第二節(jié)-應(yīng)變分析2015課件

17四月2024第二節(jié)應(yīng)變分析20152二、有關(guān)變形的一些基本概念（一）首先觀(guān)察以下簡(jiǎn)單的例子：圖a）表示均勻拉伸，變形體中的單元體P在拉伸后拉長(zhǎng)變細(xì)，同時(shí)移至P1的位置，在不同的方向切取單元體時(shí)，單元體變形的表現(xiàn)形式不同。例如斜切的單元體Q移至Q1的同時(shí)就歪斜了。圖b）表示一物體在有摩擦的平板間被壓縮成了鼓形，這時(shí)中心線(xiàn)上的一個(gè)單元體P被壓扁且移至P1，而Q移至Q1時(shí)還由于摩擦力的作用而歪斜了；單元體R移至R1時(shí)還有明顯的角度偏轉(zhuǎn)。3圖c）表示理想化的剪切過(guò)程，這時(shí)單元體P被剪斜了；而單元體Q則僅僅平移至Q1，并未變形。圖d）是彎曲工序，單元體P移至P1時(shí)，被壓短而且轉(zhuǎn)動(dòng)了角度；單元體Q移至Q1的同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，但沒(méi)有變形。4以上的例子說(shuō)明：變形的大小與質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位移變化有關(guān)一點(diǎn)的不同方向，變形數(shù)值不同剛性位移，不產(chǎn)生變形。因此:在外力作用下,物體各點(diǎn)的位置要發(fā)生變化,即發(fā)生位移.5剛性位移：如果物體各點(diǎn)發(fā)生位移后仍然保持各點(diǎn)間的初始狀態(tài)的相對(duì)位置,則物體實(shí)際上只產(chǎn)生剛體移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng),稱(chēng)這種位移為剛性位移。剛性位移不產(chǎn)生變形。位移分為兩種：相對(duì)位移：如果物體各點(diǎn)發(fā)生位移變形改變各點(diǎn)間的初始狀態(tài)的相對(duì)位置,即內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生相對(duì)位置的改變。

相對(duì)位移產(chǎn)生形狀的變化,稱(chēng)為該物體的變形，6純變形（二）基本概念（1）單元體的變形可分為兩種形式：線(xiàn)應(yīng)變和角應(yīng)變。線(xiàn)應(yīng)變（或正應(yīng)變）：?jiǎn)卧w線(xiàn)尺寸的伸長(zhǎng)或縮短角應(yīng)變（或切應(yīng)變）：?jiǎn)卧w角度的變化（即單元體畸變）物體受力→內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生相對(duì)位置的改變和形狀的變化，即變形。應(yīng)變是表示變形大小的物理量。7（2）對(duì)于同一變形的質(zhì)點(diǎn)，隨著切取單元體的方向不同，則單元體表現(xiàn)出來(lái)的變形數(shù)值也不同，所以同樣需要引入“點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)”的概念。（3）物體變形時(shí)，單元體一般同時(shí)發(fā)生平移、轉(zhuǎn)動(dòng)、正應(yīng)變、角應(yīng)變。

平移、轉(zhuǎn)動(dòng)—統(tǒng)稱(chēng)剛性運(yùn)動(dòng)（并不引起變形），只表示剛性位移。物體的變形只與其內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)，而與物體的剛體運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)。

各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置變化時(shí)，會(huì)產(chǎn)生應(yīng)變。金屬塑性成形原理應(yīng)變分析8總結(jié)：

位移：質(zhì)點(diǎn)從一點(diǎn)移至另一點(diǎn)

變形：只有質(zhì)點(diǎn)間的位移不一致時(shí)，才產(chǎn)生變形

剛性位移（旋轉(zhuǎn)和平移）不產(chǎn)生變形

正變形：線(xiàn)尺寸伸長(zhǎng)或縮短

剪變形：形狀發(fā)生畸變（角度發(fā)生變化）剛性位移（旋轉(zhuǎn)和平移）相對(duì)位移（正變形、剪變形）91、概念位移：變形體各點(diǎn)位置的移動(dòng)。位移分量：設(shè)物體內(nèi)任意點(diǎn)的位移矢量為MM1，則它在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的投影就稱(chēng)為該點(diǎn)的位移分量，分別用u、v、w表示，簡(jiǎn)記為ui。一．位移分量和應(yīng)變（一）位移及其分量10由于物體在變形之后仍應(yīng)保持連續(xù)，故位移分量應(yīng)是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，而且一般都有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，對(duì)于直角坐標(biāo)系，位移分量函數(shù)即為：u=u（x,y,z）v=v（x,y,z）w=w（x,y,z）上式表示某物體內(nèi)的位移場(chǎng)。位移場(chǎng)112．相對(duì)位移1）單元體均勻變形時(shí)基本假設(shè)（1）變形前是直線(xiàn)，變形后仍為直線(xiàn)（2）變形前后均為平面（3）變形前后仍為平行平面（4）變形前后仍為平行直線(xiàn)變形的大小與位移有關(guān)一點(diǎn)的不同方向，變形數(shù)值不同金屬塑性成形原理應(yīng)變分析123．相對(duì)位移分量現(xiàn)在來(lái)研究變形體內(nèi)無(wú)限接近兩點(diǎn)的位移分量之間的關(guān)系。設(shè)受力物體內(nèi)任一點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（x,y,z），小變形后移至M1，其位移分量為ui（x,y,z）。鄰近的點(diǎn)與M點(diǎn)無(wú)限接近的一點(diǎn)Mˊ點(diǎn)，其坐標(biāo)為（x+dx，y+dy，z+dz），小變形后移至M1ˊ，其位移分量為uiˊ（x+dx，y+dy，z+dz）如圖所示。13（1）各點(diǎn)的坐標(biāo)值M（x，y，z）Mˊ（x+dx，y+dy，z+dz）（2）M1點(diǎn)的位置函數(shù)u=u（x，y，z）v=v（x，y，z）w=w（x，y，z）

鄰近的點(diǎn)14（3）M1ˊ點(diǎn)的位置函數(shù)u+δu=u（x+dx，y+dy，z+dz）=f1（x+dx，y+dy，z+dz）v+δv=v（x+dx，y+dy，z+dz）=f2（x+dx，y+dy，z+dz）w+δw=w（x+dx，y+dy，z+dz）=f3（x+dx，y+dy，z+dz）鄰近的點(diǎn)15（4）相對(duì)位移的表達(dá)式按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)忽略高階小量，得簡(jiǎn)記為：uiˊ（x+dx，y+dy，z+dz），將函數(shù)uiˊ按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并略去二階以上的高階微量，并利用求和約定，則得16同理，得

若已知變形物體內(nèi)的一點(diǎn)M的位移分量，則與其臨近一點(diǎn)Mˊ點(diǎn)的位移分量可用M的位移分量及其增量來(lái)表示。uiˊ=ui+du位移增量相對(duì)位移的意義：某一方向上的相對(duì)位移增量等于該方向上的位移分量在三個(gè)坐標(biāo)方向變化量之和。17金屬塑性成形原理應(yīng)變分析若無(wú)限接近兩點(diǎn)的連線(xiàn)M

Mˊ平行于某軸，如平行X軸，則：Mˊ則在X方向上的相對(duì)位移增量等于該方向上的位移分量在X坐標(biāo)方向變化量。18（二）應(yīng)變及其分量1.名義應(yīng)變及其分量名義應(yīng)變又稱(chēng)相對(duì)應(yīng)變或工程應(yīng)變。

材力，彈塑性理論所討論的變形一般都是小變形，一般在10－3→10－2數(shù)量級(jí)。在此基礎(chǔ)上，我們將進(jìn)一步討論大塑性變形的特點(diǎn)。名義應(yīng)變包括：

線(xiàn)應(yīng)變(正應(yīng)變)

切應(yīng)變。19αxyαyxABCPP1x0yx0yx0yA’1A1C’1C1ABCPP(P1)CB1AC1B1ΦxyA1C1γyxγxy單元體在xoy坐標(biāo)平面內(nèi)的應(yīng)變B1xoy坐標(biāo)平面內(nèi):變形前PABC，變形后P1A1B1C1分析變化情況：

PA、PC長(zhǎng)度發(fā)生變化

PA與PC的夾角發(fā)生變化20（1）線(xiàn)應(yīng)變（或正應(yīng)變）：?jiǎn)卧w線(xiàn)尺寸的伸長(zhǎng)或縮短如圖線(xiàn)元PA的正應(yīng)變而棱邊PA在x軸上的線(xiàn)應(yīng)變21同樣:平行y軸的棱邊在y軸方向上的線(xiàn)應(yīng)變和平行z軸的棱邊在z軸方向上的線(xiàn)應(yīng)變同樣可求得。因此有：線(xiàn)應(yīng)變分量22假設(shè)單元體在平面內(nèi)發(fā)生了切應(yīng)變，使線(xiàn)元PC和PA所夾的直角減小為(圖b)。這相當(dāng)與C點(diǎn)在垂直于PC方向偏移了δrt。（2）切應(yīng)變：?jiǎn)卧w角度的變化23圖3-24b所示工程切應(yīng)變，可看成是線(xiàn)元PA和PC同時(shí)向內(nèi)偏轉(zhuǎn)相同的角度其結(jié)果如圖3-24C，即定義工程切應(yīng)變切應(yīng)變24實(shí)際上PA和PC偏轉(zhuǎn)的角度不一定相同。假設(shè)它們的實(shí)際偏轉(zhuǎn)角度分別為αxy和αyx，偏轉(zhuǎn)結(jié)果仍然使∠CPA縮小Фxy

其中γxy和γyx一般稱(chēng)為切應(yīng)變。γxy的下標(biāo)符號(hào)表示為x方向的線(xiàn)元，向y方向偏轉(zhuǎn)的角度。25實(shí)際變形<>設(shè)

實(shí)際變形切應(yīng)變

剛性轉(zhuǎn)動(dòng)

8℃

2℃

5℃

5℃

ωz=3℃26則相當(dāng)于PA，PC先同時(shí)偏轉(zhuǎn)γxy和γyx（假設(shè)5℃）。然后整個(gè)單元體繞Z軸轉(zhuǎn)一個(gè)角度ωz（假設(shè)3℃）。因此，αxy和αyx已包括了剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。即γxy=ωz+αxy272、質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)及應(yīng)變張量將切應(yīng)變及剛體轉(zhuǎn)動(dòng)推廣至三維：切應(yīng)變：γij

切應(yīng)變分量28三個(gè)方向的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)（順時(shí)針?lè)较颍?9

變形體內(nèi)某質(zhì)點(diǎn)作為單元體，變形后的應(yīng)變分量有九個(gè)，三個(gè)正應(yīng)變，六個(gè)剪應(yīng)變。它們構(gòu)成應(yīng)變張量。它也是一個(gè)對(duì)稱(chēng)的張量，具有應(yīng)力張量的一切性質(zhì)。i—線(xiàn)元方向j—變形的方向302、對(duì)數(shù)應(yīng)變（1）相對(duì)線(xiàn)應(yīng)變(也稱(chēng)工程應(yīng)變或名義應(yīng)變)相對(duì)應(yīng)變不能真實(shí)地反映實(shí)際變形情況。因l0不變31（2）相對(duì)斷面收縮率式中A0——試樣原始斷面積

A1——拉伸后試樣斷面積32（3）對(duì)數(shù)應(yīng)變（也稱(chēng)真實(shí)應(yīng)變）當(dāng)試樣從l0增加到ln時(shí)，則總應(yīng)變?yōu)樵O(shè)在單向拉伸過(guò)程中某瞬時(shí)試樣的長(zhǎng)度為l，該瞬時(shí)后試樣的長(zhǎng)度又伸長(zhǎng)了dl，則其應(yīng)變?cè)隽繛閘—為試樣的瞬時(shí)長(zhǎng)度。dl—為瞬時(shí)長(zhǎng)度的改變量稱(chēng)為對(duì)數(shù)應(yīng)變，是用應(yīng)變?cè)隽康姆e分來(lái)表示的全量應(yīng)變，它反映了物體變形的實(shí)際情況，故又稱(chēng)為真實(shí)應(yīng)變。33對(duì)數(shù)應(yīng)變的定義為：塑性變形過(guò)程中，在應(yīng)變主軸方向保持不變的情況下應(yīng)變?cè)隽康目偤汀?4均勻拉伸時(shí)或以上是對(duì)數(shù)應(yīng)變和相對(duì)應(yīng)變的關(guān)系。三種應(yīng)變的關(guān)系將（a）式按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)：得（a）∴35在小變形時(shí)，又∵∴均勻拉伸階段，由于體積不變，即∴以上公式將三種應(yīng)變形式聯(lián)系起來(lái)了。136即:三種應(yīng)變的關(guān)系為:37對(duì)數(shù)應(yīng)變的特點(diǎn)：1）對(duì)數(shù)應(yīng)變反映了瞬態(tài)變形，更能真實(shí)地表示實(shí)際變形過(guò)程。

真實(shí)性38如而2）對(duì)數(shù)應(yīng)變具有可加性

可加性39例：將50cm長(zhǎng)桿料拉伸至總長(zhǎng)90cm，總應(yīng)變?yōu)槿舴謨蓚€(gè)階段

（1）50cm～80cm

（2）80cm～90cm則相對(duì)應(yīng)變

40拉伸前后試樣尺寸試樣拉伸在不同階段時(shí)的尺寸而對(duì)數(shù)應(yīng)變

表明對(duì)數(shù)應(yīng)變具有可加性413）對(duì)數(shù)應(yīng)變能真實(shí)反映出拉、壓變形的應(yīng)變值，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較吻合可比性壓

拉壓

顯然，拉、壓的相對(duì)應(yīng)變絕對(duì)值不等拉例：對(duì)數(shù)應(yīng)變：相對(duì)應(yīng)變壓前2L→

壓后L

拉L→

2L42課堂練習(xí)：有一試棒均勻連續(xù)拉伸五次，每拉一次斷面收縮20%，試用相對(duì)伸長(zhǎng)、斷面收縮率和對(duì)數(shù)應(yīng)變分別求出各次的應(yīng)變值和總應(yīng)變值。并分析哪種應(yīng)變表達(dá)方式比較合理。43提示：故44二、小應(yīng)變幾何方程（位移分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系）教材P91由于變形物體內(nèi)的點(diǎn)產(chǎn)生了位移，因而引起了質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變。因此，質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變是由位移所確定的，一旦物體內(nèi)的位移場(chǎng)確定以后，則物體內(nèi)的應(yīng)變場(chǎng)也就被確定了。下面就來(lái)建立位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系。

位移分量和應(yīng)變分量究竟存在何種關(guān)系？

45

設(shè)在圖中，abcd為單元體變形前在xoy坐標(biāo)平面上的投影，而a1b1c1d1為位移及變形后的投影。圖中b、c點(diǎn)為a點(diǎn)的鄰近點(diǎn)，并設(shè)ac=dx，ac//ox軸；ab=dy，ab//oy軸；a點(diǎn)的位移分量為u、v。c點(diǎn)的位移分量為u+δuc、v+δvc。b點(diǎn)的位移分量為u+δub、v+δvb。C點(diǎn)位移增量b點(diǎn)位移增量根據(jù)式（3-44），有棱邊ab（即dy）在y方向的線(xiàn)應(yīng)變?yōu)?7根據(jù)圖3-31中的幾何關(guān)系，可求出棱邊時(shí)ac（即dx）在x方向的線(xiàn)應(yīng)變?chǔ)舩，即為在X方向上的相對(duì)位移增量。4848由圖3-31的幾何關(guān)系，有∵∴其值遠(yuǎn)小于１U49同理可得因而工程切應(yīng)變?yōu)?/p>

則切應(yīng)變?yōu)?50按同樣的方法，由單元體在yoz和zox坐標(biāo)平面上投影的幾何關(guān)系可得其余應(yīng)變分量與位移分量之間關(guān)系的公式，綜合上述可得應(yīng)變分量與位移分量之間關(guān)系-小應(yīng)變幾何方程3-6651用角標(biāo)符號(hào)表示為式（3-66）表示小變形時(shí)位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系，它是由變形幾何關(guān)系導(dǎo)到，故稱(chēng)為小應(yīng)變幾何方程。如果物體中的位移場(chǎng)已知，則可由小應(yīng)變幾何方程求得應(yīng)變場(chǎng)。3-66a52為了便于記憶可以將坐標(biāo)原點(diǎn)取在六面體的一個(gè)頂點(diǎn)，而在圖上畫(huà)出三個(gè)棱邊dx、dy、dz，這些棱邊的伸長(zhǎng)量是du、dv、dw。這時(shí)正應(yīng)變可以作為總伸長(zhǎng)與棱邊原長(zhǎng)之比寫(xiě)出如下：伸長(zhǎng)量53為了寫(xiě)出切應(yīng)變可以假想平行六面體的棱邊在對(duì)應(yīng)的平面內(nèi)有轉(zhuǎn)動(dòng)，因而棱邊的端點(diǎn)有位移，這里把轉(zhuǎn)角作為端點(diǎn)位移與原棱邊原長(zhǎng)之比，而將切應(yīng)變作為對(duì)應(yīng)平面內(nèi)兩轉(zhuǎn)角之和的一半寫(xiě)出來(lái)。應(yīng)變分析圖例如：轉(zhuǎn)動(dòng)54例題1試求物體中坐標(biāo)為x=1，y=1，z=1的p點(diǎn)的應(yīng)變張量、應(yīng)變偏量與最大剪應(yīng)變。解:根據(jù)應(yīng)變—位移關(guān)系式（小應(yīng)變幾何方程），得設(shè)物體中的位移函數(shù)為5556將p點(diǎn)坐標(biāo)x=1，y=1，z=1代入上述各式，并注意得p點(diǎn)的應(yīng)變張量如下所以與上述εijˊ相對(duì)應(yīng)的應(yīng)變偏量為57三、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)變張量(任意方向上的應(yīng)變P85)借助于一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)概念來(lái)描述一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)，即過(guò)一點(diǎn)任意方向上的正應(yīng)力與切應(yīng)力的有無(wú)情況?？梢杂靡晃⒕€(xiàn)段在某方向上的變形來(lái)加以描述。58現(xiàn)設(shè)變形體內(nèi)任一點(diǎn)a（x,y,z），過(guò)該點(diǎn)三個(gè)相互垂直線(xiàn)上的應(yīng)變分量εij已知。即鄰近的點(diǎn)由a引一任意方向線(xiàn)元ab，其長(zhǎng)度為r，方向余弦為l、m、n。已知59(a)(b)小變形前，b點(diǎn)可視為a點(diǎn)無(wú)限接近的一點(diǎn)。a點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y，z），b點(diǎn)坐標(biāo)為（x+dx，y+dy，z+dz）。則ab在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為dx、dy、dz，方向余弦及r分別為60變形前ab變形后a1b1小變形后，線(xiàn)元ab移至a1b1，其長(zhǎng)度為r1=r+dr，同時(shí)偏轉(zhuǎn)角度為αr，如圖所示。61為求得r1，可將ab平移至a1N，構(gòu)成三角形a1Nb1。由解析幾何可知，三角形一邊在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影將分別等于另外兩邊在坐標(biāo)軸上的投影之和。在這里，Na1的三個(gè)投影即為dx、dy、dz.現(xiàn)求ab方向上的線(xiàn)應(yīng)變?chǔ)舝。而Nb1的投影（即為b點(diǎn)相對(duì)a點(diǎn)的位移增量）為du、dv、dw.62變形前ab2=r2=dx2+dy2+dz2變形后a1b12=（r+dr）2=(dx+du)2+(dy+dv)2+(dz+dw)2=(dx2+dy2+dz2)+du2+dv2+dw2)+2(dxdu+dydv+dzdw)（r+dr）2-r2=(du2+dv2+dw2)+2(dxdu+dydv+dzdw)(c)忽略微量du2，dv2，dw2，得63將式（C）兩邊除以r2，

令r的方向余弦為l，m，n（d）將式(3-43)中dui的值代入式（d），(3-43)64比較任意斜面上的法向應(yīng)力∴線(xiàn)應(yīng)變它與全應(yīng)力與應(yīng)力分量之間關(guān)系的表達(dá)形式是一樣的，反映了全應(yīng)變與應(yīng)變分量之間的關(guān)系。整理后得：3-5265下面求線(xiàn)元變形后的偏轉(zhuǎn)角，即圖中的αr

為了推導(dǎo)方便，可設(shè)r=1。由N點(diǎn)引按直角三角形NMb1（e）a1M=r=1故a1M=r=166于是式（e）可寫(xiě)成金屬塑性成形原理應(yīng)變分析金（f）67如果沒(méi)有剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，則求得的αr就是切應(yīng)變?chǔ)胷。為了除去剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，即只考慮純剪切變形，可將式（3-43）改寫(xiě)為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)68顯然，上式后面的第二項(xiàng)是由于剛性轉(zhuǎn)動(dòng)引起的位移增量分量，而第一項(xiàng)才是由純剪切變形引起的相對(duì)位移增量分量，若以duiˊ表示，則如將式（g）代入式（f），即可求得切應(yīng)變的表達(dá)式為（g）3-53（3-52）、（3-53）與任意斜面上的應(yīng)力表達(dá)式形式完全相似。因此應(yīng)變的有關(guān)公式可以借鑒應(yīng)力的相應(yīng)表達(dá)式。69NMb1(xi+dxi+ui+dui)a1(xi+ui)uia(xi)b(xi+dxi)ui+duiduir1r1=+drαr0xyz任意方向線(xiàn)元的應(yīng)變70四．體積不變條件（是什么？）

1．含義：塑性變形前后，材料體積保持不變。變形后，單元體的體積為

設(shè)單元體初始邊長(zhǎng)為dx、dy、dz，則變形前體積為體積變化率2．條件方程71體積不變條件表明：

塑性變形時(shí)三個(gè)正應(yīng)變之和等于零；

三個(gè)正應(yīng)變不可能全部同號(hào)。塑性變形時(shí)，由于塑性變形前后，材料體積保持不變。對(duì)于彈性變形72（1）確定塑性加工毛坯尺寸（計(jì)算尺寸）（2）確定應(yīng)變分量之間得關(guān)系（3）可以作為塑性變形是否協(xié)調(diào)的近似判據(jù)。例題P883.作用7374特征方程金屬塑性成形原理應(yīng)變分析主應(yīng)變，應(yīng)變分量的不變量，主剪應(yīng)變和最大剪應(yīng)變1、主應(yīng)變：剪應(yīng)變等于零時(shí)所對(duì)應(yīng)的正應(yīng)變稱(chēng)主應(yīng)變。用ε1、ε2、ε3表示。五、點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)的比較對(duì)主軸坐標(biāo)：752應(yīng)變張量不變量第三不變量第二不變量第一不變量對(duì)于彈性變形對(duì)于塑性變形763主剪應(yīng)變，最大剪應(yīng)變mnl000則方向?yàn)榕c主應(yīng)變方向成若77應(yīng)變莫爾圓

應(yīng)變莫爾圓，類(lèi)似應(yīng)力莫爾圓

O3OO1O2εε1ε2ε3γγ12γ13γ23應(yīng)變莫爾圓ε378用主應(yīng)變的個(gè)數(shù)和符號(hào)來(lái)表示應(yīng)變狀態(tài)的簡(jiǎn)圖稱(chēng)主應(yīng)變狀態(tài)圖，簡(jiǎn)稱(chēng)為主應(yīng)變簡(jiǎn)圖或主應(yīng)變圖。三個(gè)主應(yīng)變中絕對(duì)值最大的主應(yīng)變，反映了該工序變形的特征，稱(chēng)為特征應(yīng)變。4、主應(yīng)變簡(jiǎn)圖79如用主應(yīng)變簡(jiǎn)圖來(lái)表示應(yīng)變狀態(tài)，根據(jù)體積不變條件和特征應(yīng)變，則塑性變形只能有三種變形類(lèi)型。比較主應(yīng)力圖80

壓縮類(lèi)變形。特征應(yīng)變?yōu)樨?fù)應(yīng)變。另兩個(gè)應(yīng)變?yōu)檎龖?yīng)變。

剪切類(lèi)變形（平面變形）一個(gè)應(yīng)變?yōu)榱?，其他兩個(gè)應(yīng)變大小相等，方向相反。

伸長(zhǎng)類(lèi)變形。特征應(yīng)變?yōu)檎龖?yīng)變，另兩個(gè)應(yīng)變?yōu)樨?fù)應(yīng)變。815、應(yīng)變偏張量和球張量，八面體應(yīng)變和等效應(yīng)變應(yīng)變球張量

應(yīng)變偏張量塑性變形時(shí)，體積不變，，這時(shí)應(yīng)變偏張量就是應(yīng)變張量82得：與τ8的推導(dǎo)過(guò)程一樣，即等效應(yīng)變：將八面體剪應(yīng)變?nèi)〗^對(duì)值，乘以系數(shù)，所得之參量叫做等效應(yīng)變。（比較等效應(yīng)力，乘）八面體應(yīng)變83單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，主應(yīng)變?yōu)棣?，ε2=ε3塑性變形時(shí)，故這時(shí)84等效應(yīng)變特點(diǎn)：1、是一個(gè)不變量。2、在塑性變形時(shí)，其數(shù)值等于單向均勻拉伸或均勻壓縮方向上的線(xiàn)應(yīng)變?chǔ)?。即85問(wèn)題的引出-知識(shí)要點(diǎn)回顧小應(yīng)變幾何方程六個(gè)應(yīng)變分量取決于三個(gè)位移分量？這六個(gè)分量之間應(yīng)該存在某種聯(lián)系？六．應(yīng)變連續(xù)方程（協(xié)調(diào)方程）由上述小應(yīng)變幾何方程可知，六個(gè)應(yīng)變分量取決于三個(gè)位移分量，所以六應(yīng)變分量不是的任意的，其間必存在一定的關(guān)系。861．討論協(xié)調(diào)方程的目的金屬塑性成形原理應(yīng)變分析概念：六個(gè)應(yīng)變分量之間的關(guān)系稱(chēng)為應(yīng)變連續(xù)方程或協(xié)調(diào)方程。1）校核應(yīng)變場(chǎng)不滿(mǎn)足協(xié)調(diào)方程，應(yīng)變場(chǎng)是不可解的，不真實(shí)的，不連續(xù)的。2）尋求補(bǔ)充方程87物體變形后必須仍然保持其整體性和連續(xù)性，即變形協(xié)調(diào)性。否則會(huì)出現(xiàn)下圖（b）那樣的“撕裂”現(xiàn)象，或圖（c）那樣的“套疊”現(xiàn)象，從而破壞了變形后必須仍然保持的整體性和連續(xù)性。圖變形狀態(tài)分析88

2．協(xié)調(diào)方程由對(duì)y取兩階偏導(dǎo),得1)已知線(xiàn)應(yīng)變求切應(yīng)變?cè)趚oy平面內(nèi)，有εx,

εy,γxy對(duì)x取兩階偏導(dǎo),得89兩式相加,得同理,在YZ平面上

在XZ平面上

故

上式表明：在一個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，兩個(gè)線(xiàn)應(yīng)變分量一經(jīng)確定，則切應(yīng)變分量也就確定。即小應(yīng)變幾何方程90在每個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，兩個(gè)線(xiàn)應(yīng)變一經(jīng)確定，則切應(yīng)變分量隨之被確定！切應(yīng)變到線(xiàn)應(yīng)變？91對(duì)X，Z求導(dǎo)，得

對(duì)X，Y求導(dǎo)，得金屬塑性成形原理應(yīng)變分析2)已知切應(yīng)變求線(xiàn)應(yīng)變由由兩式相加，得92故

同理

金屬塑性成形原理應(yīng)變分析上式表明：在三維空間內(nèi)，三個(gè)切應(yīng)變分量一經(jīng)確定，則線(xiàn)應(yīng)變分量也就確定。93在三維空間內(nèi)三個(gè)切應(yīng)變分量一經(jīng)確定，則線(xiàn)應(yīng)變分量也就被確定！94設(shè)試問(wèn)上述應(yīng)變場(chǎng)在什么情況下成立？其中a、b為常數(shù)，例題例題解答95應(yīng)變連續(xù)方程的物理意義：只有當(dāng)應(yīng)變分量之間滿(mǎn)足上述方程時(shí)，物體變形后才是連續(xù)的，否則，變形后會(huì)出現(xiàn)“撕裂”現(xiàn)象，或“套疊”現(xiàn)象，從而破壞了變形后必須仍然保持的整體性和連續(xù)性。需要指出的是：

如果已知位移分量ui，則由小應(yīng)變幾何方程求得的應(yīng)變分量自然滿(mǎn)足連續(xù)方程。

但若先用其他方法求得應(yīng)變分量，則要同時(shí)滿(mǎn)足連續(xù)方程，才能由小應(yīng)變幾何方程求得正確的位移分量。96判斷題：如果已知位移分量，則按幾何方程求得的應(yīng)變分量自然滿(mǎn)足協(xié)調(diào)方程；若是按其它方法求得的應(yīng)變分量，也自然滿(mǎn)足協(xié)調(diào)方程，則不必校驗(yàn)其是否滿(mǎn)足連續(xù)性條件。（）填空題：材料經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次拉伸變形，第一次的真實(shí)應(yīng)變?yōu)棣?＝０.1，第二次的真實(shí)應(yīng)變?yōu)棣牛玻剑?25，則總的真實(shí)應(yīng)變?chǔ)牛?/p>

。97七、應(yīng)變?cè)隽颗c應(yīng)變速率張量全量應(yīng)變：反映變形體在某一變形過(guò)程階段終了的變形大小，稱(chēng)之為全量應(yīng)變。它只考慮過(guò)程的兩個(gè)極端，而不考慮變形過(guò)程的某一瞬間。一、全量應(yīng)變與應(yīng)變?cè)隽康母拍?8而塑性變形一般都是大變形，且大變形的整個(gè)過(guò)程十分復(fù)雜。因此，前面討論的小應(yīng)變時(shí)的公式在大變形中不能直接使用。但是，大變形又是由很多瞬間的小變形累加而成，因此有必要分析大變形過(guò)程中某個(gè)特定瞬間的變形情況。所以提出了應(yīng)變?cè)隽考皯?yīng)變速率的概念。99全量應(yīng)變度量基準(zhǔn)是變形以前的原始尺寸。而增量則是指變形過(guò)程中某一極短階段的無(wú)限小應(yīng)變，其度量基準(zhǔn)不是原始尺寸，而是變形過(guò)程某一瞬間的尺寸。101二、速度分量（1）含義：?jiǎn)挝粫r(shí)間的位移分量討論全量應(yīng)變時(shí)，只是用了某變形過(guò)程終了時(shí)的位移場(chǎng)，所以沒(méi)有引入時(shí)間參數(shù)。在描述整過(guò)變形過(guò)程時(shí)，則必須引入時(shí)間參數(shù)，這時(shí)的位移分量為式中x、y、z是物體中一點(diǎn)在某時(shí)刻的坐標(biāo)，它也是時(shí)間的函數(shù)。所以，位移分量ui對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)就是該點(diǎn)的移動(dòng)速度分量，一般以表示，可記為102102所以，單位時(shí)間內(nèi)的位移分量稱(chēng)為移動(dòng)速度。一般以表示，可記為速度分量簡(jiǎn)記103速度場(chǎng)位移是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，而位移速度既是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，又是時(shí)間的函數(shù)。104小變形時(shí)，ui很小，全導(dǎo)數(shù)中的牽連部分可以忽略不計(jì)，則有速度分量：金屬塑性成形原理應(yīng)變分析速度場(chǎng)←位移場(chǎng)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。105三、位移增量和應(yīng)變?cè)隽?/p>

設(shè)在變形過(guò)程中的某一瞬時(shí)(如P′點(diǎn))，物體各點(diǎn)的速度分量為，在隨后的一個(gè)無(wú)限小時(shí)間間隔dt之內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的位移稱(chēng)為位移增量。位移增量速度分量xyzduu0PP1

全量位移ui，而P′P′′=PP′′-PP′=duiP106產(chǎn)生位移增量dui之后，變形體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)就有相應(yīng)的無(wú)限小應(yīng)變?cè)隽俊?/p>

應(yīng)變?cè)隽颗c位移增量之間的關(guān)系，也即幾何方程，在形式上與小變形幾何方程相同。將小變形幾何方程中的ui改成dui，即可求得應(yīng)變?cè)隽康母鱾€(gè)分量，一般用符號(hào)dεij表示，于是應(yīng)變?cè)隽康膸缀畏匠虨椋簯?yīng)變?cè)隽颗c位移增量之間的關(guān)系107說(shuō)明：1）應(yīng)變?cè)隽颗c小應(yīng)變張量在表達(dá)形式上一樣。（具有三個(gè)主方向，三個(gè)主應(yīng)變?cè)隽?，偏張量，球張量，等效?yīng)變?cè)隽康龋?）應(yīng)變?cè)隽恐鬏S與當(dāng)時(shí)的全量應(yīng)變主軸不一定重合。3)dεij中的d表示增量，不是微分的符號(hào)。對(duì)一般的塑性變形過(guò)程，dεij并不表示εij的微分；對(duì)dεij積分也毫無(wú)意義，并不等于εij。應(yīng)變?cè)隽繌埩?08同理，得應(yīng)變速率幾何方程四、應(yīng)變速率張量定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間的應(yīng)變稱(chēng)為應(yīng)變速率，俗稱(chēng)變形速度。用表示，單位1/s109金屬塑性成形原理應(yīng)變分析說(shuō)明：1）

應(yīng)變速率反映了物體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)位移速度的差別

2）應(yīng)變速率取決于工具運(yùn)動(dòng)速度和物體形狀尺寸

應(yīng)變速率張量

110在試驗(yàn)機(jī)上均勻壓縮一柱體，下墊板不動(dòng)，上壓板以下移，取柱體下端為坐標(biāo)圓點(diǎn)，壓縮方向?yàn)閤軸。柱體某瞬時(shí)高度為h，此時(shí)，柱體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)在x方向上的速度為例題：應(yīng)變速率分量：?jiǎn)蜗蚓鶆驂嚎s時(shí)的位移速度hx0u111h=100mm錘鍛若h=10mm，則上述的變形速度都增加10倍。因此應(yīng)變速率取決于工具運(yùn)動(dòng)速度和物體形狀尺寸

設(shè)單向均勻壓縮時(shí)的位移速度hx0u112八、塑性加工中常用的變形量的計(jì)算方法(自學(xué))壓下量Δh=H－h(huán)ΔB=b－B寬展量式中H和B—拔長(zhǎng)及軋制前的高度和寬度；h和b—拔長(zhǎng)及軋制后的高度和寬度；1．絕對(duì)變形量絕對(duì)變形量是指變形前后某主軸方