大學高等數(shù)學(同濟)下冊期末考試題及答案(3套)

大學高等數(shù)學（下冊）考試試卷（一）

一、填空題（每小題3分，共計24分）

1、z=Jlog/x?+j/）（a>0）的定義域為D=。

2、二重積分0111（，+丁2）山⑦的符號為。

W+ly|<l

3、由曲線y=lnx及直線x+y=e+l,y=1所圍圖形的面積用二重積分表示為,其值

為。

4、設曲線L的參數(shù)方程表示為彳。4》44）,則弧長元素為=。

J="⑺

5、設曲面￡為1+丁=9介于z=0及z=3間的部分的外側，則“（，+y2+l）ds=。

6、微分方程@=2+tan）的通解為______________。

dxxx

7、方程y⑷_4）=0的通解為o

“1

8、級數(shù)￡——的和為。

二、選擇題（每小題2分，共計16分）

1、二元函數(shù)2=/（乂?。┰冢?,打）處可微的充分條件是（）

（A）/0,?。┰冢殻?為）處連續(xù)；

（B）￡（x,y）,4（x,y）在（演），%）的某鄰域內(nèi)存在；

（C）—f；（Xo，yo）Ay當。Ar）?+（均）2—0時,是無窮??；

（D）麗絲3型竺且辿絲=。。

22

：：o7（Ax）+（Ay）

分2分2

2、設〃=#（-）+0X2）,其中f具有二階連續(xù)導數(shù)，則x二+y=等于（）

yxdxdy

（A）x+y；（B）x；（C）y；（D）0。

3、設O：/+/+224]/20,則三重積分/=0]23/等于（）

Q

工工】-n1

（A）d0^d（p^Psin^9cos^￥/r；（B）jjdej0d夕sin^r；

(C)J。I。［02d可()/sin°cos西廣；(D)J(dOj?！〞r(/sin9cos幽尸。

4、球面x2+y2+z2=4a2與柱面x2+y2=2以所圍成的立體體積V=()

7C_________________

f—(?2acos。//r—p2acos。/

2

(A)2d0\一廣dr；(B)4(d0\rj4a2-/公；

JoJoJoJ0

7C__________元

「一r2acost//ZT2acosGIZZ"

(C)^\2d0\nj4a“一Ldr；⑴心可Z4a-rdro

J0J0o

2

5、設有界閉區(qū)域D由分段光滑曲線4所圍成,L取正向，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù),

則［Pdx+Qdy=()

(A)”管一部如

<c)ug-?)dxdy；

oxoy

6、下列說法中錯誤的是()

(A)方程孫M+2y"+x2y=0是三階微分方程；

(B)方程y包+x電=ysinx是一階微分方程：

dxdx

2

(C)方程(X+2孫3)辦+(y2+3/y2)辦=0是全微分方程;

(D)方程您+'x=幺是伯努利方程。

dx2x

7、已知曲線y=y(x)經(jīng)過原點，且在原點處的切線與直線2x+y+6=0平行，而y(x)滿足微分方程

y"-2y'+5y=Q,則曲線的方程為丁=()

(A)-exsin2x；(B)e”(sin2x-cos2x)；

(C)e"(cos2x-sin2x)；(D)exsin2xo

00

8、設hm〃〃“=0,則()

w—x?

n=l

(A)收斂；(B)發(fā)散;(C)不一定；(D)絕對收斂。

三、求解下列問題(共計15分)

1、(7分)設7,g均為連續(xù)可微函數(shù)。u=/(x,乙y),u=g(x+燈)，

?dudu

求k，丁。

dxdy

Cx+t?dudu

2>（8分）設/（z）dz,求一，——O

Jx-tdxdt

四、求解下列問題（共計15分）。

y

1、計算/=/盧Je~dyo(7分)

2、計算/="J（x2+y2MV,其中。是由X2+y2=2z,Z=l及Z=2所圍成的空間閉區(qū)域（8分）

五、（13分）計算/=?叱-吁，其中L是X”面上的任一條無重點且分段光滑不經(jīng)過原點0（0,0）的封

z%'+y

閉曲線的逆時針方向。

六、（9分）設對任意x,y,f（x）滿足方程f（x+y）=J（/+/⑶）.,且尸（0）存在，求/（X）。

七、（8分）求級數(shù)g（T）八2；；］的收斂區(qū)間。

高等數(shù)學（下冊）考試試卷（二）

1、設2sin(x+2y—3z)=x+2y—3z,則---1----____0

dxdy

3-J9+盯

2、lim---------=o

xy

yf0

3、設/=，：%「'f(x,y)辦，交換積分次序后，1=

4、設/（〃）為可微函數(shù)，且/（0）=0,則lim—“/(正+y2)db=

571Vx2+y2<f2

5、設L為取正向的圓周％2+y2=4,則曲線積分

x

心+i)dx+(2ye—x)dy=

6、設A=(X?+yz)i+(y2+xz)/+(z2+—)&,則d?A=。

7、通解為y=c?,+je-2*的微分方程是0

—1,-

8、設/'(x)=4，則它的Fourier展開式中的?！?_________

1,0<x<

二、選擇題（每小題2分，共計16分）。

xy2，2八

1、設函數(shù)/（乂?。?{/+y4，則在點（0,0）處（）

0,X?+＞2=0

（A）連續(xù)且偏導數(shù)存在；（B）連續(xù)但偏導數(shù)不存在：

（C）不連續(xù)但偏導數(shù)存在；（D）不連續(xù)且偏導數(shù)不存在。

2、設〃（x,y）在平面有界區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足

d2u.nd'Ud'Uc

----00及-+—有=0，

dxdydx7~dy~

貝（）

（A）最大值點和最小值點必定都在D的內(nèi)部；

（B）最大值點和最小值點必定都在D的邊界上；

（C）最大值點在D的內(nèi)部，最小值點在D的邊界上；

（D）最小值點在D的內(nèi)部，最大值點在D的邊界上。

3、設平面區(qū)域D:（X-2）2+（＞-1）2W1,若L="（x+y）2db,12="（尤+y）3db

。D

則有（）

(A)/(</2；(B)/|=，2；(C)/,>/2；(D)不能比較。

4、設。是由曲面z=肛,丁==1及z=0所圍成的空間區(qū)域，貝!J孫儀/z=)

1（C）1

(A)(B)—；七(D)

361362364

x—（p（t）

5、設/在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為＜（。＜，＜尸），其中奴。,“（。在

y=y/（t）

上具有一階連續(xù)導數(shù)，且夕'2?）+“'2。）70,則曲線積分j/（x,y）ds=（)

（A）（B）J；/（夕⑺“（/）"夕'2?）+〃'2?）力；

（C）J：/（8（f）,”（f））Jq）'2（t）+H（t）dt；（D）J；f（（p（t）w（t））dto

6、設E是取外側的單位球面/+y2+z2=1,則曲面積分

JJxdydz+ydzdx+zdxdy=()

z

(A)0；(B)27；(C))(D)44o

7、下列方程中，設y”為是它的解，可以推知必+為也是它的解的方程是（）

(A)V+p(x)y+<7*)=0；(B)y"+p(x)y'+9(x)y=0；

(C)y*+p(x)y'+q(x)y=f(x)；(D)y"+p(x)y'+q(x)=0.

8、設級數(shù)為一交錯級數(shù)，則()

〃=1

(A)該級數(shù)必收斂；(B)該級數(shù)必發(fā)散；

(C)該級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散；(D)若為f0(〃f0),則必收斂。

三、求解下列問題(共計15分)

1、(8分)求函數(shù)〃=ln(x++Z?)在點A(o,1,0)沿A指向點B(3,-2,2)

的方向的方向導數(shù)。

2、(7分)求函數(shù)/(乂田=/武4一工一)，)在由直線工+丁=6,丁=0,%=0所圍成的閉區(qū)域口上的最大

值和最小值。

四、求解下列問題(共計15分)

1、(7分)計算/=JJJ-----———其中。是由x=O,y=O,z=O及x+y+z=l所圍成的立體

Q(1+無+y+z)、

域。

2、(8分)設/(X)為連續(xù)函數(shù)，定義F(f)=J,[z2+/(x2+y2)mn,

C

其中。={(x,y,z)10<z<h,x2+y2<產(chǎn)}，求空■。

dt

五、求解下列問題(15分)

1、(8分)求/=((e'siny-肛y)dx+(e'cosy-加)dy,其中L是從A(a,0)經(jīng)y=Jox-x'到O

(0,0)的弧。

2^(7^)I=x2dydz+y2dzdx+z2dxdy,其中￡是/+y?=z2(0<z<的外側。

六、(15分)設函數(shù)儀幻具有連續(xù)的二階導數(shù)，并使曲線積分

Jj30'(x)-2e(x)+xe21ydx+d(x)dy與路徑無關，求函數(shù)*(無)。

高等數(shù)學(下冊)考試試卷(三)

一、填空題(每小題3分，共計24分)

、n「*2,n,SU

1、設〃=edt,則——=______o

Jxzdz

2、函數(shù)/(x,y)=Ay+sin(x+2y)在點(0,0)處沿，=(1,2)的方向導數(shù)

3、設。為曲面2=1-/一丁2,2=0所圍成的立體，如果將三重積分/=*/(乂、2)外化為先對2再對

C

y最后對x三次積分，則1=。

4、設/(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則/=1里,其中￡>:/+產(chǎn)<產(chǎn)。

DmD

5、fjx2+y2)ds=,其中L：》2+y2=〃2。

6、設Q是一空間有界區(qū)域，其邊界曲面SQ是由有限塊分片光滑的曲面所組成，如果函數(shù)尸(x,y,z),

Q(x,y,z),R(x,y,z)在。上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則三重積分與第二型曲面積分之間有關系

式：,該關系式稱為公式。

7、微分方程y一6丁'+9/=/一6》+9的特解可設為：/=。

8、若級數(shù)￡上山二發(fā)散，則p

〃=1九"

二、選擇題(每小題2分，共計16分)

1、設/：31)存在，則lim+-=()

XT°X

(A)(B)0；(C)2f'.(a,b)；(D)；0

2>設2=%"，結論正確的是()

d2zd2zd2zd2z.

(A)------>(J；(B)------=();

dxdydydxdxdydydx

d2zd2zd2zd2z

(C)------——-<0；(D)------w0。

dxdydydxdxdydydx

3、若/(x,y)為關于x的奇函數(shù)，積分域D關于y軸對稱，對稱部分記為口，。2，/O，y)在D上連續(xù)，則

JJf(x,y)da=()

D

(A)0；(B)f(x,y)da；(C)4jjf(x,y)dor；(D)2y)d(yo

￡)iD|D2

4、設Q：x2+y2+z2</?2,則JJJ*?+y2)dxdydz=()

c

(A)-TTR'；(B)—TTR，；(C)—TUR，；(D)—TTR'。

331515

5、設在xoy面內(nèi)有一分布著質量的曲線L在點(x,y)處的線密度為夕(x,y),則曲線弧￡的重心的x坐標嚏

為)

—ir-ir

(A)x=—xp(x.y)ds；(B)x=——xp(x,y)dx；

(C)x=y)ds\(D)x=—fxds,其中M為曲線弧上的質量。

M久

6、設E為柱面/+y2=1和元=o,y=o,z=l在第一卦限所圍成部分的外側，則曲面積分

22

分yzdxdy+xzdydz+xydxdz=)

z

71、5〃71

(A)0；(B)---；(zC)—；(D)

424~4

7、方程2y'=/(x)的特解可設為()

(A)A,若/(x)=l；(B)Aex,若/(x)=e\

(C)Ax44-Bx3+Cx2+E,若/(不)=12-2工；

(D)x(Asin5x+Bcos5x),若/(x)=sin5x。

—1—萬4天<0

8、設/(幻=4'",則它的Fourier展開式中的％等于()

10<X<ZF

214

(A)—[l-(-l)n]；(B)0；(C)J_；(D)—o

rurn九〃兀

三、(12分)設y=，為由方程F(x,y,Z)=0確定的的函數(shù)，其中了,尸具有一階連續(xù)偏導

數(shù),求%。

四、(8分)在橢圓，+4/=4上求一點，使其到直線2x+3y—6=0的距離最短。

五、(8分)求圓柱面/+y=2y被錐面2=而行■和平面z=0割下部分的面積A。

六、(12分)計算/=jj■肛其中2為球面x2+y2+z2=\的xN0,yN0部分

的外側。

七、(10分)設.(c°s±)=]+s1n2一求八X)。

d(cosx)

八、(10分)將函數(shù)/(乃=111(1+》+，+》3)展開成尢的累級數(shù)。

高等數(shù)學(下冊)考試試卷(一)參考答案

22

一、1、當0<4<1時，0<%2+>241；當。>1時，x+y>\;

2、負號；3、JJdcr=dr;%；4、個d3+y(t)dt；

D

5、1804；6>sin—=Cx；

x

v2vlv

7、y=C}cosV2x+C2sinV2x+C3e+C4e~^；8>1；

二、1、D；2、D；3、C；4、B；5、D；6、B；7、A；8、C；

_,du4adu,,.

二、1、丁=<+/；—=xgu+xy)；

dxdy

2、_^_=/(x+/)-/(xT)；—=f(x+/)+f(x-t)；

oxot

四、1、J；dx^2^-vdy-j；eydx=J；”'dy=^(l-e~4)；

2、/=J。dej()力-"z+Jodej,drj]、/dz=—7i；

°°?°2/3

則新尋啜

五、令尸=yQ=-(X,y)*(0,0)；

x2+y2，上x2+y2

于是①當L所圍成的區(qū)域D中不含O(0,0)時，竺,冬在D內(nèi)連續(xù)。所以由Green公式得：1=0；②當L

dydx

所圍成的區(qū)域D中含O(0,0)時，變，絲在D內(nèi)除O(0,0)外都連續(xù)，此時作曲線廣為

dydx

x2+y2=￡2{0<￡<\),逆時針方向，并假設?！睘镃及廠所圍成區(qū)域，則

G百公式J［管噌)—+f=2萬

D了x2+y2=c2

六、由所給條件易得：

/?(())=-2//―/(0)=0

1-/2(0)

一+3)一/⑺

又廣(x)=lim―—~~~~~■—lim~~)'(-

A—。AXAI。A%

/(A。-/(0)

=/，(0)[l+/2U)]

\x

即?=、二八。)

/.arctan/(x)=/'(O)?x+c即f(x)=tan[/r(O)x+c]

又/(O)=0即c=k/c,keZf(x)=tan(/'(O)%)

七、令X—2=r,考慮級數(shù)>(—1)"」一

￡2〃+1

產(chǎn)〃+3

,/lim2丁3二'

“T8產(chǎn)+1

2〃+1

.?.當一<1即1|<1時，亦即l<x<3時所給級數(shù)絕對收斂；

當上|<1即x>3或x<l時，原級數(shù)發(fā)散：

81

當/=—1即X=1時，級數(shù)五w收斂；

81

當，=1即尤=3時，級數(shù)￡(—1)"-----收斂；

?=12〃+1

.??級數(shù)的半徑為R=l,收斂區(qū)間為[1,3]。

高等數(shù)學(下冊)考試試卷(二)參考答案

一、1、1；2>-1/6；3、dy^/(X,y)dx+dy^f(x^y)dx；4、g/'(0);

5、—8zr；6、2(%+y+z)；7y"+y'—2y=0；8、0；

二、1、C；2、B；3、A；4、D；5、C；6、D；7、B；8、C；

三、1、函數(shù)〃=ln(x+Jy)+z?)在點A(1,0,1)處可微，且

?.■。221?.

而1=A3=(2,-2,1),所以/=故在A點沿/=A3方向導數(shù)為:

duI_duduIduI

前人二晟cosa+-|A.cos^+-|4?cos/

f'=2xy(4-x-y)+^(-1)=0

2、由，個、八得D內(nèi)的駐點為M°(2,1),且/(2,1)=4,

fy=x(4-x-2y)=0

又/(0,y)=0"(x,0)=0

而當x+y=6,x20,y20時，f(,x,y)=2x3-12x2(0<x<6)

令(2站一12爐)=0得X]=0,x2=4

于是相應弘=6,力=2且/(0,6)=0,/(4,2)=-64.

.?./(%,y)在D上的最大值為/(2,1)=4,最小值為f(4,2)=-64.

0<x<l

四、1、。的聯(lián)立不等式組為Q:<0KyWx—1

0<z<i-x-y

CIr1Tfl-x-ydz

所以/=Jo可。吼

(l++x+y+z),

T；1T力

(l+x+y)2

Li3-x..1._5

(----------------)dx=—In2------

2。x+14216

2、在柱面坐標系中

F(r)=￡T[z2+/(r2)]rt/z=產(chǎn))r+

所以

半=aw")—!//]=2成仃(產(chǎn))+)]

at33

五、1、連接辦,由Gwe〃公式得:

I=\L+4=憶示一篇

Gree,公式

—JJ(excosy-excosy+ih)dxdy-^-0

x2+y2<ax,y>0

1

=—mm2

8

z=a

2、作輔助曲面999,上側，則由Gauss公式得:

[x+y<a

“JJ+JI--JJ

￡EiZ,E+E)E1

j112(x+y+z)dxdydz-JJa~dxdy

x2+y2^z2,O^z^ax2+y2^a2

=2jdzj|zdxdy-Tia4

x2+y2<z2

Ca3.414

=27izaz-7ia=——71a

Jo2

六、由題意得：3”(x)-2弓(幻+加2*=e"(x)

即e"(x)-3(p'(x)+20(x)=xe2x

特征方程/-3r+2=0,特征根4=1,々=2

對應齊次方程的通解為：y=

又因為2=2是特征根。故其特解可設為：y^x[Ax+B)e2x

代入方程并整理得：A=-,B=~]

2

即y*=；x(x-2)e"

x2

故所求函數(shù)為：(p(x)=cxe+c2e'+；x(x-2)e"

高等數(shù)學(下冊)考試試卷(三)參考答案

一、1、yey2：2-xexz2；2、亞;3、X，f(x,y,z)dz；

4、/(0,0);5、2加3；6,f[f(—+^+^)Jv=HPdydz+Qdzdx+Rdxdy,

nSx外8z

公式；7、Ax2+Bx+