完全隨機設(shè)計的方差分析

關(guān)于完全隨機設(shè)計的方差分析第九章方差分析一、

完全隨機設(shè)計資料的方差分析二、

隨機區(qū)組設(shè)計資料的方差分析三、

析因設(shè)計資料的方差分析四、重復(fù)測量資料的方差分析五、多個樣本均數(shù)的兩兩比較六、方差分析前提條件和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換

第2頁,共80頁，2024年2月25日，星期天（一）掌握內(nèi)容1．方差分析基本思想（1）多組計量資料總變異的分解，組間變異和組內(nèi)變異的概念。（2）多組均數(shù)比較的檢驗假設(shè)與F值的意義。（3）方差分析的應(yīng)用條件。2．常見實驗設(shè)計資料的方差分析（1）完全隨機設(shè)計的單因素方差分析：適用的資料類型、總變異分解（包括自由度的分解）、方差分析的計算、方差分析表。（2）隨機區(qū)組設(shè)計資料的兩因素方差分析：適用的資料類型、總變異分解（包括自由度的分解）、方差分析的計算、方差分析表。（3）多個樣本均數(shù)間的多重比較方法：LSD-t檢驗法；Dunnett-t檢驗法；SNK-q檢驗法。（二）熟悉內(nèi)容多組資料的方差齊性檢驗、變量變換方法。（三）了解內(nèi)容兩因素析因設(shè)計方差分析、重復(fù)測量設(shè)計資料的方差分析。教學(xué)大綱要求:第3頁,共80頁，2024年2月25日，星期天第九章第一節(jié)完全隨機設(shè)計資料的方差分析方差分析一、方差分析的基本思想二、完全隨機設(shè)計資料的方差分析的基本步驟三、小結(jié)第4頁,共80頁，2024年2月25日，星期天思考幾個問題在前面的章節(jié)已經(jīng)學(xué)過t檢驗,他們的適用于何種資料類型,應(yīng)用條件是什么?t檢驗解決了兩樣本均數(shù)比較的問題,當出現(xiàn)多組比較的情況怎么辦?多組比較時能否直接用兩兩比較的t檢驗得出結(jié)論?第5頁,共80頁，2024年2月25日，星期天例某醫(yī)生為研究一種四類降糖新藥的療效，以統(tǒng)一的納入標準和排除標準選擇了60名2型糖尿病患者，按完全隨機設(shè)計方案將患者分為三組進行雙盲臨床試驗。其中，降糖新藥高劑量組21人、低劑量組19人、對照組20人。對照組服用公認的降糖藥物，治療4周后測得其餐后2小時血糖下降值，結(jié)果如表所示。問治療4周后，餐后2小時血糖下降值的三組總體平均水平是否不同？第6頁,共80頁，2024年2月25日，星期天第7頁,共80頁，2024年2月25日，星期天問題

上面問題能否用前面所學(xué)兩樣本的t檢驗進行兩兩比較（即分別作3次兩樣本的t檢驗）而得出結(jié)論呢？有人說，我們可以把多組數(shù)據(jù)化成n個兩組數(shù)據(jù)（化整為零），用n次t檢驗來完成這個多組數(shù)據(jù)差異顯著性的判斷。到底這種方法行不行？第8頁,共80頁，2024年2月25日，星期天對多個處理進行平均數(shù)差異顯著性檢驗時，采用t檢驗法的缺點：1.檢驗過程煩瑣。試驗包含４個處理t檢驗：C42

＝6次缺點第9頁,共80頁，2024年2月25日，星期天缺點2.無統(tǒng)一的試驗誤差，誤差估計的精確性和檢驗的靈敏性低。t檢驗：C42

＝6次需計算6個標準誤誤差估計不統(tǒng)一誤差估計精確性降低第10頁,共80頁，2024年2月25日，星期天缺點3.推斷的可靠性低，檢驗時犯α錯誤概率大。t檢驗：C42

＝6次H0的概率：1-α＝0.956次檢驗相互獨立6次都接受的概率(0.95)6＝0.735犯α錯誤的概率＝1-0.735＝0.265犯α錯誤的概率明顯增加例如我們用t檢驗的方法檢驗4個樣本平均數(shù)之間的差異顯著性α=0.05第11頁,共80頁，2024年2月25日，星期天第12頁,共80頁，2024年2月25日，星期天

t檢驗可以判斷兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)間的差異顯著性，而方差分析既可以判斷兩組又可以判斷多組數(shù)據(jù)平均數(shù)之間的差異顯著性。方差—隨機變量離散的重要衡量方法離均差平方和總體方差樣本方差第13頁,共80頁，2024年2月25日，星期天試驗指標（experimentalindex）：

為衡量試驗結(jié)果的好壞和處理效應(yīng)的高低，在實驗中具體測定的性狀或觀測的項目稱為試驗指標。常用的試驗指標有：身高、體重、日增重、酶活性、DNA含量等等。試驗因素（experimentalfactor）：

試驗中所研究的影響試驗指標的因素叫試驗因素。當試驗中考察的因素只有一個時，稱為單因素試驗；若同時研究兩個或兩個以上因素對試驗指標的影響時，則稱為兩因素或多因素試驗。第14頁,共80頁，2024年2月25日，星期天因素水平（leveloffactor）:

試驗因素所處的某種特定狀態(tài)或數(shù)量等級稱為因素水平，簡稱水平。如研究3個品種奶牛產(chǎn)奶量的高低，這3個品種就是奶牛品種這個試驗因素的3個水平。試驗處理（treatment）:

事先設(shè)計好的實施在實驗單位上的具體項目就叫試驗處理。如進行飼料的比較試驗時，實施在試驗單位上的具體項目就是具體飼喂哪一種飼料。第15頁,共80頁，2024年2月25日，星期天試驗單位（experimentalunit）:在實驗中能接受不同試驗處理的獨立的試驗載體叫試驗單位。一只小白鼠，一條魚，一定面積的小麥等都可以作為實驗單位。重復(fù)（repetition）:在實驗中，將一個處理實施在兩個或兩個以上的試驗單位上，稱為處理有重復(fù)；一處理實施的試驗單位數(shù)稱為處理的重復(fù)數(shù)。例如，用某種飼料喂4頭豬，就說這個處理（飼料）有4個重復(fù)。第16頁,共80頁，2024年2月25日，星期天因素（因子）——可以控制的試驗條件因素的水平——因素所處的狀態(tài)或等級單（雙）因素方差分析——討論一個（兩個）因素對試驗結(jié)果有沒有顯著影響。第17頁,共80頁，2024年2月25日，星期天處理因素為單個時,稱為單因素。

每個因素在數(shù)量上或強度上可有不同，這種數(shù)量或強度上的不同就稱為水平。依照研究因素與水平的不同，可產(chǎn)生四類實驗：1.單因素單水平2.單因素多水平4.多因素多水平3.多因素單水平如研究某藥對原發(fā)性高血壓患者的降壓作用如研究某藥不同劑量的降血糖作用。如比較不同藥物或不同療法對某病的治療效果。如某腫瘤的聯(lián)合化療方案。第18頁,共80頁，2024年2月25日，星期天隨機變量是對隨機事件的數(shù)學(xué)描述而一個隨機變量的分布特征我們用什么方法描述呢？數(shù)學(xué)期望：E（X）—μ—分布的中心位置

方差：V（X）—σ2—分布的離散程度隨機變量的數(shù)字特征方差—隨機變量離散的重要衡量方法離均差平方和總體方差樣本方差第19頁,共80頁，2024年2月25日，星期天

方差分析就是將全部觀察值的變異（總變異）按設(shè)計和需要分解成兩個或多個組成部分，再進行變異來源和大小的分析。

方差分析：比較2個或2個以上的總體均值是否有顯著性差異。用組間的方差與組內(nèi)方差相比，據(jù)以判別誤差主要源于組間的方差（不同組工人的產(chǎn)量，條件誤差），還是源于組內(nèi)方差（隨機誤差）。第九章方差分析第20頁,共80頁，2024年2月25日，星期天方差分析的基本思想：根據(jù)資料設(shè)計的類型及研究目的，可將總變異分解為兩個或多個部分，每個部分的變異可由某因素的作用來解釋。通過比較可能由某因素所至的變異與隨機誤差，即可了解該因素對測定結(jié)果有無影響。

用公式概括為：總變異=組間變異+組內(nèi)變異各因素引起由個體差異引起（誤差）一、方差分析的基本思想第一節(jié)完全隨機設(shè)計資料的方差分析

變異度的大小可以用標準差或方差來衡量，此處既然是方差分析就用方差來衡量。只不過將方差的分子離均差平方和及分母自由度ν分開，分別考慮。第21頁,共80頁，2024年2月25日，星期天第22頁,共80頁，2024年2月25日，星期天方差分析(Analysisofvariance，ANOVA)

又叫變量分析，是英國著名統(tǒng)計學(xué)家R.A.Fisher于20世紀提出的。它是用以檢驗兩個或多個均數(shù)間差異的假設(shè)檢驗方法。它是一類特定情況下的統(tǒng)計假設(shè)檢驗，或者說是平均數(shù)差異顯著性檢驗的一種引伸。為紀念Fisher，以F命名，故方差分析又稱F檢驗。方差分析的定義第23頁,共80頁，2024年2月25日，星期天方差分析的基本功能對多組樣本平均數(shù)差異的顯著性進行檢驗第24頁,共80頁，2024年2月25日，星期天不受比較組數(shù)的限制，可比較多組均數(shù)可同時分析多個因素的作用可分析因素間的交互作用二、方差分析的優(yōu)點第25頁,共80頁，2024年2月25日，星期天獨立性：各樣本是相互獨立隨機的樣本正態(tài)性：各樣本都來自正態(tài)總體方差齊性：各樣本的總體方差相等三、方差分析的應(yīng)用條件第26頁,共80頁，2024年2月25日，星期天①進行兩個或兩個以上樣本均數(shù)的比較；②可以同時分析一個、兩個或多個因素對試驗結(jié)果的作用和影響；③分析多個因素的獨立作用及多個因素之間的交互作用；④進行兩個或多個樣本的方差齊性檢驗等。方差分析對分析數(shù)據(jù)的要求及條件比較嚴格，即要求各樣本為隨機樣本，各樣本來自正態(tài)總體，各樣本所代表的總體方差齊性或相等。四、方差分析的主要用途第27頁,共80頁，2024年2月25日，星期天

1.單因素方差分析（one-wayANOVA）也稱為完全隨機設(shè)計(completelyrandomdesign)的方差分析。該設(shè)計只能分析一個因素下多個水平對試驗結(jié)果的影響。

2.雙因素方差分析（two-wayANOVA）稱為隨機區(qū)組設(shè)計（randomizedblockdesign）的方差分析。該設(shè)計可以分析兩個因素。一個為處理因素，也稱為列因素；一個為區(qū)組因素，也稱為行因素。四、方差分析的類型第28頁,共80頁，2024年2月25日，星期天3.三因素方差分析也稱為拉丁方設(shè)計（Latinsquaredesign）的方差分析。該設(shè)計特點是，可以同時分析三個因素對試驗結(jié)果的作用，且三個因素之間相互獨立，不能有交互作用。4.析因設(shè)計（factorialdesign）的方差分析當兩個因素或多個因素之間存在相互影響或交互作用時，可用該設(shè)計來進行分析。該設(shè)計不僅可以分析多個因素的獨立作用，也可以分析多個因素間的交互作用，是一種高效率的方差分析方法。5.正交試驗設(shè)計的方差分析如果要分析的因素有三個或三個以上，可進行正交試驗設(shè)計（orthogonalexperimentaldesign）的方差分析。當分析因素較多時，試驗次數(shù)會急劇增加，用此設(shè)計進行分析則更能體現(xiàn)出其優(yōu)越性。該設(shè)計利用正交表來安排各次試驗，以最少的試驗次數(shù)，得到更多的分析結(jié)果。第29頁,共80頁，2024年2月25日，星期天

完全隨機設(shè)計：(completelyrandomdesign)是采用完全隨機化的分組方法，將全部試驗對象分配到g個處理組（水平組），各組分別接受不同的處理，試驗結(jié)束后比較各組均數(shù)之間的差別有無統(tǒng)計學(xué)意義，推論處理因素的效應(yīng)。第一節(jié)完全隨機設(shè)計資料的方差分析第30頁,共80頁，2024年2月25日，星期天1.特點單因素方差分析是按照完全隨機設(shè)計的原則將處理因素分為若干個不同的水平，每個水平代表一個樣本，只能分析一個因素對試驗結(jié)果的影響及作用。其設(shè)計簡單，計算方便，應(yīng)用廣泛，是一種常用的分析方法，但其效率相對較低。該設(shè)計中的總變異可以分出兩個部分，即SS總＝SS組間＋SS組內(nèi)。

2.常用符號及其意義（1）Xij

意義為第i組的第j個數(shù)據(jù)。其中下標i表示列，j表示行。（2）意義為將第i組的全部j個數(shù)據(jù)合計。第一節(jié)完全隨機設(shè)計資料的方差分析第31頁,共80頁，2024年2月25日，星期天

（3）將第i組的j個數(shù)據(jù)合計后平方，再將所有各i組的平方值合計。（4）變異來源①SS總：表示變異由處理因素及隨機誤差共同所致；②

SS組間：表示變異來自處理因素的作用或影響；③SS組內(nèi)：表示變異由個體差異和測量誤差等隨機因素所致。即SS總＝SS組間＋SS組內(nèi)。第32頁,共80頁，2024年2月25日，星期天例9-1某醫(yī)生為研究一種四類降糖新藥的療效，以統(tǒng)一的納入標準和排除標準選擇了60名2型糖尿病者，按完全隨機設(shè)計方案將患者分為三組進行雙盲臨床試驗。其中降糖新藥高劑量組21人、低劑量組19人、對照組20人。對照組服用公認的降糖藥物，治療四周后測得其餐后2小時血糖下降值（mmol/L），結(jié)果如表9-1所示。問治療四周后，餐后2小時血糖下降值的三組總體平均水平是否不同？第33頁,共80頁，2024年2月25日，星期天分組方法：先將60名糖尿病患者從1開始到60編號；從隨機數(shù)字表（附表15）中的任一行任一列開始，依次讀取三位數(shù)作為一個隨機數(shù)錄于編號下；然后將全部隨機數(shù)從小到大編序號(數(shù)據(jù)相同的按先后順序編序號)，將每個隨機數(shù)對應(yīng)的序號記錄；規(guī)定序號1-21為甲組，序號22-40為乙組，序號41-60為丙組。第34頁,共80頁，2024年2月25日，星期天表9-12型糖尿病患者治療4周后餐后2小時血糖的下降值（mmol/L）高劑量組低劑量組對照組合計（i=1）（i=2）（i=3）5.616.3-0.62.012.42.79.511.85.75.60.97.86.014.612.87.07.06.98.74.94.17.93.91.59.28.1-1.84.31.69.45.03.8-0.16.46.43.83.56.16.37.03.07.55.813.212.75.43.98.48.016.59.83.12.212.215.59.212.61.16.011.821192060(N)9.19525.80005.43006.8650()17.360518.186712.384318.4176()為組的編號，

為組內(nèi)個體編號，ji第35頁,共80頁，2024年2月25日，星期天記總均數(shù)為，各處理組均數(shù)為，總例數(shù)為N＝nl+n2+…+ng，

(g為處理組數(shù))。總體方差為各處理組方差為第36頁,共80頁，2024年2月25日，星期天試驗數(shù)據(jù)有三個不同的變異:總變異（Totalvariation）：全部測量值Xij與總均數(shù)間的差別

組間變異（betweengroupvariation）各組的均數(shù)與總均數(shù)間的差異組內(nèi)變異（withingroupvariation)每組的原始數(shù)據(jù)與該組均數(shù)的差異

用公式概括為：總變異=組間變異+組內(nèi)變異第37頁,共80頁，2024年2月25日，星期天1.總變異60名2型糖尿病患者的餐后2小時血糖Xij大小各不相同，與它們的總均數(shù)(overallmean)也不相同，這種變異稱為總變異(totalvariation)。該變異既包含了隨機誤差(即2型糖尿病患者的個體差異和測量誤差)，又包含了三組用藥即處理的不同，其大小用所有數(shù)據(jù)(N=60)的方差即均方SS總來表示。第38頁,共80頁，2024年2月25日，星期天1.總變異SS總反映了所有測量值之間總的變異程度，

SS總=各測量值Xij與總均數(shù)差值的平方和

變異度的大小可以用標準差或方差來衡量。此處既然是方差分析就用方差來衡量，只不過將方差的分子離均差平方和SS及分母的自由度v分開，分別來考慮.第39頁,共80頁，2024年2月25日，星期天2．組間變異各處理組由于接受處理的水平不同，各組的樣本均數(shù)

(i＝1，2，…，g)也大小不等，三組2型糖尿病患者餐后2小時血糖的樣本均數(shù)各不相同，它與總均數(shù)也不相同，這種變異稱為組間變異。其大小可用各組均數(shù)與總均數(shù)的離均差平方和表示，記為SS組間，它反映了三組用藥不同的影響(如處理確實有作用)，同時也包括了隨機誤差

第40頁,共80頁，2024年2月25日，星期天2.組間變異SS組間反映了各組均數(shù)間的變異程度組間變異＝①隨機誤差+②處理因素效應(yīng)

mi

mj

=176.7612自由度：

組間=組數(shù)(k)―1第41頁,共80頁，2024年2月25日，星期天3．組內(nèi)變異在同一處理組中，雖然每個受試對象接受的處理相同，但測量值仍各不相同，各組內(nèi)2型糖尿病患者的餐后2小時血糖Xij大小各不相同，與本組的樣本均數(shù)也不相同，這種變異稱為組內(nèi)變異（誤差）。組內(nèi)變異可用組內(nèi)各測量值Xij與其所在組的均數(shù)的差值的平方和表示，記為SS組內(nèi),表示隨機誤差(含個體差異和測量誤差)的影響。又稱誤差變異第42頁,共80頁，2024年2月25日，星期天

在同一處理組內(nèi)，雖然每個受試對象接受的處理相同，但測量值仍各不相同，這種變異稱為組內(nèi)變異。SS組內(nèi)僅僅反映了隨機誤差的影響。也稱SS誤差3.組內(nèi)變異m

i自由度：

組內(nèi)=總例數(shù)（N）―組數(shù)(k)第43頁,共80頁，2024年2月25日，星期天4.三種“變異”之間的關(guān)系隨機誤差（含個體差異和測量誤差）

處理因素（包含了三組用藥即處理的不同

）第44頁,共80頁，2024年2月25日，星期天5.均方(MS)

其中k表示處理組數(shù),，表示總例數(shù)第45頁,共80頁，2024年2月25日，星期天各種變異的表示方法SS總

總MS總SS組內(nèi)

組內(nèi)MS組內(nèi)SS組間

組間MS組間三者之間的關(guān)系：SS總=SS組內(nèi)+SS組間

總=

組內(nèi)+組間第46頁,共80頁，2024年2月25日，星期天6.均方之比＝FF統(tǒng)計量，當σ12=σ22時：F=S12/S22第47頁,共80頁，2024年2月25日，星期天7.F分布F分布概率密度函數(shù)：第48頁,共80頁，2024年2月25日，星期天F分布曲線第49頁,共80頁，2024年2月25日，星期天F界值表附表3F界值表（方差分析用，單側(cè)界值）上行：P=0.05下行：P=0.01分母自由度υ2分子的自由度，υ1123456

1161200216225230234

405249995403562557645859

218.5119.0019.1619.2519.3019.33

98.4999.0099.1799.2599.3099.33

254.243.392.992.762.602.49

7.775.574.684.183.853.63

3第50頁,共80頁，2024年2月25日，星期天統(tǒng)計量F的計算及其意義F=MS組間/MS組內(nèi)

通過這個公式計算出統(tǒng)計量F，查表求出對應(yīng)的P值，與進行比較，以確定是否為小概率事件。（與t檢驗公式進行對比）自由度：

組間=組數(shù)―1

組內(nèi)=N―組數(shù)假設(shè)檢驗第51頁,共80頁，2024年2月25日，星期天方差分析的基本思想

首先將總變異分解為組間變異和誤差（組內(nèi)）變異，然后比較兩者的均方，即計算F值，若F值大于某個臨界值，表示處理組間的效應(yīng)不同，若F值接近甚至小于某個臨界值，表示處理組間效應(yīng)相同(差異僅僅由隨機原因所致)。

對于不同設(shè)計的方差分析，其思想都一樣，即均將處理間平均變異與誤差平均變異比較。不同之處在于變異分解的項目因設(shè)計不同而異。第52頁,共80頁，2024年2月25日，星期天方差分析的應(yīng)用條件各樣本是相互獨立的隨機樣本；各樣本來自正態(tài)總體；各處理組總體方差相等，即方差齊性或齊同。

上述條件與兩均數(shù)比較的t檢驗的應(yīng)用條件相同。當組數(shù)為2時，方差分析與兩均數(shù)比較的t檢驗是等價的，對同一資料,有第53頁,共80頁，2024年2月25日，星期天

完全隨機設(shè)計分析也叫單因素方差分析。將受試對象隨機地分配到各個處理組的設(shè)計。編號12345678910…2930隨機數(shù)12.13.918.327.126.728.81.412.826.05.024.429.78.4分組BACCCCABCACCA二、完全隨機設(shè)計資料的方差分析的基本步驟(一)隨機分組方法

1.編號,確定分組方案（如較少10個隨機數(shù)為A,中間

10個數(shù)為B，較大10個隨機數(shù)為C）

2.產(chǎn)生隨機數(shù)字（附表15，或電腦），排序

3.按方案分組將數(shù)據(jù)按同一處理的不同水平進行分組整理。第54頁,共80頁，2024年2月25日，星期天表9-12型糖尿病患者治療4周后餐后2小時血糖的下降值（mmol/L）高劑量組低劑量組對照組合計（i=1）（i=2）（i=3）5.616.3-0.62.012.42.79.511.85.75.60.97.86.014.612.87.07.06.98.74.94.17.93.91.59.28.1-1.84.31.69.45.03.8-0.16.46.43.83.56.16.37.03.07.55.813.212.75.43.98.48.016.59.83.12.212.215.59.212.61.16.011.821192060(N)9.19525.80005.43006.8650()17.360518.186712.384318.4176()為組的編號，

為組內(nèi)為個體編號，ij第55頁,共80頁，2024年2月25日，星期天(二)方差分析的步驟

m1=m2

=m3H0:m1=m2=m3=...=mk

m1

=m2

m3H1:notallthemi

areequal

m1

m2

m3建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準即A、B、C三種方案效果相同。三個總體均數(shù)不全相等，即A、B、C三種方案的效果不全相同.2.計算檢驗統(tǒng)計量F3.確定P值，做出推斷結(jié)論

第56頁,共80頁，2024年2月25日，星期天計算F值（方差分析表）：自由度：

組間=組數(shù)(k)―1

組內(nèi)=總例數(shù)（N）―組數(shù)(k)完全隨機統(tǒng)計設(shè)計方差分析的計算公式變異來源SSdfMSF組間（處理組間）k-1

組內(nèi)（誤差)N-k或總變異N-1第57頁,共80頁，2024年2月25日，星期天確定P值，做出推斷結(jié)論：以求F值時分子的自由度、分母的自由度查附表三的F界值表得P值。有統(tǒng)計學(xué)意義?？梢哉J為多個總體均數(shù)不全相同，即多個總體均數(shù)中至少有兩個不同。

至于多個總體均數(shù)中哪些不同，可用本章第五節(jié)的方法進行多個均數(shù)間的兩兩比較；無統(tǒng)計學(xué)意義。第58頁,共80頁，2024年2月25日，星期天表9-12型糖尿病患者治療4周后餐后2小時血糖的下降值（mmol/L）高劑量組低劑量組對照組合計（i=1）（i=2）（i=3）5.616.3-0.62.012.42.79.511.85.75.60.97.86.014.612.87.07.06.98.74.94.17.93.91.59.28.1-1.84.31.69.45.03.8-0.16.46.43.83.56.16.37.03.07.55.813.212.75.43.98.48.016.59.83.12.212.215.59.212.61.16.011.821192060(N)9.19525.80005.43006.8650()17.360518.186712.384318.4176()為組的編號，

為組內(nèi)為個體編號，ij第59頁,共80頁，2024年2月25日，星期天

第60頁,共80頁，2024年2月25日，星期天本例：,因附表3中無57，故取最接近者=60得：第61頁,共80頁，2024年2月25日，星期天

可以認為2型糖尿病患者經(jīng)藥物（新藥和標準藥）治療4周，其餐后2小時血糖的總體平均水平不全相同，即三個總體均數(shù)中至少有兩個不同。結(jié)論:第62頁,共80頁，2024年2月25日，星期天計算F值（方差分析表）：完全隨機統(tǒng)計設(shè)計方差分析的計算公式

自由度：

組間=組數(shù)(k)―1

組內(nèi)=總例數(shù)（N）―組數(shù)(k)變異來源SSdfMSF組間（處理組間）k-1組內(nèi)（誤差)N-k或總變異

N-1第63頁,共80頁，2024年2月25日，星期天第九章方差分析自由度：

組間=組數(shù)(k)―1

組內(nèi)=總例數(shù)（N）―組數(shù)(k)變異來源SSdfMSF組間（處理組間）k-1組內(nèi)（誤差)N-k或總變異N-1第64頁,共80頁，2024年2月25日，星期天方差分析（analysisofvariance，ANOVA）的基本思想就是根據(jù)資料的設(shè)計類型，即變異的不同來源將全部觀察值總的離均差平方和（sumofsquaresofdeviationsfrommean，SS）和自由度分解為兩個或多個部分，除隨機誤差外，其余每個部分的變異可由某個因素的作用（或某幾個因素的交互作用）加以解釋，如各組均數(shù)的變異SS組間可由處理因素的作用加以解釋。通過各變異來源的均方與誤差均方比值的大小，借助F分布作出統(tǒng)計推斷，判斷各因素對各組均數(shù)有無影響。方差分析的基本思想第65頁,共80頁，2024年2月25日，星期天方差分析的基本思想：把全部數(shù)據(jù)關(guān)于總均值的離均差平方和分解成幾部分，每一部分表示某因素諸水平交互作用所產(chǎn)生的效應(yīng)，將各部分均方與誤差均方相比較，從而確認或否認某些因素或交互作用的重要性。

用公式概括為：總變異=組間變異+組內(nèi)變異各因素引起由個體差異引起（誤差）一、方差分析的基本思想第一節(jié)完全隨機設(shè)計資料的方差分析由英國統(tǒng)計學(xué)家R.A.Fisher首創(chuàng)，為紀念Fisher，以F命名，故方差分析又稱F檢驗。

變異度的大小可以用標準差或方差來衡量，此處既然是方差分析就用方差來衡量。只不過將方差的分子離均差平方和及分母自由度ν分開，分別考慮。第66頁,共80頁，2024年2月25日，星期天SiS1S2S3S4合計值5.994.153.784.716.65第67頁,共80頁，2024年2月25日，星期天例一個因素（factor）：解毒藥

四個水平（level）（a=4個處理組）：A、Ｂ、

Ｃ、空白對照D，i=1,2,3,4分別代表A、B、C、D

每水平有ni=６只大白鼠，分別表示為j=1,2,…,6

應(yīng)變量用Yij表示，即第i組第j號大白鼠的血

中膽鹼脂酶含量(μ/ml)

按完全隨機化設(shè)計方法將Ｎ＝24只動物隨機等

分成４個組

（將動物編成1~24號，用計算器（機）對每

一個動物產(chǎn)生一個隨機數(shù)，然后按隨機數(shù)從小到

大的順序排序，前面6個動物分為第一組，緊接著的6

個動物分成第二組