B.（1.25,1.5）

C.（1.5,2）D.不能確定

6.用二分法研究函數(shù)兀0=9+3x一1的零點時，第一次計算，得火0）＜0,A0.5）＞0,第二次應計算兀n）,則

箱等于（）

A.1B.-1C.0.25D.0.75

7.已知函數(shù)〃x）=x-eT的部分函數(shù)值如下表所示：

X10.50.750.6250.5625

f(x)0.6321-0.10650.27760.0897-0.007

那么函數(shù)/（X）的一個零點近似值（精確度為0.1）為（）

A.0.45B.0.57C.0.78D.0.89

8.已知函數(shù),f（x）=x2-log2X-6,用二分法求f（x）的零點時，則其中一個零點的初始區(qū)間可以為（）

A.（1,2）B.（2,2.5）C.（2.5,3）D.（3,3.5）

9.一種藥在病人血液中的量保持1500mg以上才有效，而低于500mg病人就有危險.現(xiàn)給某病人注射了這

種藥2500mg,如果藥在血液中以每小時20%的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)

過（）小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效.（附：Ig2=0.301,Ig3=0.4771,答案采取四舍

五入精確到O.lh)

A.2.3小時B.3.5小時C.5.6小時D.8.8小時

3

10.已知函數(shù)〃x)=2'-己在區(qū)間(1,2)上有一個零點七,如果用二分法求廝的近似值(精確度為0.01),則應

x

將區(qū)間(1,2)至少等分的次數(shù)為()

A.5B.6C.7D.8

11.在使用二分法計算函數(shù)/(x)=lgx+x-2的零點的近似解時，現(xiàn)已知其所在區(qū)間為(1,2),如果要求近

似解的精確度為01，則接下來需要計算()次區(qū)間中點的函數(shù)值.

A.2B.3C.4D.5

12.用二分法求函數(shù)/")=lgx+x-2的一個零點，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，可得函數(shù)/(x)的一個零點的近似解(精

確到0.1)為()(參考數(shù)據(jù)：lgl.5a0.176,lgl.625?0.211,lg1.75?0.243,lgl.875?0.273,

lg1.9375^0.287)

A.1.6B.1.7C.1.8D.1.9

13.利用計算器，列出自變量和函數(shù)值的對應值如下表：

X-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20

y=2x0.32990.37890.43530.50.57430.65980.75790.87061

2.561.961.4410.640.360.160.040

那么方程2*=N有一個根位于區(qū)間()

A.(—1.6,—1.2)內(nèi)

B.(-1.2,-0.8)內(nèi)

C.(—0.8,—0.6)內(nèi)

D.(-0.6,-0.2)內(nèi)

①②③④

A.0個B.1個C.2個D.3個

題組B能力提升練

I.若函數(shù)/（x）=V+x2-2x-2的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法計算，其參考數(shù)據(jù)如下:

/(1)=-2/(1.5)=0.625/(1.25)=-0.984

/(1.375)=-0.2607(1.4375)=0.162/(1.40625)=-0.054

那么方程丁+丁-2犬-2=0的一個近似根（精確度0。5）可以是（）

A.1.25B.1.39C.1.41D.1.5

2.利用二分法求方程lnx+x-2=0的近似解，已求得/*）=lnx+x-2的部分函數(shù)值的數(shù)據(jù)如下表:

X121.51.751.6251.5625

/（X）-10.6931-0.09450.30960.11050.0088

則當精確度為0」時，該方程的近似解可取為（）

A.1.55B.1.62C.1.71D.1.76

3.已知函數(shù)“X）滿足：對任意為,都有以止色＞0,且.在用二分法尋找零點

X\~X2

的過程中，依次確定了零點所在區(qū)間為句，。,審］卜+1（,又+4）=o,則函數(shù)“X）的零點

為（）

A.gB.-C.一D.—

2345

4.（多選題）以下函數(shù)圖象中，能用二分法求函數(shù)零點的是（）

5.以下是用二分法求方程R+3x—5=0的一個近似解（精確度為0.1）的不完整的過程，請補充完整，并寫出

結(jié)論.

設(shè)函數(shù)段)=如+3%-5,其圖象在(-8,+oo)上是連續(xù)不斷的一條曲線.

先求值，/0)=,犬1)=,式2)=,人3)=

所以風丫)在區(qū)間內(nèi)存在零點xo.填表：

區(qū)間中點m,*次)的符號區(qū)間長度

6.以下是利用二分法求函數(shù)f(x)=*3-3的一個正實數(shù)零點的過程，當精確度為0.01時，該函數(shù)的零點為

計算端點或中點的函數(shù)

端點或中點的橫坐標定區(qū)間

值

如=1,bo=2期=-2,12)=5U，2]

1+2.<

x0=-^-=L5/(X0)=0.375>0[1,1.5]

1+1.5,

x,=-----=1.25/(xi)=-1.0469<0[1.25,1.5]

12

1.25+1.5…匚

x,=-------=1.375/(X2)=-0.4004<0[1.375,1.5]

2

1.375+1.5c

為=---------=11.4375/(X3)=—0.0295<0[1.4375,1.5]

32

1.4375+1.51._

兀=----------=1.46875/(X4)=0.1684>0[1.4375,1.46875]

42

..4375..46875

+=1453|25/(X5)>0[1.4375,1.453125]

2

%6=1.4453125/(X6)>0[1.4375,1.4453125]

7.若用二分法求方程2x、3x-3=0在初始區(qū)間（0,1）內(nèi)的近似解，第一次取區(qū)間的中點為王=；,那么第三

次取區(qū)間的中點為鼻=.