2024橢圓切線的尺規(guī)作法

2024橢圓切線的尺規(guī)作法橢圓切線的尺規(guī)作法在研究橢圓問題時(shí)，得到以下橢圓切線的一個(gè)尺規(guī)作法：已知橢圓方程為EQ\F(x2,a2)+EQ\F(y2,b2)=1(a>b>0)，過橢圓上一點(diǎn)Q(x0,y0)切線方程為EQ\F(x0x,a2)+EQ\F(y0y,b2)=1。設(shè)Q(x0,y0)為橢圓上任一點(diǎn)，下面給出切線的作法。作法：圖2y圖2yxoAPNQ2．若Q在任一非頂點(diǎn)處如圖過Q作QA⊥x軸，垂足為A反向延長QA以O(shè)為圓心a為半徑畫弧交射線AQ于P點(diǎn)過P點(diǎn)作OP的垂線PN交x軸于N點(diǎn)連結(jié)NQ即為過Q點(diǎn)的切線。證明：不妨設(shè)Q在第一象限，Q（x0,y0），則A為（x0,0）∵OP=a∵EQ\F(x02,a2)+EQ\F(y02,b2)=1∴EQ\R(,a2－x02)=EQ\F(ay0,b)∴P點(diǎn)為（x0,EQ\F(ay0,b)）∴OP的垂線為y－EQ\F(ay0,b)=－EQ\F(bx0,ay0)(x－x0)∴與x軸交于點(diǎn)N為（EQ\F(a2,x0)，0）∴直線NQ的方程為EQ\F(y－0,y0－0)=EQ\F(x－EQ\F(a2,x0),x0－EQ\F(a2,x0))化簡即為EQ\F(x0x,a2)+EQ\F(y0y,b2)=1。證畢。此作法的另一證法也可以借助于高等幾何中的仿射變換得到。因橢圓可以認(rèn)為是由一個(gè)圓x2+y2=a2,經(jīng)過向x軸方向壓縮變換，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腅Q\F(b,a)即得到一個(gè)橢圓（見課本例題P95）。根據(jù)仿射變換中的結(jié)合性，圓的切線變換后還是橢圓的切線且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變因此得到上述作法。橢圓復(fù)習(xí)一．復(fù)習(xí)目標(biāo)：熟練掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單的幾何性質(zhì)及參數(shù)方程．二．知識要點(diǎn)：1．橢圓的定義：．圖形：；。2．標(biāo)準(zhǔn)方程：；統(tǒng)一方程：；參數(shù)方程（理科）．3．幾何性質(zhì)：（1）范圍：．（2）對稱軸：（3）頂點(diǎn)、焦點(diǎn)：（4）離心率：4．焦半徑公式：范圍：5.通徑：6.焦點(diǎn)三角形：7.相交弦長公式：8.相交弦中點(diǎn)問題（點(diǎn)差法）：方程特征及性質(zhì)：1、已知橢圓=1上的一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3,則P到另一為A.2B.3C.4D.52、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F,O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,且,M是線段PF的中點(diǎn),則=___________;3、在平面直角坐標(biāo)系中,已知頂點(diǎn)和,頂點(diǎn)在橢圓上,則____.4、橢圓的焦距為2,則m的值等于（）A.5或3B.8C.5D.或5、已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,則的取值范圍是()

A.或B.C.D.或6、“”是“方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件7、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0),且橢圓的離心率,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.B.C. D.8、已知橢圓有兩個(gè)頂點(diǎn)在直線上,則此橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A.B.C.D.9、橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,焦距為2,且經(jīng)過點(diǎn)A;(1)求滿足條件的橢圓方程;(2)求該橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo),長軸長,短軸長,離心率.10、橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,過焦點(diǎn)F1的直線交橢圓于兩點(diǎn),則的周長是_____;若的內(nèi)切圓的面積為,,兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和,則的值為______.

11、點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn),則的最大值為()A.B.C.4D.12、P為橢圓上的一點(diǎn)，M、N分別是圓和上的點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最大值為_____________.13、已知是橢圓內(nèi)的點(diǎn),是橢圓上的動點(diǎn),則的最大值是_______.14、如圖把橢圓的長軸AB分成8等分,過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1,P2,…,P7七個(gè)點(diǎn),F是橢圓的焦點(diǎn),則|P1F|+|P2F|+…+|P7F|= 求離心率：15、如圖,用與底面成角的平面截圓柱得一橢圓截線,則該橢圓的離心率為()A．B．C．D．非上述結(jié)論16、若一個(gè)橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列,則該橢圓的離心率是（）

A. B. C. D.17、橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為A、B、C、D,若菱形ABCD的內(nèi)切圓恰好過焦點(diǎn),則橢圓的離心率是()

A.B.C.D.BCFEAD18、橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為、,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為,且三角形是頂角為120o的等腰三角形形,則此橢圓的離心率為_____________.BCFEAD19、如圖，正六邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，其余四個(gè)頂點(diǎn)在橢圓上，則該橢圓的離心率的值是___________________．20、過橢圓的左焦點(diǎn)做x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,為右焦點(diǎn),若=60°,則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.21、已知橢圓,是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),是橢圓上任意一點(diǎn),且直線的斜率分別為,若,則橢圓的離心率為（）A. B. C.D.22、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)橢圓的焦距為2c,以點(diǎn)O為圓心,a為半徑作圓M,若過點(diǎn)P作圓M的兩條切線互相垂直,且切點(diǎn)為A,B,則|AB|=_____,該橢圓的離心率為____.23、已知橢圓的左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,且軸,直線交軸于點(diǎn).若,則橢圓的離心率是()A.B.C.D.24、橢圓上一點(diǎn)，、為焦點(diǎn)，若,，則橢圓的離心率為(A)(B)(C)(D)25、已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,若橢圓上存在一點(diǎn)使,則該橢圓的離心率的取值范圍為___________.焦點(diǎn)三角形:26、以、為焦點(diǎn)的橢圓=1()上一動點(diǎn)P,當(dāng)最大時(shí)的正切值為2,則此橢圓離心率e的大小為______?27、已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．28、已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),為橢圓上的一點(diǎn),且?若的面積為9,則____________.29、設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是()A.B.C.D.30、已知點(diǎn)P在橢圓上，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是直角三角形，則這樣的點(diǎn)P有A2個(gè)B4個(gè)C6個(gè)D8個(gè)31、橢圓的焦點(diǎn)、，P為橢圓上的一點(diǎn)，已知，則△的面積為__________.32、已知橢圓方程為，、為橢圓的左右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在橢圓上，且，求的面積。33、已知橢圓方程為，、為橢圓的左右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在橢圓上，則的外切圓的圓心的軌跡是34、橢圓（a>b>0）上對于兩焦點(diǎn)的張角是直角的點(diǎn)有（）（A）至少有兩個(gè)（B）可能沒有，也可能有兩個(gè)但最多只有四個(gè)（C）不存在這樣的點(diǎn)（D）可能有無數(shù)多個(gè)相交弦長問題：35、設(shè)斜率為1的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B,則使為整數(shù)的直線共有()

A.4條B.5條C.6條D.7條36、已知橢圓中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率e=,它與直線x+y+1=0交于P、Q兩點(diǎn),若OP⊥OQ,求橢圓方程?(O為原點(diǎn))?37、已知中心在原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓,左焦點(diǎn),一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)(1)求橢圓方程;(2)直線過橢圓的右焦點(diǎn)交橢圓于A、B兩點(diǎn),當(dāng)△AOB面積最大時(shí),求直線方程?相交弦中點(diǎn)問題：38、如果橢圓的弦被點(diǎn)(4,2)平分,則這條弦所在的直線方程是()A.B.C.D.39、已知橢圓，斜率為2的動直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程．ABP40、已知橢圓ABP橢圓曲線幾何意義41、如圖，是平面的斜線段，為斜足，若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動，使得的面積為定值，則動點(diǎn)的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．一條直線 D．兩條平行直線42、ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是,,邊AC,BC所在直線的斜率之積等于,則頂點(diǎn)C的軌跡方程是.43、已知A、B為坐標(biāo)平面上的兩個(gè)定點(diǎn)，且|AB|=2，動點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和為常數(shù)2，則點(diǎn)P的軌跡是（）A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.線段44、點(diǎn)P為圓C:上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)A(1,0),作線段AP的垂直平分線交線段PC于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是（）A.直線B.橢圓C.雙曲線D.拋物線45、點(diǎn)P為圓上任意一點(diǎn)，過P作x軸的垂線，垂足為Q，點(diǎn)M在PQ上，且，

則點(diǎn)M的軌跡方程為_______________.46、△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為A(-4,0),B(4,0),△ABC周長為18,則C點(diǎn)軌跡為()A.(y≠0)B.(y≠0)C.(y≠0)D.(y≠0)47、已知的頂點(diǎn)、，、分別為、的中點(diǎn)，和邊上的中線交于，且，則點(diǎn)的軌跡方程為__________________48、已知一個(gè)動圓與圓C：相內(nèi)切，且過點(diǎn)A（4，0），求這個(gè)動圓圓心的軌跡方程。49、一動圓與圓外切,同時(shí)與圓內(nèi)切,則動圓圓心的軌跡方程為____.50、已知橢圓的焦點(diǎn)為F1,F2,A在橢圓上,B在F1A的延長線上,且|AB|=|AF2|,則B點(diǎn)的軌跡形狀為 ()A.橢圓 B.雙曲線 C.圓 D.兩條平行線與向量綜合：51、點(diǎn)為橢圓上的動點(diǎn),為橢圓的左、右焦點(diǎn),則的最小值為__________,此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為________________.52、若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則的最大值為

A.2B.3C.6D.853、已知P是橢圓上的一點(diǎn),F1、F2是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),若△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為,則的值為()A. B. C. D.054、橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B,若.

(1)求橢圓的方程.(2)①直線y=kx+2交橢圓于A、B兩點(diǎn),求k的取值范圍?②當(dāng)k=1時(shí),求55、已知橢圓C,過點(diǎn)M(0,1)的直線l與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B.(Ⅰ)若l與x軸相交于點(diǎn)P,且P為AM的中點(diǎn),求直線l的方程;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),求的最大值.DFByxAOE56、(如圖)設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),是它的兩個(gè)頂點(diǎn),直線

與AB相交于點(diǎn)D,與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).

(1)若,求的值;(2)求四邊形面積的最大值.DFByxAOE最值問題：57、已知點(diǎn)P為橢圓在第一象限部分上的點(diǎn)，則的最大值等于.58、已知點(diǎn)是橢圓上的在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，又、，是原點(diǎn)，求四邊形的面積的最大值.59、橢圓（為參數(shù)）上點(diǎn)到直線的最大距離是．60、若的最大值為.

61、（08高考）已知的頂點(diǎn)在橢圓上，在直線上，且．（Ⅰ）當(dāng)邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，求的長及的面積；（Ⅱ）當(dāng)，且斜邊的長最大時(shí)，求所在直線的方程．1、D2、33、4、A5、D6、C7、B8、A9、(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí),設(shè)橢圓方程為,則c=1,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,,=4,a=2,∴.∴橢圓方程為;(2)頂點(diǎn)坐標(biāo):(±2,0),(0,±);長軸長:4;短軸長:2;離心率10、16,11、A12、713、1214、35.設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,P7(x7,y7),所以根據(jù)對稱關(guān)系x1+x2+…+x7=0,于是|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=a+ex1+a+ex2+…+a+ex7=7a+e(x1+x2+…+x7)=7a=35,所以應(yīng)填35.15、A16、B17、C18、19、20、B21、C22、,.23、D24、A25、26、27、C28、329.D30、A31、932、解：由已知得：，∴，由橢圓的定義可知：，①在中，由余弦定理得：②由①②可得：∴。33、直線34、B35、C36、設(shè)橢圓方程為,由得∴橢圓方程為,即x2+4y2=4b2

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則由OP⊥OQx1x2=-y1y2，，由△>0b2>x1x2=，y1y2=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=∴b2=∴橢圓方程為37、解:(1)設(shè)所求橢圓為依題

設(shè)橢圓的方程為

(2)若直線斜率不存在,那為時(shí),，

若直線斜率為(時(shí)不合題意)直線

由化為

△設(shè)

原點(diǎn)O到直線距離

△AOB面積最大值為此時(shí)直線為38、D39、解：設(shè)，記線段的中點(diǎn)為．則，兩式作差得，，因直線斜率為2，代入得，又，聯(lián)立，又線段的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，故所求的軌跡方程為：．40、41、B42、,()43、D44、B45、；46、A47、；48、解：設(shè)動圓圓為M(x,y),半徑為r,那么;,|AC||=8因此點(diǎn)M的軌跡是以A、C為焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓．a(chǎn)=5,c=4,b=3,其方程是：．49、50、C51、7,(0,±4)52、C53、B54、(1)由方程為(2)①將代人得由△>0得(3)當(dāng)k=1時(shí),55、(Ⅰ)解:設(shè)A(x1,y1),因?yàn)镻為AM的中點(diǎn),且P的縱坐標(biāo)為0,M的縱坐標(biāo)為1,所以,解得,

又因?yàn)辄c(diǎn)A(x1,y1)在橢圓C上,所以,即,解得,

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為或,所以直線l的方程為,或

(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

所以,則,

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),其方程為,,此時(shí);

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組的解,消去y得,所以,則,所以,

當(dāng)時(shí),等號成立,即此時(shí)取得最大值1綜上,當(dāng)直線AB的方程為或時(shí),有最大值156、解:(Ⅰ)解:依題設(shè)得橢圓的方程為,直線的方程分別為,DFByxAOE如圖,設(shè),其中,

且滿足方程,

故.①

由知,得;

由在上知,得.

所以,化簡得,解得或

(Ⅱ)解法一:根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知,點(diǎn)到的距離分別為

,

又,所以四邊形的面積為

,

當(dāng),即當(dāng)時(shí),上式取等號.所以的最大值為

解法二:由題設(shè),,.設(shè),,由①得,,

故四邊形的面積為DFByxAOE,當(dāng)時(shí),上式取等號.所以的最大值為57、258、59、（此時(shí)）60、61、解：（Ⅰ）因?yàn)?，且邊通過點(diǎn)，所以所在直線的方程為．設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為．由得．所以．又因?yàn)檫吷系母叩扔谠c(diǎn)到直線的距離．所以，．（Ⅱ）設(shè)所在直線的方程為，由得．因?yàn)樵跈E圓上，所以設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則，，所以．又因?yàn)榈拈L等于點(diǎn)到直線的距離，即．所以．所以當(dāng)時(shí)，邊最長，（這時(shí)）此時(shí)所在直線的方程為．?dāng)?shù)學(xué)中的中國傳統(tǒng)文化教育部考試中心函件《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》要求“增加中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考核內(nèi)容，積極培育和踐行社會主義核心價(jià)值觀，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用．比如，在數(shù)學(xué)中增加數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容．”因此，我們特別策劃了此專題，將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合，選取典型樣題深度解讀，希望能夠給予廣大師生的復(fù)習(xí)備考以專業(yè)的幫助與指導(dǎo)．一、算法問題1．用更相減損術(shù)求294和84的最大公約數(shù)時(shí)，需要做減法的次數(shù)為()A．2 B．3C．4 D．5答案C解析(84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42)，一共做了4次減法．2．如圖所示的程序框圖的算法思路來源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14,18，則輸出的a為()A．4 B．2C．0 D．14答案B解析由題意輸出的a是18,14的最大公約數(shù)2，故選B.3．用輾轉(zhuǎn)相除法求459和357的最大公約數(shù)，需要做除法的次數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析∵459÷357＝1…102，357÷102＝3…51，102÷51＝2，∴459和357的最大公約數(shù)是51，需要做除法的次數(shù)是3.4．秦九韶算法是中國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶提出的一種多項(xiàng)式簡化算法，對于求一個(gè)n次多項(xiàng)式函數(shù)fn(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的具體函數(shù)值，運(yùn)用常規(guī)方法計(jì)算出結(jié)果最多需要n次加法和eq\f(nn＋1,2)次乘法，而運(yùn)用秦九韶算法由內(nèi)而外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值的算法至多需要n次加法和n次乘法．對于計(jì)算機(jī)來說，做一次乘法運(yùn)算所用的時(shí)間比做一次加法運(yùn)算要長得多，所以此算法極大地縮短了CPU運(yùn)算時(shí)間，因此即使在今天該算法仍具有重要意義．運(yùn)用秦九韶算法計(jì)算f(x)＝0.5x6＋4x5－x4＋3x3－5x當(dāng)x＝3時(shí)的值時(shí)，最先計(jì)算的是()A．－5×3＝－15B．0.5×3＋4＝5.5C．3×33－5×3＝66D．0.5×36＋4×35＝1336.6答案B解析f(x)＝0.5x6＋4x5－x4＋3x3－5x＝(((((0.5x＋4)x－1)x＋3)x＋0)x－5)x，然后由內(nèi)向外計(jì)算，最先計(jì)算的是0.5×3＋4＝5.5.5．若用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝4x5－x2＋2當(dāng)x＝3時(shí)的值，則需要做乘法運(yùn)算和加減法運(yùn)算的次數(shù)分別為()A．4,2 B．5,3C．5,2 D．6,2答案C解析∵f(x)＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，∴乘法要運(yùn)算5次，加減法要運(yùn)算2次．6．已知函數(shù)f(x)＝6x6＋5，當(dāng)x＝x0時(shí)，用秦九韶算法求f(x0)的值，需要進(jìn)行乘方、乘法、加法的次數(shù)分別為()A．21,6,2 B．7,1,2C．0,1,2 D．0,6,1答案D解析∵f(x)＝6x6＋5，多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)的次數(shù)是6，∴要進(jìn)行乘法運(yùn)算的次數(shù)是6.要進(jìn)行加法運(yùn)算的次數(shù)是1，運(yùn)算過程中不需要乘方運(yùn)算．7．中國古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法，下圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a依次為2,2,5，x，n均為2，則輸出的s等于()A．7 B．12C．17 D．34答案C解析第一次運(yùn)算，a＝2，s＝2，n＝2，k＝1，不滿足k>n；第二次運(yùn)算，a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2，不滿足k>n；第三次運(yùn)算，a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3，滿足k>n，輸出s＝17，故選C.8．用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值時(shí)，應(yīng)把f(x)變形為()A．x3－(3x＋2)x－11 B．(x－3)x2＋(2x－11)C．(x－1)(x－2)x－11 D．((x－3)x＋2)x－11答案D解析f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝((x－3)x＋2)x－119．用秦九韶算法求函數(shù)f(x)＝3x5－2x4＋2x3－4x2－7當(dāng)x＝2的值時(shí)，v3的結(jié)果是()A．4 B．10C．16 D．33答案C解析函數(shù)f(x)＝3x5－2x4＋2x3－4x2－7＝((((3x－2)x＋2)x－4)x)x－7，當(dāng)x＝2時(shí)，v0＝3，v1＝3×2－2＝4，v2＝4×2＋2＝10，v3＝10×2－4＝16.10．用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋0.3x＋2的值，當(dāng)x＝－2時(shí)，v1的值為()A．1 B．7C．－7 D．－5答案C解析∵f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋0.3x＋2＝(((((x－5)x＋6)x＋0)x＋1)x＋0.3)x＋2，∴v0＝a6＝1,v1＝v0x＋a5＝1×(－2)－5＝－7.11．利用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6的值，當(dāng)x＝3時(shí)，v3的值為()A．－486 B．－351C．－115 D．－339答案C解析f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6＝(((－6x＋5)x＋0)x＋2)x＋6，∴v0＝a4＝－6，v1＝v0x＋a3＝－6×3＋5＝－13，v2＝v1x＋a2＝－13×3＋0＝－39，v3＝v2x＋a1＝－39×3＋2＝－115.12．秦九韶是我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法．如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例．若輸入n，x的值分別為4,3，則輸出v的值為()A．20 B．61C．183 D．548答案C解析由程序框圖知，初始值：n＝4，x＝3，v＝1，i＝3，第一次循環(huán)：v＝6，i＝2；第二次循環(huán)：v＝20，i＝1；第三次循環(huán)：v＝61，i＝0；第四次循環(huán)：v＝183，i＝1.結(jié)束循環(huán)，輸出當(dāng)前v的值183.13．原始社會時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來計(jì)算數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，當(dāng)時(shí)有位父親，為了準(zhǔn)確記錄孩子的成長天數(shù)，在粗細(xì)不同的繩子上打結(jié)，由細(xì)到粗，滿七進(jìn)一，那么孩子已經(jīng)出生多少天？()A．1326B．510C．429D．336答案B解析由題意滿七進(jìn)一，可得該圖示為七進(jìn)制數(shù)，化為十進(jìn)制數(shù)為1×73＋3×72＋2×7＋6＝510.14．用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式f(x)＝5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋1，乘法運(yùn)算次數(shù)為____________．加法運(yùn)算次數(shù)為________．答案55解析∵f(x)＝((((5x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x＋1，∴乘法要運(yùn)算5次，加法要運(yùn)算5次15．若f(x)＝x4＋3x3＋x＋1，用秦九韶算法計(jì)算f(π)時(shí)，需要乘法m次，加法n次，則m＋n＝________.答案6解析f(x)＝x4＋3x3＋x＋1＝(((x＋3)x)x＋1)x＋1，用秦九韶算法計(jì)算f(π)時(shí)，乘法運(yùn)算與加法運(yùn)算的次數(shù)和等于6.16．我國南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為eq\f(b,a)和eq\f(d,c)(a，b，c，d∈N*)，則eq\f(b＋d,a＋c)是x的更為精確的不足近似值或過剩近似值．我們知道π＝3.14159…，若令eq\f(31,10)<π<eq\f(49,15)，則第一次用“調(diào)日法”后得eq\f(16,5)是π的更為精確的過剩近似值，即eq\f(31,10)<π<eq\f(16,5)，若每次都取最簡分?jǐn)?shù)，那么第四次用“調(diào)日法”后可得π的近似分?jǐn)?shù)為________．答案eq\f(22,7)17．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在eq\r(2\r(2\r(2…)))中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值x.這可以通過方程eq\r(2＋x)＝x確定x＝2，則1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝________.答案eq\f(1＋\r(5),2)解析由題意，可令1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝x，即1＋eq\f(1,x)＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝eq\f(1＋\r(5),2)(x＝eq\f(1－\r(5),2)舍)，故1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝eq\f(1＋\r(5),2).18．用輾轉(zhuǎn)相除法求840與1764的最大公約數(shù)．答案1764＝840×2＋84,840＝84×10＋0，∴840與1764的最大公約數(shù)是84.19．用更相減損術(shù)求440與556的最大公約數(shù)．答案556－440＝116,440－116＝324,324－116＝208，208－116＝92,116－92＝24,92－24＝68，68－24＝44,44－24＝20,24－20＝4,20－4＝16，16－4＝12,12－4＝8,8－4＝4，∴440與556的最大公約數(shù)4.20．用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x當(dāng)x＝3時(shí)的值．答案f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)xv0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262，v4＝262×3＋3＝789，v5＝789×3＋2＝2369，v6＝2369×3＋1＝7108，v7＝7108×3＋0＝21324，∴f(3)＝21324，即當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)值是21324.21．(1)用輾轉(zhuǎn)相除法求840與1785的最大公約數(shù)；(2)用秦九韶算法計(jì)算函數(shù)f(x)＝2x4＋3x3＋5x－4在x＝2時(shí)的函數(shù)值．答案(1)1785＝840×2＋105,840＝105×8＋0，∴840與1785的最大公約數(shù)是105.(2)秦九韶算法如下：f(x)＝2x4＋3x3＋5x－4＝x(2x3＋3x2＋5)－4＝x[x(2x2＋3x)＋5]－4＝x{x[x(2x＋3)]＋5}－4，故當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)＝2×{2×[2×(2×2＋3)]＋5}－4＝62.22．(1)用輾轉(zhuǎn)相除法求779與247的最大公約數(shù)；(2)利用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝2x5＋4x4－2x3＋8x2＋7x＋4當(dāng)x＝3時(shí)的值．答案(1)779＝247×3＋38，247＝38×6＋19，38＝19×2.故779與247的最大公約數(shù)是19；(2)把多項(xiàng)式改成如下形式：f(x)＝2x5＋4x4－2x3＋8x2＋7x＋4＝((((2x＋4)x－2)x＋8)x＋7)x＋4.按照從內(nèi)到外的順序，依次計(jì)算一次多項(xiàng)式當(dāng)x＝3時(shí)的值：v0＝2，v1＝v0x＋4＝2×3＋4＝10，v2＝v1x－2＝10×3－2＝28，v3＝v2x＋8＝28×3＋8＝92，v4＝v3x＋7＝92×3＋7＝283，v5＝v4x＋4＝283×3＋4＝853.所以當(dāng)x＝3時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值是853.23．(1)用輾轉(zhuǎn)相除法求228與1995的最大公約數(shù)；(2)用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝3x5＋2x3－8x＋5在x＝2時(shí)的值．答案(1)1995＝228×8＋171，228＝171×1＋57，171＝57×3，因此57是1995與228的最大公約數(shù)．(2)f(x)＝3x5＋2x3－8x＋5＝((((3x＋0)x＋2)x＋0)x－8)x＋5當(dāng)x＝2時(shí)，v0＝3，v1＝3×2＝6，v2＝6×2＋2＝14，v3＝14×2＝28，v4＝28×2－8＝48，v5＝48×2＋5＝101，所以當(dāng)x＝2時(shí)，多項(xiàng)式的值是101.24．(1)用“更相減損術(shù)”求72和168的最大公約數(shù)；(2)用“輾轉(zhuǎn)相除法”求98和280的最大公約數(shù)．答案(1)∵168－72＝96，96－72＝24，72－24＝48，48－24＝24，故72和168的最大公約數(shù)是24.(2)∵280＝2×98＋84，98＝1×84＋14，84＝6×14，故98和280的最大公約數(shù)是14.25．用秦九韶算法求函數(shù)f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1當(dāng)x＝3時(shí)的函數(shù)值．答案f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1＝((((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1，當(dāng)x＝3時(shí)，v0＝1，v1＝v0×3＋0＝3；v2＝v1×3＋1＝10;v3＝v2×3＋1＝31;v4＝v3×3＋1＝94;v5＝v4×3＋1＝283，即x＝3時(shí)的函數(shù)值為283.二、數(shù)列問題1．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢？”(“錢”是古代的一種重量單位)．這個(gè)問題中，甲所得為()A.eq\f(5,4)錢 B.eq\f(4,3)錢C.eq\f(3,2)錢 D.eq\f(5,3)錢答案B解析依題意設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，則由題意可知，a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d，又a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，∴a＝1，則a－2d＝a－2×(－eq\f(a,6))＝eq\f(4,3)a＝eq\f(4,3).2．南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)古籍《張邱建算經(jīng)》有如下一道題：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中間三人未到者，亦依等次更給．問：每等人比下等人多得幾斤？”()A.eq\f(4,39) B.eq\f(7,78)C.eq\f(7,76) D.eq\f(5,81)答案B解析設(shè)第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此類推，第一等人得金a10斤，則數(shù)列{an}構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則每一等人比下一等人多得d斤金，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3,a8＋a9＋a10＝4))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋24d＝4，))解得d＝eq\f(7,78)，∴每一等人比下一等人多得eq\f(7,78)斤金．3．《張丘建算經(jīng)》是公元5世紀(jì)中國古代內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)著作，書中卷上第二十三問：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈．問日益幾何？”其意思為“有個(gè)女子織布，每天比前一天多織相同量的布，第一天織五尺，一個(gè)月(按30天計(jì))共織390尺．問：每天多織多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，估算出每天多織的布約有()A．0.55尺 B．0.53尺C．0.52尺 D．0.5尺答案A解析設(shè)每天多織d尺，由題意a1＝5，{an}是等差數(shù)列，公差為d，∴S30＝30×5＋eq\f(30×29,2)d＝390，解得d≈0.55.4．《張丘建算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：今有女子善織，日增等尺，七日織二十一尺，第二日，第五日，第八日所織之和為十五尺，問第九日所織尺數(shù)為()A．7 B．9C．11 D．13答案D解析設(shè)第一天織a1尺，從第二天起每天比第一天多織d尺，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7a1＋\f(7×6,2)d＝21，,a1＋d＋a1＋4d＋a1＋7d＝15，))解得a1＝－3，d＝2，∴第九日所織尺數(shù)為a9＝a1＋8d＝－3＋8×2＝13.5．古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)已知條件，可求得該女子第3天所織布的尺數(shù)為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(8,15)C.eq\f(20,31) D.eq\f(3,5)答案C解析由題意可得：每天織布的量組成了等比數(shù)列{an}，S5＝5，公比q＝2，eq\f(a11－25,1－2)＝5，計(jì)算可得a1＝eq\f(5,31)，所以a3＝eq\f(5,31)×22＝eq\f(20,31).6．在《張邱建算經(jīng)》中有一道題：“今有女子不善織布，逐日所織的布比同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計(jì)織三十日”，由此推斷，該女子到第10日時(shí)，大約已經(jīng)完成三十日織布總量的()A．33% B．49%C．62% D．88%答案B解析由題意可得：每日的織布量形成等差數(shù)列{an}，且a1＝5，a30＝1，設(shè)公差為d，則1＝5＋29d，解得d＝－eq\f(4,29).∴S10＝5×10＋eq\f(10×9,2)×(－eq\f(4,29))＝eq\f(1270,29).S30＝eq\f(30×5＋1,2)＝90.∴該女子到第10日時(shí)，大約已經(jīng)完成三十日織布總量的eq\f(1270,29)×eq\f(1,90)≈0.49＝49%.7．《張丘建算經(jīng)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十織迄，問織幾何．”其意思為：有個(gè)女子不善于織布，每天比前一天少織同樣多的布，第一天織五尺，最后一天織一尺，三十天織完，問三十天共織布()A．30尺 B．90尺C．150尺 D．180尺答案B解析由題意可得，每日的織布量形成等差數(shù)列{an}，且a1＝5，a30＝1，所以S30＝eq\f(30×5＋1,2)＝90.8．在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢．問：幾日相逢？()A．9日 B．8日C．16日 D．12日答案A解析由題意知，良馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為{an}，其中a1＝103，d＝13；駑馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為{bn}，其中b1＝97，d＝－0.5；設(shè)第m天相逢，則a1＋a2＋…＋am＋b1＋b2＋…＋bm＝103m＋eq\f(mm－1×13,2)＋97m＋eq\f(mm－1×－0.5,2)＝2×1125，解得m＝9(負(fù)值舍去)．9．《九章算術(shù)》是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著，全書收集了246個(gè)問題及其解法，其中一個(gè)問題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面四節(jié)容積之和為3升，下面三節(jié)的容積之和為4升，求中間兩節(jié)的容積各為多少？”該問題中第2節(jié)，第3節(jié)，第8節(jié)竹子的容積之和為()A.eq\f(17,6)升B.eq\f(7,2)升C.eq\f(113,66)升 D.eq\f(109,33)升答案A解析自上而下依次設(shè)各節(jié)容積為a1，a2，…a9，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3,a7＋a8＋a9＝4))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a2＋a3＝3,3a8＝4))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a3＝\f(3,2)，,a8＝\f(4,3)))，所以a2＋a3＋a8＝eq\f(3,2)＋eq\f(4,3)＝eq\f(17,6)(升)．10．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請問第二天走了()A．24里B．48里C．96里 D．192里答案C解析由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成以eq\f(1,2)為公比的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得eq\f(a1[1－\f(1,2)6],1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，∴第二天此人走了192×eq\f(1,2)＝96里．11．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”則該人最后一天走的路程為()A．24里 B．12里C．6里 D．3里答案C解析記每天走的路程里數(shù)為{an}，可知{an}是公比q＝eq\f(1,2)的等比數(shù)列，由S6＝378，得S6＝eq\f(a11－\f(1,26),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，∴a6＝192×eq\f(1,25)＝6.12．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一段截下一尺，重四斤；在細(xì)的一端截下一尺，重二斤．問依次每一尺各重幾斤？”根據(jù)已知條件，若金箠由粗到細(xì)是均勻變化的，中間三尺的重量為()A．6斤 B．9斤C．10斤 D．12斤答案B解析此問題構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{an}，設(shè)首項(xiàng)為2，則a5＝4，∴中間3尺的重量為3a3＝eq\f(a1＋a5,2)×3＝eq\f(2＋4,2)×3＝9(斤)，故選B.13．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長五尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上題的已知條件，若金箠由粗到細(xì)是均勻變化的，問第二尺與第四尺的重量之和為()A．6斤 B．9斤C．9.5斤 D．12斤答案A解析依題意，金箠由粗到細(xì)各尺構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)a1＝4，則a5＝2，由等差數(shù)列性質(zhì)得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺與第四尺的重量之和為6斤．14．《算法通宗》是我國古代內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)名書，書中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈向下倍加增，共燈三百八十一，請問塔頂幾盞燈？”其意思為“一座塔共七層，從塔頂至塔底，每層燈的數(shù)目都是上一層的2倍，已知這座塔共有381盞燈，請問塔頂有幾盞燈？”()A．3 B．4C．5 D．6答案A解析由題意設(shè)塔頂有a盞燈，由題意由上往下數(shù)第n層就有2n－1·a盞燈，∴共有(1＋2＋4＋8＋16＋32＋64)a＝381盞燈，即eq\f(1×1－27,1－2)a＝381.解得a＝3.15．我國古代數(shù)典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚十尺，兩鼠對穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問幾何日相逢？”上述問題中，兩鼠在第幾天相逢．()A．3 B．4C．5 D．6答案B解析由題意可知，大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，前n天打洞之和為eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1，同理，小老鼠前n天打洞之和為eq\f(1－\f(1,2)n,1－\f(1,2))＝2－eq\f(1,2n－1)，∴2n－1＋2－eq\f(1,2n－1)＝10，解得n∈(3,4)，取n＝4.即兩鼠在第4天相逢．16．如圖是謝賓斯基(Sierpinsiki)三角形，在所給的四個(gè)三角形圖案中，著色的小三角形個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項(xiàng)，則{an}的通項(xiàng)公式可以是()A．a(chǎn)n＝3n－1 B．a(chǎn)n＝2n－1C．a(chǎn)n＝3n D．a(chǎn)n＝2n－1答案A解析著色的小三角形個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項(xiàng)，分別為a1＝1，a2＝3，a3＝3×3＝32，a4＝32×3，因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式可以是an＝3n－1.17．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列．上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為________升．答案eq\f(67,66)解析設(shè)該數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，依題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋7d＝\f(4,3)，,d＝\f(7,66)，))則a5＝a1＋4d＝a1＋7d－3d＝eq\f(4,3)－eq\f(21,66)＝eq\f(67,66).18．華羅庚數(shù)學(xué)小組的同學(xué)們在圖書館發(fā)現(xiàn)一塊古代楔形文字泥板的圖片，同學(xué)們猜測它是一種乘法表的記錄，請你根據(jù)這個(gè)猜測，判定表示________？(如圖)答案395解析圖片中記錄的是自然數(shù)乘以9的運(yùn)算結(jié)果，左列是被乘數(shù)，右列是該數(shù)乘以9的積數(shù)，經(jīng)過分析可知：其中▽代表1，?代表10，代表60.所以表示60×6＋10×3＋5×1＝395.19．在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書中，用如圖A所示的三角形，解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律．在歐洲直到1623年以后，法國數(shù)學(xué)家布萊士·帕斯卡的著作(1655年)介紹了這個(gè)三角形．近年來國外也逐漸承認(rèn)這項(xiàng)成果屬于中國，所以有些書上稱這是“中國三角形”(Chinesetriangle)，如圖A.17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”如圖B.在楊輝三角中相鄰兩行滿足關(guān)系式：Ceq\o\al(r,n)＋Ceq\o\al(r＋1,n)＝Ceq\o\al(r＋1,n＋1)，其中n是行數(shù)，r∈N.請類比上式，在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿足的關(guān)系式是________．1112113311464115101051…Ceq\o\al(0,n)Ceq\o\al(1,n)…Ceq\o\al(r,n)…Ceq\o\al(n-1,n)Ceq\o\al(n,n)圖Aeq\f(1,2)eq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,12)eq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,5)eq\f(1,20)eq\f(1,30)eq\f(1,20)eq\f(1,5)eq\f(1,6)eq\f(1,30)eq\f(1,60)eq\f(1,60)eq\f(1,30)eq\f(1,6)eq\f(1,C\o\al(1,n+1)C\o\al(0,n))eq\f(1,C\o\al(1,n+1)C\o\al(1,n))…eq\f(1,C\o\al(1,n+1)C\o\al(r,n))…eq\f(1,C\o\al(1,n+1)C\o\al(n-1,n))eq\f(1,C\o\al(1,n+1)C\o\al(n,n))圖B答案eq\f(1,C\o\al(1,n+1)C\o\al(r,n))＝eq\f(1,C\o\al(1,n+2)C\o\al(r,n+1))＋eq\f(1,C\o\al(1,n+2)C\o\al(r+1,n+1))解析類比觀察得，萊布尼茨三角形的每一行都能提出倍數(shù)eq\f(1,C\o\al(1,n+1))，而相鄰兩項(xiàng)之和是上一行的兩者相拱之?dāng)?shù)，所以類比式子Ceq\o\al(r,n)＋Ceq\o\al(r+1,n)＝Ceq\o\al(r+1,n+1)，有eq\f(1,C\o\al(1,n+1)C\o\al(r,n))＝eq\f(1,C\o\al(1,n+2)C\o\al(r,n+1))＋eq\f(1,C\o\al(1,n+2)C\o\al(r+1,n+1)).20．傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上面用點(diǎn)或用小石子表示數(shù)．他們研究過如圖所示的三角形數(shù)，將三角形數(shù)1,3,6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{bn}．可以推測：(1)b2012是數(shù)列{an}中的第________項(xiàng)；(2)b2k-1＝________.(用k表示)答案(1)5030(2)eq\f(5k5k－1,2)解析由題意可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，n∈N*，故b1＝a4，b2＝a5，b3＝a9，b4＝a10，b5＝a14，b6＝a15，由上述規(guī)律可知：b2k＝a5k＝eq\f(5k5k＋1,2)(k∈N*)，b2k-1＝a5k-1＝eq\f(5k－15k－1＋1,2)＝eq\f(5k5k－1,2)，故b2012＝b2×1006＝a5×1006＝a5030，即b2012是數(shù)列{an}中的第5030項(xiàng)．21．請認(rèn)真閱讀下列材料：“楊輝三角”(1261年)是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角”(1653年)早了300多年(如圖1)．在“楊輝三角”的基礎(chǔ)上德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲發(fā)現(xiàn)了下面的單位分?jǐn)?shù)三角形(單位分?jǐn)?shù)是分子為1，分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù))，稱為萊布尼茲三角形(如圖2)11112113311464115101051……圖1eq\f(1,1)eq\f(1,2)eq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,12)eq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,5)eq\f(1,20)eq\f(1,30)eq\f(1,20)eq\f(1,5)……圖2請回答下列問題：(1)記Sn為圖1中第n行各個(gè)數(shù)字之和，求S4，S7，并歸納出Sn；(2)根據(jù)圖2前5行的規(guī)律依次寫出第6行的數(shù)．答案(1)S4＝8＝23；S7＝64＝26；Sn＝2n－1.(2)圖中每個(gè)數(shù)字都是其兩腳的數(shù)字和，故第6行為eq\f(1,6)eq\f(1,30)eq\f(1,60)eq\f(1,60)eq\f(1,30)eq\f(1,6).三、空間幾何體1．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是()寸．(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸)A．1B．2C．3D．4答案C解析如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸．∵積水深9寸，∴水面半徑為eq\f(1,2)(14＋6)＝10寸，則盆中水的體積為eq\f(1,3)π×9(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)．∴平地降雨量等于eq\f(588π,π×142)＝3(寸)．故選C.2．《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個(gè)問題“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．問積幾何？答曰：二千一百一十二尺．術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是說：圓堡瑽(圓柱體)的體積為：V＝eq\f(1,12)×(底面的圓周長的平方×高)．則由此可推得圓周率π的取值為(注：1丈＝10尺)()A．3 B．3.14C．3.2 D．3.3答案A解析由題意，圓柱體底面的圓周長48尺，高11尺，∵圓堡瑽(圓柱體)的體積V＝eq\f(1,12)×(底面的圓周長的平方×高)，∴V＝eq\f(1,12)×(482×11)＝2112，設(shè)底面圓的半徑為R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2πR＝48，,πR2×11＝2112，))∴π＝3.3．《九章算術(shù)》商功章有題：一圓柱形谷倉，高1丈3尺3eq\f(1,3)寸，容納米2000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛為容積單位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，則圓柱底圓周長約為()A．1丈3尺 B．5丈4尺C．9丈2尺 D．48丈6尺答案B解析設(shè)圓柱形谷倉底面半徑為r尺，由題意得，谷倉高h(yuǎn)＝eq\f(40,3)尺．于是谷倉的體積V＝πr2·h≈2000×1.62，解得r≈9.∴圓柱底圓周長約為2πr≈54尺＝5丈4尺．4．《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一”．該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么，近似公式V≈eq\f(2,75)L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為()A.eq\f(22,7) B.eq\f(25,8)C.eq\f(157,50) D.eq\f(355,113)答案B解析由題意知eq\f(2,75)L2h≈eq\f(1,3)πr2h?eq\f(2,75)L2≈eq\f(1,3)πr2，而L＝2πr，代入得π≈eq\f(25,8).5．在《九章算術(shù)》中，將有三條棱互相平行且有一個(gè)面為梯形的五面體稱之為羨除，現(xiàn)有一個(gè)羨除如圖所示，面ABCD、面ABFE、面CDEF均為等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10，EF到面ABCD的距離為3，CD與AB間的距離為10，則這個(gè)羨除的體積是()A．110 B．116C．118 D．120答案D解析過A作AP⊥CD，AM⊥EF，過B作BQ⊥CD，BN⊥EF，垂足分別為P，M，Q，N，將一側(cè)的幾何體放到另一側(cè)，組成一個(gè)直三棱柱，底面積為eq\f(1,2)×10×3＝15.棱柱的高為8，∴V＝15×8＝120.故選D.6．劉徽在他的《九章算術(shù)注》中提出一個(gè)獨(dú)特的方法來計(jì)算球體的體積：他不直接給出球體的體積，而是先計(jì)算另一個(gè)叫“牟合方蓋”的立體的體積．劉徽通過計(jì)算，“牟合方蓋”的體積與球的體積之比應(yīng)為eq\f(4,π).后人導(dǎo)出了“牟合方蓋”的eq\f(1,8)體積計(jì)算公式，即eq\f(1,8)V牟＝r3－V方蓋差，r為球的半徑，也即正方形的棱長均為2r，從而計(jì)算出V球＝eq\f(4,3)πr3.記所有棱長都為r的正四棱錐的體積為V正，棱長為2r的正方形的方蓋差為V方蓋差，則eq\f(V方蓋差,V正)等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D.eq\r(3)答案C解析由題意，V方蓋差＝r3－eq\f(1,8)V牟＝r3－eq\f(1,8)×eq\f(4,π)×eq\f(4,3)×π×r3＝eq\f(1,3)r3，所有棱長都為r的正四棱錐的體積為V正＝eq\f(1,3)×r×r×eq\r(r2－\f(\r(2),2)r2)＝eq\f(\r(2),6)r3，∴eq\f(V方蓋差,V正)＝eq\f(\f(1,3)r3,\f(\r(2),6)r3)＝eq\r(2).7．“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體．它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)．其直觀圖如圖所示，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線，當(dāng)其正視圖與側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的正視圖和俯視圖分別可能是()A．a(chǎn)，b B．a(chǎn)，cC．c，b D．b，d答案A解析由直觀圖可知，其正視圖與側(cè)視圖完全相同，則其只能是圓，這時(shí)其俯視圖就是正方形加對角線(實(shí)線)．故選A.8．劉徽在他的《九章算術(shù)注》中提出一個(gè)獨(dú)特的方法來計(jì)算球體的體積：他不直接給出球體的體積，而是先計(jì)算另一個(gè)叫“牟合方蓋”的立體的體積．劉徽通過計(jì)算，“牟合方蓋”的體積與球的體積之比應(yīng)為4∶π，即V牟：V球＝4∶π.也導(dǎo)出了“牟合方蓋”的eq\f(1,8)體積計(jì)算公式，即eq\f(1,8)V牟＝r3－V方蓋差，從而計(jì)算出V球＝eq\f(4,3)πr3.記所有棱長都為r的正四棱錐的體積為V正，則()A．V方蓋差＞V正B．V方蓋差＝V正C．V方蓋差＜V正D．以上三種情況都有可能答案A解析由題意，V方蓋差＝r3－eq\f(1,8)V牟＝r3－eq\f(1,8)×eq\f(4,π)×eq\f(4,3)πr3＝eq\f(1,3)r3，所有棱長都為r的正四棱錐的體積為V正＝eq\f(1,3)×r×r×eq\r(r2－\f(\r(2),2)r2)＝eq\f(\r(2),6)r3，∴V方蓋差＞V正．9．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)九章》中有云：“今有木長二丈四尺，圍之五尺．葛生其下，纏木兩周，上與木齊，問葛長幾何？”其意思為“圓木長2丈4尺，圓周為5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長多少尺(注：1丈等于10尺)()A．29尺 B．24尺C．26尺 D．30尺答案C解析由題意，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，一條直角邊(即木棍的高)長24尺，另一條直角邊長5×2＝10(尺)，因此葛藤長eq\r(242＋102)＝26(尺)．10．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為9尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米有()A．14斛 B．28斛C．36斛 D．66斛答案B解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，則eq\f(π,2)r＝9，解得r＝eq\f(18,π)，故米堆的體積為eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×π×(eq\f(18,π))2×5≈45，∵1斛米的體積約為1.62立方，∴堆放的米有45÷1.62≈28斛．11．《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典．其中對勾股定理的論述比西方早一千多年，其中有這樣一個(gè)問題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長一尺．問徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深一寸，鋸道長一尺．問這塊圓柱形木料的直徑是多少？長為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中，截面圖如圖所示(陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分)．已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為()(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin22.5°≈eq\f(5,13))A．600立方寸 B．610立方寸C．620立方寸 D．633立方寸答案D解析如圖，AB＝10(寸)，則AD＝5(寸)，CD＝1(寸)，設(shè)圓O的半徑為x(寸)，則OD＝(x－1)(寸)，在Rt△ADO中，由勾股定理可得52＋(x－1)2＝x2，解得x＝13(寸)．∴sin∠AOD＝eq\f(AD,AO)＝eq\f(5,13)，即∠AOD≈22.5°，則∠AOB＝45°.則弓形的面積S＝eq\f(1,2)×eq\f(π,4)×132－eq\f(1,2)×10×12≈6.33(平方寸)．則該木材鑲嵌在墻中的體積約為V＝6.33×100＝633(立方寸)．故選D.12．魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱．從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來，如圖，若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為________．(容器壁的厚度忽略不計(jì))答案41π解析由題意，該球形容器的半徑的最小值為eq\f(1,2)eq\r(36＋4＋1)＝eq\f(\r(41),2)，∴該球形容器的表面積的最小值為4π·eq\f(41,4)＝41π.13．沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí)．如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm，細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的eq\f(2,3)(細(xì)管長度忽略不計(jì))．(1)如果該沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙，則該沙漏的一個(gè)沙時(shí)為多少秒(精確到1秒)?(2)細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，求此錐形沙堆的高度(精確到0.1cm)．答案(1)開始時(shí)，沙漏上部分圓錐中的細(xì)沙的高為H＝eq\f(2,3)×8＝eq\f(16,3)，底面半徑為r＝eq\f(2,3)×4＝eq\f(8,3)，V＝eq\f(1,3)πr2H＝eq\f(1,3)π×(eq\f(8,3))2×eq\f(16,3)＝39.71，V÷0.02＝1986(秒)．所以沙全部漏入下部約需1986秒．(2)細(xì)沙漏入下部后，圓錐形沙堆的底面半徑為4，設(shè)高為H′，V＝eq\f(1,3)π×42×H′＝eq\f(1024,81)π，H′＝eq\f(64,27)≈2.4.錐形沙堆的高度約為2.4cm.14．《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬P－ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，過棱PC的中點(diǎn)E，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F，連接DE，DF，BD，BE.(1)證明：PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論)；若不是，說明理由．(2)若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為eq\f(π,3)，求eq\f(DC,BC)的值．答案(1)證明如圖，以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)PD＝DC＝1，BC＝λ(λ>0)，則D(0,0,0)，P(0,0,1)，B(λ，1,0)，C(0,1,0)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(λ，1，－1)，因?yàn)辄c(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)，所以E(0，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(0，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，于是eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝0，所以PB⊥DE.又已知EF⊥PB，而DE∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF.因?yàn)閑q\o(PC,\s\up6(→))＝(0,1，－1)，所以eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，所以DE⊥PC，而PB∩PC＝P，所以DE⊥平面PBC.由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.(2)解由PD⊥平面ABCD，所以eq\o(DP,\s\up6(→))＝(0,0,1)是平面ABCD的一個(gè)法向量．由(1)知，PB⊥平面DEF，所以eq\o(BP,\s\up6(→))＝(－λ，－1,1)是平面DEF的一個(gè)法向量．若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為eq\f(π,3)，則coseq\f(π,3)＝eq\f(|\o(BP,\s\up6(→))·\o(DP,\s\up6(→))|,|\o(BP,\s\up6(→))|·|\o(DP,\s\up6(→))|)＝|eq\f(1,\r(λ2＋2))|＝eq\f(1,2)，結(jié)合λ>0，解得λ＝eq\r(2)，所以eq\f(DC,BC)＝eq\f(1,λ)＝eq\f(\r(2),2).故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為eq\f(π,3)時(shí)，eq\f(DC,BC)＝eq\f(\r(2),2).四、其他問題1．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為()A．134石 B．169石C．338石 D．1365石答案B解析抽樣比是eq\f(28,254)，那么1534石米夾谷1534×eq\f(28,254)≈169(石)，故選B.2．2016年1月14日，國防科工局宣布，嫦娥四號任務(wù)已經(jīng)通過了探月工程重大專項(xiàng)領(lǐng)導(dǎo)小組審議通過，正式開始實(shí)施．如圖所示，假設(shè)“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長，給出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a2＞a1c2；④eq\f(c1,a1)<eq\f(c2,a2).其中正確的式子的序號是()A．①④ B．①③C．②④ D．②③答案D解析①由題圖知2a1>2a2,2c1>2c2，即a1>a2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，∴①不正確．②∵a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，∴a1－c1＝a2－c2，∴②正確．③∵a1>a2>0，c1>c2>0，∴aeq\o\al(2,1)>aeq\o\al(2,2)，ceq\o\al(2,1)>ceq\o\al(2,2).又∵a1－c1＝a2－c2，即a1＋c2＝a2＋c1，即aeq\o\al(2,1)＋ceq\o\al(2,2)＋2a1c2＝aeq\o\al(2,2)＋ceq\o\al(2,1)＋2a2c1，∴aeq\o\al(2,1)－ceq\o\al(2,1)＋ceq\o\al(2,2)－aeq\o\al(2,2)＋2a1c2＝2a2c1，即(a1－c1)(a1＋c1)－(a2－c2)(a2＋c2)＋2a1c2＝2a2c1，整理得(a1－c1)(a1－a2＋c1－c2)＋2a1c2＝2a2c1.∵a1>c1，a1>a2，c1>c2，∴2a1c2<2a2c1，即c1a2>a1c2，∴③正確．④∵c1a2>a1c2，a1>0，a2>0，∴eq\f(c1a2,a1a2)>eq\f(a1c2,a1a2)，即eq\f(c1,a1)>eq\f(c2,a2)，∴④不正確．故選D.3．古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑，“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個(gè)近似公式d≈eq\r(3,\f(16,9)V)，人們還用過一些類似的近似公式．根據(jù)π＝3.14159…，判斷下