2.4二次函數(shù)的應(yīng)用（解析版）

2.4二次函數(shù)的應(yīng)用分層練習(xí)考查題型一根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)的關(guān)系式（2023秋?麗水期中）某超市銷售一種飲料，每瓶進(jìn)價(jià)為3元，當(dāng)售價(jià)為5元時(shí)，每天可賣出100瓶，據(jù)調(diào)查若每瓶售價(jià)每漲0.5元，每天銷量減少5瓶．設(shè)每瓶定價(jià)為元，每天利潤為元，則下列表達(dá)式正確的是A． B． C． D．【分析】設(shè)每瓶定價(jià)為元，根據(jù)題意表示出每瓶利潤，日銷售量，根據(jù)等量關(guān)系列出表達(dá)式即可．【解答】解：設(shè)每瓶定價(jià)為元，則每天可賣出瓶，根據(jù)題意得：，故選：．（2023秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）已知某種產(chǎn)品的成本價(jià)為30元千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量（千克）與銷售價(jià)（元千克）有如下關(guān)系：．設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為（元，則與之間的函數(shù)表達(dá)式為A． B． C． D．【分析】利用這種產(chǎn)品每天的銷售利潤每千克的銷售利潤每天的銷售量，即可找出與之間的函數(shù)表達(dá)式．【解答】解：根據(jù)題意得：，即．故選：．（2023秋?津南區(qū)期中）某超市經(jīng)銷一種水果，每千克盈利10元，每天銷售500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查反映：若每千克漲價(jià)1元，每天銷售量減少20千克，設(shè)每千克漲價(jià)（單位：元），且，每天售出商品的利潤為（單位：元），則與的函數(shù)關(guān)系式是A． B． C． D．【分析】當(dāng)每千克漲價(jià)元時(shí)，每千克盈利元，每天可銷售千克，利用每天售出商品的利潤每千克的銷售利潤日銷售量，即可得出與的函數(shù)關(guān)系式，此題得解．【解答】解：當(dāng)每千克漲價(jià)元時(shí)，每千克盈利元，每天可銷售千克，根據(jù)題意得：．故選：．（2023秋?泰安期中）有一個(gè)矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外邊用長為的籬笆圍成．已知墻長為，若平行于墻的一邊長不小于，設(shè)這個(gè)苗圃園的寬為，面積為，則與之間的函數(shù)表達(dá)式為A．， B．， C．， D．，【分析】根據(jù)各邊之間的關(guān)系，可得出，利用矩形的面積公式，可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合“墻長為，且平行于墻的一邊長不小于”，即可求出的取值范圍．【解答】解：籬笆的總長為，，．根據(jù)題意得：．墻長為，且平行于墻的一邊長不小于，，，與之間的函數(shù)表達(dá)式為．故選：．考查題型二二次函數(shù)的應(yīng)用（2023秋?溫州期中）如圖1是某籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中投籃，球運(yùn)動(dòng)的路線為拋物線的一部分，如圖2，球出手時(shí)離地面約2.15米，與籃筐的水平距離，此球準(zhǔn)確落入高為3.05米的籃筐．當(dāng)球在空中運(yùn)行的水平距離為2.5米時(shí)，球恰好達(dá)到最大高度，則球在運(yùn)動(dòng)中離地面的最大高度為A．4.55米 B．4.60米 C．4.65米 D．4.70米【分析】根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為，再把和代入解析式，求出，即可．【解答】解：根據(jù)題意得：拋物線過點(diǎn)和，對(duì)稱軸為直線，設(shè)拋物線解析式為，把和代入解析式得：解得，拋物線解析式為，，函數(shù)的最大值為4.65，球在運(yùn)動(dòng)中離地面的最大高度為，故選：．（2023秋?儀隴縣期中）如圖，有一拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面時(shí)，水面寬，當(dāng)水面寬增加，則水面應(yīng)下降的高度是A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知得出直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式，再代入代數(shù)式即可求解．【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示，則點(diǎn)，設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為：，則，解得：，則拋物線的表達(dá)式為：，設(shè)水位下降到點(diǎn)時(shí)，水面寬增加，則點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，則水位下降了1.5米．故選：．（2023秋?梁子湖區(qū)期中）如圖1是蓮花山景區(qū)一座拋物線形拱橋，按圖2所示建立平面直角坐標(biāo)系，得到拋物線解析式為，正常水位時(shí)水面寬為，當(dāng)水位上升時(shí)水面寬為A． B． C． D．【分析】根據(jù)正常水位時(shí)水面寬，求出當(dāng)時(shí)，再根據(jù)水位上升5米時(shí)，代入解析式求出即可．【解答】解：米，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)水位上升5米時(shí)，，把代入拋物線表達(dá)式得：，解得，此時(shí)水面寬，故選：．考查題型三二次函數(shù)的綜合（2023秋?鏡湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，當(dāng)以為對(duì)角線的正方形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)、恰好在拋物線上時(shí)，我們把這樣的拋物線稱為“美麗拋物線”，正方形為它的內(nèi)接正方形．（1）當(dāng)拋物線是“美麗拋物線”時(shí)，則；（2）若拋物線是“美麗拋物線”，則，之間的數(shù)量關(guān)系為．【分析】（1）當(dāng)拋物線是美麗拋物線時(shí)，則，由四邊形為正方形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，進(jìn)而求解；（2）由（1）知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，即可求解．【解答】解：（1）函數(shù)的圖象如下：當(dāng)拋物線是美麗拋物線時(shí)，則，四邊形為正方形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，解得：，故答案為：；（2）由（1）知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，解得：，故答案為：．（2023秋?龍灣區(qū)月考）圖1是一個(gè)瓷碗，圖2是其截面圖，碗體呈拋物線狀（碗體厚度不計(jì)），碗口寬，此時(shí)面湯最大深度．（1）當(dāng)面湯的深度為時(shí)，湯面的直徑長為；（2）如圖3，把瓷碗繞點(diǎn)緩緩傾斜倒出部分面湯，當(dāng)時(shí)停止，此時(shí)碗中液面寬度．【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，則拋物線的表達(dá)式為：，則點(diǎn)的坐標(biāo)為：，點(diǎn)，再用待定系數(shù)法即可求解；（2）確定直線的表達(dá)式為：，求出，，進(jìn)而求解．【解答】解：（1）以為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：，則拋物線的表達(dá)式為：，則點(diǎn)的坐標(biāo)為：，點(diǎn)，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，即拋物線的表達(dá)式為：①，，故答案為：；（2）將瓷碗繞點(diǎn)緩緩傾斜倒出部分面湯，當(dāng)時(shí)停止，所以旋轉(zhuǎn)前與水平方向的夾角為，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式的：直線的表達(dá)式為：②，聯(lián)立①②并整理得：，則，，則，則，由的表達(dá)式知，其和軸的夾角為，則，故答案為：．（2023秋?合肥月考）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．（1）的度數(shù)是；（2）若點(diǎn)是二次函數(shù)在第四象限內(nèi)圖象上的一點(diǎn)，作軸交于點(diǎn)，則的長的最大值是．【分析】（1）由求出，，，可得，，，故；（2）由，得直線解析式為，設(shè)，可得，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．【解答】解：（1）在中，令得，，令得或，，，，，，，，故答案為：；（2）由，得直線解析式為，設(shè)，則，，，當(dāng)時(shí)，取最大值4，故答案為：4．（2023?二道區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，連結(jié)并延長交拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且．當(dāng)時(shí)，則的值是．【分析】設(shè)、，分點(diǎn)在線段上及點(diǎn)在線段上兩種情況，由，利用相似三角形的性質(zhì)可得出、間的關(guān)系，將、點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線與拋物線對(duì)稱軸聯(lián)立方程組，解方程組即可求得的值．【解答】解：由，可設(shè)、點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，，，，，點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖1所示．，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，，點(diǎn)橫坐標(biāo)為．由題意知、點(diǎn)均在拋物線的對(duì)稱軸上，，．點(diǎn)坐標(biāo)為，，在拋物線上，且拋物線對(duì)稱軸為，有，解得：，或，，．故答案為：．（2023秋?興化市期中）某主題公園裝修后重新開業(yè)，試營業(yè)期間統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，公園每天售出的門票張數(shù)（元張）與門票售價(jià)（元張）之間滿足一次函數(shù)的關(guān)系：，是整數(shù)），若公園每天運(yùn)營成本為1200元，設(shè)公園每天的利潤為（元（利潤門票收入運(yùn)營成本）．（1）試求與的函數(shù)表達(dá)式；（2）公園的門票售價(jià)定為多少時(shí)，每天獲利最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）根據(jù)“利潤票房收入運(yùn)營成本”可得函數(shù)解析式；（2）將函數(shù)解析式配方成頂點(diǎn)式，由，且是整數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得．【解答】解：（1）根據(jù)題意，得：；與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2），而，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為2400．答：公園的門票售價(jià)定為每張60元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤是2400元．（2023秋?鐵東區(qū)期中）隨著互聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用的日趨成熟和完善，電子商務(wù)在近幾年得到了迅猛的發(fā)展，某電商以每件40元的價(jià)格購進(jìn)某款恤，以每件60元的價(jià)格出售．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，“雙11”的前一周月30日月5日）的銷售量為500件，該電商在“雙11”期間月6日月12日）進(jìn)行降價(jià)銷售，經(jīng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)該款恤在“雙11”的前一周銷售量的基礎(chǔ)上，每降價(jià)1元，周銷售量就會(huì)增加50件．若要求銷售單價(jià)不低于成本，且按照物價(jià)部門規(guī)定銷售利潤率不高于，如何定價(jià)才能使利潤最大？并求出最大利潤是多少元？（利潤率【分析】根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，并求出自變量的取值范圍，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：設(shè)售價(jià)為每件元，利潤為元，根據(jù)題意，得：，銷售單價(jià)不低于成本，且按照物價(jià)部門規(guī)定銷售利潤率不高于，，解得，，拋物線開口向下，拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為（元，答：當(dāng)定價(jià)為每件52元，才能使利潤最大，最大利潤是10800元．（2022秋?新洲區(qū)期末）已知拋物線的頂點(diǎn)為，與軸交于，兩點(diǎn)在左邊），與軸交于點(diǎn)．（1）若點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為求其解析式；（2）如圖（1），已知拋物線的頂點(diǎn)在直線上滑動(dòng)，且與直線交于另一點(diǎn)，若的面積為，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖（2），在（1）的條件下，直線交拋物線于，兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線、分別交軸于點(diǎn)、，求與滿足的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）將點(diǎn)，點(diǎn)代入，即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，、，，則，將拋物線與直線解析式聯(lián)立并整理得：，可得，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則，利用三角形面積可得，即可得出答案；（3）求出直線