甘肅省酒泉市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二年級上冊期中考試 數(shù)學(xué)試題

酒泉市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期中試題（附答案）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.已知數(shù)歹!!｛&｝滿足4>0,2a+i=&,則數(shù)列｛&｝是（）

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.常數(shù)列D.擺動數(shù)列

2.已知數(shù)列｛aj滿足an=：+l(n22,neN"),若="則為=(

an-l3

A.1B.-C.2D.-

25

3.直線L=1的縱截距為()

A.—2B.—C.—D.3

23

4.等比數(shù)列｛a｝中，色a&5=6,a=3,則4=()

23

A.-B.5C.2D.12

o乙

5.經(jīng)過兩條直線A：x+y=2,72：2x—的交點(diǎn),且直線的一個方向向量—（一3,2）的直線方程為

()

A.2x+3y-5=0B.|2x+y+2=0

C.x+2y—2=0.D.x-y—7=0

6.橢圓。：工+反=1的焦點(diǎn)為6，尸2,點(diǎn)P在橢圓上，若尸月=6,則點(diǎn)p至uy軸的距離為（）

2449

A.2.4B.2.8C.4.0D.4.8

7.拋物線y=2d的準(zhǔn)線方程為（）

A.y=-—B.y=--c.x=—D.x=~-

4828

8.已知直線辦+2y=0與直線4：x+（〃+l）y+4=0平行，則實(shí)數(shù)〃的值為（）

2

A.-2B.-C.1D.-2或1

3

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

9.已知數(shù)列｛七｝滿足的=—；,an+i=J/，則下列各數(shù)是｛an｝的項(xiàng)的有（）

A.-2B.-2C.3-D.3

32

10.已知方程」+工=1表示的曲線為C則以下四個判斷正確的為（）

4Tt-\

A.當(dāng)lv，v4時，，曲線。表示橢圓B.當(dāng)，>4或E<1時，曲線C表示雙曲線

C.若曲線C表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，貝D.若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則f>4

11.）若直線2x+y+Vm=。被圓/+y2=4截得的弦長為2次,則m不可能是（）.

A.V5B.5C.10D.25

12.設(shè)等比數(shù)列｛a,,｝的公比為0,其前〃項(xiàng)和為￡,前〃項(xiàng)積為北，并滿足條件a>l,&02la2022>1,

^Er<o,下列結(jié)論正確的是（）

&L02211

A.Sow〈Wo22B.a202132023-KOC.a022是數(shù)列｛北｝中的最大值D.數(shù)列｛用無最大值

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上）

13.直線y=x+1與圓/+y2+2丫-3=0交于A,B兩點(diǎn),貝.

14.數(shù)列｛a｝中，&=8,&=2,且滿足a0+2=2a+i-aJ/jGN*）,則數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為.

15.設(shè)｛a“｝是等比數(shù)列，且ai+az+a3=l,a;+a3+ai=2,則a+國+@8=.

16.如圖，賽馬場的形狀是長100m,寬50m的橢圓.則距離頂點(diǎn)10m的寬度是.

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）已知平面內(nèi)兩點(diǎn)A（8,-4）,B（2,2）.

①求過點(diǎn)P（2,-3）且與直線AB平行的直線/的方程；

②一束光線從點(diǎn)B射向（1）的直線/,若反射光線過點(diǎn)A,求反射光線所在的直線方程.

18.（12分）已知等差數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S,（〃GN*）,且團(tuán)+a=&,&=9,數(shù)列｛&｝滿足

bt=2,6”一6"-1=2"一’（〃》2,/?SN*）.

①求數(shù)列｛a｝和｛4｝的通項(xiàng)公式；

②求數(shù)列｛a4｝的前n項(xiàng)和T?,并求7,的最小值.

19.（12分）已知點(diǎn)P（a+1,2-V2）,M（3,l）,圓C:（x-I）2+（y-2）2=4.

①求過點(diǎn)P的圓C的切線方程；

②求過點(diǎn)M的圓C的切線方程,并求出切線長.

20.(12分)已知拋物線/=4x的焦點(diǎn)為E點(diǎn)"在拋物線上，稱，垂直x軸于點(diǎn)M若|好1=6,

①求則點(diǎn)必的橫坐標(biāo)

②求△助V尸的面積

21.(12分)已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，數(shù)列也｝為等比數(shù)列，滿足々=2q=2,—6+4=11.

①求數(shù)列｛4｝,也｝的通項(xiàng)公式；

②求數(shù)歹式4,也｝的前〃項(xiàng)和S..

22歷

22.(12分)已知橢圓G2+看=13力0)的離心率為手，且過點(diǎn)4(2,1).

at)z

①求。的方程；

②點(diǎn)M,4在C上，且加吐4MADVMN,〃為垂足.證明：存在定點(diǎn)Q,使得I〃0為定值.

參考答案

一、二單選，多選題

題號123456789101112

答案BAAAADBI)BDBCDACDAB

三、填空題

13.27214.a?=10—2/?15.3216.30

四、解答題

2-(-4)=-1,因?yàn)橹本€〃/AB

17.解：⑴因?yàn)锳(8,-4),B(2,2),所以左一

2-8

所以直線八的斜率&=—1.所以直線/的方程為y+3=(-1)(%-2),即x+y+1=0.

b-2

1

解得］二-3,即C(_3,—3),

(2)設(shè)B(2,2)關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)C(a,b),則〈fl-2

o+2Z?+2_b=-3

-----+-----+1=0

I22

-3-(-4)_1

-3-8~~Tl'

直線AC的方程為y+4=(—：)(x—8),即x+lly+36=0,所以反射光線所在直線方程為

x+1ly4-36=0.

(功+四)X6

18.解：(1)由數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列可知：&===3Qx=9=Hi3,

2

故</=ai—a3=3.

則數(shù)列｛a〃｝的通項(xiàng)公式為a?—a3+(/?—3)X3=3〃-9(〃GN*).

當(dāng)"22時，友一a=2',&-&=22,b,.-x-b?-z=2"~\b,-b,^=2"~',

將上述式子累加得：4一A=2'+22+…+2"T+2"T=2"—2,則6“=2"(〃22)；

當(dāng)〃=1時，4=2'=2滿足上式.

綜上可得，&=2"(〃eN*).

(2)設(shè)c?—a?b?—(3n—9)X2",

則T?=c\-\-cz-\---FCLI+G

=(3-9)X2+(6-9)X224------9]X2"~1+(3〃―9)X2",

2。=(3-9)X22+(6-9)X23+-+[3(/?-1)-9]X2"+(3〃-9)X2"+1,

兩式相減得：一Tn——12+3X2~+…+3X2"—(3〃-9)X2"'',

則北=(3〃-12)X2"+'+24(〃《N").

顯然：當(dāng)〃》4時，刀,與24且單調(diào)遞增，

則依次求出方，T2,K,7,比較大小即可.

易得力=-12,為=-24,右=-24,看=24,

故｛窗的最小值為(7Xin=%=A=—24.

19.解：由題意得圓心為C(l,2),半徑r=2.

(1)V(V2+1-1)2+(2-V2-2)2=4,點(diǎn)P在圓C上.

又kpc=-1,.??切線的斜率k=一六=1.

kpc

...過點(diǎn)P的圓C的切線方程是y-(2-V2)=x-(V2+l),即x-y+1-2&=0.

(2)V(3-l)2+(l-2)2=5>4,.?.點(diǎn)M在圓C外部.

當(dāng)過點(diǎn)M的直線的斜率不存在時,直線方程為x=3,即x-3=0.又點(diǎn)C(l,2)到直

線x—3=0的距離d=3—1=2=r,直線x—3=0是圓的切線.

當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,則圓心C到切線的距離

d_M-2+i-3k|_?

解得k=*；.切線方程為y—1=(x—3),即3x—4y-5=0.

綜上可得,過點(diǎn)M的圓C的切線方程為x-3=0或3x-4y-5=0.

'：\MC\=7(3-I)2+(1-2)2=V5,

過點(diǎn)M的圓C的切線長為J|MC|2—產(chǎn)=V5^4=1.

20.解：因?yàn)閽佄锞€的方程為/=4x,故0=2且尸(1,0),

因?yàn)镮揚(yáng)1=6,所以刈+苴=6,解得x.=5,故加=±24，所以以澗=；X(5—1)X24=44.

21.解：⑴4=",2=2"；

(2)S?=(n-l)-2n+1+2.

解：（1）設(shè)｛q｝的公差為"，也｝的公比為夕（#0），4=1,4=2,

h=2%,整理可得產(chǎn)學(xué)"E，解得［=:

聯(lián)立＜2

a3+b3=11［夕=2\a=1

n

所以4=〃，bn=2.

(2由(1)知4A=-2",

則S“=1X2+2X22+3X2、++(n-l)x2n_1+/?x2n,①

2S?=1X22+2X23+3X24++(n-l)x2"+nx2"+',②

①-②，=2+22+23++2"-nx2"+'

i_?w

=2xL^-〃x2"i

1-2

=(1-n)x2n+l-2.

所以5〃=（九一1）?2'川+2.

4ia—//1

22.解：（1）由題意得F+R=1,「^=5,解得才=6,力2=3.

aba2

22

所以c的方程為三+W=1.

63

（2）證明：設(shè)材（乂，yi）,Ma,%）.

22

若直線冊與X軸不垂直，設(shè)直線9的方程為尸加+加，代入卷+5=1,

06

得(1+2京9x'+4ARX+2ZZ/—6=0.

4km