高中數(shù)學(xué)講義：第30講 平面與平面平行（教師版）

第30課平面與平面平行

號(hào)目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.平面與平面平行的判定與性質(zhì)是研究空間線面關(guān)系的重要組成部分，平面與平面平

行和直線與平面平行研究的方法是類似的，都是以定義、判定、性質(zhì)為主線，誦過(guò)

對(duì)平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理的探索過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺(jué)以及運(yùn)

1.理解并掌握

平面與平面平用圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力

行的判定定2.本節(jié)內(nèi)容蘊(yùn)含主富的教學(xué)思想，即“空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題”無(wú)限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有

理2理解并掌限問(wèn)題”面面平行與線面平行互相轉(zhuǎn)化”等數(shù)學(xué)思想過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一

握平面與平面

步了解空間平面與平面平行關(guān)系的基本性質(zhì)及判定方法，學(xué)會(huì)準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言

平行的性質(zhì)定

表述幾何對(duì)象的位置關(guān)系，并能解決一些簡(jiǎn)單的推理論證及應(yīng)用問(wèn)題。

理.

3.僅能進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，

而且能使學(xué)生把這些認(rèn)識(shí)遷移到后續(xù)的知識(shí)學(xué)習(xí)中去，為后面學(xué)習(xí)面面垂直打下基

礎(chǔ)，所以本節(jié)內(nèi)廣識(shí)的發(fā)展，又是后續(xù)課程有關(guān)圖形研究的前驅(qū)，在教材中起到一

個(gè)承上啟下的作用。

啦’知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01平面與平面平行的判定定理

如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,

文字語(yǔ)言

那么這兩個(gè)平面平行

aUa,bUa,

符號(hào)語(yǔ)言aC\b=A,>=>a///3

a〃B，b//p,

圖形語(yǔ)言

【即學(xué)即練1】如圖，在四棱錐P—ABC。中，E,F,G分別是PC,PD,8c的中點(diǎn)，DC//AB,求證:

平面出8〃平面EFG.

證明,：E,G分別是PC,BC的中點(diǎn),

J.EG//PB,

又平面PBU平面B48,

；.EG〃平面PAB,

；E,1分別是尸C,PD的中點(diǎn),

J.EF//CD,又?：ABHCD、

J.EF//AB,平面A8U平面E4B,

...EE〃平面以8,又EFCEG=E,EF,EGU平面EFG,

平面EFG〃平面PAB.

反思感悟

兩個(gè)平面平行的判定定理是確定面面平行的重要方法.解答問(wèn)題時(shí)一定要尋求好判定定理所需要的條

件，特別是相交的條件，即與已知平面平行的兩條直線必須相交，才能確定面面平行.

知識(shí)點(diǎn)02兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，

文字語(yǔ)言

那么兩條交線平行

符號(hào)語(yǔ)言夕，aC\y=a,6Cy=b=a〃b

圖形語(yǔ)言

/

【即學(xué)即練2】如圖，在三棱錐尸一ABC中，D,E,尸分別是以，PB,PC的中點(diǎn)，M是AB上一點(diǎn)，連接

MC,N是與。E的交點(diǎn)，連接NF,求證：NF//CM.

證明因?yàn)?。，E分別是B4,尸8的中點(diǎn),

所以DE//AB.

又￡）砍平面ABC,A8U平面A3C,

所以O(shè)E〃平面ABC,

同理〃平面ABC,且。EC。尸=Q,DE,DFU平面DEF,

所以平面OEF〃平面ABC.

又平面PCMA平面DEF=NF,

平面PCMC平面ABC^CM,

所以NP〃?！?/p>

反思感悟利用面面平行的性質(zhì)定理判斷兩直線平行的步驟

(1)先找兩個(gè)平面，使這兩個(gè)平面分別經(jīng)過(guò)這兩條直線中的一條.

(2)判定這兩個(gè)平面平行(此條件有時(shí)題目會(huì)直接給出).

(3)再找一個(gè)平面，使這兩條直線都在這個(gè)平面上.

(4)由定理得出結(jié)論.

Q能力拓展

考法01平面與平面平行的判定定理的應(yīng)用

【典例1】如圖所示，四棱錐尸一A3CD的底面ABC。為矩形，E,F,H分別為AB,CD,PD的中點(diǎn)，求

證：平面AM〃平面PCE.

證明因?yàn)槭瑸榈闹悬c(diǎn)，H為尸。的中點(diǎn)，

所以FH//PC,

又平面PEC,PCU平面PEC,

所以〃平面PCE.

又AE〃C尸且AE=CF,

所以四邊形AECF為平行四邊形，

所以A尸〃CE,

又AFC平面PCE,CEU平面PCE,

所以AF〃平面PCE.

又切U平面AFW,AFU平面AM,FHHAF^F,

所以平面〃平面PCE.

【變式訓(xùn)練】如圖，在三棱柱48C—中，E,F,G,X分別是AB,AC,小田，4G的中點(diǎn).

求證：(1)8,C,H,G四點(diǎn)共面；

(2)平面￡以1〃平面BCHG.

證明(1)：GH是△4BC1的中位線，：.GH//BiCi.

又BiCi〃BC,C.GH//BC,

：.B,C,H,G四點(diǎn)共面.

(2)VE,尸分別為AB,AC的中點(diǎn)，

：.EF//BC.

,/ERI平面BCHG,8CU平面BCHG,

.?.EP〃平面BCHG.

〃即且4G=EB,

四邊形AiEBG是平行四邊形，：.AiE//GB.

平面8cHG,G8U平面BC”G,

〃平面BCHG.

'：AiEP\EF^E,AiE,EFU平面EfAi,

二平面E必i〃平面BCHG.

考法02平面與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用

如圖，在正方體ABC。-4B1C1O1中，E為棱的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)8,E,A的平面與棱CG交于點(diǎn)足

(1)求證：四邊形BEDiE為平行四邊形；

(2)試確定點(diǎn)F的位置.

⑴證明在正方體A8C￡)—AJ31GA中，平面〃平面DCCQi,

且平面8FD1EC平面ABBiAi=BE,平面BFDiEC平面DCCD=FDi,

由面面平行的性質(zhì)定理知BE//FDi,

同理2月〃AE,

四邊形BFDiE為平行四邊形.

⑵解取8修的中點(diǎn)M,

連接MG,ME,如圖,

'.'M,E為棱的中點(diǎn)，

.?.ME平行AiB,

又481平行CD,

.?.ME平行Ci。，

四邊形DiEMG為平行四邊形，

：.DiE//MCi,

又DiE〃BF,

：.MCi//BF,又GF〃BM,

：.四邊形MBFCi為平行四邊形，

等于CiF,

二尸為棱CG的中點(diǎn).

【變式訓(xùn)練】如圖所示，P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，平面a〃平面ABC,a分別交線段E4,尸8,PC于A',

2’，C',若陰'：A4,=2：3,則以⑷B，a：SAABC=.

4

宏安--

口木25

解析：平面a〃平面A8C,平面出8與它們的交線分別為A'B',AB,

：.AB//A'B',同理"C//BC,

易得B'C,

考法03線面平行、面面平行的應(yīng)用

【典例3］如圖，在正方體ABC。一AiBiGA中，側(cè)面對(duì)角線AS,BQ上分別有兩點(diǎn)E,F,且BE=GE

求證：EF〃平面43CD

5G

AB

證明過(guò)點(diǎn)E作EG〃AB交86于點(diǎn)G,連接GF如圖，

■:BiE=GF,BiA=CiB,

?全=幽.Fr//Rr

又BC〃BC,C.FG//BC,

又PGI平面ABC。，BCU平面A8CD,

；.FG〃平面ABC。，

又EG//AB且EGC平面ABCD,ABCl平面ABCD,

；.EG〃平面ABC。，

VFGn￡G=G,FG,EGU平面EFG,

平面EFG〃平面ABCD.

,?EFC平面EFG,r.EF〃平面ABCD.

反思感悟(1)證明線面平行的兩種方法：一是由線線平行推出線面平行；二是由面面平行推出線面平行.

(2)線線平行、線面平行、面面平行三者之間可以相互轉(zhuǎn)化，要注意轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用.

【變式訓(xùn)練3】如圖，已知平面a〃平面川，尸莊a且尸雜，過(guò)點(diǎn)尸的直線相與a,乃分別交于A,C,過(guò)點(diǎn)P

的直線n與a,0分別交于B,D,且以=6,AC=9,PD=8,求BO的長(zhǎng).

解???1〃△平面尸CDna=AB,平面PCDC懺CD,

pApR

??AB//CD,可傳AC—BD,

VB4=6,AC=9,PD=8,

68—BD24

??9—BD，解傳BD—5.

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

一、單選題

1.如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形瓦G"為截面，長(zhǎng)方形438為底面，則四邊形EFGH

的形狀為（）

A.梯形B.平行四邊形

C.可能是梯形也可能是平行四邊形D.矩形

【答案】B

【解析】利用面面平行的性質(zhì)判斷所與GH的平行、EH與FG平行.

【詳解】因?yàn)槠矫鍭fi正〃平面CG//D,且平面EFGH平面=平面EFGH1平面CG"D=G",根

據(jù)面面平行的性質(zhì)可知EF〃G”,同理可證明〃丑G.

所以四邊形EFGH為平行四邊形.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體截面形狀判斷，考查面面平行的性質(zhì)應(yīng)用，較簡(jiǎn)單.

2.已知直線a與平面名反7,能使a〃力的充分條件是（）

（1）?±/,±/②a//y,分///③alia,all0@aLa,aL/3

A.①②B.②③C.①④D.②④

【答案】D

【解析】根據(jù)線面的平行關(guān)系，結(jié)合相關(guān)性質(zhì)，逐個(gè)分析判斷即可得解.

【詳解】對(duì)①，若垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面可以相交，故①錯(cuò)誤；

對(duì)②，若￡//%￡///,則M/尸，平面的平行具有傳遞性，故②正確；

對(duì)③，若R/a,a〃6，平行于同一直線的兩平面可以相交，故③錯(cuò)誤；

對(duì)④，aLa,aL/3,垂直于同一直線的兩平面平行，故④正確.

綜上：②④正確,

故選：D.

3.如圖，不同在一個(gè)平面內(nèi)的三條平行直線和兩個(gè)平行平面相交，兩個(gè)平面內(nèi)以交點(diǎn)為頂點(diǎn)的兩個(gè)三角形

是（）

/4'''B/，

A.相似但不全等的三角形

B.全等三角形

C.面積相等的不全等三角形

D.以上結(jié)論都不對(duì)

【答案】B

【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理判斷.

【詳解】由題意知AAFBB'WCC,allp,

所以平面A4，CCce=AC,面=AC',

由面面平行的性質(zhì)定理，得ACIIAC,

則四邊形ACCA，為平行四邊形，，AC=4C.

同理8C=8'C',AB=A'B',

△ABCmAA'B'C.

故選：B.

4.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-AMGA中，E是棱3G的中點(diǎn)，則過(guò)8、E、。三點(diǎn)的平面截正方體所得

的截面圖形的面積為（）

A.5B.屈C.2&D.4^/6

【答案】C

【分析】先作出截面圖形，易知截面為菱形，再結(jié)合菱形面積公式求解即可

【詳解】設(shè)平面BE2交棱于尸，

由正方體性質(zhì)及平面與平面平行的性質(zhì)定理得EQ//BF,D.F//BE,

由勾股定理可得四邊形2陽(yáng)E所有邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度為君，

所以2EBE是菱形，且廠為A。的中點(diǎn)，

取A2的中點(diǎn)連接則

221222

DXB=7W+BD=^DDI+AB+AB=72+2+2=273,

EF=ylFM2+ME2==V22+22=2A/2

故吟生*叵=2瓜

故選：C.

5.已知正方體ABC。-AAGA的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)尸在棱AD上，過(guò)點(diǎn)?作該正方體的截面，當(dāng)截面平行于平

面4RC且面積為代時(shí)，線段AP的長(zhǎng)為（）

A.J2B.1C.出D.—

2

【答案】A

【分析】過(guò)點(diǎn)P作D3,4。的平行線，分別交棱AB,AA于點(diǎn)Q,R,連接QR,BD,即可得到二尸Q?為

截面，且為等邊三角形，再根據(jù)截面面積求出PQ的長(zhǎng)度，即可求出AP；

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作DB,\D的平行線，分別交棱A3,然于點(diǎn)Q,R,連接0?,即，因?yàn)锽DUBR,

所以尸?！ǖ㏑,4Ru面4RC,尸。＜2面片?！?，所以PQ〃面BQC

因?yàn)?。//第7,所以PR//B]C,4Cu面4RC,PRa面4RC,所以尸R〃面片。。

又PQcPR=P,PQ,P?u面PQR,所以面PQR〃面旦RC,則PQR為截面,

易知一設(shè)是等邊三角形，嗚尸質(zhì)樂(lè)行解得文2,.

故選：A

6.已知正方體ABC。-4B|GA的棱長(zhǎng)為2,尸為正方形ABC。內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，E、E分別是棱AA1、棱耳。的

中點(diǎn).若RP〃平面BEF,則的最小值為（）

A.yB.半C.V5D.2小

【答案】A

【分析】根據(jù)線面平行求得點(diǎn)P的軌跡，再結(jié)合幾何關(guān)系，求2P的最小值即可.

【詳解】取BC,CG中點(diǎn)分別為M,N,連接。A,AM,MN,N2，以及尸G，GB,〃陽(yáng)如下所示：

顯然BC"/￡F,故平面BEF與平面BC］尸E是同一個(gè)平面，

又D\A"NM,故2,A,M,N都在平面2AMN中；

EF//D.A,防匚面^石憶已入0面臺(tái)所，故可得RA〃面3￡F,

AM〃尸G，_FC|u面加印,AMU面BEF,故可得AM〃面3EF,

又￡)iAcAM=A,DtA,AMu面D、AMN,故面D、AMN〃面BEF,

又點(diǎn)尸在正方形ABCD,故點(diǎn)尸的軌跡是線段AM,

故當(dāng)且僅當(dāng)"尸，AM時(shí)，，尸取得最小值;

在4D}AM中，RA=2&,AM=6,RM=3,

回

故cosNRAM=則sinAD,AM=,

2DXAxAMlb-

則R幾"=RAxsinN2AM=2^x^|^=?.

故選：A.

二、多選題

7.以下條件能夠判斷平面“與平面夕平行的是（）

A.平面口內(nèi)有兩條直線與平面月平行

B.兩不同平面二，夕平行于同一個(gè)平面

C.平面。內(nèi)的任意一條直線與平面廠無(wú)公共點(diǎn)

D.夾在平面。與平面力間的兩條平行線段相等

【答案】BC

【分析】由面面平行的判定定理和面面的位置關(guān)系即可判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,由面面平行的判定定理可知，若平面。內(nèi)有兩條相交直線與平面夕平行，則平面々與

平面月平行，則A不正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，則B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,兩個(gè)平面的位置關(guān)系有平行和相交兩種，平面”內(nèi)的任意一條直線與平面/無(wú)公共點(diǎn)，則平面

a與平面月無(wú)公共點(diǎn)，即平面。與平面月平行，則C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,相交平面也存在夾在兩平面間的兩條平行線段相等的情況，則D不正確.

故選：BC.

8.已知。表示兩條直線，名,，7表示三個(gè)不重合的平面，給出下列命題，正確的是（）

A.若7力=b,且a//b,則a//6

B.若〃］相交，且都在a1外，alla,blla,al//3,bl1/3,則a//月

C.若a//a,Z?//月，且a//b,則。//尸

D.若aua,a///3,a\P=b,則a//8

【答案】BD

【分析】根據(jù)線線、線面、面面平行的判定與性質(zhì)定理，結(jié)合平面的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷.

【詳解】A：若"\y=a,/3y=b,宣allb,則a,尸可能相交、平行，錯(cuò)誤；

B：若a,b相交，且都在a,尸外,alla,bIla,al//3,bI/P,由面面平行的判定可得a//6,正確;

C：若alia,"10,豆allb,則a,￡可能相交、平行，錯(cuò)誤；

D:若aua,a〃/3,a\/3=b,由線面平行的性質(zhì)定理得a//Z?,正確.

故選：BD

三、填空題

9."平面0〃平面。"是"平面口內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平面用平行”的條件.

【答案】充分不必要

【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和判定定理來(lái)判定.

【詳解】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任意直線與另一個(gè)平面平行.

反之，兩平面平行的判定定理為：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則兩平面平行.

故平面C〃平面〃"是"平面"內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平面△平行的充分不必要條件.

故答案為：充分不必要.

DE1

10.如圖，四棱柱ABCDA/SGn中，ABCO為平行四邊形，E,F分別在線段。8,DDil.,且）=彳

EB2

CG

【分析】先推導(dǎo)出，EF//BD1,平面ADRA〃平面BCG4，由G在CG上且平面平面BRG,可得

CGDF1

AF//BG,從而==a

【詳解】1,平面AEF//平面BQG,且平面平面88/。/。=后凡平面BPGn平面8歷。/。=86,

DFDE1

：.EF//BDi,^=￡B=2

易得平面4）。/4//平面8。。8/,又BGc?p面二BG//平面AOQ4,

又?平面AEF〃平面BZ)/G,8G守面BD/G,二BG//平面AEF,

???平面AEFn平面ADDiAi=AF,

二8G//AF,,BG、AR可確定平面A8GP,

又知平面//平面CDDiCi,

平面ABGFn平面A8B/A/=AB,平面ABGFn平面CDDQ尸F(xiàn)G,

：.AB//FG,CD//FG.

CGDF

一司一麗I

故答案為：—.

2

11.在正方體ABCD-4B】QQ中，M,N,Q分別是棱QG,AiDi,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BQ上且BP=§BQ.

則以下四個(gè)說(shuō)法：

①M(fèi)NII平面APC；

②GQII平面APC；

③A,P,M三點(diǎn)共線；

④平面MNQW平面APC.

其中說(shuō)法正確的是（填序號(hào)）.

【答案】②③

【解析】連接MN,AC,則MA/IIAC,連接AM,CN,易得AM,CN交于點(diǎn)P,從而可知MNc5?面APC,所

以①錯(cuò)誤；由M，N在平面APC上，由題易知ANIIQQ,從而可得GQII平面APC,所以②正確；由于前

的證明可知A,P,M三點(diǎn)共線是正確的，從而可知③正確；由于MNc平面APC,MA/c^F面MNQ,從而可

判斷④

o>

【詳解】

①連接MN,AC,則/WNIIAC,連接AM,CN,

易得AM,CN交于點(diǎn)P,即/WNc平面APC,所以/WNII平面APC是錯(cuò)誤的；

②由①知M,N在平面4PC上，因?yàn)樵谡襟w4BCD--4&QQ中，M,N,Q分別是棱QQ,4Q,BC的

中點(diǎn)，所以CCQ,所以因?yàn)镹A1||QC,所以ANIIGQ,因?yàn)锳N印面APC,

所以GQII平面APC是正確的；

③由①知A,P,M三點(diǎn)共線是正確的；

④由①知MNc?F面APC,

又MNc?F面MNQ,

所以平面MNQII平面APC是錯(cuò)誤的.

故答案為：②③

【點(diǎn)睛】此題考查線面平行、面面平行的判斷，考查空間想象能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題

12.在棱長(zhǎng)為4的正方體ABC。-ABIGA中，點(diǎn)P是棱A8的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作與截面PBC平行的截面，則

所得截面的面積為.

【答案】8底

【分析】正方體中作過(guò)A的截面與平面PBQ平行，再根據(jù)題中的數(shù)據(jù)求出截面的面積.

【詳解】解：取C。、42/的中點(diǎn)V、N,連結(jié)C/M、MA,AN、NCi

D.V

C1N//PC,BiPWAN,BiPnCP=P,QNcAN=N,

平面QMAN〃平面PCBi

.??平面C/M4N就是過(guò)點(diǎn)A與界面PCq平行的截面

由圖可知，平面C[MAN為菱形,且AM=AN=yjAlf+DM2=742+22=2亞

正方體中，Aq=V3X42=4A/3

根據(jù)余弦定理，cosZANg=,且//WG?0,兀）

.."4%=/（一口=當(dāng)

所以截面的面積S=2iH；AN?NC125立腳16、=/x8&x^

故答案為：8A/6

四、解答題

13.如圖，在四棱錐尸一ABC。中，E,F,G分別是PC,PD,BC的中點(diǎn)，DC//AB,求證：平面P48〃平

面EFG.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)面面平行的判定定理進(jìn)行證明.

【詳解】由于E,尸分別是PC,的中點(diǎn)，

所以所是三角形PCD的中位線，

所以EF//DC,

由于。所以EF//AB,

由于EFZ平面尸AB,ABu平面尸AB,

所以所〃平面

由于E,G分別是PC8C的中點(diǎn)，

所以EG是三角形PBC的中位線，

所以EG//PB,

由于EG<Z平面R4B,P3u平面7^18,

所以EG//平面X4B.

由于EFEG=E,

所以平面平面EFG.

14.如圖，已知正三棱錐S-ABC的高SO=〃，側(cè)面上的斜高SA/=/,求經(jīng)過(guò)SO的中點(diǎn)。1且平行于底面

的截面的面積（用/,〃表示）.

【答案】乎（尸-〃2）.

【分析】利用正三棱柱的性質(zhì)可得SA"C=36（/2-/）,根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得4耳//48,進(jìn)而可得

【詳解】連接OM,OA,在RtASOM中，OW=jL一后,

s

???棱錐S-ABC是正三棱錐，

。是一ABC的中心，

2

AB=2AM=2OM-tan60°=2^1-1^，,△ABC二乎Ag2=3同2_〃2）,

因?yàn)槠矫鎍^iG//平面ABC,。1為SO的中點(diǎn)，平面AAGC平面SA8=A4，平面ABCc平面$48=AB,

二//AB，A8J=；AB,同理可得，GBJ/CB,qBi=gcB,4G//AC，4C[=；AC,

所以4a與GsABC,

所以2J=；，

^△ABC%

截面瓦G的面積為SAARC=空/_*.

巧541

題組B能力提升練

一、單選題

1.六棱柱ABCDEP—A/B/GPE/B的底面是正六邊形，則此六棱柱的面中互相平行的有（）

A.1對(duì)B.2對(duì)

C.3對(duì)D.4對(duì)

【答案】D

【分析】根據(jù)六棱柱的性質(zhì)確定正確選項(xiàng).

【詳解】由于六棱柱ABCDEF-AiBiCiD^iFi的底面是正六邊形，

所以上下底面平行，側(cè)面有3對(duì)相互平行的面，

故有4對(duì).

故選：D

2.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-44CQi中，E是棱4G的中點(diǎn)，則過(guò)2、E、2三點(diǎn)的平面截正方體所得

的截面圖形的面積為（）

A.5B.而C.2冊(cè)D.4A/6

【答案】C

【分析】先作出截面圖形，易知截面為菱形，再結(jié)合菱形面積公式求解即可

【詳解】設(shè)平面BER交棱AD于品

由正方體性質(zhì)及平面與平面平行的性質(zhì)定理得EA//8F,DXFUBE,

由勾股定理可得四邊形［FBE所有邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度為下,

所以是菱形，且產(chǎn)為AD的中點(diǎn)，

取4。的中點(diǎn)連接則

11222

DtB=JDD；+BD?=^DD-+AB+AB=72+2+2=2』,

EF=ylFM2+ME2==722+22=2后

歐SDI=里詈=巫平=2娓.

故選：C.

3.對(duì)于兩個(gè)不同的平面。，用和三條不同的直線。，b,c.有以下幾個(gè)命題：

①若a//〃，bile,則a〃c；

②若alia,blla,則a//b-

③若a//》,blla,則a//a；

④若a//（z,all13,則a//￡；

⑤若a//。，all/3,則a//￡.

則其中所有錯(cuò)誤的命題是（）

A.③④⑤B.②④⑤C.②③④D.②③④⑤

【答案】D

【分析】根據(jù)空間中直線平行的傳遞性，可判斷①；根據(jù)線線、線面、面面之間的位置關(guān)系即可判斷

②③④⑤.

【詳解】解：因?yàn)椤！ǎ?，bile,根據(jù)空間中直線平行的傳遞性，得a//c,故①正確；

因?yàn)閍//e,blla,所以直線a,b平行，異面，相交均有可能，故②錯(cuò)誤；

若a//Z>,blla,則a//a或aua,故③錯(cuò)誤；

若a//a,a1113,則平面a,6平行或相交，故④錯(cuò)誤；

若alla,all13,貝i]a//尸或au/7,故⑤錯(cuò)誤.

所以錯(cuò)誤的命題是②③④⑤.

故選：D.

4.如圖，在正方體ABCD-A4GR中，E,P分別為棱G2，CG的中點(diǎn)，。為正方形A3C。的對(duì)角線AC

與3。的交點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）

DiE

AB

A.OE〃平面BBCCB.OR//平面ABC]，

C.DE〃平面AAgCD.EF//平面ABD

【答案】c

【分析】根據(jù)線面平行、面面平行的判定定理與性質(zhì)定理證明A、B、E),延長(zhǎng)。E、cq,DE與CG交于點(diǎn)

M,即可判斷C；

【詳解】解：對(duì)于A：取3C的中點(diǎn)G,連接。G、GG,

由正方體的性質(zhì)可得OG//AB^.OG=^AB,QE//AB且QE=^AB,

所以C.E//OG且QE=OG,所以四邊形OGC.E為平行四邊形，

所以O(shè)E//QG,因?yàn)镺EO平面BBC。，CQu平面

所以O(shè)E〃平面BBC。，故A正確；

a

/R

對(duì)于B：連接FG,則尸G//BC],FGO平面ABGR,26匚平面48^口，

所以bG〃平面ABCR,同理可證0G〃平面ABCR,

又OGcFG=G,OG,FGu平面OWG,

所以平面OFG//平面ABG，，所以0尸〃平面ABC.,故B正確;

對(duì)于C：延長(zhǎng)DE、CC,,DE與CC、交于點(diǎn)、M,

因?yàn)镃Qu平面AAC。，所以Me平面MGC,

又MeDE,所以DE與平面A41c（不平行，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：取耳G的中點(diǎn)H,連接團(tuán)、FH,

根據(jù)正方體的性質(zhì)可得HEHBR、HF//B.C,

BD//BR、DAJ/Bg,所以HE//BD、HF//A.D,

又“EZ平面AB。，BDu平面48。，

所以平面AB。，同理可得〃平面A3。，HFHE=H,HF,HEu平面HEF,

所以平面MEF〃平面\BD,

所以E/〃平面AB。，故D正確;

5.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-42/Gn中，點(diǎn)M,N分別是棱BC,C。的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCC/8/

（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng).若「4〃平面AMN,則B4/的最小值是（）

1B.@C.mD.邁

442

【答案】C

【分析】由尸4〃平面AMN,可以找到P點(diǎn)在右側(cè)面的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而求出尸4的最小值

如圖所示，取與c,的中點(diǎn)的中點(diǎn)/，連接4瓦4P,所,

因?yàn)镸,N分別是棱BC,CC]的中點(diǎn)，所以AE〃AW,EF//MN,

又因?yàn)锳ECEF=E,\E,EFu%EF,AM,MNuAMN,

所以平面產(chǎn)〃平面AAW,/弭〃平面AMN,且P點(diǎn)在右側(cè)面,

所以尸點(diǎn)的軌跡是EF,S.AlE=AF=^~,EF=與,

所以當(dāng)P點(diǎn)位于E尸中點(diǎn)O處時(shí)，尸4最小,

'51_3A/2

此時(shí)，PA=AO=AE2-

lli廠g一丁

故選：C

6.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-44GA中，尸為棱B片的中點(diǎn)，。為正方形B4C。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含

邊界），若A。//平面APD,則線段RQ長(zhǎng)度的取值范圍是（）

3A/2A/5

C.4D.丁萬(wàn)

【答案】D

【分析】過(guò)2作平面與平面A/。平行，則Q在平面與平面BBGC的交線.上，即可求出.

【詳解】如圖，取CG中點(diǎn)￡,耳￡中點(diǎn)/，連接D[E,D[F,EF,

所以EP//BC，正方體中，易得BQ"，所以EF/M,。，

因?yàn)镋/U平面4/。，平面APD,所以EF〃平面APD,

因?yàn)槭?E為8綜CG中點(diǎn)，所以2E//AP,

因?yàn)槠矫鍭/D,APu平面4PO,所以QE〃平面A/。,

因?yàn)镋FcRE=E,所以平面2歷//平面4尸。，

因?yàn)锽Q//平面A/D,所以2。u平面REP,

又。為正方形BBCC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），所以。在線段E尸上,

可得*考*考所?

則當(dāng)。在跳'中點(diǎn)時(shí)，DQ取得最小值為

當(dāng)。在所兩端時(shí)，小取得最大值為手,

所以口。長(zhǎng)度的取值范圍是［乎岑.

故選：D.

二、多選題

7.設(shè)。，夕為兩個(gè)平面，則切勿的充分條件可以是（）

A.尸內(nèi)的所有直線都與。平行B.尸內(nèi)有三條直線與。平行

C.a和尸平行于同一條直線D.夕和萬(wàn)都平行于同一平面/

【答案】AD

【分析】利用面面平行的定義以及面面平行的判定定理逐一判斷即可

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)夕內(nèi)的所有直線即有兩條相交直線都與。平行時(shí)，則M/P，所以A正確;

對(duì)于B,a與尸相交時(shí)，尸內(nèi)的和交線平行的直線都與平面。平行，所以B不正確；

對(duì)于C,平行于同一條直線的兩個(gè)平面可能相交，也可能平行，所以C不正確；

對(duì)于D,如果。和尸都平行于同一平面7,則a〃Q.所以D正確.

故選：AD.

8.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-中，M是線段82上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是()

A.存在點(diǎn)M,使得GM〃平面神。

B.存在點(diǎn)使得三棱錐2-GDW的體積是g

C.存在點(diǎn)M,使得平面CQM交正方體的截面為等腰梯形

D.若。陽(yáng)=3MB,過(guò)點(diǎn)M作正方體的外接球的截面，則截面面積的最小值為咚

【答案】AC

【分析】對(duì)于A：先證明出平面OQA//平面A4c.令平面￡(G4cBDyM，即可得到C}M〃平面做C.可以

判斷A正確；對(duì)于B：判斷出/一c.即可判斷；

65

對(duì)于C：取的中點(diǎn)E,取88/的中點(diǎn)凡連接EF判斷出四邊形CQE尸為等腰梯形.記平面CQEF交直線

BR于則存在點(diǎn)M使截面為等腰梯形.可以判斷c正確；對(duì)于D：求出最小截面的面積為5=萬(wàn)產(chǎn)=三.

16

即可判斷.

【詳解】對(duì)于A：連接DVGA,如圖示：

由正方體的幾何特征可得//AC.又因?yàn)锳G(Z面ABtC,ACu面ASQ,所以AQ//面AB{C.

同理可證：4?！?4c.

又AGCAD=A,所以平面r>GA//平面44c.令平面DC^CBJ=M，則QM〃平面MC,所以存在點(diǎn)

M使得GMII平面ABC.故A正確；

對(duì)于B：VDi_C]DMGO=：義：義1義1義1=：<:，所以不存在點(diǎn)M使得三棱錐A-CQM的體積是

g.故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：因?yàn)镃{D〃平面ABBtAt，所以平面QDM交平面4880的交線與QD平行.

如圖示:取A8的中點(diǎn)E,取88/的中點(diǎn)E連接EE因?yàn)槔?/A片且EF=gA8],所以Eb//DC1且所=：￡)￡?

又DE=—)

2

所以四邊形C.DEF為等腰梯形.記平面C.DEF交直線BD】于M,則存在點(diǎn)M使截面為等腰梯形.故C正確;

對(duì)于D：當(dāng)且僅當(dāng)M為截面圓的圓心時(shí)，截面圓的面積最小.由正方體的幾何特征可得該正方體的外接球球心

的中點(diǎn)，且半徑為也=走

為BDi,所以最小截面的半徑=2此時(shí)截面面積為

224

QJT

s=夕2=3.故D錯(cuò)誤.

16

故選：AC

三、填空題

9.如圖,已知在三棱錐P-ABC中R及尸分別是棱PA,PB,PC的中點(diǎn)，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是

【答案】平行

【解析】由中點(diǎn)得到三角形的中位線，進(jìn)而得到線線平行，然后再結(jié)合面面平行的判定定理證明面面平行.

【詳解】在由中，因?yàn)镽E分別是的中點(diǎn)，所以DE/MB.

又。平面ABC,ABu平面A3C,

所以DE//平面ABC.

同理,可證跖〃平面ABC.

又DEEb=E,OE,EFu平面。砂,

所以平面DE/〃平面ABC.

故答案為:平行

【點(diǎn)睛】本題考查了面面平行的判定證明,在證明面面平行時(shí)的方法:有中點(diǎn)找中點(diǎn)，構(gòu)造三角形中位線或平行

四邊形，得到線線平行，由線面平行的判定定理證明線面平行，再由面面平行判定定理證明面面平行.所以在解

題時(shí)找中點(diǎn)很重要.

DEI

10.如圖，四棱柱A2CD48/GQ中，ABC。為平行四邊形，E,尸分別在線段DD上,且；1=彳,

EB2

G在CCi上且平面AEF//平面BDiG,則-=

【分析】先推導(dǎo)出，EF//BD1,平面AD2A〃平面8CC4，由G在CG上且平面4￡尸//平面BRG,可得

CGDF1

AF//BG,從而記麗一§

【詳解】；平面AEF//平面BD/G,且平面AEFn平面28/。/=所，平面BQGc平面22/。/￡>=瓦）/,

DFDE\

EF!IBDi,一可一百一5

易得平面AO54//平面BCGS,又BGc5?面BCGS,二BG〃平面4DQ4,

又；平面AEF/I平面BDiG,BG評(píng)面BDiG,：.BG//平面AEF,

■：平面AEFn平面ADDiAj=AF,

BG//AF,BG、AB可確定平面ABGF,

又知平面AB8/4//平面CDDC,

平面ABGFn平面ABBiArAB,平面ABGFn平面CDDiC尸F(xiàn)G,

：.AB//FG,：.CD//FG.

CGDF1

-CQ-DZ^-3,

故答案為：—.

11.如圖是正方體的平面展開(kāi)圖.在這個(gè)正方體中，①〃平面AENZ）；②CN〃平面ABFE；③平面

BDM〃平面A/W；④平面BDE//平面NCR以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是.

【答案】①②③④

【分析】將展開(kāi)圖還原成正方體，根據(jù)線面平行以及面面平行的判定逐一判定即可.

【詳解】把正方體的平面展開(kāi)圖還原成正方體ABC4-ERWN,如圖所示:

對(duì)于①，因?yàn)椤á萔,BMC平面AENZ）,ANu平面AEND,所以〃平面AEND,命題①正確;

對(duì)于②，CN//BE,QVN平面ABFE,3Eu平面A8FE,所以CN〃平面A8/E命題②正確;

對(duì)于③，BD//FN,BMIIAN,面A7W,面AFN,

所以80//面A7W,BM/1面AFN,

BDBM=B,BD、3Afu平面BAN,

所以平面8nM〃平面AFN,命題③正確；

對(duì)于④，BD//FN,BE//CN,BDz面NC尸，面NC尸

所以BD//面NCRBE”面NCF,BDcBE=B,BD、REu平面瓦）E,

所以平面平面NCR命題④正確.

故答案為：①②③④.

12.在正四棱柱4BCD-4&QQ中，。為底面ABC。的中心，P是。5的中點(diǎn)，設(shè)Q是CQ上的點(diǎn)，則點(diǎn)Q

滿足條件時(shí)，有平面5BQ〃平面％0.

【答案】Q為CQ的中點(diǎn)

【解析】設(shè)Q為CQ的中點(diǎn)，推得QBII%,連接0B,證得D】BIIP0,證得。加11平面力。，QBII平面%0,

再結(jié)合面面平行的判定定理，即可求解.

【詳解】如圖所示，設(shè)Q為CG的中點(diǎn)，因?yàn)镻為DQ的中點(diǎn)，所以QBII%,

連接DB,因?yàn)镻,0分別是DQ,0B的中點(diǎn)，所以Q8IIP0,

又。記〃平面%0,QB//平面力。，且P0印面勿。，勿印面力。，

所以Q8II平面PAO,QBII平面PAO,

又D[BCQB=B,所以平面QBQII平面力。，

故Q為CG的中點(diǎn)時(shí)，有平面。記QII平面外0.

【點(diǎn)睛】解答空間中的平行關(guān)系及應(yīng)用問(wèn)題常見(jiàn)的誤區(qū)：

1、對(duì)空間平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化條件理解不透導(dǎo)致錯(cuò)誤；

2、對(duì)面面平行判定定理的條件"面內(nèi)兩相交直線"認(rèn)識(shí)不清導(dǎo)致錯(cuò)解；

3、對(duì)面面平行性質(zhì)定理理解不深導(dǎo)致錯(cuò)解.

四、解答題

13.已知正方體的棱長(zhǎng)為2,E,尸分別是B用，的中點(diǎn).求證：/G〃平面AOE.

【答案】證明過(guò)程見(jiàn)解析

【分析】作出輔助線，由面面平行證明線面平行.

【詳解】取AA的中點(diǎn)連接也，BtH,因?yàn)椤?尸分別是8用，的中點(diǎn)，所以m7片G，所以

H、F、G、用四點(diǎn)共面，S.BtH||AE,又AEu平面AED,與“0平面AE。，所以用"II平面AED,又

ADWFH,45u平面AED,修必平面人即，所以FHII平面AED,又FHB,H=H,所以平面"他GII

平面ADE,因?yàn)槭珿u平面FHB￡,所以〃平面ADE

14.如圖，在四棱錐尸-ABCZ）中，底面四邊形ABC。是平行四邊形，AB=1,AD=2,2尸分別為棱PC,AB

的中點(diǎn).

（1）證明：EF〃平面ADP；

⑵點(diǎn)G為底面四邊形內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且平面GEF〃平面ADP,求尸G的最大值.

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解.

（2）2

【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，構(gòu)造平行四邊形即可證明.

（2）根據(jù)面面平行，找到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后再求最大值.

（1）

AFB

證明：取的中點(diǎn)0,連接AO,OE.

APCD中，。，E分別為PD,PC的中點(diǎn)，，OE〃CD,OE=；CD,

E、b分別為尸C、A3的中點(diǎn)

:.AF//CD,AF=-CD,

2

:.AFHOE,AF=OE,

故四邊形AFEO為平行四邊形，

.'.EF//OA,

EFZ平面PAD,OAu平面P/LD,

〃平面尸AD.

（2）

取CD中點(diǎn)為V,連接VF

在,PCD中，V,E分別為8,PC的中點(diǎn)，〃尸。

VEV平面PA。，PDu平面PA。，；.VE//平面PAO.

又:.VF11AD

平面尸AD,ADu平面PAD,VF//平面PA。.

又VFcVE=V,且VF,VEu平面VEF,故平面VEF〃平面aw.

因?yàn)辄c(diǎn)G為底面四邊形內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且平面GEF〃平面ADP,

點(diǎn)GeVF,即點(diǎn)G在線段VF（包括端點(diǎn)）上移動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到V時(shí)，此時(shí)