無(wú)窮級(jí)數(shù)疑難分析講座

關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)疑難分析講座

無(wú)窮級(jí)數(shù)主要內(nèi)容一、常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)二、冪級(jí)數(shù)三、傅立葉級(jí)數(shù)（三角級(jí)數(shù)）第2頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天（1）正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件:1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂法:一.常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂例如證明:第3頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天

設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且可找到正數(shù)k和自然數(shù)N，(1)如果級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂。(2)如果級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散。(2).比較判別法(一般形式)：(大的收斂，小的必收斂)(小的發(fā)散，大的必發(fā)散)則第4頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天應(yīng)用比較判別法：(一般形式)（1）由觀察初步估計(jì)級(jí)數(shù)的斂散性；（2）對(duì)一般項(xiàng)進(jìn)行放縮。說明：一般項(xiàng)的“放縮”是比較麻煩的！而比較判別法的極限形式，則可避免“放縮”。收斂,發(fā)散,第5頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天

比較判別法的極限形式

設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果則級(jí)數(shù)和同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。說明：比較法的極限形式避免了一般項(xiàng)的“放縮”！但仍需要確定比較對(duì)象.收斂,第6頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天(3).比值判別法(達(dá)朗貝爾判別法)

設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果(1)當(dāng)時(shí)，則級(jí)數(shù)收斂；(2)當(dāng)時(shí)，則級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)當(dāng)時(shí)，斂散性無(wú)法確定。優(yōu)點(diǎn)：不必借助其他級(jí)數(shù)，根據(jù)自身的結(jié)構(gòu)進(jìn)行判別。(需用其它方法)第7頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天(4).根值判別法(柯西判別法)

設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果(1)當(dāng)時(shí)，則級(jí)數(shù)收斂；(2)當(dāng)時(shí)，則級(jí)數(shù)發(fā)散；(3)當(dāng)時(shí)，斂散性無(wú)法確定。優(yōu)點(diǎn)：不必借助其他級(jí)數(shù)，根據(jù)自身的結(jié)構(gòu)進(jìn)行判別。(需用其它方法)第8頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天(4).積分判別法(柯西積分判別法)

設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)和廣義積分同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。第9頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性

若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足如下條件：則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。萊布尼茲判別法：第10頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天

任意項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散非用正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法收斂絕對(duì)收斂用萊氏準(zhǔn)則、定義或級(jí)數(shù)性質(zhì)判別收斂條件收斂發(fā)散是發(fā)散發(fā)散(附注)3.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂法：注:若用比值或根值判別法判得發(fā)散，則

必發(fā)散!第11頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天4.記住幾個(gè)基本級(jí)數(shù)：（1）調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散；（3）P-級(jí)數(shù)：（2）幾何（等比）級(jí)數(shù)第12頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天5.幾個(gè)常用結(jié)論:第13頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1填空題第14頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天1.若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則有()D例2選擇題第15頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天B(A).(1),(2);(B).(2),(3);(C).(3),(4);(D).(4),(1);第16頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天（A）絕對(duì)收斂；（B）條件收斂；（C）發(fā)散；（D）收斂性與a1有關(guān).3.設(shè)a1為任意常數(shù)，則級(jí)數(shù)

（）C第17頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天B(2003年考研三)第18頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)的本質(zhì)區(qū)別:

一個(gè)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的正數(shù)項(xiàng)與負(fù)數(shù)項(xiàng)所組成的級(jí)數(shù)都是收斂的;

一個(gè)條件收斂級(jí)數(shù)的正數(shù)項(xiàng)與負(fù)數(shù)項(xiàng)所組成的級(jí)數(shù)都是發(fā)散的.第19頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3判別級(jí)數(shù)的斂散性：說明：當(dāng)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)含有字母參數(shù)時(shí)，級(jí)數(shù)的斂散性通常與參數(shù)的取值范圍有關(guān)。解：故原級(jí)數(shù)發(fā)散.原級(jí)數(shù)收斂.第20頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例4、設(shè)(1)求的值(2)試證：對(duì)任意常數(shù)，級(jí)數(shù)收斂。解：則第21頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天則

或第22頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例5判別下列級(jí)數(shù)的斂散性解:故原級(jí)數(shù)的絕對(duì)值級(jí)數(shù)發(fā)散.由比較判別法知,第23頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天發(fā)散.將加括號(hào),得因加括號(hào)以后的級(jí)數(shù)發(fā)散,故原級(jí)數(shù)發(fā)散.第24頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例6判別下列級(jí)數(shù)的斂散性解:由比較判別法知,它是發(fā)散的.所以，原級(jí)數(shù)條件收斂。……………..第25頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2010級(jí)期末考題,7分)例7:設(shè)為單調(diào)增加的正值數(shù)列,證明:因?yàn)閱握{(diào)遞增正值數(shù)列,…….第26頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天收斂.數(shù)列收斂級(jí)數(shù)?例8證明:收斂收斂。部分和數(shù)列證:??收斂.數(shù)列連鎖消元第27頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天(2004級(jí)期末考題,5分)例9:設(shè)為單調(diào)遞減正值數(shù)列,求證：級(jí)數(shù)

收斂。證明:因?yàn)閱握{(diào)遞減正值數(shù)列,故收斂,而…….第28頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、冪級(jí)數(shù)2、已知，求其收斂區(qū)間及和函數(shù)。1、阿貝爾(Abel）定理。3、已知f(x)，（用間接展開法）將其展開成冪級(jí)數(shù)。重點(diǎn)：第29頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天問題1：已知冪級(jí)數(shù)，求和函數(shù)：未知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)

轉(zhuǎn)化問題2：已知函數(shù)，求其冪級(jí)數(shù)展開式:（用間接展開法）(1)求導(dǎo)與積分（2）變量代換法（3）代數(shù)恒等變形主要用的“轉(zhuǎn)化”方法如下:未知展開式的函數(shù)已知展開式的函數(shù)

轉(zhuǎn)化第30頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天應(yīng)記住的冪級(jí)數(shù)展開式:第31頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為3，則冪級(jí)數(shù)

的收斂區(qū)間（）.(不計(jì)端點(diǎn))（-2，4）1.例1填空題1冪級(jí)數(shù)在x=2收斂。（1，3]3.當(dāng)a取值范圍為（）時(shí)，第32頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2選擇題B第33頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例3選擇題C第34頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天

例4.將展開成x

的冪級(jí)數(shù)。(2006年考研一,12分)解:并求：第35頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天的冪級(jí)數(shù)展開式唯一，故其中x6的系數(shù)為：是f(x)的泰勒級(jí)數(shù)第36頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天1、狄利克雷(Dirichlet)充分條件(收斂定理)；三.傅里葉級(jí)數(shù)2、f(x)的歐拉——傅里葉系數(shù)公式；3、常見題型：（1）求傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x)；（3）將定義在上的函數(shù)f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù)。（4）將定義在上的函數(shù)f(x)展開成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)。（2）將以為周期的周期函數(shù)f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù)。（6）證明題。(5)將定義在[a,a+2l]上的函數(shù)f(x)展開為以2l為周期的傅里葉級(jí)數(shù)。需做變量代換t=x-(a+l)第37頁(yè),共42頁(yè)，2024年2月25日，星期天例１：1設(shè)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，它在(-1.1]上定義為：則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x=1處收斂于（）。