2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列專題1.9 絕對值貫穿有理數(shù)的經(jīng)典考法【七大題型】（舉一反三）（人教版）含解析

2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題1.9絕對值貫穿有理數(shù)的經(jīng)典考法【七大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用絕對值性質(zhì)化簡或求值】 1【題型2根據(jù)絕對值的非負(fù)性求值】 1【題型3根據(jù)絕對值的定義判斷正誤】 2【題型4根據(jù)絕對值的意義求取值范圍】 2【題型5絕對值中的分類討論之a(chǎn)|a|類型問題】 3【題型6絕對值中的分類討論之多絕對值問題】 3【題型7絕對值中的最值問題】 4【題型1利用絕對值性質(zhì)化簡或求值】【例1】（2022?博湖縣校級期中）已知實數(shù)a，b滿足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化簡|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|．【變式1-1】如圖表示在數(shù)軸上四個點(diǎn)p，q，r，s位置關(guān)系，若|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9，則|q﹣r|＝．【變式1-2】已知a，b，c，d滿足a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|＝|b+1|，|1﹣c|＝|1﹣d|，那么a+b+c+d＝．【變式1-3】化簡：（1）|2x﹣1|；（2）|x﹣1|+|x﹣3|；（3）||x﹣1|﹣2|+|x+1|．【題型2根據(jù)絕對值的非負(fù)性求值】【例2】（2022春?諸暨市月考）已知|a﹣3|+|2ab﹣8|+|c﹣2|＝0，求a+3b﹣c的值．【變式2-1】（2022秋?梅州校級月考）若|x﹣2|+|y+3|＝0，計算：（1）x，y的值．（2）求|x|+|y|的值．【變式2-2】（2022秋?南江縣校級期中）已知|﹣x+7|與|﹣2y﹣1|互為相反數(shù)，求2y?2【變式2-3】（2022?淶水縣期末）已知x為實數(shù)，且|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|+…+|17x﹣1|的值是一個確定的常數(shù)，則這個常數(shù)是（）A．5 B．10 C．15 D．75【題型3根據(jù)絕對值的定義判斷正誤】【例3】（2022春?肇源縣期末）下面四個式子中，正確的是（）A．若a≠b，那么a2≠b2 B．若a＞|b|，那么a2＞b2 C．若|a|＞|b|，那么a＞b D．若a2＞b2那么a＞b【變式3-1】（2022秋?全椒縣期中）已知a|a|①a，b一定互為相反數(shù)；②ab＜0；③a+b＜0；④ab|ab|其中正確的是．（把所有正確結(jié)論的序號都填上）【變式3-2】（2022秋?和平區(qū)期中）設(shè)y＝|x﹣1|+|x+1|，則下面四個結(jié)論中正確的是（）A．y沒有最小值 B．只有一個x使y取最小值 C．有限個x（不止一個）y取最小值 D．有無窮多個x使y取最小值【變式3-3】（2022秋?青山區(qū)期中）若a，b為有理數(shù)，下列判斷：（1）若|a|＝b，則一定有a＝b；（2）若|a|＞|b|，則一定有a＞b；（3）若|a|＞b，則一定有|a|＞|b|；（4）若|a|＝b，則一定有a2＝（﹣b）2．其中正確的是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（4）【題型4根據(jù)絕對值的意義求取值范圍】【例4】（2022秋?海淀區(qū)校級期中）若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a對一切數(shù)x都成立，則a的取值范圍是．【變式4-1】（2021秋?長春期中）如果|﹣2a|＝﹣2a，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)≤0 D．a(chǎn)＜0【變式4-2】（2022?吉首市校級月考）若m是有理數(shù)，則|m|+m的值（）A．不可能是正數(shù) B．一定是正數(shù) C．不可能是負(fù)數(shù) D．可能是正數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)【變式4-3】（2022秋?長沙校級期中）（1）比較下列各式的大?。ㄓ茫蓟颍净颍竭B接）①|(zhì)﹣2|+|3||﹣2+3|；②|﹣2|+|﹣3||﹣2﹣3|；③|﹣2|+|0||﹣2+0|；（2）通過以上的特殊例子，請你分析、補(bǔ)充、歸納，當(dāng)a、b為有理數(shù)時，|a|+|b|與|a+b|的大小關(guān)系；（3）根據(jù)上述結(jié)論，求當(dāng)|x|+2015＝|x﹣2015|時，x的取值范圍．【題型5絕對值中的分類討論之a(chǎn)|a|類型問題】【例5】（2022秋?江陽區(qū)校級期中）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)位置如圖所示（1）用“＜”連接0、﹣a、﹣b、﹣1（2）化簡：|a|﹣2|a+b﹣1|?13|b﹣（3）若c?（a2+1）＜0，且c+b＞0，求|c+1|c+1【變式5-1】（2022秋?順平縣期中）設(shè)a、b、c、d為有理數(shù)，且|abcd|abcd=1，則|a|a【變式5-2】（2022秋?鄂州校級月考）若0＜a＜1，﹣2＜b＜﹣1，則|a?1|a?1?|b+2|【變式5-3】（2022秋?西城區(qū)校級期中）有理數(shù)a，b，c均不為0，且a+b+c＝0．設(shè)x=||a|b+c+|b|c+a+|c|【題型6絕對值中的分類討論之多絕對值問題】【例6】（2022?河北模擬）（1）數(shù)軸上兩點(diǎn)表示的有理數(shù)是a、b，求這兩點(diǎn)之間的距離；（2）是否存在有理數(shù)x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？（3）是否存在整數(shù)x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整數(shù)x；如果不存在，說明理由．【變式6-1】（2022春?寶山區(qū)校級月考）已知|a﹣1|+|a﹣4|＝3，則a的取值范圍為．【變式6-2】（2022秋?玉門市期末）在數(shù)軸上有四個互不相等的有理數(shù)a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，設(shè)d在a、c之間，則|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝（）A．d﹣b B．c﹣b C．d﹣c D．d﹣a【變式6-3】（2022秋?順平縣期中）已知a，b，c，d都是整數(shù)，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|＝2，則|a+d|＝．【題型7絕對值中的最值問題】【例7】（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求2016x+2017y+2018z的最大值和最小值【變式7-1】當(dāng)|x﹣2|+|x﹣3|的值最小時，|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|的值最大是，最小是．【變式7-2】（2022秋?海安市月考）閱讀下列有關(guān)材料并解決有關(guān)問題．我們知道|x|=x(x＞0)0(x=0)?x(x＜0)，現(xiàn)在我們可以利用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式．例如：化簡代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|時，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1和x＝2（稱﹣1，2分別為|x+1|與|x﹣2|的零點(diǎn)值）．在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值x＝﹣1和x＝2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．從而在化簡|x+1|+|x﹣2|時，可分以下三種情況：①當(dāng)x＜﹣1時，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②當(dāng)﹣1≤x＜2時，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③當(dāng)x≥2時，原式＝（x+1）+（x（1）|x﹣3|+|x+4|的零點(diǎn)值是；（2）化簡代數(shù)式|x﹣3|+|x+4|；（3）解方程|x﹣3|+|x+4|＝9；（4）|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的最小值為，此時x的取值范圍為．【變式7-3】（2022秋?泉州期末）四個數(shù)分別是a，b，c，d，滿足|a﹣b|+|c﹣d|=1n|a﹣d|，（n≥3且為正整數(shù)，a＜b＜c＜（1）若n＝3．①當(dāng)d﹣a＝6時，求c﹣b的值；②對于給定的有理數(shù)e（b＜e＜c），滿足|b﹣e|=49|a﹣d|，請用含b，c的代數(shù)式表示（2）若e=12|b﹣c|，f=12|a﹣d|，且|e﹣f|＞110|a﹣d|，試求n的最大值．專題1.9【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用絕對值性質(zhì)化簡或求值】 1【題型2根據(jù)絕對值的非負(fù)性求值】 3【題型3根據(jù)絕對值的定義判斷正誤】 5【題型4根據(jù)絕對值的意義求取值范圍】 7【題型5絕對值中的分類討論之a(chǎn)|a|類型問題】 8【題型6絕對值中的分類討論之多絕對值問題】 10【題型7絕對值中的最值問題】 12【題型1利用絕對值性質(zhì)化簡或求值】【例1】（2022?博湖縣校級期中）已知實數(shù)a，b滿足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化簡|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|．【分析】分清a，﹣2b，3b﹣2a三個數(shù)的正負(fù)性是解決本題的關(guān)鍵．已知實數(shù)a，b滿足|a|＝b，|ab|+ab＝0，可得出b≥0，|ab|＝﹣ab，則a≤0，b＝﹣a．所以﹣2b＜0，3b﹣2a＞0，從而得出|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|的值．【解答】解：∵|a|＝b，|a|≥0，∴b≥0，又∵|ab|+ab＝0，∴|ab|＝﹣ab，∵|ab|≥0，∴﹣ab≥0，∴ab≤0，即a≤0，∴a與b互為相反數(shù)，即b＝﹣a．∴﹣2b≤0，3b﹣2a≥0，∴|a|+|﹣2b|﹣|3b﹣2a|＝﹣a+2b﹣（3b﹣2a）＝a﹣b＝﹣2b或2a．【變式1-1】如圖表示在數(shù)軸上四個點(diǎn)p，q，r，s位置關(guān)系，若|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9，則|q﹣r|＝7．【分析】根據(jù)絕對值的幾何意義，將|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，進(jìn)而可得q、r兩點(diǎn)間的距離，即可得答案．【解答】解：根據(jù)絕對值的幾何意義，由|p﹣r|＝10，|p﹣s|＝12，|q﹣s|＝9可得p、r兩點(diǎn)間的距離為10，p、s兩點(diǎn)間的距離為12，q、s兩點(diǎn)間的距離為9，則q、r兩點(diǎn)間的距離為10+9﹣12＝7，即|q﹣r|＝7，故答案為7．【變式1-2】已知a，b，c，d滿足a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|＝|b+1|，|1﹣c|＝|1﹣d|，那么a+b+c+d＝0．【分析】根據(jù)已知不等式確定出絕對值里邊式子的正負(fù)，已知等式利用絕對值的代數(shù)意義化簡，整理求出a+b與c+d的值，代入原式計算即可得到結(jié)果．【解答】解：∵a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，∴a+1＜0，b+1＞0，1﹣c＞0，1﹣d＜0，∵|a+1|＝|b+1|，|1﹣c|＝|1﹣d|，∴﹣a﹣1＝b+1，1﹣c＝d﹣1，整理得：a+b＝﹣2，c+d＝2，則a+b+c+d＝0．故答案為：0【變式1-3】化簡：（1）|2x﹣1|；（2）|x﹣1|+|x﹣3|；（3）||x﹣1|﹣2|+|x+1|．【分析】（1）就2x﹣1≥0，2x﹣1＜0兩種情形去掉絕對值符號；（2）將零點(diǎn)1，3在同一數(shù)軸上表示出來，就x＜1，1≤x＜3，x≥3三種情況進(jìn)行討論；（3）由零點(diǎn)共有﹣1、1、3三點(diǎn)，就x≥3，1≤x＜3，﹣1≤x＜1，x＜﹣1四種情況進(jìn)行討論．【解答】解：（1）①當(dāng)x≥12，原式＝2②當(dāng)x＜12，原式＝﹣（2x﹣1）＝1﹣2（2）①當(dāng)x＜1，原式＝﹣（x﹣1）﹣（x﹣3）＝4﹣2x；②當(dāng)1≤x＜3，原式＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2；③當(dāng)x≥3，原式＝（x﹣1）+（x﹣3）＝2x﹣4；（3）①x≥3，原式＝|x﹣1﹣2|+x+1＝x﹣3+x+1＝2x﹣2；②1≤x＜3，原式＝|x﹣1﹣2|+x+1＝3﹣x+x+1＝4；③﹣1≤x＜1，原式＝|1﹣x﹣2|+x+1＝|﹣（x+1）|+x+1＝x+1+x+1＝2x+2；④x＜﹣1，原式＝|1﹣x﹣2|﹣（x+1）＝|﹣（x+1）|﹣x﹣1＝﹣（x+1）﹣x﹣1＝﹣2x﹣2．【題型2根據(jù)絕對值的非負(fù)性求值】【例2】（2022春?諸暨市月考）已知|a﹣3|+|2ab﹣8|+|c﹣2|＝0，求a+3b﹣c的值．【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列方程求出a、b、c的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計算即可得解．【解答】解：由題意得，a﹣3＝0，2ab﹣8＝0，c﹣2＝0，解得a＝3，b=43，所以，a+3b﹣c，＝3+3×4＝3+4﹣2，＝7﹣2，＝5．【變式2-1】（2022秋?梅州校級月考）若|x﹣2|+|y+3|＝0，計算：（1）x，y的值．（2）求|x|+|y|的值．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式計算即可得解；（2）根據(jù)絕對值的性質(zhì)進(jìn)行計算即可得解．【解答】解：（1）由題意得，x﹣2＝0，y+3＝0，解得x＝2，y＝﹣3；（2）|x|+|y|＝|2|+|﹣3|＝2+3＝5．【變式2-2】（2022秋?南江縣校級期中）已知|﹣x+7|與|﹣2y﹣1|互為相反數(shù)，求2y?2【分析】根據(jù)題意，|﹣x+7|≥0，|﹣2y﹣1|≥0，又|﹣x+7|與|﹣2y﹣1|互為相反數(shù)，故|﹣x+7|＝0，|﹣2y﹣1|＝0，即可求出x，y的值，代入即可求出答案．【解答】解：根據(jù)題意：|﹣x+7|≥0，|﹣2y﹣1|≥0，又|﹣x+7|與|﹣2y﹣1|互為相反數(shù)，故|﹣x+7|＝0，|﹣2y﹣1|＝0，解得：x＝7，y=?1故2y?27x=2×（?【變式2-3】（2022?淶水縣期末）已知x為實數(shù)，且|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|+…+|17x﹣1|的值是一個確定的常數(shù)，則這個常數(shù)是（）A．5 B．10 C．15 D．75【分析】將|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|+…+|17x﹣1|按照取值范圍進(jìn)行討論．【解答】解：（1）當(dāng)x＞13時，原式＝150（2）當(dāng)14＜x≤1（3）當(dāng)15＜x≤1（4）當(dāng)16＜x≤1（5）當(dāng)17＜x≤1（6）當(dāng)18＜x≤1（7）當(dāng)19＜x≤1（8）當(dāng)110＜x≤1（9）當(dāng)111＜x≤1（10）當(dāng)112＜x≤1（11）當(dāng)113＜x（12）當(dāng)114＜x≤1（13）當(dāng)115＜x≤1（14）當(dāng)116＜x≤1（15）當(dāng)117＜x≤1（16）當(dāng)x≤117時，原式＝﹣150故選：A．【題型3根據(jù)絕對值的定義判斷正誤】【例3】（2022春?肇源縣期末）下面四個式子中，正確的是（）A．若a≠b，那么a2≠b2 B．若a＞|b|，那么a2＞b2 C．若|a|＞|b|，那么a＞b D．若a2＞b2那么a＞b【分析】利于平方的定義、不等式的定義、絕對值的求法等知識分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A、若a≠b，那么a、b互為相反數(shù)時，a2≠b2錯誤，不符合題意；B、如果a＞|b|，那么a2＞b2，正確，符合題意；C、|a|＞|b|，那么a＞b或a＜b，錯誤，不符合題意；D、如果a2＞b2那么a＞b或a＜b，故錯誤，不符合題意；故選：B．【變式3-1】（2022秋?全椒縣期中）已知a|a|①a，b一定互為相反數(shù)；②ab＜0；③a+b＜0；④ab|ab|其中正確的是②④．（把所有正確結(jié)論的序號都填上）【分析】根據(jù)絕對值的意義，可化簡絕對值．【解答】解：由a|a|+b|b|=①得a＜0，b＞0，或a＞0，b＜0，a，b異號，a，b不一定互為相反數(shù)，故①錯誤；②ab＜0，故②正確；③a+b不一定小于0，故③錯誤；④ab|ab|故答案為：②④．【變式3-2】（2022秋?和平區(qū)期中）設(shè)y＝|x﹣1|+|x+1|，則下面四個結(jié)論中正確的是（）A．y沒有最小值 B．只有一個x使y取最小值 C．有限個x（不止一個）y取最小值 D．有無窮多個x使y取最小值【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，分別討論x的取值范圍，再判斷y的最值問題．【解答】解：方法一：由題意得：當(dāng)x＜﹣1時，y＝﹣x+1﹣1﹣x＝﹣2x；當(dāng)﹣1≤x≤1時，y＝﹣x+1+1+x＝2；當(dāng)x＞1時，y＝x﹣1+1+x＝2x；故由上得當(dāng)﹣1≤x≤1時，y有最小值為2；故選D．方法二：由題意，y表示數(shù)軸上一點(diǎn)x，到﹣1，1的距離和，這個距離和的最小值為2，此時x的范圍為﹣1≤x≤1，故選：D．【變式3-3】（2022秋?青山區(qū)期中）若a，b為有理數(shù)，下列判斷：（1）若|a|＝b，則一定有a＝b；（2）若|a|＞|b|，則一定有a＞b；（3）若|a|＞b，則一定有|a|＞|b|；（4）若|a|＝b，則一定有a2＝（﹣b）2．其中正確的是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（4）【分析】此類題目可將符合條件的有理數(shù)代入逐一驗證求解．【解答】解：（1）若|﹣2|＝2，則﹣2≠2，錯誤；（2）若|﹣2|＞|1|，則﹣2＜1，錯誤；（3）若|1|＞﹣2，則|1|＜|﹣2|，錯誤；（4）若|a|＝b，則一定有a2＝（﹣b）2，正確．故選：D．【題型4根據(jù)絕對值的意義求取值范圍】【例4】（2022秋?海淀區(qū)校級期中）若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a對一切數(shù)x都成立，則a的取值范圍是a≤7．【分析】數(shù)形結(jié)合．絕對值的幾何意義：|x﹣y|表示數(shù)軸上兩點(diǎn)x，y之間的距離．【解答】解：數(shù)形結(jié)合．絕對值的幾何意義：|x﹣y|表示數(shù)軸上兩點(diǎn)x，y之間的距離．畫數(shù)軸易知，|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|表示x到﹣3，﹣1，1，2這四個點(diǎn)的距離之和．令y＝，|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|，x＝﹣3時，y＝11，x＝﹣1時，y＝7，x＝1時，y＝7，x＝2時，y＝9，可以觀察知：當(dāng)﹣1≤x≤1時，由于四點(diǎn)分列在x兩邊，恒有y＝7，當(dāng)﹣3≤x＜﹣1時，7＜y≤11，當(dāng)x＜﹣3時，y＞11，當(dāng)1≤x＜2時，7≤y＜9，當(dāng)x≥2時，y≥9，綜合以上：y≥7所以：a≤7即|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥7對一切實數(shù)x恒成立．從而a的取值范圍為a≤7．【變式4-1】（2021秋?長春期中）如果|﹣2a|＝﹣2a，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)≤0 D．a(chǎn)＜0【分析】觀察發(fā)現(xiàn)|﹣2a|＝﹣2a，絕對值里面的式子與等號后面的式子相同，可知﹣2a的絕對值等于它本身，根據(jù)絕對值的性質(zhì)：正數(shù)的絕對值等于它本身，0的絕對值等于0，也就是等于它本身，可得﹣2a≥0，解不等式可得答案．【解答】解：∵|﹣2a|＝﹣2a，∴﹣2a≥0，a≤0．故選：C．【變式4-2】（2022?吉首市校級月考）若m是有理數(shù)，則|m|+m的值（）A．不可能是正數(shù) B．一定是正數(shù) C．不可能是負(fù)數(shù) D．可能是正數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)：正數(shù)的絕對值是它本身、負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)、0的絕對值是0，可根據(jù)m是正數(shù)、負(fù)數(shù)和0三種情況討論．【解答】解：①當(dāng)m＞0時，原式＝m+m＝2m＞0；②當(dāng)m＝0時，原式＝0+0＝0；③當(dāng)m＜0時，原式＝﹣m+m＝0．∴|m|+m的值大于等于0，即為非負(fù)數(shù)，故選：C．【變式4-3】（2022秋?長沙校級期中）（1）比較下列各式的大小（用＜或＞或＝連接）①|(zhì)﹣2|+|3|＞|﹣2+3|；②|﹣2|+|﹣3|＝|﹣2﹣3|；③|﹣2|+|0|＝|﹣2+0|；（2）通過以上的特殊例子，請你分析、補(bǔ)充、歸納，當(dāng)a、b為有理數(shù)時，|a|+|b|與|a+b|的大小關(guān)系；（3）根據(jù)上述結(jié)論，求當(dāng)|x|+2015＝|x﹣2015|時，x的取值范圍．【分析】（1）依據(jù)絕對值的性質(zhì)計算即可；（2）通過計算找出其中的規(guī)律即可得出答案；（3）依據(jù)結(jié)論求解即可．【解答】解：（1）①|(zhì)﹣2|+|3|＝2+3＝5，|﹣2+3|＝1，故|﹣2|+|3|＞|﹣2+3|；②|﹣2|+|﹣3|＝2+3＝5，|﹣2﹣3|＝|﹣5|＝5，故|﹣2|+|﹣3|＝|﹣2﹣3|；③|﹣2|+|0|＝2，|﹣2+0|＝2，故|﹣2|+|0|＝|﹣2+0|．故答案為：①＞；②＝；③＝．（2）當(dāng)a，b異號時，|a|+|b|＞|a+b|，當(dāng)a，b同號時（包括零），|a|+|b|＝|a+b|，∴|a|+|b|≥|a+b|；（3）∵|x|+2015＝|x﹣2015|，∴|x|+|﹣2015|＝|x﹣2015|．由（2）可知：x與﹣2015同號，∴x≤0．【題型5絕對值中的分類討論之a(chǎn)|a|【例5】（2022秋?江陽區(qū)校級期中）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)位置如圖所示（1）用“＜”連接0、﹣a、﹣b、﹣1（2）化簡：|a|﹣2|a+b﹣1|?13|b﹣（3）若c?（a2+1）＜0，且c+b＞0，求|c+1|c+1【分析】（1）直接利用數(shù)軸分析得出答案；（2）結(jié)合數(shù)軸得出各部分的符號，進(jìn)而化簡即可；（3）結(jié)合數(shù)軸得出各部分的符號，進(jìn)而化簡即可．【解答】解：（1）由數(shù)軸可得：﹣1＜﹣b＜0＜﹣a；（2）原式＝﹣a+2（a+b﹣1）?13（b﹣=4（3）∵c?（a2+1）＜0，且c+b＞0，∴c＜0，1＞b＞0，∴|c|＜b，原式=＝1﹣1+1＝1．【變式5-1】（2022秋?順平縣期中）設(shè)a、b、c、d為有理數(shù)，且|abcd|abcd=1，則|a|a【分析】根據(jù)已知條件|abcd|abcd=1，得出【解答】解：由|abcd|abcd=1，知于是a，b，c，d中4個全為正數(shù)或兩個正數(shù)兩個負(fù)數(shù)或4個全為負(fù)數(shù)．當(dāng)a，b，c，d全為正數(shù)時，原式＝1+1+1+1＝4；當(dāng)a，b，c，d中有兩個正數(shù)兩個負(fù)數(shù)時，原式＝0；當(dāng)a，b，c，d全為負(fù)數(shù)時，原式＝﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4．故答案為：﹣4，0，4．【變式5-2】（2022秋?鄂州校級月考）若0＜a＜1，﹣2＜b＜﹣1，則|a?1|a?1?|b+2|【分析】可以用特殊值法進(jìn)行計算，令a=12，b【解答】解：方法1：令a=12，b代入|a?1|a?1得：|a?1|a?1方法2：∵0＜a＜1，﹣2＜b＜﹣1，∴a﹣1＜0，b+2＞0，a+b＜0，∴|a?1|a?1=?a?1＝﹣1﹣1﹣1，＝﹣3．故答案為：﹣3．【變式5-3】（2022秋?西城區(qū)校級期中）有理數(shù)a，b，c均不為0，且a+b+c＝0．設(shè)x=||a|b+c+|b|c+a+【分析】根據(jù)題意可得a，b，c中不能全同號，必有一正兩負(fù)或兩正一負(fù)與a＝﹣（b+c），b＝﹣（c+a），c＝﹣（a+b），則可得|a|b+c，|b|【解答】解：由a，b，c均不為0，知b+c，c+a，a+b均不為0，又∵a，b，c中不能全同號，故必一正二負(fù)或一負(fù)二正，∴a＝﹣（b+c），b＝﹣（c+a），c＝﹣（a+b），即ab+c∴|a|b+c∴|a|b+c+|b|∴x19+99x+2000＝1+99+2000＝2100．【題型6絕對值中的分類討論之多絕對值問題】【例6】（2022?河北模擬）（1）數(shù)軸上兩點(diǎn)表示的有理數(shù)是a、b，求這兩點(diǎn)之間的距離；（2）是否存在有理數(shù)x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？（3）是否存在整數(shù)x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整數(shù)x；如果不存在，說明理由．【分析】（1）數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)或|a﹣b|；（2）利用絕對值的幾何意義進(jìn)行化簡；（3）利用絕對值的幾何意義進(jìn)行化簡，求得|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|的最大值和最小值，再進(jìn)行判斷．【解答】解：（1）|a﹣b|；（2）x的取值可能是x＜﹣1，﹣1≤x≤3，x＞3，化簡得﹣2x+2，4，2x﹣2，則不存在|x+1|+|x﹣3|＝x的情況；（3）x的取值可能是x＜﹣4，﹣4≤x＜﹣3，﹣3≤x≤3，3＜x≤4，x＞4，化簡得﹣4x，﹣2x+8，14，2x+8，4x，故存在整數(shù)x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14，即﹣3≤x≤3，x＝﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3．【變式6-1】（2022春?寶山區(qū)校級月考）已知|a﹣1|+|a﹣4|＝3，則a的取值范圍為1≤a≤4．【分析】分情況討論：①a﹣4≥0；②a﹣1≥0，且a﹣4≤0．【解答】解：①a﹣4≥0，解得a≥4，化簡原式＝2a﹣5，不合題意，舍去．②a﹣1≥0，且a﹣4≤0，解得1≤a≤4，化簡原式＝3，符合題意．所以1≤a≤4．【變式6-2】（2022秋?玉門市期末）在數(shù)軸上有四個互不相等的有理數(shù)a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，設(shè)d在a、c之間，則|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝（）A．d﹣b B．c﹣b C．d﹣c D．d﹣a【分析】由|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a?a＜b＜c，又d在a、c之間，故有a＜d＜b＜c或a＜b＜d＜c兩種情況，且|a﹣d|+|d﹣c|﹣|a﹣c|＝0．分別討論可得|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝|c﹣b|＝c﹣b．【解答】解：由|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a可得a＜b＜c，又因為d在a、c之間，故有a＜d＜b＜c或a＜b＜d＜c兩種情況，且|a﹣d|+|d﹣c|﹣|a﹣c|＝0．當(dāng)a＜d＜b＜c時，|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝d﹣a+c﹣d+c﹣b+a﹣c＝c﹣b，當(dāng)a＜b＜d＜c時，|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝d﹣a+c﹣d+c﹣b+a﹣c＝c﹣b，故選：B．【變式6-3】（2022秋?順平縣期中）已知a，b，c，d都是整數(shù)，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|＝2，則|a+d|＝1或0．【分析】根據(jù)題意易知|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整數(shù)，所以不外乎兩種可能：①3個為0，1個為2；②2個為0，2個為1，繼而討論|a+d|的值．【解答】解：由題意得：|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整數(shù)，所以有兩種可能：①3個為0，1個為2，②2個為0，2個為1，所以|a+d|只可能取0、1、2，若為2，則|a+b|＝|b+c|＝|c+d|＝0，不難得出a＝﹣d，所以|a+d|＝0，與假設(shè)|a+d|＝2矛盾．所以|a+d|只可能取0、1，a＝0，b＝0，c＝﹣1，d＝1時|a+d|＝1；a＝﹣1，b＝0，c＝0，d＝1時|a+d|＝0．故答案為：1或0．【題型7絕對值中的最值問題】【例7】（2022秋?鼓樓區(qū)校級月考）已知（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，求2016x+2017y+2018z的最大值和最小值【分析】先討論：|x+1|+|x﹣2|、|y﹣2|+|y+1|、|z﹣3|+|z+1|的最小值，根據(jù)它們的積是36，分別得到|x+1|+|x﹣2|、|y﹣2|+|y+1|、|z﹣3|+|z+1|的值，再討論x、y、z的最大最小值，代入計算出代數(shù)式的最大值和最小值．【解答】解：∵|x+1|+|x﹣2|≥3，（|y﹣2|+|y+1|）≥3，（|z﹣3|+|z+1|）≥4，又∵（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣2|+|y+1|）（|z﹣3|+|z+1|）＝36，∴|x+1|+|x﹣2|＝3，|y﹣2|+|y+1|＝3，|z﹣3|+|z+1|＝4，當(dāng)|x+1|+|x﹣2|＝3時，x最小取﹣1，最大取2，當(dāng)|y﹣2|+|y+1|＝3時，y最小取﹣1，最大取2，當(dāng)|z﹣3|+|z+1|＝4時，z最小取﹣1，最大取3所以2016x+2017y+2018z的最大值為：2016×2+2017×2+2018×3＝14120，2016x+2017y+2018z的最小值為：2016×（﹣1）+2017×（﹣1）+2018×（﹣1）＝﹣6051【變式7-1】當(dāng)|x﹣2|+|x﹣3|的值最小時，|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|的值最大是0，最小是﹣1．【分析】根據(jù)當(dāng)|x﹣2|+|x﹣3|的值最小時，即可求得x的范圍是2≤x≤3，且最小值是1，化簡|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|，即可把x分成1≤x＜2和2≤x≤3兩種情況，在每個范圍內(nèi)分別取一個值，代入即可求得．【解答】解：當(dāng)|x﹣2|+|x﹣3|的值最小時，2≤x≤3，又因為1不在2和3之間，所以可令x＝2，則|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|＝0，令x＝3，則|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣1|＝﹣1，所以，所求最大值為0，最小值為﹣1．【變式7-2】（2022秋?海安市月考）閱讀下列有關(guān)材料并解決有關(guān)問題．我們知道|x|=x(x＞0)0(x=0)?x(x＜0)，現(xiàn)在我們可以利用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式．例如：化簡代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|時，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1和x＝2（稱﹣1，2分別為|x+1|與|x﹣2|的零點(diǎn)值）．在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值x＝﹣1和x＝2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．從而在化簡|x+1|+|x﹣2|時，可分以下三種情況：①當(dāng)x＜﹣1時，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②當(dāng)﹣1≤x＜2時，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③當(dāng)x≥2時，原式＝（x+1）+（x（1）|x﹣3|+|x+4|的零點(diǎn)值是x＝3和x＝﹣4；（2）化簡代數(shù)式|x﹣3|+|x+4|；（3）解方程|x﹣3|+|x+4|＝9；（4）|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的最小值為2005，此時x的取值范圍為2≤x≤3．【分析】（1）根據(jù)“零點(diǎn)值”的意義進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)題目中提供的方法分三種情況分別進(jìn)行計算即可；（3）分三種情況分別對|x﹣3|+|x+4|進(jìn)行化簡進(jìn)而求出相應(yīng)方程的解；（4）根據(jù)代數(shù)式|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的意義，得出當(dāng)2≤x≤3時，該代數(shù)式的值最小，再根據(jù)兩點(diǎn)距離的計算方法進(jìn)行計算即可．【解答】解：（1）令x﹣3＝0和x+4＝0，求得：x＝3和x＝﹣4，故答案為：﹣4和3；（2）①當(dāng)x＜﹣4時，原式＝﹣（x﹣3）﹣（x+4）＝﹣2x﹣1；②當(dāng)﹣4≤x＜3時，原式＝﹣（x﹣3）+（x+4）＝7；③當(dāng)x≥3時，原式＝（x﹣3）+（x+4）＝2x+1；綜上所述：原式=?2x?1(x＜?4)（3）分三種情況：①當(dāng)x＜﹣4時，﹣2x﹣1＝9，解得：x＝﹣5；②當(dāng)﹣4≤x＜3時，7＝9，不成立；③當(dāng)x≥3時，2x+1＝9，解得：x＝4．綜上所述，x＝﹣5或x＝4．（4）代數(shù)式|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|表示的意義為數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到表示數(shù)﹣4，2，3，2000的距離之和，由數(shù)軸表示數(shù)的意義可知，當(dāng)2≤x≤3時，該代數(shù)式的值最小，最小值為（2+4）+（3﹣2）+（2000﹣2）＝2005，故答案為：2005，2≤x≤3．【變式7-3】（2022秋?泉州期末）四個數(shù)分別是a，b，c，d，滿足|a﹣b|+|c﹣d|=1n|a﹣d|，（n≥3且為正整數(shù)，a＜b＜c＜（1）若n＝3．①當(dāng)d﹣a＝6時，求c﹣b的值；②對于給定的有理數(shù)e（b＜e＜c），滿足|b﹣e|=49|a﹣d|，請用含b，c的代數(shù)式表示（2）若e=12|b﹣c|，f=12|a﹣d|，且|e﹣f|＞110|【分析】（1）①由已知可得b﹣a+d﹣c=13（d﹣a），又由d﹣a＝6，得到c﹣②由已知可得e﹣b=49（d﹣a），因為d﹣a=32（c﹣b），則有e﹣b=49×32（c﹣b）=23（2）由已知可得c﹣b＝（1?1n）（d﹣a），則有|12|（1?1n）（d﹣a）|?12|a﹣d||＞110【解答】解：（1）①∵n＝3，∴|a﹣b|+|c﹣d|=13|a﹣∵a＜b＜c＜d，∴b﹣a+d﹣c=13（d﹣∴c﹣b=23（d﹣∵d﹣a＝6，∴c﹣b＝4；②∵b＜e＜c，|b﹣e|=49|a﹣∴e﹣b=49（d﹣∵d﹣a=32（c﹣∴e﹣b=49×32（c﹣b）=∴e=23c+（2）∵|a﹣b|+|c﹣d|=1n|a﹣d|，a＜b＜c＜∴c﹣b＝（1?1n）（d﹣∵e=12|b﹣c|，f=12|a﹣d|，且|e﹣f|＞1∴|12|b﹣c|?12|a﹣d||＞110∴|12|（1?1n）（d﹣a）|?12|a﹣d||＞∴12n|a﹣d|＞110|a∴2n＜10，∴n＜5，∵n≥3且為正整數(shù)，∴n的最大值是4．專題1.10巧用運(yùn)算規(guī)律簡化有理數(shù)計算的七種方法【七大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1歸類法】 1【題型2湊整法】 1【題型3逆向法】 2【題型4拆項法】 2【題型5組合法】 3【題型6裂項相消法】 3【題型7倒數(shù)求值法】 5【知識點(diǎn)1歸類法】運(yùn)用加法交換律、結(jié)合律歸類加減，將同類數(shù)(如正數(shù)或負(fù)數(shù))歸類計算，如整數(shù)與整數(shù)結(jié)合、如分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)結(jié)合、同分母與同分母結(jié)合等.【題型1歸類法】【例1】（2022春?普陀區(qū)校級期中）計算：8+（﹣114）﹣5﹣（?【變式1-1】（2022春?徐匯區(qū)校級期中）計算：?22【變式1-2】（2022秋?青浦區(qū)期中）計算：21【變式1-3】（2022秋?和平區(qū)校級月考）計算：（1）?(?37（2）﹣556【知識點(diǎn)2湊整法】將相加可得整數(shù)的數(shù)湊整，將相加得零的數(shù)（如互為相反數(shù)）相消.【題型2湊整法】【例2】（2022秋?普陀區(qū)期末）計算：3.43﹣225+6.57﹣5【變式2-1】（2022秋?濟(jì)南期末）計算：（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）﹣（﹣2.5）．【變式2-2】（2022秋?上蔡縣月考）計算：（1）225+217+（﹣5（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18．【變式2-3】（2022秋?石景山區(qū)校級期中）計算：（﹣12.7）﹣（﹣525）﹣87.3+33【知識點(diǎn)3逆向法】主要是將式子中的一些小數(shù)、帶分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)互相轉(zhuǎn)化，然后將乘法分配率逆向使用，從而使得計算變得更加簡單.【題型3逆向法】【例3】（2022秋?紅谷灘區(qū)校級期中）用簡便方法計算?2【變式3-1】（2022秋?蘭山區(qū)月考）25×34?25×【變式3-2】（2022秋?紅谷灘區(qū)校級期中）用簡便方法計算：（1）（﹣9）×31829?（﹣8）×（﹣31829（2）997172【變式3-3】（2022秋?紅谷灘區(qū)校級期中）簡便計算（﹣48）×0.125+48×【知識點(diǎn)4拆項法】將一個數(shù)拆分成兩個或兩個以上數(shù)和的形式，再利用加法交換律、結(jié)合率或者利用乘法分配率從而使得計算變得簡潔.【題型4拆項法】【例4】（2022秋?安陸市期中）閱讀下面的計算過程，體會“拆項法”計算：﹣556解：原式=[(?5)+(?9)+17+(?3)]+[(?56啟發(fā)應(yīng)用用上面的方法完成下列計算：(?3【變式4-1】（2022秋?鐵西區(qū)期末）計算：1.5﹣（﹣414）+3.75﹣（+81【變式4-2】（2022秋?浦東新區(qū)期中）計算：51【變式4-3】（2022秋?涼山州期末）：(?20212【知識點(diǎn)5組合法】找出規(guī)律，重新組合，然后通過約分或抵消簡化題目.【題型5組合法】【例5】（2022秋?南開區(qū)期中）計算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣97+98﹣99＝．【變式5-1】（2022秋?襄汾縣期中）計算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016【變式5-2】（2022秋?工業(yè)園區(qū)月考）計算1+（﹣2）+3+（﹣4）+……+97+（﹣98）+99+（﹣100）的值為（）A．50 B．﹣50 C．101 D．﹣101【變式5-3】（2022秋?工業(yè)園區(qū)月考）計算：（1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99；（2）|1102?1101|+|【知識點(diǎn)6裂項相消法】將一個數(shù)拆分成兩個或兩個以上數(shù)和的形式，再利用加法交換律、結(jié)合率或者利用乘法分配率從而使得計算變得簡潔.【題型6裂項相消法】【例6】（2022秋?嘉定區(qū)期末）【閱讀材料】問題：如何計算11×2解：原式=(1?根據(jù)閱讀材料，請你完成下列問題：（1）計算：21×3（2）直接寫出結(jié)果：13+115（3）計算：11×5【變式6-1】（2022秋?遂寧期末）請先閱讀下列一組內(nèi)容，然后解答問題：先觀察下列等式：11×2=1?12將以上等式兩邊分別相加得：1然后用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題：（1）猜想并寫出：1n(n?1)=1（2）直接寫出下列各式的計算結(jié)果：①11×2+12×3②11×2+12×3（3）探究并計算：12×4【變式6-2】（2022秋?虹口區(qū)期末）先閱讀，再答題23=3?11×3=1?13根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出（1）299（2）2n(n+2)=1計算：23【變式6-3】（2022秋?高安市期中）閱讀下面的文字，完成解答過程．（1）11×2=1?12，12×3=12?1（2）根據(jù)上述方法計算：11×3（3）根據(jù)（1），（2）的計算，我們可以猜測下列結(jié)論：1n(n+k)=1k（1n?1n+k）【題型7倒數(shù)求值法】【例7】（2022秋?城廂區(qū)校級月考）先閱讀理解，再回答問題計算：(?1解：（方法一）原式＝(?1（方法二）原式的倒數(shù)為(＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10．故原式=?1請閱讀上述材料，選擇合適的方法計算：?1【變式7-1】（2022秋?南開區(qū)期中）（?120）÷（【變式7-2】（2022秋?寬城縣期末）閱讀下列材料：計算：124解法一：原式=1解法二：原式=1解法三：原式的倒數(shù)=(1所以原式=1（1）上述得到的結(jié)果不同，你認(rèn)為解法是錯誤的；（2）計算：(12（3）請你選擇合適的解法計算：(?1【變式7-3】（2022秋?懷安縣期末）先計算，再閱讀材料，解決問題：（1）計算：（14（2）選擇合適的方法計算：（?142）÷（專題1.10巧用運(yùn)算規(guī)律簡化有理數(shù)計算的七種方法【七大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1歸類法】 1【題型2湊整法】 3【題型3逆向法】 4【題型4拆項法】 6【題型5組合法】 7【題型6裂項相消法】 8【題型7倒數(shù)求值法】 11【知識點(diǎn)1歸類法】運(yùn)用加法交換律、結(jié)合律歸類加減，將同類數(shù)(如正數(shù)或負(fù)數(shù))歸類計算，如整數(shù)與整數(shù)結(jié)合、如分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)結(jié)合、同分母與同分母結(jié)合等.【題型1歸類法】【例1】（2022春?普陀區(qū)校級期中）計算：8+（﹣114）﹣5﹣（?【分析】根據(jù)加法交換律、加法結(jié)合律，求出算式的值即可．【解答】解：8+（﹣114）﹣5﹣（?＝（8﹣5）+[（﹣114）﹣（?＝3+（?1＝212【變式1-1】（2022春?徐匯區(qū)校級期中）計算：?22【分析】利用有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，進(jìn)行計算即可．【解答】解：原式=(?2=?6+61=1=31【變式1-2】（2022秋?青浦區(qū)期中）計算：21【分析】運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律計算．【解答】解：原式＝219+＝（219?129=8＝189【變式1-3】（2022秋?和平區(qū)校級月考）計算：（1）?(?37（2）﹣556【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)加減混合運(yùn)算和加法結(jié)合律計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)加減混合運(yùn)算和加法結(jié)合律計算即可．【解答】解：（1）?(?3＝3712?114?27＝（3712?2712）+（﹣114＝1﹣41=?25（2）﹣55＝（﹣556?923）+（173＝﹣1512+＝﹣114【知識點(diǎn)2湊整法】將相加可得整數(shù)的數(shù)湊整，將相加得零的數(shù)（如互為相反數(shù)）相消.【題型2湊整法】【例2】（2022秋?普陀區(qū)期末）計算：3.43﹣225+6.57﹣5【分析】先運(yùn)用加法的交換結(jié)合律進(jìn)行簡便計算，再進(jìn)行最后的減法運(yùn)算．【解答】解：3.43﹣225+＝（3.43+6.57）﹣（225+5＝10﹣8＝2．【變式2-1】（2022秋?濟(jì)南期末）計算：（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）﹣（﹣2.5）．【分析】根據(jù)有理數(shù)加減法放入法則進(jìn)行計算即可．【解答】解：原式＝（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）+2.5＝[（﹣3.2）+（﹣16.8）]+（12.5+2.5）＝﹣20+15＝﹣5．【變式2-2】（2022秋?上蔡縣月考）計算：（1）225+217+（﹣5（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18．【分析】（1）先將加減統(tǒng)一為加法，再利用加法的交換律與結(jié)合律進(jìn)行計算即可；（2）先將加減統(tǒng)一為加法，再利用加法的交換律與結(jié)合律進(jìn)行計算即可．【解答】解：（1）225+217+（﹣5＝225+217?＝（225+535）+（21＝8﹣3＝5；（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18＝3.75﹣5.18+2.25+5.18＝（3.75+2.25）+（5.18﹣5.18）＝6．【變式2-3】（2022秋?石景山區(qū)校級期中）計算：（﹣12.7）﹣（﹣525）﹣87.3+33【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減法法則進(jìn)行計算即可得出結(jié)果．【解答】解：(?12.7)?(?5=?12.7+52＝（﹣12.7﹣87.3）+（525+3＝﹣100+9＝﹣91．【知識點(diǎn)3逆向法】主要是將式子中的一些小數(shù)、帶分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)互相轉(zhuǎn)化，然后將乘法分配率逆向使用，從而使得計算變得更加簡單.【題型3逆向法】【例3】（2022秋?紅谷灘區(qū)校級期中）用簡便方法計算?2【分析】先根據(jù)同號得正異號得負(fù)進(jìn)行符號運(yùn)算，然后逆運(yùn)用乘法分配律，提取29【解答】解：?29×（﹣92）+（?29=29×92?29=29×（92﹣343=2=2＝18．【變式3-1】（2022秋?蘭山區(qū)月考）25×34?25×【分析】逆運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行計算即可得解．【解答】解：25×34?25×＝25×（34＝25×0＝0．【變式3-2】（2022秋?紅谷灘區(qū)校級期中）用簡便方法計算：（1）（﹣9）×31829?（﹣8）×（﹣31829（2）997172【分析】（1）原式逆用乘法分配律計算即可得到結(jié)果；（2）原式變形后，利用乘法分配律計算即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）原式＝31829＝31829＝﹣31829（2）原式＝（100?1＝100×（﹣36）?1＝﹣3600+＝﹣359912【變式3-3】（2022秋?紅谷灘區(qū)校級期中）簡便計算（﹣48）×0.125+48×【分析】利用乘法的分配律先提取48，再進(jìn)行計算即可得出答案；【解答】解：（﹣48）×0.125+48×＝48×（?1＝0.【知識點(diǎn)4拆項法】將一個數(shù)拆分成兩個或兩個以上數(shù)和的形式，再利用加法交換律、結(jié)合率或者利用乘法分配率從而使得計算變得簡潔.【題型4拆項法】【例4】（2022秋?安陸市期中）閱讀下面的計算過程，體會“拆項法”計算：﹣556解：原式=[(?5)+(?9)+17+(?3)]+[(?56啟發(fā)應(yīng)用用上面的方法完成下列計算：(?3【分析】將原式利用“拆項法”得出原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（?3【解答】解：原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（?3＝﹣4+（?7＝﹣4710【變式4-1】（2022秋?鐵西區(qū)期末）計算：1.5﹣（﹣414）+3.75﹣（+81【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：原式＝1+12+4+1＝﹣7+8＝1．【變式4-2】（2022秋?浦東新區(qū)期中）計算：51【分析】可按法則從左往右算求出結(jié)果；亦可把帶分?jǐn)?shù)寫成整數(shù)與分?jǐn)?shù)和的形式，再利用加法的交換律和結(jié)合律，把整數(shù)與分?jǐn)?shù)分別相加．【解答】解：原式＝5+13（5﹣2）+（13＝3+（412＝3+＝3512【變式4-3】（2022秋?涼山州期末）：(?20212【分析】寫成幾個整數(shù)的和以及幾個分?jǐn)?shù)的和即可．【解答】解：原式＝[（﹣2021）+（?27）]+[（﹣2022）+（?4＝（﹣2021﹣2022+4044）+（?2＝1+（﹣1）＝0．【知識點(diǎn)5組合法】找出規(guī)律，重新組合，然后通過約分或抵消簡化題目.【題型5組合法】【例5】（2022秋?南開區(qū)期中）計算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣97+98﹣99＝﹣50．【分析】根據(jù)結(jié)合律，可得答案．【解答】解：原式＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+（﹣5+6）+…（﹣97+98）]﹣99=1+1+1+?+1＝49﹣99＝﹣50，故答案為：﹣50．【變式5-1】（2022秋?襄汾縣期中）計算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016【分析】根據(jù)每四項運(yùn)算結(jié)果可知，每四項結(jié)果為﹣4，2016÷4＝504，正好為4的倍數(shù)，從而得出結(jié)論．【解答】解：∵1+2﹣3﹣4＝﹣4，5+6﹣7﹣8＝﹣4，即每四項結(jié)果為﹣4，2016÷4＝504，∴1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2013+2014﹣2015﹣2016＝﹣4×504＝﹣2016．【變式5-2】（2022秋?工業(yè)園區(qū)月考）計算1+（﹣2）+3+（﹣4）+……+97+（﹣98）+99+（﹣100）的值為（）A．50 B．﹣50 C．101 D．﹣101【分析】原式兩項兩項合并正好得50個（﹣1），最后計算結(jié)果即可．【解答】解：原式＝（1﹣2）+（3﹣4）+（4﹣5）+?+（99﹣100）=?1?1?1??1＝﹣50，故選：B．【變式5-3】（2022秋?工業(yè)園區(qū)月考）計算：（1）