2023年高考真題-理科數(shù)學(xué)（含答案）

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)乙卷)

理科數(shù)學(xué)

、選擇題

1>2-5-

I.設(shè)1+1+1,貝l]z=

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【解析】

【分析】由題意首先計(jì)算復(fù)數(shù)z的值，然后利用共朝復(fù)數(shù)的定義確定其共軌復(fù)數(shù)即可.

則2=1+2.

故選：B.

2.設(shè)集合。=R,集合〃={x|x<l},N={x[-l<x<2},則{x|x?2}=()

A.電(A/UN)B.2VUQ/M

C.d(MnN)D.MuQN

【答案】A

【解析】

[分析]由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為{x|x>2)即可.

【詳解】由題意可得"UN={x|x<2},則d(/UN)={x|xN2},選項(xiàng)A正確;

={x|x>1},則^^^1/="匕〉-1},選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

wriN={x|-l<x<l},則d(/cN)={x|xW—l或x?l},選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

dN={x|x4-l或x22},則{x|x<l或x22},選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：A.

3.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該零件的表面積

為()

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】

【分析】由題意首先由三視圖還原空間幾何體，然后由所得的空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征求解其

表面積即可.

【詳解】如圖所示，在長(zhǎng)方體48cz中，AB=BC=2,/4=3,

點(diǎn)〃,/,J,K為所在棱上靠近點(diǎn)4,G，〃，4的三等分點(diǎn)，為所在棱的中點(diǎn)，

則三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體為長(zhǎng)方體44c2去掉長(zhǎng)方體owq-之后所

該幾何體的表面積和原來(lái)的長(zhǎng)方體的表面積相比少2個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，

其表面積為：2x(2x2)+4x(2x3)-2x(lxl)=30.

故選：D.

4.已知是偶函數(shù)，則。=()

e1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解.

詳解因?yàn)闉榕己瘮?shù)

JeOT-l

xex(一、b_x[eXe(F]

/(x)-/(-x)=

e^-le“一1eOT-l

又因?yàn)閄不恒為0,可得e*—e("-3=0，即e*=e("山，

則x=(a—l)x,即1=Q—1,解得Q=2.

故選：D.

5.設(shè)。為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域｛(》,歹)|1</+>2<4｝內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為

7T

，，則直線的傾斜角不大于一的概率為()

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意分析區(qū)域的幾何意義，結(jié)合幾何概型運(yùn)算求解.

【詳解】因?yàn)閰^(qū)域｛(蒼歹)|*/+/<4｝表示以0(0,0)圓心，外圓半徑及=2,內(nèi)圓半

徑廠=1的圓環(huán)，

71

則直線的傾斜角不大于1的部分如陰影所示，在第一象限部分對(duì)應(yīng)的圓心角

ZMON=

7

結(jié)合對(duì)稱性可得所求概率rD=----4-=——1.

2兀4

故選：C.

單調(diào)遞增，直線=。和為函數(shù)

6.已知函數(shù)/(x)=sin(<?x+9)在區(qū)間XX=§

63

571

y=/(x)的圖像的兩條對(duì)稱軸，則/

12

【答案】D

【解析】

571

【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入X=-、即可得到答

【詳解】因?yàn)?(x)=sin(0x+°)在區(qū)間單調(diào)遞增,

T2Tl7171

所以一=------=—,且①〉0,則7=兀，

2362

當(dāng)x=?■時(shí)，/(x)取得最小值，則2?四+。=2厄1一4，k&Z,

貝|］。=2也----,keZ,不妨取左=0,則/(x)=sin

5兀5兀

則/n

故選：D.

7.甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相

同的選法共有()

A.30種B.60種C.120種D.240種

【答案】C

【解析】

【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即

可得到答案.

【詳解】首先確定相同得讀物，共有C；種情況，

然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有A；種,

根據(jù)分步乘法公式則共有C/A；=120種，

故選：C.

Ri=>￡n扁攤RO的底面生存頭7.W一C頭7直而同心一P4.PA頭1劇儺的舟緯一//CA=1?n。

若在u的面積等于竽，則該圓錐的體積為（）

A.兀B.娓兀C.3萬(wàn)D.3辰

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長(zhǎng)，進(jìn)而求出圓錐的高，求出

體積作答.

【詳解】在"08中，乙405=120°，而。4=。8=石，取NC中點(diǎn)C,連接OC,PC,

有民尸CL4B,如圖，

ZABO=30°-OC=%AB=2BC=3，^&PAB的面積為也，得工x3x尸C=處,

2424

解得尸C=孚，于是尸0=J.C2_OC?=［（?。?一02=屈,

所以圓錐的體積%=L兀X。么2義po=J_7rX（3）2X后=遙限

33'

故選:B

9.已知△NBC為等腰直角三角形，為斜邊，為等邊三角形，若二面角

C—4B—D為150。,則直線CD與平面N3C所成角的正切值為（）

1V2V32

A.-B.—C.—D.-

5555

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.

【詳解】取N3的中點(diǎn)E,連接CE,DE,因?yàn)锳43c是等腰直角三角形，且48為斜邊,

則有CE1力8,

又△48。是等邊三角形，則。E1/8,從而/CE。為二面角C—48—。的平面角，即

ZCED=150°,

顯然。￡仆0￡=及?！??！曦纹矫?)￡,于是平面CDE,又48u平面A8C,

因此平面CDE1平面ABC,顯然平面CDEn平面ABC=CE,

直線CDu平面CDE,則直線CD在平面ABC內(nèi)的射影為直線CE,

從而/OCE為直線C。與平面4BC所成的角，令A(yù)B=2,則CE=1,DE=G，在

△CZ)￡中，由余弦定理得:

CD=^CE*12+DE2-2CE-DEcosACED=

r)pCD

由正弦定理得EF即sinZDCE=瓜1宴。=g,

sinZC￡Z)V72V7

顯然ZDCE是銳角，cosNDCE=V1-sin2Z￡>C￡=

所以直線CD與平面ABC所成的角的正切為上.

5

故選：C

已知等差數(shù)列｛%｝的公差為等，集合若｛。,用則仍=

10.s=｛cos%I"eN*｝,S=，)

1八1

A.11B.---C.0D.—

22

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫(xiě)出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元

素分析、推理作答.

2兀2冗271

【詳解】依題意，等差數(shù)列｛4｝中，an=?1+(Z7-l)—=ytt+(a1-y),

27r2

顯然函數(shù)^=cos弓-〃+(%--1)］的周期為3,而“eN*，即COS%最多3個(gè)不同取值，

又{cos%|〃￡N*}={〃,b},

貝！J在cos%,cosa2,cosa3中,cosax=cosa?wcosa3或cosaxwcosa2-cosa3,

27rzujr

于是有cos。=cos(^+—),即有0+{0+—)=2kli,kGZ,解得8=左GZ,

所以壯Z,

J/7兀、「/7兀、4兀[兀、27兀i

ab=cos(^7i-—)cos[(hi-y)+—J=-cos(hi--)cosKTI=-coskncos—=.

故選：B

2

ii.設(shè)a8為雙曲線Y-/=i上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段中點(diǎn)的是()

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.

(-1,-4)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得?左=9,對(duì)于A、B、D：通過(guò)聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù),

逐項(xiàng)分析判斷；對(duì)于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.

【詳解】設(shè)/(國(guó),％),3伍,%)，則48的中點(diǎn)四西

;

)i+y2

可得的8=匕二22_yi+y2

X]-x2X]+/X]+x2

2

x2」；—1

922

因?yàn)?8在雙曲線上，貝u兩式相減得(X；-引-"了=0,

2

2_2

所以用"[==9

玉—x2

對(duì)于選項(xiàng)A：可得左=1,左加=9,則N6:y=9x—8,

\v=9x-8

聯(lián)立方程2消去y得72/—2X72X+73=0,

X

止匕時(shí)A=(—2x72)2—4x72義73=_288＜。,

所以直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤;

9Q5

對(duì)于選項(xiàng)B：可得左二—2,左/§二一5，則43：y=—/X—5,

22

聯(lián)立方程<2，消去丁得45*+2X45X+61=0，

2》7

Xr-----1

19

此時(shí)A=（2x45）~-4x45x61=-4x45xl6<0,

所以直線48與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：可得左=3,心B=3，則4S：y=3x

由雙曲線方程可得a=1,6=3,則45:y=3x為雙曲線的漸近線,

所以直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

997

對(duì)于選項(xiàng)D：k=4,k2=~>則N5：J7=這x—w，

97

聯(lián)立方程消去y得63/+126x—193=0，

此時(shí)A=1262+4X63X193>0，故直線與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；

故選：D.

12.已知。。的半徑為1,直線P4與。。相切于點(diǎn)4直線尸8與。。交于8,C兩點(diǎn)，D

為3c的中點(diǎn)，若|P0|=J5,則可.麗的最大值為（）

1+2正

2

C1+V2D.2+V2

【答案】A

【解析】

【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得

------1V2.

PAPD'--丁sin然后結(jié)合三角函數(shù)的

性質(zhì)即可確定p2■質(zhì)的最大值.

【詳解】如圖所示，=則由題意可知：/4P0=45。，

由勾股定理可得PA=yjop2-OA2=1

B

D

71

當(dāng)點(diǎn)4。位于直線尸。異側(cè)時(shí)，設(shè)AOPC=a,0<a<—,

4

則：沙?麗=1尸/"尸0cos|

aH—

=1xV2cosacos(a+

=，2cosa1——2cosa----2-smaJ

=cos2a-sinacosa

1+cos2a1.

二-------------sin2a

22

iV2.q

-------smla---

22I4；

77TT7171

0<6Z<-,則——<2a---<—

4444

._兀71.

「?當(dāng)2a—=—時(shí)，濟(jì).所有最大值1.

44

>

71

當(dāng)點(diǎn)4。位于直線PO同側(cè)時(shí)，設(shè)/。尸。=a,04a?—,

4

則：沙.歷尸0cos|

=1XA/2COSacosa--

I4j

BfV2V2.、

122J

=cos2a+s?macosa

1+cos2a1.c

=-----------+—sin2a

22

1V2.f如

=—+——sm2cif+—

22I4)

7TTTTTTT

0<a<~,則與2。+上4々

4442

兀71——??,

.,.當(dāng)2&+：=不時(shí)，p/.po有最大值-----.

422

綜上可得，可.麗的最大值為I，".

2

故選:A

【點(diǎn)睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值

的問(wèn)題，考查了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的綜合掌握程度和靈活處理問(wèn)題的能力.

二、填空題

13.已知點(diǎn)/（1,右）在拋物線C：產(chǎn)=2.上，則/到。的準(zhǔn)線的距離為.

9

【答案】-

4

【解析】

【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為

x=-3，最后利用點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計(jì)算點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離即可.

4

【詳解】由題意可得：（J^『=2pxl,則2夕=5,拋物線的方程為/=5x,

準(zhǔn)線方程為x=—*,點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離為1一（-3.

4<4；4

9

故答案為：—.

4

x-3y<-1

14.若x,y滿足約束條件<x+2y<9,則z=2x—y的最大值為.

3x+y>l

【答案】8

【解析】

【分析】作出可行域，轉(zhuǎn)化為截距最值討論即可.

【詳解】作出可行域如下圖所示：

z=2x-y,移項(xiàng)得y=2x-z,

x-3y=-1fx=5

聯(lián)立有《（c,解得c，

x+2y=9[歹=2

設(shè)幺（5,2）,顯然平移直線y=2x使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,此時(shí)截距-z最小，則二最大,

代入得z=8,

故答案為：8.

yk3x+y=l

2x-y=0y

，八

15.已知｛a,｝為等比數(shù)列，a2a4a5=。3%>，a9aio=-8,貝!J%=.

【答案】-2

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對(duì)a2a4%=%4化簡(jiǎn)得=1，聯(lián)立=-8求出=一2,

最后得%=a\Q■[5=g5=—2.

【詳解】設(shè)｛%｝的公比為則a2a4a5=a3a6=a2q?a5q,顯然%W0,

32s

則a，=q2,即a｝q=q,則axq-\,因?yàn)?-8,則axq?G/=_g,

55

則9"=（鄉(xiāng)5）=—8=（一2）3,則/=一2,則％=axq-q=q=—2,

故答案為：-2.

16.設(shè)"（0,1）,若函數(shù)/（x）="+（l+a）"在（0,+。）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是

.田是"、Vs-1

【答案】——,1

_2/

【解析】

【分析】原問(wèn)題等價(jià)于/'(x)=a1na+(l+ayin(l+a)20恒成立，據(jù)此將所得的不等

式進(jìn)行恒等變形，可得[匕q]2-，*、,由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)。的二次不

\a)ln(l+a)

等式，求解二次不等式后可確定實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】由函數(shù)的解析式可得了'(x)=優(yōu)Ina+(1+a)*In(1+a)20在區(qū)間(0,+")上恒

成立，

"缶在區(qū)間(0,+動(dòng)上恒成立,

則(1+a)*ln(l+a)>-axIna,即

故=1?—]),而a+le(l,2),故ln(l+a)〉0,

>-ln(24Z(4Z+1)>1[./Vs—1

7

故即《1故------?Q<1，

0<。<10<Q<1

、2

Ml、

結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)。的取值范圍是

2，,

7

飛-1

故答案為:

三、解答題

17.某廠為比較甲乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配

對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處

理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為

X,,,匕[=1,2,…,10).試驗(yàn)結(jié)果如下：

試驗(yàn)序號(hào)

12345678910

i

伸縮率七545533551522575544541568596548

伸縮率N536527543530560533522550576536

記Z,=X,.-%。=1,2,…,10),記Z],Z2,…,胡的樣本平均數(shù)為,樣本方差為?.

⑴求,Y；

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯

著提高(如果則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠

V10

產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高)

【答案】(1)Z=11,$2=61；

(2)認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提

高.

【解析】

【分析】(1)直接利用平均數(shù)公式即可計(jì)算出京］,再得到所有的乙值，最后計(jì)算出方差即

可；

(2)根據(jù)公式計(jì)算出2、三的值，和三比較大小即可.

V10一

【小問(wèn)1詳解】

_545+533+551+522+575+544+541+568+596+548―

x=-------------------------------------------------=552.3,

10

_536+527+543+530+560+533+522+550+576+536一，、

y=-------------------------------------------------=541.3,

’10

彳=元一歹=552.3-541.3=11,

4=看一m的值分別為：9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,

故

(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2

s2=-----------------------------------------------------------------------------=61

【小問(wèn)2詳解】

由(1)知:彳=11,22y/6A=424A，故有亍22Jfo

所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提

高.

18.在中，已知NA4C=120°,AB=2,AC=1.

(1)求sinZABC；

(2)若。為8c上一點(diǎn)，且NB4D=90。，求△4DC的面積.

V21

【答案】(1)

14

⑵尋

【解析】

【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長(zhǎng)5C的值為5C=J7，然后由余弦定理可得

cosB二迎,最后由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinB=?*

1414

(2)由題意可得考3=4,則SAZOMISA/BC，據(jù)此即可求得△ZOC的面積.

'△ACD5

【小問(wèn)1詳解】

由余弦定理可得：

BC2=a2=b2+c2-2bccosA

=4+l-2x2xlxcos120°=7，

222

—crna+c-b7+4-15幣

貝U，cosB=----------=-------產(chǎn)=----，

2ac2X2XV714

.*卜-----F7_L25_V21

V2814

【小問(wèn)2詳解】

S—xABxADxsin90"

由三角形面積公式可得等儂=j-----------------=4,

△ACD—xACxADxsin30°

2

則S^c。=；S^BC=(x[g><2xlxsinl2oj=W_.

19.如圖，在三棱錐尸一48。中，ABIBC,AB=2,BC=2C，PB=PC=E

BP,AP,3c的中點(diǎn)分別為Z>,E,O,40=?)。，點(diǎn)少在ZC上，BF1AO.

(1)證明：跖//平面40。；

(2)證明：平面4DO_L平面8EF；

(3)求二面角。—NO—C的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析；(3)注.

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件，證明四邊形OQ斯為平行四邊形，再利用線面平行的判定推

理作答.

(2)由(1)的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.

(3)由(2)的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.

【小問(wèn)1詳解】

連接DE,OF,設(shè)AF=tAC,則BF^BA+AF^(l-t)BA+t'BC,

―■—1—.

AO=-BA+-BC,BFLAO,

2

---------------?----1--------21彳

則BFAO=[(l-t)BA+tBC]-(-BA+-BC)=(t-V)BA+~tBC2=4?—1)+=0,

解得仁L則尸為/C的中點(diǎn)，由。,￡,O,尸分別為四,P45CNC的中點(diǎn),

2

于是DE//AB,DE=]-AB,OF//AB,OF=LAB,即iDEUOF,DE=OF,則四邊形

22

ODEF為平行四邊形,

EF/!DO,EF=DO,又跖Z平面400,00u平面40。,

【小問(wèn)2詳解】

由(1)可知EF//OD,則么0=指,。0=立，得幺。=逐。0=10

22

因此。。2+/。2=",則有

2

又AO上BF,BF^\EF=F,BF,EFu平面BEF,

mil后AnI近而DZ7Z7T7//Cz—五百/八c斤二[、|近而A\近而Dirzr

【小問(wèn)3詳解】

過(guò)點(diǎn)、。作OH//BF交AC于點(diǎn)、H,設(shè)NOn8E=G,

由得M9工幺O,且FH=MH,

3

又由(2)知，0D1A0,則/。0a為二面角?！狽O—C的平面角，

因?yàn)椤?￡分別為尸民P4的中點(diǎn)，因此G為JAB的重心，

1113

即有。G=—AD,G￡=—8￡,又FH=—AH,即有。8=—GF,

3332

3_15

+2

..Dri224+6-PA_Jg

cosNABD=一:2x2x而'解得尸N=內(nèi)，同理得3E=32，

2x2x----xx2

2

(}/7V(s

于是BE?+EF?=BF?=3,即有則GT^=-x—+—=—,

132J3

從而GF=叵，DH=>x^=叵,

3232

1巧旦,DH=叵,

在△DOH中，OH=—BF=g,0D=

2222

63_15

于是cosNDOH=4+秒4=—4,sin/DOH=F—曰=券,

A/6732

2x----x----

22

所以二面角。—/0—C的正弦值為注.

2

A

22離心率是*，點(diǎn)/(—2,0)在C上.

20.已知橢圓c：與+==1(?！?〉0)的

ab

(1)求C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)(-2,3)的直線交。于尸,0兩點(diǎn),直線4P,NQ與了軸的交點(diǎn)分別為M,N,證

明：線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

22

【答案】（1）匕+土=1

94

（2）證明見(jiàn)詳解

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意列式求解。,仇。，進(jìn)而可得結(jié)果；

（2）設(shè)直線尸。的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證也產(chǎn)為定值即可.

【小問(wèn)1詳解】

b=2Q=3

由題意可得力=〃+/,解得.b=2,

cV5

e——―-----、

、a3

22

所以橢圓方程為匕+匕=1.

94

【小問(wèn)2詳解】

由題意可知：直線尸0的斜率存在,設(shè)。。：歹=左（》+2）+3,0（國(guó),弘）,。（々,必）,

y=左（％+2）+3

聯(lián)立方程y2,消去y得：（4左~+9）x~+8左（24+3）x+16（上一+3左）=0,

[94

則A=64k2（2k+3）2-64（4左2+9^k2+3k）=-1728k>0,解得比<0,

「汨8左（2左+3）16,（r+3

口J倚跖+X,=-----J-----xx=—

124F+9912，4左2+9

因?yàn)?（—2,0）,則直線ZP:尸（七（x+2）,

令x=0,解得歹=義），即

西+2I陽(yáng)+2J

同理可得

2必2%

則玉+2%+2_[后（/+2）+3][左（%2+2）+3]

-I

2國(guó)+2x2+2

X

[Ax[+（2k+3）]（x2+2）+[A2+（2左+3）]（再+2）2kxix2+（4A：+3）（x1+々）+4（24+3）

（%+2）（X2+2）xxx2+2（再+x2）+4

32M后2+3左）%（4左+3）（2斤+3）

+4（2左+3）

〃W8

4+94r+9--------------=-----=3

16（公+3左）16M2后+3）36

+4

4/+94〃+9

所以線段尸。的中點(diǎn)是定點(diǎn)（0,3）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問(wèn)題的三個(gè)步驟

（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；

（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某

些變量）無(wú)關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；

（3）得出結(jié)論.

21.已知函數(shù)/（x）=（，+a）n（l+x）.

（1）當(dāng)a=-l時(shí)，求曲線＞=/（x）在點(diǎn)（1,/。））處的切線方程;

（2）是否存在a,b,使得曲線^=關(guān)于直線x=b對(duì)稱,若存在，求4,6的值，若

不存在，說(shuō)明理由.

（3）若/（x）在（0,+力）存在極值，求a的取值范圍.

【答案】(1)(ln2)x+j-ta2=0；

(2)存在a=—,b=——滿足題意，理由見(jiàn)解析.

22

【解析】

【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切

點(diǎn)坐標(biāo)，最后求解切線方程即可；

(2)首先求得函數(shù)的定義域，由函數(shù)的定義域可確定實(shí)數(shù)6的值，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性

利用特殊值法可得關(guān)于實(shí)數(shù)。的方程，解方程可得實(shí)數(shù)。的值，最后檢驗(yàn)所得的a,b是否正

確即可；

⑶原問(wèn)題等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)有變號(hào)的零點(diǎn)，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)g(x)=/+x-(x+l)ln(x+1),

然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論aWO,!和0<。<,三

22

中情況即可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)a=-l時(shí)，/(x)=^--l^ln(x+l),

則/'(x)=--yxln(x+l)+f--l>|x—,

據(jù)此可得/(l)=0,/'(l)=—ln2,

函數(shù)在(1,7(1))處的切線方程為V-0=Tn2(x-l),

即(ln2)x+y-ln2=0.

【小問(wèn)2詳解】

由函數(shù)的解析式可得=(x+a)lnj，+l],

1Y?1

函數(shù)的定義域滿足一+1=——>0,即函數(shù)的定義域?yàn)?一叫一1)。(0,+8),

定義域關(guān)于直線》=一一對(duì)稱，由題意可得6=一-

22

由對(duì)稱性可知/—+mm>—

a

取羽=；可得/⑴=/(一2),

即(a+1)In2=(Q—2)In5,則Q+1=2—Q,解得0=5，

經(jīng)檢驗(yàn)a=—,b=—滿足題意，故。=—,b=—.

2222

即存在a——,b=—滿足題意.

22

【小問(wèn)3詳解】

由函數(shù)的解析式可得/'(X)=[—^jln(x+l)+1—Fa]——,

由/(X)在區(qū)間(0,+8)存在極值點(diǎn)，則/'(X)在區(qū)間(0,+8)上存在變號(hào)零點(diǎn)；

令(一3回+1)+04匕=0，

貝U-(x+l)ln(x+l)+(x+cix^)=0,

令g(x)=&+x-(x+l)ln(x+l),

/(工)在區(qū)間(0,+”)存在極值點(diǎn)，等價(jià)于g(x)在區(qū)間(0,+8)上存在變號(hào)零點(diǎn)，

g'(x)=2tzx-ln(x+l),gr<(x)=2a-----

JC+1

當(dāng)aW0時(shí)，g'(x)<0,g(x)在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞減，

此時(shí)g(x)<g(0)=0，g(x)在區(qū)間(0,+力)上無(wú)零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)a2L2a21時(shí)，由于」一<1,所以g"(x)>0,g'(x)在區(qū)間(0,+功上單調(diào)遞增,

所以g'(x)〉g'(O)=O,g(x)在區(qū)間(0,+。)上單調(diào)遞增,g(x)>g(O)=O,

所以g(x)在區(qū)間(0,+8)上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)0<。<一時(shí)，由g(x)=2a-------=0可得x=------1,

2')x+12a

當(dāng)無(wú)—1]時(shí)，g"(x)<0,g'(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xej，--l,+oo]時(shí)，g"(x)〉0,g'(x)單調(diào)遞增，

故g'(x)的最小值為g'U--lj=l—2a+ln2a,

令加(x)=l—x+lnx(0<x<l),則加'(x)=----->0,

x

函數(shù)加(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，/n(x)<m(l)=O,

據(jù)此可得1一x+Inx<0恒成立，

則g'[^——I=1-2a+In2a<0,

令=Inx-V+x(x>0),則/(%)=—2x+x+l,

JC

當(dāng)xe(0,1)時(shí),“(x)〉0,〃(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，”(x)<0,/z(x)單調(diào)遞減，

故〃(x)<A(l)=0,即inx</一x(取等條件為x=1),

所以g，(x)=2ax-ln(x+l)>2ax-[(x+1)-_(x+1)]=lax-^x1+x),

g'(2a-l)>2a(2a-l)-[(2a—+(2a-l)]=0,且注意到g'(0)=0,

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:g'(x)在區(qū)間(0,+“)上存在唯一零點(diǎn)吃.

當(dāng)》6(0,/)時(shí)，g'(x)<Q,g(x)單調(diào)減，

當(dāng)工?%,+8)時(shí),g,(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以g(x())<g(O)=O.

令"(x)=lnx-jx一二j,則/(%)=-+=02"<0>

則單調(diào)遞減，注意到〃(1)=0,

故當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，1nx—,1%]<0,從而有InxV'lX—],

所以g(x)=ax2+x-(x+l)ln(x+l)

>ax2+x-(x+l)x；

所以函數(shù)g(X)在區(qū)間(0,+”)上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意.

綜合上面可知:實(shí)數(shù).得取值范圍是

【點(diǎn)睛】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)

拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐

層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.

(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)：①列式:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條

件列方程組，利用待定系數(shù)法求解;②驗(yàn)證:求解后驗(yàn)證根的合理