華大聯(lián)盟高三下學(xué)期3月聯(lián)考試題（全國乙卷）數(shù)學(xué)（理）

絕密★啟用前（全國卷）理科數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，若的子集有4個(gè)，則的值為（）A.3B.1C.2D.32.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A.B.C.D.3.已知點(diǎn)為平面內(nèi)不同的四點(diǎn)，若，且，則（）A.B.C.D.4.近幾年隨著技術(shù)的發(fā)展，虛擬人的智能化水平得到極大的提升，虛擬主播逐步走向商用，如圖為2014~2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)（較上一年增加的數(shù)量）條形圖，根據(jù)該圖，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.2014~2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊數(shù)量逐年增加B.2014~2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的中位數(shù)為410C.2014~2022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的極差為915D.從圖中9年企業(yè)注冊增加數(shù)字中任取2個(gè)數(shù)字，這兩個(gè)數(shù)字的平均數(shù)大于110的概率為5.如圖，網(wǎng)格紙中小正方形的邊長為，粗線畫出的是某體育比賽領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)三視圖，則該領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)除去下底面的所有面的面積之和為（）A.B.C.D.6.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的取值范圍是（）A.B.C.D.7.中，則的面積為（）A.B.C.D.8.若存在過原點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象切于軸右側(cè)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.9.知名數(shù)學(xué)教育家單墫曾為中學(xué)生寫了一個(gè)小冊子《十個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題》，其中提到了開普勒的最密的將球裝箱的方法：考慮一個(gè)棱長為2的正方體，分別以該正方體的8個(gè)頂點(diǎn)及6個(gè)面的中心為球心作半徑為的球，則這些球在正方體內(nèi)的體積之和與正方體的體積之比為（）A.B.C.D.10.已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)在上，，若，則的長軸長為（）A.B.3C.D.611.已知，則（）A.B.C.D.12.已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為是的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)是的內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心），在軸上的射影為，記直線的斜率分別為，且，則的離心率為（）A.2B.8C.D.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中的系數(shù)為__________.14.函數(shù)是偶函數(shù)，則__________.15.平面幾何中有一個(gè)著名的塞爾瓦定理：三角形任意一個(gè)頂點(diǎn)到其垂心（三角形三條高的交點(diǎn)）的距離等于外心（外接圓圓心）到該頂點(diǎn)對邊距離的2倍.若點(diǎn)都在圓上，直線方程為，且的垂心在內(nèi)，點(diǎn)在線段上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________.16.已知，給出下列命題：①的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；②的值域?yàn)椋虎墼趨^(qū)間上有33個(gè)零點(diǎn)；④若方程在區(qū)間有4個(gè)不同的解，其中，則的收值范圍是.其中所有正確命題的序號(hào)為__________.（少選?錯(cuò)選都不給分）三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且成等比數(shù)列.（1）求；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.18.（12分）如圖，在三棱錐中，，其余各棱的長均為6，點(diǎn)在棱上，，過點(diǎn)的平面與直線垂直，且與分別交于點(diǎn).（1）確定的位置，并證明你的結(jié)論；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19.（12分）某高中數(shù)學(xué)興趣小組，在學(xué)習(xí)了統(tǒng)計(jì)案例后，準(zhǔn)備利用所學(xué)知識(shí)研究成年男性的臂長與身高之間的關(guān)系，為此他們隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了5名成年男性的身高與臂長，得到如下數(shù)據(jù)：1591651701761806771737678（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（2）建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；（3）從5名樣本成年男性中任取2人，記這2人臂長差的絕對值為，求.參考數(shù)據(jù)：參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.20.（12分）已知傾斜角為的直線與拋物線只有1個(gè)公共點(diǎn)的焦點(diǎn)為，直線的傾斜角為.（1）求證：；（2）若，直線與直線交于點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，求證：.21.（12分）已知函數(shù).（1）若的導(dǎo)數(shù)分別為，且，求的取值范圍；（2）用表示中的最小值，設(shè)，若，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù).（二）選考題：共10分.請考生在第22?23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線與交于點(diǎn)，求的周長.23.選修45：不等式選講已知.（1）若，求的最小值；（2）若，證明：.絕密★啟用前（全國卷）理科數(shù)學(xué)參考答案1.【答案】C【解析】因?yàn)椋业淖蛹?個(gè)，則中有2個(gè)元素，且這兩個(gè)元素為2，3，所以，故選C.2.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，所以在?fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選A.3.【答案】D【解析】由得，即，又，所以，故選D.4.【答案】B【解析】由每年增加數(shù)均為正數(shù)，可得A正確；20142022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的中位數(shù)為121，B錯(cuò)誤；20142022年中國虛擬主播企業(yè)注冊年增加數(shù)的極差為94833=915，C正確；當(dāng)且僅當(dāng)從33，48，76，84，121中任取兩個(gè)數(shù)字，其平均數(shù)不大于110，所以所求概率為正確，故選B.5.【答案】B【解析】解法一：該領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)可看作由3個(gè)長方體構(gòu)成的組合體，每個(gè)長方體的底面都是邊長為的正方形，冠軍臺(tái)高，亞軍臺(tái)高，季軍臺(tái)高，該領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)除去下底面的所有面的面積之和為3個(gè)長方體的表面積之和減去3個(gè)邊長為的正方形面積，減去2個(gè)底邊長為高為的矩形面積，減去2個(gè)底邊長為高為的矩形面積，即，故選B.解法二：該領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)可看作由3個(gè)長方體構(gòu)成的組合體，每個(gè)長方體的底面都是邊長為的正方形，冠軍臺(tái)高，亞軍臺(tái)高，季軍臺(tái)高，前后兩個(gè)面的面積之和為，上面3個(gè)面的面積之和為，左右4個(gè)側(cè)面的面積之和為，所以該組合體除去下底面的所有面的面積之和為，故選B.6.【答案】C【解析】如圖所示，不等式組表示的可行域是以為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，設(shè)，則，作直線，把該直線平移到點(diǎn)處取得最大值，，平移到點(diǎn)處取得最小值，，所以的取值范圍是，故選C.7.【答案】B【解析】因?yàn)?，由余弦定理得，所以，所以的面積為，故選B.8.【答案】D【解析】因?yàn)?，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，即，整理得，所以，故選D.9.【答案】D【解析】以8個(gè)頂點(diǎn)為球心的球各有在正方體內(nèi)，以6個(gè)面的中心為球心的球各有在正方體內(nèi)，所以這些球在正方體的體積之和為4個(gè)半徑為的球的體積之和，所以這些球在正方體內(nèi)的體積之和與正方體的體積之比為，故選D.10.【答案】C【解析】設(shè)，由得，由可得，所以，所以，所以的長軸長為，故選C.11.【答案】A【解析】設(shè)，則在上單調(diào)遞減，所以，所以，，所以，故選A.12.【答案】A【解析】設(shè)圓與分別切于點(diǎn)，則，且，所以，點(diǎn)，設(shè)，則，所以，所以，，故選A.13.【答案】1【解析】的展開式中的系數(shù)為.14.【答案】【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，所以.15.【答案】【解析】由的垂心到直線距離，設(shè)圓半徑為，由塞爾瓦定理可得，由圓的幾何性質(zhì)可得，聯(lián)立解得，因?yàn)橹本€方程為，所以直線方程為，設(shè)，則到直線距離，解得（舍去）或，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16.【答案】①④（少選?錯(cuò)選都不給分）【解析】由，可得①正確；由得，當(dāng)，②正確；，令得或，，所以在上有31個(gè)零點(diǎn)，③錯(cuò)誤；是以為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)在上有2個(gè)實(shí)根，且；當(dāng)時(shí)在上沒有實(shí)根，在上有2個(gè)實(shí)根，且，，所以，所以的取值范圍是，④正確，所以正確命題的序號(hào)為①②④.17.【解析】（1）由得，所以，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，把代入上式得，解得或，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，所以（2）因?yàn)椋?dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.18.【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，由已知可得，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，過作的平行線與的交點(diǎn)即為，過作的平行線與的交點(diǎn)即為，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，平面與直線垂直.（2）由題意可得，因?yàn)?，所以，以為原點(diǎn)，直線分別為軸，軸，過點(diǎn)與平面垂直的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，得，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.【解析】（1）由表中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得，，，.因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為0.997，說明與的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（2）由及（1）得，，所以關(guān)于的回歸方程為（說明：根據(jù)，得出.正確，）（3）的取值依次為，，，所以20.【解析】（1）方法1：設(shè)，則的方程為，與聯(lián)立得，因?yàn)橹本€與拋物線只有1個(gè)公共點(diǎn)，所以，整理得，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，所以方?：易知點(diǎn)在第一象限，且直線與相切于點(diǎn)，由，得，所以的方程為，設(shè)與交于點(diǎn)，則，所以由拋物線的幾何性質(zhì)可知，故（2）時(shí)，的方程為，把代入得的方程為，把代入得，所以，由（1）知，，設(shè)，設(shè)直線方程為，與聯(lián)立得，是該方程的兩個(gè)根，所以，所以，所以，所以21.【解析】（1）因?yàn)?，所以，由得，因?yàn)?，所以，所以問題轉(zhuǎn)化為時(shí)恒成立，即時(shí)恒成立，設(shè)，則時(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍是.（2）因?yàn)?，設(shè)，則，（i）若，時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)單調(diào)遞減，所以，所以時(shí)，沒有零點(diǎn)，（ii）若，由（1）知在上單調(diào)遞增，且，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，存在唯一使得，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，且，所以存在唯一使得，綜上，時(shí)沒有零點(diǎn)