余弦定理 高一數學人教A版（2019）必修2

余弦定理引入

我們知道，一個三角形含有各種各樣的幾何量，比如：

三邊的邊長，三個內角的度數，三角形的面積等.

它們之間應該是存在確定關系的，如

在直角三角形中，邊、角之間的定量關系就有勾股定理，銳角三角函數等.

在一般三角形中，我們曾定性地研究過三角形的邊角關系，并得到了判定三角形全等的一些方法，如SSS，SAS，ASA，AAS

這些判定方法表明：給定一個三角形三條邊、三個角這6個元素中的某些元素，這個三角形就能唯一確定.

那么三角形的其它元素與這些給定元素之間在數量上到底有著怎樣的關系呢，這就是這一部分內容要研究的問題。

在全等三角形的判定中，有一種方法叫SAS(邊角邊),即一個三角形，只要給出了兩邊及其夾角，這個三角形就唯一確定了，也就是說，這個三角形的其它邊和角都可用給出的兩邊及其夾角計算出來.知識探究

幾何圖形到向量恰當的向量運算向量到幾何關系返回余弦定理的內容

三角形中，任何一邊的平方，等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即思考(3):

這些結論有何特點，用自然語言該怎樣敘述？

問題2:

這你還有證明這個定理的其它思路嗎，能把它們現剛才的向量法比較一下嗎？返回

以CB

所在的直線為x

軸，過C點垂直于CB

的直線為y

軸，建立如圖所示的坐標系，則有返回返回

這三種方法中，用向量法最為簡潔，將取兩邊對應向量為基底，將另一邊表示出來，用數量積運算即得結果；

用幾何法較為繁瑣，要涉及作垂線，需將分銳角、鈍角、直三種情況進行討論，最后進行整合.返回

思考(3):

由幾何法的證明過程，你能得出勾股定理和余弦定理的關系嗎？

勾股定理是余弦定理的特例(當兩邊的夾角為直角時)，

余弦定理是勾股定理的推廣(把兩邊的夾角由直角推廣到(0°,180°)內的任意角)

問題3:

余弦定理解決了“已知三角兩邊和夾角，求第三邊的問題”.但我們已知了三角形的三邊，你能用余弦定理確定三個角的大小嗎？

思考(1):

你能用全等三角形的判定方法來解釋嗎?余弦定理的推論

SSS.

即三角形的三邊確定后,三個角的大小也是確定的.

思考(3):

請再回顧一下余弦定理的相關內容?

思考(2):

請你能用自然語言來表述這個結論嗎?返回余弦定理

三角形中，任何一邊的平方，等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即推論：特例：勾股定理

思考(4):

三角形的三條邊，三個角叫三角形的元素.

已知三角形的一些元素,求其余元素的過程叫解三角形.你認為余弦定理在解三角形時可以解決哪些類型的問題？①已知兩邊和夾角，求其它的邊和角；②已知三邊，求三個角.

三角形中，任何一

角的余弦，等于該角兩邊的平方和減去對邊的平方，與這兩邊乘積的兩倍的比值，即返回例析

思考(3):解三角形，一般是怎樣一個思路?

先作一個草圖，并標出已知元素，

再結合定理，確定恰當求解順序，

然后依次求余下的元素.返回

思考:若去掉題目中“銳角”二字，結果會怎樣?分兩種情況進行討論：練習1.我們是怎樣由向量知識得到余弦定理？課堂小結

余弦定理還有哪些哪些推導方法？你更喜歡哪一種？坐標法；幾何法.2.說說余弦定理是怎樣的？其推論是又是怎樣的？3.余弦定理可以直接解決解三角形