2024高中數(shù)學-集合中的新概念問題2論文-新人教A版必修1

2024高中數(shù)學-集合中的新概念問題2論文-新人教A版必修1集合中的創(chuàng)新型問題集合是整個高中數(shù)學最基礎的知識點之一，集合中的創(chuàng)新型問題也成了高考熱點；以集合內容為背景即時設計一個陌生的問題情景，給出一個新的概念、運算、法則，要求學生在理解新概念、新運算、新法則的基礎上去解決問題，此類題的關鍵是理解新定義、新運算、新法則等。新定義類：例1設A是整數(shù)集的一個非空子集，對于k∈A,如果且那么k是A的一個“孤立元”，給定S={1,2,3,4,5,6,7,8}由S中的3個元素構成的所有集合中不含“孤立元”的集合共有幾個，并一一列舉出來，分析：理解新定義“孤立元”就是一個元素沒有相鄰元素，而無“孤立元”是指每一個元素都有相鄰元素。解：依題意得，“孤立元”K必須是沒有與K相鄰的元素，因而無“孤立元”是指在集合中有與K相鄰的元素，故符合題意的集合為：｛1,2,3｝，｛2,3,4｝｛3，4,5｝，｛4,5,6｝，｛5,6,7｝，｛6,7,8｝共6個。評注：此題關鍵是理解新定義“孤立元”,從中找到做題突破口。練習：1.若對某集合中的任意兩個元素進行某種運算，運算結果仍在此集合中則稱此集合對該運算是封閉的，集合M由正整數(shù)的平方組成，即M=｛1,4,9,16,25……｝，那么M對下列運算封閉的是()(A)加法(B)減法(C)乘法(D)除法2.若對任意a∈M,都有-a∈M，就稱集合M(M≠)是一個“對稱集合”，已知集合U=R，A=｛x︱x＜-1｝,B=｛x︱x≤1｝,則下列集合是“對稱集合”的是（）(A)AB(B)AB(C)(D)MM-PMM-PP例2，設M,P是兩個非空集合，定義M與P的差集為：M-P=｛x︱x∈M且xP｝則M-(M-P)=____(A)P(B)M(C)MP(D)MP分析：這是集合創(chuàng)新題，“M-P”是同學們在中學不曾學過的一種集合運算，應緊扣集合中元素的屬性來解題。解：剖析理解新運算差集M-P=｛x︱x∈M且xP｝，即元素屬于被減集合而不屬于減集合，結合維恩圖可知M-(M-P)所指應為兩集合的公共部分，即MP，所以選C評注：此題易錯選A，因為M-(M-P)可去括號化簡得P，錯誤原因就是對差集運算定義理解不足。練習：1.(2010年廣東（文）)在集合{a,b,c,d}上定義兩種運算和如下abcdaabcdbbbbbccbcbddbbdabcdaaaaababcdcaccadadad那么d(ac)=()(A).a(B).b(C).c(D).d2.定義集合A與B的運算：A⊙B={x|x∈A，或x∈B，且x}，已知集合A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7}，則(A⊙B)⊙B為()（A）{1，2，3，4，5，6，7}（B）{1，2，3，4}（C）{1，2}（D）{3，4，5，6，7}新法則類：例3.若集合A1，A2滿足A1∪A2=A，則稱(A1，A2)為集合A的一種分拆，并規(guī)定：當且僅當A1=A2時，(A1，A2)與(A2，A1)為集合的同一種分拆，則集合A={a1，a2，a3}的不同分拆種數(shù)是()（A）27（B）26（C）9（D）8分析：要理解拆分法則，并注意當且僅當A1=A2時，(A1，A2)與(A2，A1)為集合的同一種分拆的細節(jié)問題。解：考慮元素a1有3種情形：①a1∈A1，a1A2，②a1A1，a1∈A2，③a1∈A1，a1∈A2同理，元素a2，a3也都有3種情況，故共有3×3×3=27種不同分拆種數(shù)。評注:本題考查了閱讀和理解能力,關鍵是對新法則分拆的理解，并注意其細節(jié)規(guī)定問題。練習：1.設數(shù)集M=｛X︱m≤X≤m｝，N=｛X︱n-≤X≤n｝，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“長度”，那么集合M∩N的“長度”的最小值是()（A）（B）（C）（D）2.設I={1，2，3，4}，A與B是I的子集，若A∩B={1，3}，則稱(A，B)為一個“理想配集”.那么符合此條件的“理想配集”的個數(shù)是(規(guī)定(A，B)與(B，A)是兩個不同的“理想配集”)()（A）4（B）8（C）9(D)16“直線與平面”錯解點擊在“直線與平面”內容中，為了研究直線與直線之間，直線與平面之間，平面與平面之間的各種關系，引進了一些基本概念和數(shù)學方法，例如“異面直線”，“直線與平面所成的角”、“二面角”等概念，反證法、同一法等方法，對于這類特定的概念理解不準確，對這些方法的掌握存在某些缺陷，解題時就容易出錯．下面通過幾例，對產生錯誤的解法進行分析，研究糾正錯誤的方法，從中吸取有益的教訓，以加深對知識的理解，提高解題能力．例1證明；斜線上任意一點在平面上的射影，一定在斜線的射影上．錯解如圖,對于平面，直線AB是垂線，垂足B是點A的射影；直線AC是斜線，C是斜足，直線BC是斜線AC的射影．在AC上任取一點P，過P作PO⊥交BC于O，∴點P在平面上的射影在BC上．點擊這樣的證明似乎有點道理，事實上這些點也是在這條斜線在該平面的射影上，但仔細分析，這些點在這條斜線在該平面的射影上的理論根據(jù)不足，過點P作PO⊥交BC于O，恰恰是本題要證明的．是一種易犯的邏輯錯誤，許多同學在解題中往往錯而不覺，對此應引起警覺．正解AC是平面的斜線，點C是斜足，AB⊥，點B是垂足．則BC是AC在平面上的射影．在AC上任取一點P，過點P作PO⊥,垂足為O．∴AB⊥，∴PO∥AB，∵點P在A、B、C三點確定的平面上，因此，PO平面ABC，∴O∈BC．例2已知、是兩個不重合的平面，①若平面⊥平面，平面⊥平面，則平面∥平面；②若平面內不共線的三個點到平面的距離相等，則平面∥平面；③a、b是平面內的兩條直線，且a∥，b∥，則平面∥平面；以上正確命題的個數(shù)為()．(A)O個(B)1個(C)2個(D)3個錯解三個命題都正確，選(D)．點擊產生錯誤的原因是對問題不能全面的分析，缺乏把握空間元素位置關系的能力，不是用特殊代替一般，就是用一般統(tǒng)蓋“特殊”．如判斷①、②是真命題，只是考慮了圖1與圖2的情況，而忽略了圖3與圖4的情況．(1)(2)(3)(4)而判斷③是真命題，則是對平面與平面平行的判定定理：“如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行”沒有真正理解，用任意兩條直線代替了定理中的特指條件“兩條相交直線”．正解因為三個命題都不正確，所以選(A)．例3如圖E1、E2、F1、F2、G1、G2、H1、H2分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上的三等分點，求證：E1H1，與F1G2是異面直線．錯證1(直接法)①連BD，由題設=，=，∴E1H1與BD不平行，設其交點為P，則P∈BD．∵==,則F1G2∥BD，∴PF1G2．②又E1P平面BCD，且E1∈E1P，∴E1平面BCD．故平面BCD內一點P與平面BCD外一點E1的連線E1P(即E1H1)與平面BCD內不過P點的直線F1G1是異面直線．錯證2(反證法)設E1H1與F1G2不是異面直線，則E1H與F1G相交或E1H1∥F1G2．①設E1H1∩F1G2=P，∵E1H平面ABD，F(xiàn)1G平面CBD，則E1H1與F1G2的公共點P應在平面ABD與平面CBD的交線BD上，則F1G2∩BD=P，這與F1G2∥BD(∵△CBD中，==)矛盾，∴E1H1與F1G2不相交．②設E1H1∥F1G2，∵F1G2∥BD，由公理4知E1H1∥BD，這與E1H1BD=P(∵在△ABD中，=，=，∴E1H1與BD不平行，必相交于一點P)矛盾，∴E1H1與F1G2不平行．綜合(1)、(2)知E1H1與F1G2是異面直線．點擊采用證法1時，有些同學往往忽略強調點P在平面CBD上但不在直線F1G2上，且點E1在直線E1P上但不在平面CBD上，只證E1H1與F1G2無公共點的一面，而忽視它們不在同一平面上，便得出E1H1與F1G2是異面直線的結論，這是對其判定定理的片面理解，因而是錯誤的．在采用證法2時，易犯的錯誤也是不全面，只排除了E1H1與F1G2不可能相交而忽略了還應排除它們平行的可能．因此，一定要深刻理解異面直線的定義，克服證題中的片面性．例4在正方體ABCD—A1B1C1D1中，求它的對角線BD1與平面A1B1CD所成的角．錯解連結A1C交BD1于E，則∠D1EA為BD1與平面A1B1CD所成角．設正方體的邊長為a.則A1E=D1E=a．又A1D1=a，在△A1ED1中，由余弦定理得cos∠A1ED1====∴∠A1ED1=arccos,即BD1與平面A1B1CD所成角為arccos.點擊以上證法的錯誤在于，∠A1ED1不是直線BD1與平面A1B1CD所成的角.平面的一條斜線與它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線與這個平面所成的角，本題中D1A1不垂直于平面A1B1CD，所以A1E不是D1E在平面A1B1CD內的射影．正是對“直線在平面內的射影”這個概念理解不清，導致了以上錯誤，所以在解此類題時，一定要先找出斜足，再作出垂足，垂足與斜足連線才得射影.正解∵A1B1⊥平面A1ADD1,又A1B1平面A1B1CD∴平面A1ADD1⊥平面A1B1CD.連結AD1交A1D于O,則D1O⊥A1D,∴D1O⊥平面A1B1CD.連A1C交BD1于E，連OE，則OE為D1E在平面A1B1CD內的射影,∴∠D1EO為BD1與平面A1B1CD所成的角.設正方體的邊長為a,則D1O=a,OE=AB=a,在RtD1OE中,tan∠D1EO==,∴∠D1E0=aretan，即BD1與平面A1B1CD所成的角為arctan.例5已知，AB是半徑為R的⊙O的直徑，0C⊥AB，P、Q是圓上兩點，且∠AOP=300，∠COQ=450,沿OC折疊使半圓面成一直二面角(如圖)，求P、Q兩點間的距離.錯解在平面AOC內，過點P作PD⊥OC于D，∵平面AOC⊥平面BOC，則PD⊥平面BOC，連結DQ，∴DQ平面BOC，∠PDQ是直二面角A—O—CB的平面角，∴∠PDQ=900．∵∠AOP=300，∴∠POD=600．在Rt△POD中，PD=Rsin600=R,在Rt△DOQ中，DQ=Rsin450=R,∴在Rt△PDQ中，PQ===,即P、Q兩點間的距離是．點擊此證法的錯誤在于對二面角的平面角理解有誤．判定一個角是否是二面角的平面角，必須同時滿足三個條件：①頂點在棱上；②角的兩邊分別在兩個半平面內；③這兩條射線都必須垂直于棱．誤解中忽視了條件③中的“都”字，事實上，DQ與OC不垂直，這再次提醒我們必須搞清空間每個元素的確切含義，概念一定要清楚，解題過程中要嚴格按定義要求落實，不能隨心所欲．正解同錯解，得PD=R.又0D=R．在△0DQ中，由余弦定理得DQ2=0D2+0Q2一20D·OQcos450==R2在Rt△PDQ中，由勾股定理，得PQ===.故P、Q兩點之間的距離為.變化率與導數(shù)學習解讀導數(shù)概念的學習因其抽象性歷來成為學生理解的一個難點，但由于它是推導導數(shù)運算法則與導數(shù)公式的最基本依據(jù)，是進一步學習導數(shù)知識的基礎，因而成為本部分內容學習的重點。下面就導數(shù)的學習加以闡述。導數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y=f(x)在處的瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)y=f(x)在處的導數(shù)，記作或，即。一、概念要點解讀1.概念的本身給出了求函數(shù)y=f(x)在處的導數(shù)的步驟，即由導數(shù)定義求導數(shù)時，須嚴格按以下三個步驟進行：(1)求函數(shù)的增量； (2)求平均變化率；(3)取極限，得導數(shù)。以上步驟可簡單歸結為：一差、二比、三取極限。2.對導數(shù)的定義，我們還應注意以下三點：(1)△x是自變量x在處的增量(或改變量)．其值可正可負，但不為零。(2)注意定義式中△x的三統(tǒng)一，即分子、分母及極限符號下的三處應一致例1.若的值為（）A-3B-6C-9D-12解析：故答案選D。點評：本題是關于應用導數(shù)的定義來解決的一個題目，旨在考查對定義的理解，特別要注意的是在運用定義解答的過程中△x的三統(tǒng)一