2023-2024學(xué)年上海市晉元中學(xué)高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年上海市晉元中學(xué)高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷

2023.11

考試時間：90分鐘滿分：100分

一、填空題（本大題共有12題，每題3分，滿分36分）

1.設(shè)集合&={L2},集合，={2,4,6},則28=.

2.不等式歸-2|<1的解集為.

3.函數(shù)>=優(yōu)一1且。中1）的圖像一定過點.

4.己知正實數(shù)x,y滿足：>,則>的最大值為.

1--|1_--

5.已知2"=3"=6,則。b.

6.一元二次不等式/+6尤+c>°的解集是I23人則c+b=

7.已知"Ig2,則炫50=（用。表示）.

8.用反證法證明命題“若無+><2,則x<l或y<l"，則應(yīng)假設(shè).

9.方程忖—1+值+2|=口+1|的解集為.

10.若關(guān)于x的不等式14履2+2》+左<2有唯一實數(shù)解，則實數(shù)左的值是.

11.已知集合”={123,4,5,6},集合AUM,定義"（A）為A中元素的最小值，當(dāng)A取遍"的所有非空

子集時，對應(yīng)的"（A）的和記為$6,則$6=.

12.若不等式（"+3乂/-對任意的“?0,+8）恒成立，則"0+4）的最大值為.

二、選擇題（本大題共有4題，每題3分，滿分12分）每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相

應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得3分，否則一律得零分.

13.下列函數(shù)是累函數(shù)的是（）

A.>/B.y=2*c.y=2x~D.y=~x'

14.“〃?€{1,2},,是“]11〃2<1，，成立的

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件

15.長征五號遙五運載火箭創(chuàng)下了我國運載火箭的最快速度，2020年11月24日，它成功將嫦娥五號探測

器送入預(yù)定軌道在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度V（單位：物Z/S）和燃料的質(zhì)量M（單位：

1

v=20001n[l+—|

依）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量優(yōu)（單位：依）的函數(shù)關(guān)系是I機(jī)人若火箭的最大速度為

11.2加/s,則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量（除燃料外）的比值約為（參考數(shù)據(jù)：e00056?1.0056）（）

A.1.0056B,0.5028c.0.0056D,0.0028

29

6Z+-------------

16.已知a>6>0,那么，當(dāng)代數(shù)式外“一切取最小值時，。+2A的值為（）

A.2及B.2石C.2君D.2冊

三、解答題（本大題共有5題，滿分52分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的

步驟

A=|x|^^<ol

*集合Ix+1J,集合5={%|a<x<a+l],a^R

⑴若“l(fā)eB”是真命題，求實數(shù)。的取值范圍；

（2）若“xeA，，是“xeB”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.

18.已知關(guān)于x的不等式加-3x+2>0的解集為{中<1或%>收

⑴求"力的值;

2+J2

⑵當(dāng)x>0,y>0且滿足xy時，有2x+y2尸+后+3恒成立，求實數(shù)上的取值范圍.

19.已知幕函數(shù)，="+4帆+4）/2在（Oy）上為嚴(yán)格減函數(shù).

⑴求實數(shù)加的值；

⑵若（2"1廣<（a+3）"',求實數(shù)。的取值范圍.

20.某醫(yī)學(xué)專家為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律，將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行試驗，經(jīng)

檢測，病毒細(xì)胞的個數(shù)與天數(shù)的記錄如下表：

天數(shù)123456

病毒細(xì)胞的個數(shù)12481632

己知該病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個數(shù)超過IO'的時候小白鼠將死亡，但注射某種藥物，可殺死其體內(nèi)該病毒

細(xì)胞的98%.

2

（1）為了使小白鼠在試驗過程中不死亡，第一次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物（精確到天，32"03010）?

（2）第二次最遲應(yīng)在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命（精確到天）？

ac

21.對在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)的任意兩點（°/），（°”）作如下定義：石>3,那么稱點（“㈤是點（a“）

的“上位點”，同時點伍⑷是點（“㈤的"下位點”.

（1）試寫出點35）的一個“上位點，，坐標(biāo)和一個“下位點，，坐標(biāo)；

⑵設(shè)a、6、c、d均為正數(shù)，且點（°⑼是點,⑷的上位點,請判斷點）S+cg+d）是否既是點（"力）的"下

位點”又是點（c’d）的"上位點”，如果是請證明，如果不是請說明理由；

（3）設(shè)正整數(shù)〃滿足以下條件：對任意實數(shù)機(jī)2023"eZ},總存在正整數(shù)上，使得點（〃㈤既是點

（2。23,㈤的嚇位點,,，又是點（2。2"+1）的“上位點,,，求正整數(shù)〃的最小值.

1.{1,2,4,6）

【分析】利用并集的定義直接求解即得.

【詳解】集合*=3={2,4,6},所以48={1,2,4,6}.

故答案為：口24,6}.

2,。，3）

【分析】利用絕對值不等式的解法求解.

【詳解】由卜-2<1得—l<x-2<1,解得l<x<3,

故不等式上一Z<1的解集為（L3）.

故答案為：（U）.

3.（0,0）

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

【詳解】函數(shù)>=優(yōu)-1（。>°且"1）,令*=0可得y="°T=°,

即函數(shù)恒過點（°，°）.

故答案為：（&°）

3

1

4.4

【分析】利用不等式1(“+。),直接計算即可.

【詳解】>y4(44

x=l=l」V=2

當(dāng)且僅當(dāng),2，即25時取得等號；

￡1_

故y的最大值為了；

1_

故答案為:4.

5.1

【分析】首先利用指數(shù)和對數(shù)互化得到"1嗎6,1唱6,再利用換底公式即可得到答案.

【詳解】由2a=3力=6可知Q=log26,b=log36

11?

所以L廠32+33=1—6=1

故答案為：1

6.0

【分析】利用三個二次關(guān)系計算即可.

、__1_1

［詳解］由題意可知0?+法+C=0的兩個根分別是尤1__5，9=§且〃<0

3I2)a

1z1xa=6b=-6c

1X|-1L￡

故2",所以c+8=o.

故答案為：0

7.2-a

【分析】根據(jù)對數(shù)運算求得正確答案.

1cn1100,9

【詳解Jg50=lg下=307g2=2i

故答案為：2-a

8.且

【分析】根據(jù)反證法的基本思想判斷即可.

【詳解】用反證法證明命題“若x+y<2,貝口<1或y<l?,

則應(yīng)假設(shè)*21且”1

4

故答案為：且>21

9.（F-49收）

【分析】利用絕對值三角不等式，轉(zhuǎn)化原方程，解不等式得到方程的解集.

【詳解】由絕對值三角不等式可得：,一1+卜+N斗一1+*+2|=口+1,

當(dāng)且僅當(dāng)（xT）（x+2”。,即2Ml,+功時，等號成立,

故,-1+歸+2|=|2x+1]的解集為（f-2][1,4w）.

故答案為：ST[1，H.

1+血4

10.2

【分析】分當(dāng)％=由（小+》+比，（區(qū)左）=

0,k>0,k<0,211=22+2%+11121!1求解.

—<x<1

【詳解】解：當(dāng)％=°時，2,不符合題意；

,2c,,（1丫公一1%2T

kx+2JV+左二左1%-1—H--------2--------

當(dāng)4>0時，Vk）kk,

因為14片+2*+左<2有唯一實數(shù)解，

所以左一，即/一2"1=0,解得％=1+0或k=1一0（舍去）；

,2c,A1Y

kx+2x+左=—H---------?--------

當(dāng)《<0時，'k）kk,

因為14狂2+2x+左=2有唯一實數(shù)解，

左2-1_]1-75〃_1+6

-K=-------/V-

所以k,即％-1=0,解得2或2（舍去），

所以實數(shù)％的取值為

故答案為:

11.120

【分析】確定最小值分別為L2，，6時相應(yīng)的集合A的個數(shù)，再求和即可.

5

【詳解】設(shè)"={123,4,5,6},對M的任意非空子集A共有26-1個，

其中最小值為1的有展，最小值為2的有2,個，…，最小值為6的只有2°=1個，

5432

S6=2xl+2x2+2x3+2x4+2x5+6=120

故答案為：120

12.-12

33「b9

【分析】令"￥）=（依+3）（/-叫由題意，得到以。<0,其零點玉=一/°,確定*=二=b,得至I」一下,

將《"4）轉(zhuǎn)化為a表示，然后由基本不等式求解最值即可.

［詳解］令〃%）=3+3）（丁一加，］￡（0,+oo）時，/（x）W°恒成立，

若f”時必有不合題意，

3

八〉

所以“<0,其零點X、=—a0,

由題意，函數(shù)/（、）的圖象不穿過X軸，則有兩個正的零點且它們相同，

3萬7_99

x,=—='b77r\b=~~a（b+4）=—F4〃

所以。,化簡可得“力=%則。，所以a,

—+4?=-|-4a+—|<-2.-4a?—=-12

因為Q<0,則〃IV-a,

/9-3

-4a=-a——

當(dāng)且僅當(dāng)一。，即2時取等號，

所以“S+4）的最大值為-12.

故答案為：-12.

13.A

【分析】由募函數(shù)的定義可判斷各選項.

【詳解】由幕函數(shù)的定義，形如y=&eR叫幕函數(shù)，

_1_-3

y=~二%

對A,冗,故A正確；B,C,D均不符合.

故選：A.

14.A

【解析】先求出命題所對應(yīng)的集合，討論集合之間的包含關(guān)系，得出結(jié)論.

【詳解】解：lnm<l,:.0<m<e

（12）U（0,e）

，，

...“機(jī)￡{1,2},,是“而V1,,成立的充分非必要條件,

6

故選：A.

【點睛】本題考查解不等式，簡易邏輯，屬于基礎(chǔ)題.

15.C

1，=2000In,+絲］=11.2絲

【解析】由Im)，進(jìn)而可解得相的值.

v=2000In卜+刀=11.2Infl+-L^1-=0.0056.?.也=e。0^一1°0.0056

【詳解】由<，可得I2000,m

故選：C.

16.D

M,9

b(a—Z?)<—aH-----------212

【分析】根據(jù)題意，由基本不等式有一4,Ka-b)，結(jié)合a>6>0以及兩個不等式等

號成立的條件可求出。、匕的值，從而可求出。+2b的值.

2

b+a-ba2

b(a-b)<

【詳解】由a>8>。，得。一人>°,所以24當(dāng)且僅當(dāng)6="-6,即"=?時等號

成立.

。2+上加2+普>2Ja2"2

所以b(a—b)aa

236

第二個不等式的等號當(dāng)且僅當(dāng)”=/時成立.

其中第一個不等式的等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立,

a>b>0

236a=^/6

〃二F

24a

dH-----------------_r\ib4

所以當(dāng)伏。一加取最小值時，有"即2

a+2b=\/6+2x----=2后

所以2

故選：D

17.⑴(。，1)

⑵I⑵

【分析】(1)代入即可解；

(2)根據(jù)“xeA”是“xeB”的必要不充分條件，可得8A,結(jié)合包含關(guān)系即可求解.

【詳解】(1)若“l(fā)eB”是真命題，則解得

實數(shù)。的取值范圍是(°，D.

7

A=H<o]=(-l,3)

⑵由〔x+1J,

“%右4，，是內(nèi)右3，，的必要不充分條件，則8A,

J-1<6Z

則[a+1W3等號不能同時取到，解得Tw2,

則實數(shù)。的取值范圍[-L2]

18.⑴”=11=2⑵卜3,2]

【分析】(1)得到1力為方程分2-3彳+2=°的兩個根，由韋達(dá)定理求出答案；

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，利用基本不等式T的妙用得到2元+”9,只需92獷+左+3,求出答案.

【詳解】(1)由題意得11為方程爾-3》+2=°的兩個根，

32

1+/7=—l-b=—

則a,解得。=1力=2；

2+Li

(2)由⑴得%),

2A：+y=(2x+y)f-+—>1=4+1+—+—>5+2=9

則y)xyN%y,

2y_2x

當(dāng)且僅當(dāng)x>,即x=>=3時，等號成立，

要想2尤+”上2+八3恒成立，只需9"2+左+3,解得一3<上<2,

故實數(shù)上的取值范圍是b'A.

19.(1)-3⑵(4—°°)

【分析】(1)根據(jù)累函數(shù)定義先求出在根據(jù)幕函數(shù)性質(zhì)檢驗價的值是否滿足題意；

(2)根據(jù)哥函數(shù)性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)因為函數(shù)尸("+4"+4)1是信函數(shù)，

所以加2+4m+4=1,得用=-3或根=一1,

因為嘉函數(shù)在(O'+00)上為嚴(yán)格減函數(shù)，所以優(yōu)=-1不符合題意，

所以機(jī)=_3.

8

（2）由⑴可得（2"T）＜（。+3）

設(shè)函數(shù)y=x=

因為函數(shù)y=X”在R上嚴(yán)格單調(diào)遞減，

所以2。-1＞。+3,得。＞4,

所以實數(shù)。的取值范圍是（④口）.

20.⑴第27天⑵第33天

【分析】（1）建立第一次注射藥物前病毒細(xì)胞個數(shù)〉關(guān)于天數(shù)”（〃eN*）的函數(shù)關(guān)系式，由此可得21410）

左右取對數(shù)后，結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)可求得結(jié)果；

（2）結(jié)合（1）中關(guān)系式可構(gòu)造不等式22*X2%WK）8,解不等式可求得結(jié)果.

【詳解】（1）由題意知：第一次注射藥物前病毒細(xì)胞個數(shù)〉關(guān)于天數(shù)"（"CN）的函數(shù)關(guān)系式為

y=2"T（〃eN*）

Q

8

/.^-1＜log210=81og210=---

為了使小白鼠在試驗過程中不死亡，則2V108,-一1g2,

?＜1+—?27.6

解得：愴2,又“eN*,.?.第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.

（2）由題意知：注射藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞個數(shù)為226x2%,

則再經(jīng)過x天后小白鼠體內(nèi)的病毒細(xì)胞個數(shù)為226x2%x2,=226?x2%,

由226+，X2%41()8得226+，45x10、.-.(26+x)lg2<lg5+9=l-lg2+9=10-lg2

26+Q吐柜

/.xV--------27x6.2

即電21g21g2

再經(jīng)過6天必須注射藥物，即第二次最遲應(yīng)在第27+6=33天注射該種藥物.

21.⑴一個“上位點”的坐標(biāo)為⑶4）,一個“下位點”的坐標(biāo)為（3,6）（答案不唯一，符合題意即可）；

⑵是,證明見解析；（3）4047

【分析】（1）由上位點、下位點的概念即可得解；

（2）由上位點、下位點的概念結(jié)合作差法即可得證；

（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，可得左=2機(jī)+1,“=4047,再證明當(dāng)“44046時不合題意即可得解.

9

一3>—3>一3

【詳解】⑴由456可知，點(3,5)的一個“上位點,，的坐標(biāo)為(3,4),一個，下位點