第14講 垂徑定理-2023屆新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)

第14講圓錐曲線垂徑定理

-.問(wèn)題綜述

i.圓中的垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.（在這里我僅研究垂直平分

弦）

如圖0-1,在圓。中，已知點(diǎn)M是弦45的中點(diǎn)，則。0，他.

2.橢圓與圓的聯(lián)系

（教材《選修2-1》第41頁(yè)例2）

如圖0-2,在圓d+丁=4上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,。為垂足.當(dāng)點(diǎn)尸在圓上運(yùn)動(dòng)

時(shí)，線段包）的中點(diǎn)用的軌跡是什么？為什么？（所求得的軌跡方程是々+y2=l.）

4'

（教材《選修2-1》第50頁(yè)B組第1題）

如圖0-3,，點(diǎn)M在b的延長(zhǎng)線上，且已4=3.當(dāng)點(diǎn)P在圓x:+y2=4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M

10Pl2

的軌跡方程，并說(shuō)明它時(shí)什么曲線.（所求得的軌跡方程是仁=1.）

49

由上述兩道習(xí)題推廣到一般情形：

="（a>0）上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段P￡）,點(diǎn)M在QP上，若瑞^=履

在圓x2+y2

（2>0,且兀片1）,則當(dāng)點(diǎn)P在圓Y+y2="上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)亂的軌跡方程是

22

（0+-^~7=1（%>0,且；Lwl）,當(dāng)。<4<1時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng)幾>1時(shí)，表示焦點(diǎn)在y

a~矛

軸上的橢圓.）

22

特別地，當(dāng);1=1時(shí)，橢圓f+仁=1即為圓/+丁=/.

a~A~a~

由此，我們可以將橢圓看成是由圓升縮而成的，圓中某些性質(zhì)也可以類比拓展到橢圓，本專題就圓的垂徑

定理在橢圓.雙曲線中的拓展.應(yīng)用加以總結(jié).

二,典例分析

類型1:橢圓中的垂徑定理

【例1-1】已知橢圓夕+今=1(〃>6>0),不垂直坐標(biāo)軸直線交橢圓于A,3兩點(diǎn)，M為線段43的中點(diǎn)，直

線他和的斜率分別為%,MM，求證：kk=~.

ABOMa

圖1-1

證法1:如圖1-1,設(shè)?1(%,兇)，3(9,%)，用(%)，%)?則斷=之一■"，k°M='.

X2―王玉)

^_+2i=i

因?yàn)閗:b：,兩式作差得立J.+2￡？1=O,即江&=一4，

X,ab~%]-xx+xa

bv=12]2

于是2i二&?&=￡.所以%%=一上.

x{-x2x0aa

證法2：設(shè)直線4?的方程為丁=代+機(jī)，設(shè)A(x，yJ,B(A^,y2),M(x0,y0).

y=kx+m

由<丁y，消y得W+dk1+2kma2x+cTr^-//=(),

hU

所以N+x2"/氏2，于是％+必+占)+2"=/勺1?

所以52嗎1;2、J2咚22,］，于是弓OM“=&=-絲2.

(b+akb+ak)x0ka

因此“AB-&OM=〃(一今")=一「".

證法3：令卜喝=y,則x'2+y，2=i.原題設(shè)中的點(diǎn)A(X"J,見“2),M1,%)分別對(duì)應(yīng)單位圓中的

點(diǎn)4卜：,乂'),8卜2',()，"■',為'),且M'是線段48'的中點(diǎn).由圓的垂徑定理由砥7r&*=T.

又因?yàn)樾?遼="3上3總獸=嗎上.*,

Xxaa

i~2axx-ax2/axQ

所以砥8Mow=砥W---&=—'&W，koM=一一~?

aaaa~

【方法小結(jié)】三種解法分別從三個(gè)不同角度給出解析，解法2是解決直線與橢圓問(wèn)題的通法，解法3利用的是

仿射變換轉(zhuǎn)化為直線與圓的問(wèn)題求解.該問(wèn)題是與弦中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，故解法1利用點(diǎn)差法大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算.

★橢圓中垂徑定理的拓展

拓展一：割線轉(zhuǎn)切線

【例1-2】已知橢圓方+我=l（a>b>0）,設(shè)直線/與橢圓相切于點(diǎn)M,求證：k,-kOM=-^.

證明：如圖1-2,設(shè)“（X。,%）,則切線/的方程為竽+筆=1,$

所以切線/的斜率為《=-空于是《/=-a4.（

ay。'_rop-rv

【方法小結(jié)】該問(wèn)題也可以看成是例1-1中割線的極限位置為切線.、一一/

圖12

拓展二：平移中線（中線轉(zhuǎn)變中位線）

V-2V2

【例1-3】已知橢圓一^十斤=1（〃>Z?>0）,點(diǎn)A,3是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓上異于A,3的任

、、b~

意一點(diǎn)，求證：?38=一/?

證法1:設(shè)點(diǎn)A（x，x）,5（f,-M0。,%）,

22

則…北%+x%-y

x-2o

o+X入0—X

2

KX

+

至

2兩式作差，得啟=一/,于是4

laK

2

2%

+

4溟

證法2：如圖1-3,取MB的中點(diǎn)尸，連接OP,則OP〃M4.

所以

【方法小結(jié)】找到該問(wèn)題中各線段的幾何關(guān)系易知，該問(wèn)題又可以回到例17中的垂徑定理.

【例1-4】（教材《選修2-1》第41頁(yè)例3）如圖1-4,設(shè)點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為（-5,0）,（5,0）.直線M4,

MB的斜率之積是-3,求點(diǎn)M的軌跡方程.

9

解析：設(shè)點(diǎn)M（x,y）,則｛1M='（xx5）,5=-^-（XH—5）,

x-5x+5

由條件有

22

化簡(jiǎn)，得點(diǎn)M的軌跡方程是爭(zhēng)高=1（xw±5）.

V

b24

【方法小結(jié)】該問(wèn)題實(shí)際是與例1-3題型對(duì)應(yīng)的逆命題，如取的中點(diǎn)P,則k”,、?囁-------二——

a29

類型2：雙曲線中的垂徑定理

【例2-1】已知雙曲線「-親■=l（a>0*>0）,不垂直坐標(biāo)軸直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn)，M為線段4?的中

,2

點(diǎn)，直線他和OM的斜率分別為勉，*，求證：kABkOM=^.

（T

證明：略（同例1-1方法1和方法2）,如圖2-1.

【方法小結(jié)】事實(shí)上，垂徑定理之斜率之積為常數(shù)的這一性質(zhì)，對(duì)于有心圓錐曲線均成立.我們知道，雙曲線

方程與圓方程.橢圓方程一樣時(shí)關(guān)于x,y的二元齊次方程，我們可以對(duì)垂徑定理作一個(gè)歸納，如下：

★圓.橢圓.雙曲線中垂徑定理的統(tǒng)一

2

【定理】設(shè)點(diǎn)〃是有心圓錐曲線匕+±v=1（，〃>0,〃>0,或〃?”<o）中與坐標(biāo)軸不垂直且不過(guò)中心O的弦

mn

Vj

的中點(diǎn)，則k-k=.

AH0Mtn

證明：設(shè)4（片,乂），8（%,%），則尤皿=1,k0M=—.

X2一九I”0

兩式作差得五二三+上￡=0,所以2_?-）±匹=一",

mnx—x2芭+x2m

即上也.&=_2.所以后“心“=_K

x^-x2xQmm

特別地，當(dāng)機(jī)=">0時(shí)，該定理即為圓的垂徑定理.

r2A2

【例2-2］如圖2-2,已知雙曲線0-4=1（。>0/>0）,設(shè)直線/與雙曲線相切于點(diǎn)M,求證：《?自

ab~a

證明：略（同橢圓中的例1-2）

【例2-3】如圖23已知雙曲線---=1(〃>0,/?>0),點(diǎn)A,8是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓

上異于A,8的任意一點(diǎn)，求證：k-k=--.

MAMfia"7

證明：略（同橢圓中的例1-3）

【例2-4】（教材《選修2-1》第55頁(yè)探究）如圖2-4,點(diǎn)4,8的坐標(biāo)分別是（-5,0）,（5,0）,直線M4,MB

相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積為3，試求點(diǎn)"的軌跡方程，并由點(diǎn)M的軌跡方程判斷軌跡的形狀.

9

解析：略（同例1-4）.

【方法小結(jié)】綜合例1-4和例2-2,可以對(duì)此類斜率之積為定值的軌跡作一個(gè)歸納，如下：

★動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)所連直線斜率之積為常數(shù)的軌跡

【例2-5】（教材《選修2-1》第80頁(yè)復(fù)習(xí)參考題A組第10題）已知人鉆。的兩個(gè)頂點(diǎn)A,3的坐標(biāo)分別是

（-5,0）,（5,0）,且AC,3C所在直線的斜率之積等于〃7（,“二0）,試探求頂點(diǎn)C的軌跡方程.

解析：設(shè)點(diǎn)C（x,y）,則Me=一~—（xW-5）,k=—―（x#5）?由己知得

x+5BCX—5

------------=m（x^±5,in*0）

x+5x-5'7

整理成

—-------=1（X7i±5）

2525m'7

當(dāng)機(jī)<（）,且加工一1時(shí)，點(diǎn)C的軌跡值橢圓（除去（-5,0）,（5,0）兩點(diǎn)），且當(dāng)初<-1時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在y軸上，

當(dāng)一1</<0時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上；

當(dāng)〃7>0時(shí)，點(diǎn)C的軌跡是雙曲線（除去（-5,0）,（5,0）兩點(diǎn)），且焦點(diǎn)在x軸上.

當(dāng)機(jī)=-1時(shí)、點(diǎn)C的軌跡是圓（除去（-5,0）,（5,0）兩點(diǎn)）.（其中NABC即為圓的直徑所對(duì)的圓周角，為直

角）

【方法小結(jié)】該問(wèn)題中啟示我們，動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)連線的斜率之積為非零常數(shù)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡可能是圓、橢

圓、雙曲線.

22

【例2-6】如圖2-5,直線A5與雙曲線*■-親■=1（a>0力>0）的兩條漸近線交于點(diǎn)4,B,且點(diǎn)M是線段

AB的中點(diǎn)，求證：kA[i,kOM——.

2222

證明：由題意有，雙曲線十點(diǎn)=1（“>0/>0）的漸近線為5-1=0.

設(shè)A（X1,yJ,8（占,%），M5,%）.則心尸出”,府”=&.

々一芭與

-o,,,,

因?yàn)镮：='兩式作差得二一厘"即—…=4

X)Xj

-x2+x2a~

于是江&.%=3所以勤.％=￡.

Xj-x,x0aa

【方法小結(jié)】此問(wèn)題中的點(diǎn)A.8雖然是分別在兩條漸近線上的點(diǎn)，從上述解答所用的漸近線方程易知，筆

者在此依然將A,8兩點(diǎn)視作時(shí)關(guān)于x,y的二元二次齊次方程所表示曲線上的兩點(diǎn)，其解答過(guò)程類似于橢圓與

雙曲線相關(guān)例題的解答.

★類型1,類型2思想方法歸納：

1.圓.橢圓.雙曲線中的垂徑定理

如圖2-6,點(diǎn)〃是曲線的弦的中點(diǎn)，若將圓看作是離心率e=0的特殊的橢圓，則有：

（因?yàn)樵跈E圓中，有一t=_dW=e2-l，在雙曲線中，有與=匚且=e2_1.）

acTaa

2.圓.橢圓.雙曲線中切線與中心和切點(diǎn)連線斜率之積

如圖2-7,已知直線/是在各曲線上點(diǎn)M處的切線，若將圓看作是離心率e=0的特殊的橢圓，則有

kjkoM=/-1

圖2-7

3.過(guò)圓.橢圓.雙曲線中心的弦有關(guān)的斜率之積

如圖2-8,AB是過(guò)曲線中心的一條弦，點(diǎn)M是曲線上不同于A3的任意一點(diǎn)，若將圓看作是離心率e=()

的特殊的橢圓，則有

kMA.&M8=/-1

()1(2)(3)

圖2-8

以上各結(jié)論都可以回歸到第一種類型.

類型3：垂徑定理的應(yīng)用

題型一：與角度有關(guān)的問(wèn)題

22A

【例3-1］已知橢圓C：*?+方=1(“">0)的離心率6=券,4、3是橢圓的左右頂點(diǎn)，P為橢圓與雙曲線

二-21=1的一個(gè)交點(diǎn)，令乙PAB=a,ZAPB=P,則一厚一=

78cos(2a+/7)

八y

圖3-1

【解析】令NPBx=y,由橢圓的垂徑定理可知：tana-tany-e---

cos夕_cos(7-a)_cos/cosa+sin/sincr_1+tana?tan/_3

cos(2a+/)cos(7+a)cos/cosa+sin/sina1-tana?tany5

【方法小結(jié)】其實(shí)所謂的雙曲線方程只是一個(gè)障眼法，并不影響題目的解答.兩頂點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)的模型要很快的聯(lián)想

到第三定義，那么剩下的任務(wù)就是把題目中的南轉(zhuǎn)化為兩直線的傾斜角，把正余弦轉(zhuǎn)化為正切.題目中的正余弦

化正切是三角函數(shù)的常見考點(diǎn).

【變式3-1］已知雙曲線C：x2-y2=2019的左右頂點(diǎn)分別為A8,尸為雙曲線右支一點(diǎn)，且NEABEN4P3,

求ZPAB=.

【解析】令0.1,NPBA=0e0仁，則夕=5a,如圖3-2.由雙曲線的垂徑定理可知：

圖3-2

tana-tan/}—tana-tan5a=/-1=1.

則

(TV_y7V_7T

tana=-=--t--a--n-----5a\=>a=-----5a=>a=—.

tan5a(2J212

題型二：與均值定理有關(guān)的問(wèn)題

X2V2、

【例3-2】已知A、3是橢圓系+齊=1(。＞匕＞0)長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，M、N是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直

線AM、8N的斜率分別為給k2,且空”0.若悶+網(wǎng)的最小值為1，則橢圓的離心率為.

【解析】由題意可作圖3-3,如下:

圖3-3

2

連接MB,由橢圓的第三定義可知：kAM-kBM=e-1=—而%/=-4咖=?'?&化

a

同+同N2振麗-=1=>-=

【方法小結(jié)】合理利用M,N的對(duì)稱關(guān)系是解題的關(guān)鍵，這樣可以利用橢圓的垂徑定理將兩者斜率的關(guān)系聯(lián)系起

來(lái)，結(jié)合“一正”“二定”“三相等”利用均值定理即可用。為表示出最值1,進(jìn)而求出離心率.

22

【變式3-2］已知A、3是橢圓*■+方=1（“＞匕＞0）長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若橢圓上存在。，使NAQ3=與，則橢

圓的離心率的取值范圍為.

【解析】（正切+均值）

令。在x軸上方，則直線04的傾斜角為ae0,1,直線Q8的傾斜角為/egn。

八八n「乃1/.cn（c\tan/?-tana

NAQBe——、4,tanZAQB=tan（S-a）=------------

|_2」'）l+tan/?tana

由橢圓的第三定義：tancrtan,則tan/7=——2---

，，/a八"2ftoarn*axv

+tana

2-一tana

帶入可得：tan\-tana=crtana

1+tan/?tana

?tana

（取等條件：tana=2,即Q為上頂點(diǎn)）

而tanx在單增，則Q為上頂點(diǎn)時(shí)（乙4。限「所以此時(shí)ZAQ8亭，故ee［爭(zhēng)J

題型三：與弦的中垂線有關(guān)的問(wèn)題

【例3-3】已知橢圓C:?+［=l,試確定機(jī)的取值范圍，使得對(duì)于直線/:y=4x+,〃，橢圓C上有不同兩點(diǎn)關(guān)

于直線/對(duì)稱.

解析：設(shè)A,8是橢圓C上關(guān)于直線/對(duì)稱的不同兩點(diǎn)，弦43的中點(diǎn)為則由垂徑定理有

又怎8=一“所以心用=3，即％=3X0.

又因?yàn)辄c(diǎn)M在直線/上，且在橢圓C內(nèi)，所以

3x=4x（）+m

02

11Vc2.

=---\-3m"<1.

4

解得，-3＜〃?＜3,故所求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是-獨(dú)1＜膽〈獨(dú)1.

7137131313

【方法小結(jié)】例3-3橢圓中弦的垂直平分線的橫截距與縱截距的范圍求解，利用垂徑定理大大減少了運(yùn)算量.（注:

如果是解答題，垂徑定理的結(jié)論需要利用點(diǎn)差法給出.）

22

【變式3-3]已知A,B是橢圓二+4=1（。＞人＞0）上兩點(diǎn)，弦他的垂直平分線交x軸于P（x0,O）,求證：

b~

a2-b2a2-b2

＜』＜-

a-------a

證明：若回平行于x軸，則%=0,顯然不等式成立.

若至不平行于x軸，設(shè)弦他的中點(diǎn)為弦AB的垂直平分弦為/,由垂徑定理有

,,b2

又怎8，々=一1，且%/=）■，%=———,所以

%X]-X。

即玉,=J幺玉，因?yàn)?4＜玉＜。，B.a＞b＞0,所以一^^-＜毛＜匕’-.

a~aa

題型四：與長(zhǎng)軸有關(guān)的問(wèn)題

【例3-4】已知橢圓C:]+y2=i的左.右頂點(diǎn)分別是A,B,設(shè)點(diǎn)P是直線x=2上任意一點(diǎn)（除與x軸的交

點(diǎn)），連接E4交橢圓于點(diǎn)C,連接3c.過(guò)點(diǎn)P作3c的垂線，垂足為“，求證：直線尸”過(guò)定點(diǎn).

證明：設(shè)點(diǎn)P（2/）（rw0）,如圖3-4,

于是直線P"的方程為yT=￡壬（x-2）,

故直線尸”過(guò)定點(diǎn)（1-巫,0.

I2J

【變式3-4】已知橢圓E:]+y2=i的左.右頂點(diǎn)分別是A,B,設(shè)尸（0,“F0）,連接承交橢圓于點(diǎn)

C,連接BC,OP,求證：OP1BC.

圖3-5

t

證明：因?yàn)橛?=）1%所以k=2k.

2720PCA

又因?yàn)?-w

fii

所以自尸,々CB=2%CA?—=—I,于是有OP~LBC.

I2ka)

【方法小結(jié)】例3-4和例3-4中條件“P”_LC8”與"直線P”過(guò)定點(diǎn)”可以互逆，而且直線x=2可以換成任意與

x軸垂直的直線，結(jié)論依然成立.

題型五：與雙曲線的漸近線有關(guān)的問(wèn)題

22

【例3-5]（2014年浙江理）設(shè)直線x-3y+m=0（，〃H0）與雙曲線?■-方=1（〃>0力>0）兩條漸近線分別交于

點(diǎn)AB，若尸（〃?,0）,|R41=|P3|,求雙曲線的離心率.

解法1（聯(lián)立方程+垂直平分）：設(shè)線段的中點(diǎn)為M（%,%）,如圖3-6.

圖3-6

x-3y+tn=0

由,fy2,消工得，（96一々2）丁一&?2祖y+人2利2=0,

萬(wàn)卞二°

所以％+%=單=,于是％=學(xué)々，所以%=3%-%

1-9b2-a2°9b2-a2009b2-a2

于是，*==-3,化簡(jiǎn)得"2=4〃.

'2a，2-9b，2

所以，e=M

2

解法2（垂直平分+垂徑定理）：設(shè)線段鉆的中點(diǎn)為例，如圖3-7,因?yàn)樗訮MJLAfi,

圖3-7

于是*=———=-3，所以直線PM的方程為y=-3（x-n?）

kAB

x-3y+m=03m3

解得M，所以_5_

y=-3(x-m)4

又由垂徑定理，有鮑?%=-4=e2-l,即—1,

a~34

所以e=好.

2

解法3（傾斜角+垂徑定理）直線與x軸的交點(diǎn)為。（-狐0）,。為PQ的中點(diǎn)，

設(shè)A,8的中點(diǎn)為"，則PM_L4?,設(shè)NMQO=e,

t

則tan,kOM=tan20-2=-

30”1-tan2^4

2

由雙曲線垂徑定理有：kOMkAB=tan0tan20=e,即gx[=/-],得e=與.

【方法小結(jié)】例3-5是直線截雙曲線的漸近線所得弦中點(diǎn)有關(guān)的直線斜率關(guān)系，常規(guī)設(shè)線或利用垂徑定理都可

以得解，顯然，知道垂徑定理的結(jié)論能使運(yùn)算量大大降低.

三.鞏固練習(xí)

1.已知直線x-3y+l=0與橢圓9+孑=1相交于A8兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)坐標(biāo).

v-21

2.A8是橢圓］+丁=1上兩點(diǎn)，線段他的中點(diǎn)在直線1=一］上，則直線AB與>軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范

圍是.

3.設(shè)A,3是雙曲線V-￡=1上的兩點(diǎn)，

2

(1)若點(diǎn)P(1,2)是線段的中點(diǎn)，求直線他的方程；

(2)若直線鉆過(guò)定點(diǎn)Q(2/)，求線段AS的中點(diǎn)軌跡方程.

4.(2013高考大綱卷8)橢圓C:3+弓=1的左.右頂點(diǎn)分別為A，4，點(diǎn)P在橢圓。上，直線尸&的斜率的

取值范圍是［-2,-1］,那么直線班的斜率的取值范圍是()

A.U333

B.C.-.1D.-,1

248^24

5.已知橢圓［+方=l(a>b>0),點(diǎn)A為橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作長(zhǎng)軸的垂線，垂足為連

結(jié)AO并延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn)8,連結(jié)物0并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)C,若84_LC4,則橢圓的離心率為.

6.(2011江蘇卷)如圖4-1,在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，點(diǎn)A/,N分別是橢圓?+］=1的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)

的直線交橢圓于尸,4兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)尸作x軸的垂線，垂足為C,連接AC,并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)

B,設(shè)直線P4的斜率為

(1)當(dāng)直線R4平分線段時(shí)，求k的值；

(2)當(dāng)％=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線的距離d；

(3)對(duì)任意我>0,求證：PA1PB.

7.（2003江蘇高考10）已知雙曲線中心在原點(diǎn)，且一個(gè)焦點(diǎn)為尸（夜,0）,直線y=x-l與其相交于M,N兩

2

點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-則此雙曲線方程為（)

3

一九1

A-=I￡>.------=1D

4T4352

22

8.已知雙曲線，-斗?=l（a>0,6>0）,過(guò)x軸上點(diǎn)E的直線/與雙曲線的右支交于A,8兩點(diǎn)（A在第一象

限），直線AO交雙曲線左支于點(diǎn)C,連接CB.若/4EO=6（）。，Z4BC=30°,則該雙曲線的離心率為

（）

A.A/2B.y/3C.2D.4

22

9.（2012年浙江高考）雙曲線C:=-4=l（a>0力>0）的左右焦點(diǎn)分別為月,E,8為虛軸的端點(diǎn)，直線耳3

a"b~

與雙曲線C的兩條漸近線交于P,。兩點(diǎn)，線段尸。的中垂線與x軸交于點(diǎn)M,若行|=|片鳥則雙曲線的離心

率為?

=.鞏固練習(xí)參考答案

41

1、解析：設(shè)的中點(diǎn)為M，則&八B?e河=--，又心8=-，

93

4—4

所以k°M—,故直線OM的方程為y-——x.

由廣丁，解得5.所以弦回的中點(diǎn)坐標(biāo)為「

2、解析：如圖4-2,設(shè)直線AB的方程為y="+b.

圖4-2

由條件有即2=4,所以24

2kb

y=kx+bx

M2F+1

由1,解得,

1

I2ky

M獲

又因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓內(nèi)，所以—巫＜」-＜巫，故k＞叵或k-叵

44%41414

依題意有/=-孚~=-'，化簡(jiǎn)得，b=

2k+1222k

所以J或J.

22

,2

3、解析：（1）由條件有無(wú)A8，4OP=r=2，又Z0p=2,所以原5=1,

a~

于是直線AB的方程為y-2=x-\,即y=x+l.

（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M（x,），），當(dāng)XH2時(shí)，由垂徑定理有義」上=2,整理得,

x-2x

2x2_y2-4x+y=0(*)

當(dāng)x=2時(shí)，顯然中點(diǎn)為（2,0）也適合方程（*）.

故方程2d一/一+》=o即為所求的中點(diǎn)軌跡方程.

4、解析：由垂徑定理有，kPA-kPA=-4=--,又e[-2,-l],所以A故選B.

126r4-84

5、解析：如圖4-3,設(shè)B（-xp-y,）,M（xP0）,

由橢圓的垂徑定理有原c?%）=-4，所以&s=-」-=-土.

?■k,\Byx

圖4-3

b2

乂kcB=即M=白，于是=————=——,B[Ja2=2b2.

2內(nèi)乂2天2

所以離心率為e=^

2

6、解析：（1）點(diǎn)M（-2,0）,N（0,-夜卜A7N的中點(diǎn)坐標(biāo)為-1,-,

所以％=農(nóng)

2

y=2x4

（2）由《,哈。）,

x2+2y23

2

所以，直線AC的方程為七=-y■與即y=x——

3

333

242

3-3-3272

所以點(diǎn)P到直線45的距離為〃=

V23

y=kx

（3）證法一（設(shè)線聯(lián)立求點(diǎn)硬算）：由,消y得，(1+2公)x?=4.

%2+2y2=4

22k2

所以A,P,C,0,

、Jl+2&2'J1+2A:?11+2k2

kk2

于是心c=2,所以直線AC:y='x—.—，代入橢圓方程得

AC221VI+2k2J