2024年中考數(shù)學專題訓練 專題01 角平分線四大模型在三角形中的應用（能力提升）（原卷版+解析）

專題01角平分線四大模型在三角形中的應用（能力提升）1．如圖：在四邊形ABCD中，BC＞DA，AD＝DC，BD平分∠ABC，DH⊥BC于H，求證：（1）∠DAB+∠C＝180°（2）BH＝（AB+BC）2．如圖，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分線與∠CBA的角平分線相交于點P，且D，P，C在同一條直線上．（1）求∠PAD的度數(shù)；（2）求證：P是線段CD的中點．3．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中點，AE平分∠BAD，AE⊥BE．（1）求證：BE平分∠ABC；（2）求證：AD+BC＝AB；（3）若S△ABE＝4，求梯形ABCD的面積．4．【問題提出】在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD為∠BAC的角平分線，探究線段AB，AC，CD的數(shù)量關(guān)系．【問題解決】如圖1，當∠ACB＝90°，過點D作DE⊥AB，垂足為E，易得AB＝AC+CD；由此，如圖2，當∠ACB≠90°時，猜想線段AB，AC，CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？給出證明．【方法遷移】如圖3，當∠ACB≠90°，AD為△ABC的外角平分線時，探究線段AB，AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不證明．5．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D在BC上，點E與點A在BC的同側(cè)，且∠CED＝90°，∠B＝2∠EDC．（1）求證：∠FDC＝∠ECF；（2）若CE＝1，求DF的長．6．如圖，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延長線于點E．求證：CE＝BD．7．如圖，在△ABC中，∠CAB＝90°，D是斜邊BC上的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF．（1）若AB＝AC，BE+CF＝4，求四邊形AEDF的面積．（2）求證：BE2+CF2＝EF2．【解答】（1）解：連接AD，如圖1，8．（2023春?南岸區(qū)期末）在∠MAN內(nèi)有一點D，過點D分別作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分別為B，C．且BD＝CD，點E，F(xiàn)分別在邊AM和AN上．（1）如圖1，若∠BED＝∠CFD，請說明DE＝DF；（2）如圖2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的數(shù)量關(guān)系，并說明你的結(jié)論成立的理由．9.（2020秋?澠池縣期末）（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD平分∠BAC，交BC于點D．如果作輔助線DE⊥AB于點E，則可以得到AC、CD、AB三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，交BC于點D．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若不成立，試說明理由；若成立，請證明．10.（百色期末）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）說明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的長．11.（廣州期中）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角的平分線相交于點D．（1）求證：點D到三邊AB、BC、CA所在直線的距離相等；（2）連接AD，若∠BDC＝40°，求∠DAC的度數(shù)．12．（2023秋?雨花區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于點P．（1）求∠APC的度數(shù)；（2）若AE＝3，CD＝4，求線段AC的長．13．（2023秋?南開區(qū)校級期中）如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB分別交x軸、y軸于A（a，0）、B（0，b）兩點，且a，b滿足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常數(shù)．直線BD平分∠OBA，交x軸于D點．（1）若AB的中點為M，連接OM交BD于N，求證：ON＝OD；（2）如圖2，過點A作AE⊥BD，垂足為E，猜想AE與BD間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，在x軸上有一個動點P（在A點的右側(cè)），連接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，連接FA并延長交y軸于G點，當P點在運動時，OG的長是否發(fā)生改變？若改變，請求出它的變化范圍；若不變，求出它的長度．專題01角平分線四大模型在三角形中的應用（能力提升）1．如圖：在四邊形ABCD中，BC＞DA，AD＝DC，BD平分∠ABC，DH⊥BC于H，求證：（1）∠DAB+∠C＝180°（2）BH＝（AB+BC）【解答】證明：（1）過D作DE⊥AB，交BA延長線于E，如圖所示：∵BD平分∠ABC，DH⊥BC，∴DH＝DE，在Rt△ADE和Rt△CDH中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL），∴∠C＝∠DAE，∵∠DAB+∠DAE＝180°，∴∠DAB+∠C＝180°；（2）在Rt△BDE和Rt△BDH中，，∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），∴BE＝BH，∵Rt△ADE≌Rt△CDH，∴AE＝CH，∴AB+BC＝AB+BH+CH＝BE+BH＝2BH，∴BH＝（AB+BC）．2．如圖，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分線與∠CBA的角平分線相交于點P，且D，P，C在同一條直線上．（1）求∠PAD的度數(shù)；（2）求證：P是線段CD的中點．【解答】（1）解：∵AD∥BC，∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，∵∠CPB＝30°，∴∠PBC＝90°﹣∠B＝60°，∵PB平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠PBC＝120°，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°，∵AP平分∠DAB，∴∠PAD＝∠DAB＝30°；（2）證明：過P點作PE⊥AB于E點，如圖，∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，∴PE＝PD，∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，∴PE＝PC，∴PD＝PC，∴P是線段CD的中點．3．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中點，AE平分∠BAD，AE⊥BE．（1）求證：BE平分∠ABC；（2）求證：AD+BC＝AB；（3）若S△ABE＝4，求梯形ABCD的面積．【解答】（1）證明：延長AE交BC的延長線于M，如圖所示：∵AD∥BC，∴∠M＝∠DAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠M，∴AB＝MB，∵AE⊥BE，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC；（2）證明：∵AB＝MB，BE⊥AE，∴AE＝ME，∵E是CD的中點，∴DE＝CE，在△ADE和△MCE中，，∴△ADE≌△MCE（SAS），∴AD＝MC，∴AD+BC＝MC+BC＝MB＝AB；（3）解：∵AB＝MB，AE＝ME，∴△MBE的面積＝△ABE的面積＝4，∴△ABM的面積＝2×4＝8，∵△ADE≌△MCE，∴△ADE的面積＝△MCE的面積，∴梯形ABCD的面積＝△ABM的面積＝8．4．【問題提出】在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD為∠BAC的角平分線，探究線段AB，AC，CD的數(shù)量關(guān)系．【問題解決】如圖1，當∠ACB＝90°，過點D作DE⊥AB，垂足為E，易得AB＝AC+CD；由此，如圖2，當∠ACB≠90°時，猜想線段AB，AC，CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？給出證明．【方法遷移】如圖3，當∠ACB≠90°，AD為△ABC的外角平分線時，探究線段AB，AC，CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不證明．【解答】解：【問題解決】：如圖1中，當∠ACB＝90°時，∵AD為∠BAC的角平分線，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE，∵∠ACB＝2∠B，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∵DE⊥AB，∴DE＝BE，在△AED和△ACD中，，∴△AED≌△ACD（AAS），∴AE＝AC，∴AB＝AE+BE＝AC+CD；當∠ACB≠90°時，結(jié)論：AB＝CD+AC，理由：如圖2，在AB上截取AG＝AC，連接DG，∵AD為∠BAC的平分線，∴∠GAD＝∠CAD，在△ADG和△ADC中，，∴△ADG≌△ADC（SAS），∴CD＝DG，∠AGD＝∠ACB，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AGD＝2∠B，∵∠AGD＝∠B+∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BG＝DG＝DC∴AB＝BG+AG＝CD+AC；【方法遷移】結(jié)論：AB＝CD﹣AC，理由：如圖3．在AF上截取AH＝AC，連接DH，∵AD為∠FAC的平分線，∴∠HAD＝∠CAD，在△ADH和△ACD中，，∴△ADH≌△ACD（SAS），∴CD＝HD，∠AHD＝∠ACD，即∠ACB＝∠FHD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠FHD＝2∠B，∵∠FHD＝∠B+∠HDB，∴∠B＝∠HDB，∴BH＝DH＝DC，∴AB＝BH﹣AH＝CD﹣AC．5．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D在BC上，點E與點A在BC的同側(cè)，且∠CED＝90°，∠B＝2∠EDC．（1）求證：∠FDC＝∠ECF；（2）若CE＝1，求DF的長．【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC為等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠B＝2∠EDC，∴∠FDC＝45°×＝22.5°，∵∠CED＝90°，∴∠∠DCE＝90°﹣∠FDC＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠FDC＝∠ECF；（2）如圖，延長CE到G，使EG＝CE，連接DG交AC于H，∵∠CED＝90°，∴∠GED＝90°，∴∠CED＝∠GED，在△GED和△CED中，，∴△GED≌△CED（SAS），∴GFDE＝∠CDE，∵∠DFH＝∠CFE，∴∠DHF＝∠CEF＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠HDC＝45°，∴∠HDC＝∠HCD，∴DH＝CH，在△DHF和△CHG中，，∴△DHF≌△CHG（ASA），∴DF＝CG，∵EG＝CE，∴CG＝2CE，∴DF＝2CE，∵CE＝1，∴DF＝2．6．如圖，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延長線于點E．求證：CE＝BD．【解答】證明：如圖，延長CE，BA交于點F．∵CE⊥BD，∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAF＝∠BEC＝90°．又∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ABD＝∠ACF．在△ABD與△ACF中，∴△ABD≌△ACF（ASA）．∴BD＝CF．∵BD平分∠ABC，∴∠CBE＝∠FBE．在△BCE與△BFE中，∴△BCE≌△BFE（ASA）．∴CE＝FE，即CE＝CF．∴CE＝BD．7．如圖，在△ABC中，∠CAB＝90°，D是斜邊BC上的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF．（1）若AB＝AC，BE+CF＝4，求四邊形AEDF的面積．（2）求證：BE2+CF2＝EF2．【解答】（1）解：連接AD，如圖1，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊的中線，∴∠DAC＝∠BAD＝∠C＝45°，AD⊥BC，AD＝DC，又∵DE⊥DF，AD⊥DC，∴∠EDA+∠ADF＝∠CDF+∠FDA＝90°，∴∠EDA＝∠CDF，在△AED與△CFD中，，∴△AED≌△CFD（ASA）．∴AE＝CF，∵BE+CF＝4，∴AB＝BE+AE＝4．所以S四邊形AFDE＝S△AFD+S△AED＝S△AFD+S△CFD＝S△ADC＝S△ABC＝×AB2＝×42＝4．（2）證明：延長ED至點G，使得DG＝DE，連接FG，CG，如圖2，∵DE＝DG，DF⊥DE，∴DF垂直平分DE，∴EF＝FG，∵D是BC中點，∴BD＝CD，在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（SAS），∴BE＝CG，∠DCG＝∠DBE，∵∠ACB+∠DBE＝90°，∴∠ACB+∠DCG＝90°，即∠FCG＝90°，∵CG2+CF2＝FG2，∴BE2+CF2＝EF2．8．（2023春?南岸區(qū)期末）在∠MAN內(nèi)有一點D，過點D分別作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分別為B，C．且BD＝CD，點E，F(xiàn)分別在邊AM和AN上．（1）如圖1，若∠BED＝∠CFD，請說明DE＝DF；（2）如圖2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的數(shù)量關(guān)系，并說明你的結(jié)論成立的理由．【答案】（1）略（2）略【解答】解：（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，∴∠DBE＝∠DCF＝90°，在△BDE和△CDF中，∵∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴DE＝DF；（2）EF＝FC+BE，理由：過點D作∠CDG＝∠BDE，交AN于點G，在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（ASA），∴DE＝DG，BE＝CG．∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠BDE+∠CDF＝60°．∴∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝60°，∴∠EDF＝∠GDF．在△EDF和△GDF中，，∴△EDF≌△GDF（SAS）．∴EF＝GF，∴EF＝FC+CG＝FC+BE．9.（2020秋?澠池縣期末）（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD平分∠BAC，交BC于點D．如果作輔助線DE⊥AB于點E，則可以得到AC、CD、AB三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，交BC于點D．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若不成立，試說明理由；若成立，請證明．【答案】（1）AB＝AC+CD（2）略【解答】解：（1）如圖1，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，在△CAD和△EAD中，∴△CAD≌△EAD（AAS），∴CD＝DE，AC＝AE，∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，∴DE＝EB，∴DC＝BE，∴AE+BE＝AC+DC＝AB；故答案為：AB＝AC+CD．（2）成立．證明：如圖2，在AB上截取AE＝AC，連接DE．∵在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD＝ED，∠C＝∠AED，又∵∠C＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，又∵∠AED＝∠B+∠EDB，∴2∠B＝∠B+∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴ED＝EB∵AB＝AE+EB，ED＝EB＝CD，AE＝AC，∴AB＝AC+CD．10.（百色期末）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）說明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的長．【答案】（1）略（2）BE＝1，AE＝4．【解答】（1）證明：連接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED與Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，設BE＝x，則CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．11.（廣州期中）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角的平分線相交于點D．（1）求證：點D到三邊AB、BC、CA所在直線的距離相等；（2）連接AD，若∠BDC＝40°，求∠DAC的度數(shù)．【答案】（1）略（2）∠DAC＝50°【解答】（1）證明：如圖，過點D作三邊AB、BC、CA所在直線的垂線，垂足分別是Q、M、N．則垂線段DQ、DM、DN，即為D點到三邊AB、BC、CA所在直線的距離．∵D是∠ABC的平分線BD上的一點，∴DM＝DQ．∵D是∠ACM的平分線CD上的一點，∴DM＝DN．∴DQ＝DM＝DN．∴D點到三邊AB、BC、CA所在直線的距離相等．（2）解：連接AD，∵∠DCG是△BCD的外角，∴∠DCG＝∠DBC+∠BDC，∵∠ACG△ABC的外角∴∠ACG＝∠ABC+∠BAC，∴2∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝40°，∴∠BAC＝80°，∠EAC＝100°，由（1）可得DQ＝DN，∴AD平分∠EAC，∴∠DAC＝EAC＝50°．12．（2023秋?雨花區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于點P．（1）求∠APC的度數(shù)；（2）若AE＝3，CD＝4，求線段AC的長．【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，∴∠BAC+∠BCA＝120°，∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∴∠PAC+∠PCA＝（∠BAC+∠BCA）＝60°，∴∠APC＝120°．（2）如圖，在AC上截取AF＝AE，連接PF，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△APE和△APF中，，∴△APE≌△APF（SAS），∴∠APE＝∠APF，∵∠APC＝120°，∴∠APE＝60°，∴∠APF＝∠CPD＝60°＝∠CPF，∵CE平分∠ACB，∴∠ACP＝∠BCP，在△CPF和△CPD中，，∴△CPF≌△CPD（ASA），∴CF＝CD，∴AC＝AF+CF＝AE+CD＝3+4＝7．13．（2023秋?南開區(qū)校級期中）如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB分別交x軸、y軸于A（a，0）、B（0，b）兩點，且a，b滿足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常數(shù)．直線BD平分∠OBA，交x軸于D點．（1）若AB的中點為M，連接OM交BD于N，求證：ON＝OD；（2）如圖2，過點A作AE⊥BD，垂足為E，猜想AE與BD間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，在x軸上有一個動點P（在A點的右側(cè)），連接PB，