2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)習(xí)題：第九章第8節(jié)　微課3　最值、范圍問題

微課3最值、范圍問題

嶺題型分類突破一

題型一最值問題

【例1】(2021?齊齊哈爾一模)已知橢圓八a+g=l(α>6>0)的左、右焦點分別為F∣,F2.

短軸的兩個頂點與Q,尸2構(gòu)成面積為2的正方形，

(1)求「的方程；

(2)如圖所示，過右焦點尸2的直線交橢圓「于4,8兩點，連接Ao并延長，交〃于點C,

求AABC面積的最大值.

解(1)因為橢圓C的短軸的兩個頂點與Q,3構(gòu)成面積為2的正方形,

所以6=c,SiE=層=2,貝Uα=<5,b—c—1,

故橢圓廠的方程為zf+y2=l?

(2)①當(dāng)直線A8的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=A(x—1),

聯(lián)立(r2消去y整理得(1+2fc2)x2-4A?+2∕-2=0,

4422&2—2

設(shè)A(X1,yι),5(X2,>2),則X1+X2=]+2代'X[X2=~l+2k29

2

所以?AB?=y∣1+^???∕(ΛJ+X2)2~4X↑X2

5√≡z?當(dāng)翳,

點O到直線kx—y—k—Q的距離d=

因為。是線段AC的中點，所以點C到直線AB的距離為2d=-y羋

√l+?2

所以2?ABC面積S=^?AB?-2d

12√2(1÷^)2∣?∣__r-F(l+?2)

-2X1+2^×√TTP-N2'(1+2F)2

1-4(2R+l)2<啦，

②當(dāng)直線AB的斜率不存在時，不妨取A(1,孝《1,一坐)，c(-l,一孝)，

故aABC面積S=∣×2×√2-√2,

綜上，BC面積的最大值為√Σ

感悟升華圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：-

是幾何方法，即通過利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進行求

解；二是代數(shù)方法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個(些)變量的函數(shù)(解析

式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解.

2

【訓(xùn)練1】(2020.浙江卷)如圖，已知橢圓Ci：y+j=l,拋物線C2：y2=2pφ7>0),點A

是橢圓Ci與拋物線C2的交點，過點A的直線I交橢圓G于點B,交拋物線C2于點M(B,

M不同于A).

(1)若P=七，求拋物線C2的焦點坐標(biāo)；

(2)若存在不過原點的直線/使M為線段AB的中點，求P的最大值.

解⑴由/?=￡,得拋物線C2的焦點坐標(biāo)是(專，。)

(2)由題意可設(shè)直線/：x-my+t(m≠0,r≠0),,?A(xo,yo).

將直線/的方程代入橢圓C∣:f+j2=l,得

222

(m+2)y+2mty+t-2=0i

所以點M的縱坐標(biāo)加=一溪?.

將直線/的方程代入拋物線C2:y2=2px,得y2-2pnzy-2Pf=0,

所以>w=-2小，解得火=2叫+2),

EH2p(∕n2+2)2

因此XO=工?~2?.

由5+M=1，得3=4"+^)2+2(加+力2160,

當(dāng)且僅當(dāng)《7=也，時，P取到最大值

題型二范圍問題

【例2】已知橢圓C：興+樂=Im>〃>。)的離心率e=坐，直線x+小廠I=O被以橢圓C

的短軸為直徑的圓截得的弦長為小.

(1)求橢圓C的方程；

⑵過點M(4,0)的直線/交橢圓于A,B兩個不同的點，且7=∣MAHM用，求2的取值范圍.

解⑴原點到直線x+√5y—1=O的距離為3，

由題得?2+停∣2=b2S>0),解得S=L

抉3

又02=/=]一/=不得α=2.

所以橢圓C的方程為Y+V=ι.

(2)當(dāng)直線/的斜率為。時，λ=?MA?-?MB?=?2.

當(dāng)直線/的斜率不為O時，設(shè)直線/：X=四，+4,點A(XI,%),8(X2,J2),

X=Any+4,

聯(lián)立<e+2_]消去X得(加2+4))2+8/Hy+12=0.

由J=6W-48(W2+4)>0,得w2>12,

12

所以YM=而Z

22

λ=?MA?-?MB?=√∕n+l6∣?√∕n+l?y2?

=(而+l)yy2∣=??u=12。一品).

3339

由機2>12，得°<謫7<玄，所以T<2<12.

綜上可得：y<Λ≤12,即A∈傳，12.

感悟升華解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個方面

(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量

關(guān)系；

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的

取值范圍.

【訓(xùn)練2】(2021.齊魯名校聯(lián)合測試)已知橢圓E：點+g=im>%>O)的焦距為2,左、右焦

點分別為E，F(xiàn)2.過點R的直線/(不與X軸重合)交橢圓于A,B兩點.

(1)若點A恰好為橢圓的上頂點，且H8∣=∣∣Q8∣,求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵若點A關(guān)于點F2的對稱點為點C,且點C恰好在橢圓上，求點β的橫坐標(biāo)的取值范圍.

解(D由題意得，F(xiàn)∣(-l,0),A(0,b),設(shè)B(X0,州)，

5—3—3

由IABI=習(xí)Fι8∣可得AFl=受了出,于是得(一1,T)=g(?Xo+l,yo),

33

—1=y0+2>xo=~y

所以”得

yo=—1?.

—?=25,o,

254b2

因為點B在橢圓上，所以券+券=1，

得4=5,所以拄=5—1=4,

故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為弓+?=1.

(2)由題意及橢圓的對稱性，得AC為橢圓的通徑.

不妨設(shè)點A(l,yι)(yι>O),點B(XB,yβ),

將點A的坐標(biāo)代入，+:=1,得/+%=1,得力=，

b2

^--0,,

ab2

于是直線/的斜率為

1-(-1)2a,

?2

直線/的方程為y=五(x+l).

1)，

聯(lián)立方程消去y,整理得

(a2+3)x2+2(<72-1)X-3a2-1=0,

3α2+l

由根與系數(shù)的關(guān)系，得1?XB

次+3'

3α2+l

于是，Xn

a2+3-

,,,3f+1,8

設(shè)n則r1XB=-DM^=-3+}∣M,

8

令財=-3+不，

O

則yω在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)介1時，物=-3+用的取值范圍為(-3,-1),

即點B的橫坐標(biāo)的取值范圍是(-3,-1).

核心素養(yǎng)/，，設(shè)而不求，整體代換”解圓錐曲線問題

數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程.主要包括：理

解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果

等.

[典例】(2020?湖北部分重點中學(xué)聯(lián)考)已知拋物線C：y2=2px(p>0),點F為拋物線C的

焦點，點4(1,%)(,77>O)在拋物線C上，且IaII=2,過點尸作斜率為AeW&W2)的直線/與

拋物線C交于P,Q兩點.

(1)求拋物線C的方程；

(2)求AAPQ面積的取值范圍.

解(1)由拋物線的定義可得

?FA?=XA+2=?+Q=2,所以p=2,

所以拋物線的方程為y2=4x?

、Iy=A(X—1),

(2)設(shè)直線/的方程為y=&(x-1),P(X]9γι),。(必問，聯(lián)立彳得公爐―Q&

[y2=4x

4)x+R=0,

/>0恒成立，

2壯+4

由根與系數(shù)的關(guān)系得X1+x2=-F-'XIX2=1,

因為AFLX軸，則S?APρ=∣×∣Λ∕η×hrl-χ2∣

=IXI—X2∣=7(X1+12)2-4尤1X2

=48/護=4#7需，因為吳Z2,令尸白

所以SAAPQ=4?√,+GWrW4),

所以小WS△人尸e≤8√5,

所以尸Q的面積的取值范圍為[小，8√5J.

素養(yǎng)升華本例的解題過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，其中設(shè)出P,Q點的坐標(biāo)而不求解又體現(xiàn)

了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)中的一個運算技巧——設(shè)而不求，從而簡化了運算過程.

慘題型跟蹤訓(xùn)練一

1.(2020?新高考海南卷)已知橢圓C：a+g=13>b>°)過點欣2,3),點A為其左頂點，且

AM的斜率為;.

(1)求C的方程;

(2)點N為橢圓上任意一點，求AAMN的面積的最大值.

解(1)由題意可知直線AM的方程為y-3=∕χ-2),即萬一2)，=-4.當(dāng)y=0時，解得X=

-4,

22

所以Q=4.由橢圓C：a+方=l(α>b>0)過點M(2,3),

49

可得而+W=I，解得加=12.

所以C的方程為??+S=ι.

IoIZ

(2)設(shè)與直線AM平行的直線方程為χ-2y-m(m≠-4-).

如圖所示，當(dāng)直線與橢圓相切時，與AM距離比較遠的直線與橢圓的切點為N,此時aAMN

的面積取得最大值.

聯(lián)立直線方程χ-2y=∕n與橢圓方程喘+*1,

可得3(∕n+2y)2+4y2=48,

化簡可得16γ2÷12∕ny+3∕π2-48=0,

所以∕=144m2-4X16(3m2-48)=0,

即加2=64,解得nz=÷8,

與AM距離比較遠的直線方程為無一2》=8,

點N與直線AM的距離即兩平行線之間的距離，

即八翼±=笠與

√l+45

由兩點之間距離公式可得IAM=√(2+4)2+32=3√5.

所以AAMN的面積的最大值為^X3/義總因=18.

2.(2020?惠州三調(diào))已知橢圓a+g=l(a>6>0)過點p(l,且左焦點與拋物線V=一軟的

焦點重合.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/：y=fcv+故GlWo)與橢圓交于不同的兩點M,N,線段M